# Konusni presjek

Vrste konusnih presjeka:
 1. Parabola
 2. Krug i elipsa
 3. Hiperbola
Tablica konusa, *Cyclopaedia*, 1728
U matematici **stožasti** ili **konusni presjek** (ponekad **stožnica**) označava krivulju koja se dobije presjecanjem stošca s ravninom. Konusni presjeci se proučavaju od 200. pne. kada je njihovo sistemnatsko proučavanje započeo Apolonije iz Perge.

Postoje različiti slučajevi presjeka.

Dijele se na:

* degenerisane

1. tačka
2. prava
3. dvije prave koje se sijeku

* degenerisane krive II stepena čine 2 prave koje mogu biti

1. par pravi sa presjekom u konačnosti (ukrštene prave)
2. par konjugovano imaginarnih pravi sa realnim presjekom u konačnosti (ukrštene imaginarne prave)
3. par pravi sa presjekom u beskonačnosti (paralelne prave)
4. par konjugovano imaginarnih pravi sa realnim presjekom u beskonačnosti (paralelne imaginarne prave)
5. dvostruka realna prava u konacnosti
6. dvostruka prava u konačnosti i prava u beskonačnosti
7. dvostruka beskonačno daleka prava

* nedegenerisane

Svaka kriva II stepana i prava u njenoj ravni mogu imati 2 zajedničke tačke. Te tačke mogu biti

1. realne i različite - prava i kriva se sijeku
2. realne i podadarne - prava i kriva se dodiruju
3. konjugirano imaginarne - prava i kriva se ne sijeku

Hiperbola je nedegenerisana kriva II stepena koju sijeće beskonačno daleka prava

Parabola je nedegenerisana kriva II stepena koju beskonačno daleka prava dodiruje u beskonačno dalekoj tački njene ose.

Elipsa je nedegenerisana kriva II stepena koja nema realnih tačaka na beskonačno dalekoj pravoj

Kupu II stepena možemo posmatrati kao skup pravi koji spajaju tačke neke nedegenerisane konike s jednom tačkom u konačnosti koja ne leži u ravni te konike.
Istaknutu tačku nazivamo vrhom kupe, a spojnice tog vrha s tačkama konike izvodnicama kupe.

Valjak II stepena možemo posmatrati kao skup pravi koji spajaju tačke neke nedegenerisane konike s jednom beskonačno dalekom tačkom koja ne leži u ravni te konike.
Te paralelne prave nazivamo izvodnicama valjka, a njihov beskonačno daleki presjek vrhom valjka.

Ako ravan prolazi vrhom kupe ili valjka II stepena presječna kriva je degenerisana konika.
(Ravan paralelna s izvodnicama valjka prolazi njegovim beskonačno dalekim vrhom).
Degenerisane konike koje mogu biti rezultat takvog sječenja su sljedeće:

1. par realnih ukrštenih pravi (presjek može biti samo na kupi),
2. par realnih paralelnih pravi (presjek može biti samo na valjku),
3. jedna dvostruk prava (ravan je tangencijalna ravan kupe ili valjka),
4. par konjugirano imaginarnih pravi sa presjekom u konačnosti (presjek može biti samo na kupi),
5. par konjugirano imaginarnih paralelnih pravi (presjek može biti samo na valjku).

Svaka ravan koja ne prolazi vrhom kupe II stepena sijeće tu kupu po nedegenerisanoj konici.
Ta je konika:

1. Hiperbola, ako je presječna ravan paralelna s 2 izvodnice kupe
2. Parabola, ako je presječna ravan paralelna s jednom izvodnicom kupe
3. elipsa, ako presječna ravan nije paralelna niti s jednom izvodnicom kupe

Za razliku od kupe, na kojem uvijek postoje sva tri tipa nedegenerisanih konika, na valjku II stepena uvijek postoji samo jedan tip nedegenerisanih konika.
Beskonačno daleka ravan prolazi beskonačno dalekim vrhom valjka i siječe ga u dvije izvodnice. Te izvodnice mogu biti:

1. realne i različite,
2. realne i podudarne (beskonačno daleka ravan tangencijalna je ravan valjka)
3. par konjugirano imaginarnih pravi.

