# Kružnica

Vrste konusnih presjeka (kružnica, elipsa, parabola i hiperbola)
**Aksioma prenošenja duži**

Na datoj polupravoj postoji jedna i samo jedna tačka B takva da je duž jednaka datoj duži .

**Posljedica**

Ako su B1i B dvije tačke poluprave h sa početkom u A takve da AB=A B1onda je B=B1
Odnosno dvije različite tačke poluprave h ne mogu imati jednako rastojanje od početka poluprave.

## Opšti pojmovi

Neka je u ravni data tačka O i duž r. Tada , prema aksiomi prenošenja duži), na svakoj polupravoj čiji je početak tačka O i leži u ravni postoji jedinstvena tačka X takva da je OX=r.

Definicija

Skup svih tačaka ravni čija je udaljenost od date tačke O te ravni jednaka datoj duži nazivamo kružnica s centrom u O i poluprečnikom (radijusom) r.

Poluprečnik kružnice je duž koja spaja centar kružnice sa bilo kojom tačkom kružnice.

Prava koja prolazi kroz centar kružnice naziva se **centralna prava kružnice**. Centar O dijeli centralnu pravu na dvije poluprave koje imaju tačno jednu tačku sa kružnicom, odnosno centralna prava i kružnica imaju dvije zajedničke tačke.

Duž PQ koja spaja centralno simetrične tačke kružnice nazivamo 'prečnik (dijametar ili promjer)' kružnice. Ako je PQ prečnik kružnice onda je PO=OQ odnosno O je sredina prečnika.

Duž koja spaja dvije tačke kružnice nazivamo **tetiva.** Prečnik je tetiva na kojoj leži centar kružnice.

Centralna prava dijeli ravan kružnice na dvije poluravni odnosno tačke kružnice dijeli na dva skupa.-

* skup koji leži u jednoj poluravni
* skup koji leži u drugoj poluravni. Ovi skupovi su polukružnice.

Kružnice koje imaju isti centar kažemo da su koncentrične.

Ugao čiji je vrh u centru kružnice nazivamom **centralni ugao.**

Dio kružnice koji pripada centralnom uglu nazivamo **luk.** Centralnom uglu odgovara određen luk. Luk koji odgovara ravnom uglu je polukružnica.
Luk koji odgovara nultom uglu svodi se na tačku.
Punom uglu odgovara kao luk cijela kružnica

U pravouglim koordinatama jednačina kružnice glasi

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 , где су (p,q)

Ova je jednačina drugog reda.
Obim kružnice O(r) je WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 , а kružnica predstavlja periferiju кrugа**.**

Površina omeđena kružnicom je WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 .

Centralni ugao je dvostruko veći od perifernog ugla nad istom tetivom.

Periferni ugao nad prećnikom je prav
Ugao između tetive i tangente povučene iz jedne tačke kružnice jednak je perifernom uglu nad tom tetivom
Periferni uglovi nad istom tetivom su isti ili suplementni .

## Rastojanje tačke od kružnice

Spojimo tačku C sa tačkama kružnice K(O,r). Ovako dobijamo beskonačan skup duži za C ≠ O. U slučaju C = O to je nulta duž.

Postavlja se pitanje , postoji li u ovom skupu duž od koje ni jedna duž skupa nije manja i takva duž koja nije manja ni od jedne duži skupa?

To su duži CA i CB ,gdje su A, B tačke kružnice koje leže na centralnoj pravoj koja prolazi kroz C. Tačka A je s one strane tačke O s koje je C, a B sa suprotne strane.

Definicija 2

Element m skupa E ( u kome između elemenata postoji relacija < ili > ) koji nije veći ni od jednog elementa skupa naziva se minimum (najmanji element skupa E). Element koji nije manji ni od jednog elementa skupa je maximum (najveći) element skupa E.

U navedenom slučaju duži AB i AC su minimum i maximumu u skupu duži.

Definicija 3

Minimum skupa rastojanja date tačke od skupa naziva se rastojanje te tačke od skupa.

