# Ugao

Primer ugla, oštar ugao
**Ugao** ili **kut**, deo ravni oivičen sa dve poluprave koje imaju zajednički pasej

Ugao zatvaraju dve poluprave *a* i *b* (zrake) koje ishode iz jedne tačke *T*. Poluprave koje zatvaraju ugao nazivaju se **kracima** ugla, a tačka iz koje ishode je njegovo **teme**. Kada kraci ugla čine jednu pravu ugao se naziva ispruženim ili ravnim.

### Vrste uglova

**Oštar ugao** je manji od pravog ugla.

**Prav ugao** je jednak (kongruentan) svom suplementnom uglu. Prav ugao iznosi 90° (stepeni), tj. WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 (radijana). prave nosioci krakova pravog ugla nazivaju se normalne prave.

**Tup ugao** veći od pravog ugla i manji od ispružrnog ugla.

**Ispružen ugao** je ugao čiji kraci obrazuju pravu. (ima 180° (stepeni), tj. WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 (radijana)).

**Konveksan ugao** je ime kojim se označavaju oštar, prav, tup i ispružen ugao, mada u suštini je i pun i nul ugao konveksan.

**Konkavan ugao** veći od ispruženog i manji od punog ugla.
Kao granični slučaj uvode se i
**Pun ugao** kod kojeg se kraci poklapaju i unutrašnja oblast sa kracima pokriva celu ravan, ima 360° (stepeni), tj. WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 (radijana).
i
**Nul ugao** kod kojeg se kraci poklapaju i unutrašnja oblast je prazan skup. Nul ugao je veličine 0° (stepeni), tj. 0 (radijana).

### Vrste parova uglova

**Susedna** su dva ugla koja imaju zajednički krak, i jedan ima unutrašnju oblast sa jedne a drugi sa druge strane zajedničkog kraka.

**Naporedna ili uporedna** su dva susedna ugla koja se dopunjavaju do ispruženog.

**Suplementna** su dva ugla (ne moraju biti susedna) koja se dopunjavaju do ispruženog.

**Komplementni** uglovi su oni koji se dopunjavaju do pravog ugla.

**Uglovi sa paralelnim kracima** su dva ugla čiji kraci leže na paralelnim pravama. Uglovi sa paralelnim kracima su jednaki, ako su koja se dopunjavaju do ispruženog. Uglovi sa paralelnim kracima mogu biti:

**Saglasni uglovi** (Paralelni kraci imaju isto usmerenje. Ovi uglovi su jednaki.)

**Naizmenični uglovi** (Paralelni kraci imaju suprotno usmerenje. Ovi uglovi su jednaki.)

**Unakrsni uglovi** su specijalan slučaj naizmeničnih uglova, kada im se vrhovi poklapaju

**Suprotni uglovi** (Jedan par paralelnih krakova ima isto usmerenje, a drugi par imaj suprotno usmerenje. Ovi uglovi su suplementni.)

**Uglovi sa normalnim kracima** su dva ugla čiji kraci leže na normalnim pravama. Ovi uglovi il su jednaki ili su suplementni.

Na ovoj slici, *a* je oštar, *b* tup, a *c* opružen ugao. *a* i *b* su suplementni uglovi.
U Euklidskoj geometriji, komplementni su oštri uglovi pravouglog trougla.

Uglovi koji nastaju **presekom dve prave** u istoj ravni trećom nazivaju se:

* **Saglasni**: 1 i 5, 2 i 6, 3 i 7, 4 i 8;
* **Naizmenični**:1 i 7, 2 i 8, 3 i 5, 4 i 6;
* **Suprotni**: 1 i 8, 2 i 7, 3 i 6, 4 i 5;
* **Naporedni**: 1 i 2, 2 i 3, 3 i 4, 4 i 1.

Primer uglova u preseku prava

### Osobine uglova

**Uglovi sa paralelnim kracima** jednaki su ili su suplementni,
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 .

Datoetka:Paralelni.gif

*Posledica 1*: zbir uglova u trouglu je 180°.

## Merenje ugla

Mera ugla je veličina otklona između krakova ugla. Radi merenja ugla se koristi krug čiji je centar u temenu ugla. Obzirom da je obim kruga srazmeran poluprečniku to je i mera ugla nezavisna od veličine poluprečnika. Posledica činjenice da je veličina ugla odnos dve dužine je da je jedinica veličine ugla bezdimenziona.

* Broj koji se dobije kao količnik dužine luka kružnice i poluprečnika se naziva **radijan**. U međunarodnom sistemu mera **radijan** je izvedena jedinica. Iako je bezdimenziona, oznaka postoji i piše se **rad**.
* **Stepen** je mera ugla kod koga je pun krug 360 stepeni, a sledstveno tome opruženi ugao je 180 stepeni, a prav ugao je 90 stepeni. Oznaka za stepen je mali kružić nadpisan kod veličine, recimo za pun krug 360°. Za preciznija merenja se koristi deo stepena, naziva se *minut* i on iznosi 1/60 od stepena. Oznaka za minut je apostrof znak, recimo za 1 stepen je 60'. Postoji još manja mera, *sekunda*. Sekunda je 1/60 od minuta, odnosno 1/3600 od stepena. Oznaka za sekundu je dvostruki apostrof, odnosno 1 minut je 60".

#### Odnos između osnovnih jedinica mere ugla

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 , pun krug je dva pi radijana ili 360 stepeni
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 , pi radijana je 180 stepeni (često se rad izostavlja kada je pi u izrazu)
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 , pi pola radijana je 90 stepeni
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 , jedan radijan je 180 kroz pi stepeni, ili približno 57 stepeni, 17 minuta i 45 sekundi
## Euklidove definicije

U Euklidovim *Elementima* knjiga I je dato nekoliko definicija:

Definicija 8
*Ugao u ravni* je otklon jedne linije ka drugoj u ravni koje se seku i ne leže u liniji.
Definicija 9
Kada su linije koje čine ugao prave i ugao je *pravolinijski*.
Definicija 10
Kada prava linija seče pravu liniju čineći jednake susedne uglove, svaki od uglova je *prav ugao*, a linija koja seče drugu se zove *normalna* na onu koju seče.
Definicija 11
*Tup ugao* je ugao veći od pravog ugla.
Definicija 12
*Oštar ugao* je ugao manji od pravog ugla.
## Vanjske veze