Zavisno o tome kakav je njegov presjek s beskonačno dalekom ravni valjak II stepena je:

1. hiperbolički
2. parabolički
3. eliptički

Ravan koja nije paralelna s izvodnicama valjka II stepena siječe:

1. hiperbolički valjak uvijek po hiperboli
2. parabolički uvijek po paraboli
3. eliptički uvijek po elipsi.

U analitičkoj geometriji, konika se može definisati kao ravanska algebarska kriva II reda.
Konike su značajne za mnoge oblasti:

* u astronomiji: nebeska tijela se kreću putanjama koje su konike
* u optici konstrukcija sočiva i ogledala
* u mehanici
* često se primjenjuju i u paleontologiji za razumjevanje izgleda određenih organizama.

Za konusne presjeke se definišu elementi konusnih presjeka:

1. centar
2. ose
3. dijametri
4. asimptote
5. asimptotske prave
6. polare i
7. tangente

Za sve konike, osim kruga, važi da postoji tačka WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 koja se naziva žiža konike, i prava WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 koja se naziva direktrisa takve da je odnos rastojanja proizvoljne tačke WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 konike do žiže WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 i direktrise WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 konstantan.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10
Taj odnos se naziva **ekscentricitetom** konike i označava sa WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 .

* za WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 konika je elipsa
* za WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 konika je krug
* za WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 konika je parabola
* za WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 konika je hiperbola.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 ,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 , gdje su WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 poluose konike.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 (direktrisa) konstantna veličina.

Žiža kruga je ujedno i njegov centar, a direktrisa je beskonačno daleka prava.

Elipsa i hiperbola imaju dvije žiže odgovarajuće direktrise.

Parabola ima samo jednu žižu i jednu direktrisu.

Još jedna osobina zajednička za sve konike, osim parabole, je **linearni ekscentricitet**. Linearni ekscentricitet predstavlja udaljensost centra konike do njene žiže, ili jedne od žiža. Najčešće se označava sa WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 .

Tetiva koja prolazi kroz žižu ili jednu od dvije žiže konike i paralelna je direktrisi naziva se **latus rectum**. Žižni (fokusni) **parametar** konike je rastojanje između žiže, ili jedne od žiža konike, i direktrise. Označava se sa WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 .

| konika | kanonska jednačina | ekscentricitet WIKINIUM\_MATH\_PH\_36  | linearni ekscentricitet ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 ) | latus rectum ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 ) | fokusni parametar( WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 )
 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| krug |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_44  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_46  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_48  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_50  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_52
 |
| elipsa |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_54  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_56  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_58  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_60  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_62
 |
| parabola |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_64  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_66  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_68  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_70  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_72
 |
| hiperbola |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_74  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_76  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_78  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_80  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_82
 |

## Dekartov koordinantni sistem

U Dekartovom koordinantnom sistemu, grafik kvadratne funkcije dvije nepoznate WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 može biti konusni presjek.

Jednačina konusnih presjeka je oblika

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86
gdje WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 nisu svi jednaki nuli.

Kako skaliranje konstanti WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 ne utiće na skup nula funkcije WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 , konusni presjeci se mogu posmatrati kao tačke u petodimenzionom projektivnom prostoru WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 .

Linearni ekscentricitet je dat sa:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96
Iz opštih formula, različiti konusni presjeci mogu u Dekartovim koordinatama biti predstavljeni na sljedeći način:

* Krug: WIKINIUM\_MATH\_PH\_98
* Elipsa: WIKINIUM\_MATH\_PH\_100
* Parabola: WIKINIUM\_MATH\_PH\_102
* Hiperbola: WIKINIUM\_MATH\_PH\_104

## Klasifikacija prema diskriminanti

Konusni presjeci dati ovom jednačinom mogu da se klasifikuju prema vrijednosti diskriminante
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 .