**Teorema 1**

Neka je data tačka C i kružnica K(O,r) i pri tom C ≠ O i neka su tačke A ,B tačke kružnice koje leže na centralnoj pravoj, koja prolazi tačkom C. Tačka A neka je s one strane s koje je tačka O, a B sa suprotne strane od O. Tada od svih tačaka križnice tačka A ima najmanje ,a tačka B najveće rastojanje od C i pri tome je

CA = │CO - r│ i CB = CO + r

Beskonačni skupovi ne moraju imati minimumu i maximumu.

Primjer

Skup brojeva 1,1/2, ¼, 1/8,...ima maximumu a nema minimum

## Zajedničke tačke kružnica

Neka su zadane dvije kružnice K(C, R) i k(O,r). Odredimo međusobni položaj ovih kružnica. Povučemo li centralnu pravu CO ovih kružnica, sa A, B označimo tačke druge kružnice i to sa A onu koja leži sa one strane od tačke O sa koje je tačka C, a sa B tačku drugr kružnice.

Posmatrajmo duži R – r, CO i R + r za R > r
Između ovih duži postoji jedan i samo jedan od ovih odnosa

1. CO > R + r
2. CO = R + r
3. R –r < CO < R + r
4. CO < R – r ( R >r)
5. CO = R - r (R >r)

### Presjek kružnica prazan skup

* Za CO > R + r <=> CO – r > R < => CA > R

Sve tačke jedne kružnice su izvan druge kružnice.

* CO < R – r <=> CO –r < R < => CB < R

Sve tačke jedne kružnice su unutar druge kružnice.

### Tangiranje kružnica

* CO = R + r < = > CO – r < R < => CA = R

Tačka A druge kružnice pripada tačkama prve kružnice. Sve ostale tačke su izvan prve kružnice. Za kružnice koje imaju jednu i samo jednu zajedničku tačku i ona leži na pravoj CO kažemo da se one dodiruju izvana u tački A.

* CO = R – r (R > r) < => CO - r = R < => CB = r

Tačka B pripada prvoj kružnici sve ostale tačke druge kružnice su unutar prve kružnice. Ako dvije kružnice imaju dijametralno raspoređene dvije zajedmočke tačke M na pravoj CO onda su one dijametralno suprotne za svaku od te dvije tačke koje leže na pravoj . za svaku od te dvije kružnice pa se one poklapaju.

### Presjek kružnica

R – r < CO < R + r ( R < r)

* A je u, B izvan K(C,R)
* R – r < CO => CB > R

B je van K (C,R)
CO < R + r => CA < RA je u kružnici.
Od svije dijametralno raspoređeme tačke jedna je u ,a druga van kružnice. Tačke A , B diele kružnicu na dva dijela

**Aksioma 2**

Ako se jedan kraj luka nalazi u kružnici a drugi izvan je onda taj luk sa kružnicom ima jednu i samo jednu zajednićku tačku.
Teorema 2

Zajednička tačka dviju kružnica koje se dodiruju leži na njihovoj zajedničkoj centralnoj pravoj i obratno dvije različite kružnice koje imaju zajedničku tačku na centrlnoj pravoj dodiruju se.
Ako dvije kružnice imaju zajedničku tačku koja ne leži na centralnoj pravoj imaju još jednu zajedničku tačku.

**Teorema 3**

Dvije kružnice K(C,R) i k(O,r)

* Nemaju zajedničkih tačaka ako i samo ako je
	+ CO > R + r ( svaka od križnica je izvan druge kružnice)
	+ CO < R -r( kružnica manjeg prečnika je unutar kružnic večeg prečnika)
* Imaju jednu i samo jednu zajedničku tačku koja leži na zajedničkoj centralnoj pravoj
	+ CO = R + r sve tačke kružnice osim zajedničke su izvan druge kružnice
* R – r < CO<R + r imaju dvije i samo dvije zajedničke tačke koje leže sa raznih strana centralne prave.

**Teorema 4**

Da bi dvije kružnice imale zajedničkih tačaka u sličaju da se centar prve kružnice nalazi

1. na drugoj kružnici
2. u drugoj kružnici

potrebno je i dovoljno da bude

1. R ≤ 2r
2. CA < R < CB

gdje su CA i CB odsječci na koje centar O dijeli dijametar AB kružnice k(O, r).