Ako konusni presjeci nisu degenerisani, tada:

* za WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 , jednačina predstavlja elipsu
* za WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 и WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 , jednačina predstavlja krug,
* ако је WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 , jednačina predstavlja parabolu
* za WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 , jednačina predstavlja hiperbolu
* ako važi i WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 , jednačina predstavlja pravougaonu hiperbolu

Kako bi razlikovali degenerisane slučajeve od standardnih (nedegenerisanih), neka je WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 determinanta 3x3 matrice:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 , tj. WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 .

Konusni presjek nije degenerisan ako i samo ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 .

Ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 u pitanju je neki od slučajeva degenerisanih konusnih preseka.

## Matrična notacija

Algebarska kriva drugog reda u ravni je skup tačaka opisan jednačinom oblika:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_130

gdje je bar jedan od brojeva WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 ili WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 različit od nule.

* Matrica WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 je **velika matrica** krive, gdje je uzeto WIKINIUM\_MATH\_PH\_140

* Matrica WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 je **mala matrica** krive, gdje je uzeto WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 .

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_146
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_148
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_150

Ako se u odnosu na neki drugi pravougli koordinatni sistem jednačina krive mijenja i njeni koeficienti su neki potencijalno drugi brojevi WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 važice:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 WIKINIUM\_MATH\_PH\_156

tj. WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 . Važi i za brojeve WIKINIUM\_MATH\_PH\_160 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_162

Iz tog razloga se za ove brojeve kaže da su invarijante krive date jednačinom
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_164

## Određivanje tipa konusnog presjeka

* Ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_166 onda kriva data jednačinom

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_168
nije konusni presjek.

* Ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_170 onda:

1. za WIKINIUM\_MATH\_PH\_172 kriva jeparabola
2. za WIKINIUM\_MATH\_PH\_174 kriva je hiperbola
3. za WIKINIUM\_MATH\_PH\_176 kriva je kružnica, elipsa ili prazan skup.

* Ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_178 WIKINIUM\_MATH\_PH\_180 onda

1. Ako su WIKINIUM\_MATH\_PH\_182 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_184 istog znaka kriva je prazan skup
2. Ako su WIKINIUM\_MATH\_PH\_186 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_188 istog znaka kriva je kružnica ili elipsa.

Ako je kriva kružnica onda u odnosu na svaki pravougli koordinatni sistem važi:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_190 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_192

Obrnuto, kakav god da je pravougli koordinatni sistem zadat, ako važi

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_194 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_196 onda
je kriva ili prazan skup ili kružnica.

## Odnos pravih i konusnih presjeka

Za pravu određenu vektorom { WIKINIUM\_MATH\_PH\_198 } WIKINIUM\_MATH\_PH\_200
tj ako

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_202

Svaka tačka u odnosu na koju je konusni presjek (centralno) simetričan naziva se **centar** konusnog presjeka .
Svaka prava u odnosu na koju je konusni presjek (osno) simetričan naziva se osa konusnog presjeka.

Kružnica, elipsa i hiperbola imaju tačno jedan centar.

Prava je osa kružnice ako i samo ako prolazi kroz njen centar.

Elipsa i hiperbola imaju tačno dvije ose. Te dvije ose se sijeku u tom centru i grade pravi ugao.

Za parabolu ne postoji centar ali postoji tačno jedna osa.

Za kružnicu i elipsu ne postoje asimptotske prave. Za hiperbolu postoje tačno dvije asimptotske prave. Za parabolu postoji tačno jedna asimptotska prava i to je upravo prava njene ose.

Prave kroz centar konusnog presjeka koje su asimptotske prave nazivaju se  **asimptote** konusnog presjeka.

Hiperbola ima tačno dvije asimptote (i one odgovaraju asimptotskim pravama).
Parabola nema asimptote (ali ima jednu asimptotsku pravu). Kružnica i elipsa nemaju asimptote (a ni asimptotske prave).

Svaka prava sa bilo kojim konusnim presjekom može da ima 2, 1 ili nijednu zajedničku tačku. Svaka prava sa bilo kojom algebarskom krivom drugog reda može da ima 2, 1, nijednu zajedničku tačku ili, ako ih ima više od 2, onda cijela leži na toj krivoj. Ta kriva je onda: prava, par paralelnih pravi ili par pravih koje se sijeku u jednoj tački.
Prava koja sa konusnim presjekom ima tačno jednu zajedničku tačku a nije asimptotska prava naziva se **tangenta** konusnog presjeka.

U svakoj tački konusnog presjeka može da se postavi tačno jedna tangenta. Ako tačka nije na konusnom presjeku onda kroz nju prolazi

* nijedna tangenta tog konusnog presjeka (ta tacka je unutar konusnog presjeka)
* tačno dvije tangente ( ta tacka je van konusnog presjeka).

Asimptote i konusni presjek, preciznije hiperbola, nemaju zajedničkih tačaka.

Prave asimptotske prave WIKINIUM\_MATH\_PH\_204 koje nisu asimptote imaju tačno jednu zajedničku tačku sa konusnim presjekom.

## Utvrđivanje odnosa prave i konusnog presjeka

Neka je data prava
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_206 WIKINIUM\_MATH\_PH\_208

kroz tačku WIKINIUM\_MATH\_PH\_210 u pravcu vektora { WIKINIUM\_MATH\_PH\_212 } WIKINIUM\_MATH\_PH\_214

Zamjenom u jednačini

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_216
dobija se jednačina oblika:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_218
za neke brojeve WIKINIUM\_MATH\_PH\_220 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_222 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_224 WIKINIUM\_MATH\_PH\_226 .
Neka je WIKINIUM\_MATH\_PH\_228 diskriminanta gornjeg polinoma.

* Prava je tangenta ako i samo ako WIKINIUM\_MATH\_PH\_230 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_232 .
* Prava je asimptotska prava ako i samo ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_234
* Prava je asimptota ako i samo ako WIKINIUM\_MATH\_PH\_236 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_238 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_240 .
* Prava sijeće konusni presjek u dvije različite tačke ako i samo ako WIKINIUM\_MATH\_PH\_242 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_244 .

Ako se parametarske jednačine prave WIKINIUM\_MATH\_PH\_246 zapišu koristeći neku drugu njenu tačku i/ili neki drugi njen vektor pravca, i/ili ako se jednačine prave i konusnog presjeka posmatraju u odnosu na neki drugi pravougli koordinatni sistem, dobiće se neka jednačina

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_248 i odgovarajuća diskriminanta WIKINIUM\_MATH\_PH\_250 , gdje
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_252 ne mora biti jednako sa WIKINIUM\_MATH\_PH\_254 , a ni WIKINIUM\_MATH\_PH\_256 ne mora biti isti broj kao i WIKINIUM\_MATH\_PH\_258 .

Međutim, uvijek će važiti jedan te isti slučaj od četiri gore navedenih. Ne može se desiti da je prava tangenta gledano iz prve perspektive, a da gledano iz druge ona to nije.

## Dijametri konusnog presjeka

Neka je data neasimptotska prava vektorom WIKINIUM\_MATH\_PH\_260 . Ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_262 proizvoljna prava paralelna sa WIKINIUM\_MATH\_PH\_264 koja siježe konusni presjek u 2 različite tačke WIKINIUM\_MATH\_PH\_266 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_268 označimo sa WIKINIUM\_MATH\_PH\_270 središte duži WIKINIUM\_MATH\_PH\_272 . Postoji jedinstvena prava koja sadrži sva takva središta WIKINIUM\_MATH\_PH\_274 za sve onakve prave WIKINIUM\_MATH\_PH\_276 . Ta prava se naziva dijametar spregnut (konjugovan) sa pravom određenim vektorom WIKINIUM\_MATH\_PH\_278

Za kružnicu i elipsu važi prava je dijametar ako i samo ako prolazi kroz centar.

Za hiperbolu važi prava je dijametar ako i samo ako nije asimptotska prava i prolazi kroz centar.

Za parabolu važi prava je dijametar ako i samo ako je paralelna sa osom parabole.

Dakle svi dijametri parabole su paralelni međusobno i onog jedinstvenog su asimptotska prava ali spregnuti su sa neasimptotskom pravom.

* Ako su WIKINIUM\_MATH\_PH\_280 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_282 dva dijametra onda se kaze da je WIKINIUM\_MATH\_PH\_284 spregnut (ili konjugovan) sa WIKINIUM\_MATH\_PH\_286 ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_288 spregnut sa pravcem prave WIKINIUM\_MATH\_PH\_290 .

Važi: WIKINIUM\_MATH\_PH\_292 je konjugovan sa WIKINIUM\_MATH\_PH\_294 ako i samo ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_296 konjugovan sa WIKINIUM\_MATH\_PH\_298 (dakle ovo je simetricna relacija). U tom slucaju se kaze da WIKINIUM\_MATH\_PH\_300 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_302 cine par konjugovanih dijametara.

Kod parabole uopšte i ne postoje dva dijametra od kojih je jedan spregnut sa onim drugim.
Ako su { WIKINIUM\_MATH\_PH\_304 } { WIKINIUM\_MATH\_PH\_306 pravci dva konjugovana dijametra onda važi:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_308

Kod kružnice vazi: 2 dijametra su konjugovana ako u samo ako su međusobno normalni.

Kod elipse i hiperbole, od svih parova konjugovanih dijametara tačno je jedan par konjugovanih dijametara koji su i i međusobno normalni. Taj par su upravo ose simetrije

Kod parabole samo je jedan dijametar normalan na pravu sa kojim je spregnut. Taj dijametar je osa parabole.

## Polare konusnih presjeka

Za par tačaka WIKINIUM\_MATH\_PH\_310 se kaze da je (harmonijski) konjugovan sa parom tačaka WIKINIUM\_MATH\_PH\_312
ako su WIKINIUM\_MATH\_PH\_314 četiri različite kolinearne tačke i ako postoji broj WIKINIUM\_MATH\_PH\_316 tako da važi

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_318

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_320

Ovaj poslednji uslov se označava i sa:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_322

Ovo nije dijeljenje vektora. Kaže se i da je tačka WIKINIUM\_MATH\_PH\_324 konjugovana sa tačkom WIKINIUM\_MATH\_PH\_326 u odnosu na par ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_328 .

Ako su WIKINIUM\_MATH\_PH\_330 tri različite kolinearne tačke onda: na pravoj WIKINIUM\_MATH\_PH\_332 postoji tačka koja je konjugovana sa WIKINIUM\_MATH\_PH\_334 u odnosu na WIKINIUM\_MATH\_PH\_336 . Ta tačka je jedinstvena ako i samo ako WIKINIUM\_MATH\_PH\_338 nije središte duži WIKINIUM\_MATH\_PH\_340 .

Neka je data tačka WIKINIUM\_MATH\_PH\_342 koja nije na konusnom presjeku. Ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_344 proizvoljna prava koja prolazi kroz WIKINIUM\_MATH\_PH\_346 koja konusni presjek siječe u 2 razlicite tačke WIKINIUM\_MATH\_PH\_348 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_350 tako da WIKINIUM\_MATH\_PH\_352 nije središte duži WIKINIUM\_MATH\_PH\_354 , označimo sa WIKINIUM\_MATH\_PH\_356 o tačku prave WIKINIUM\_MATH\_PH\_358
koja je konjugovana sa WIKINIUM\_MATH\_PH\_360 u odnosu na par WIKINIUM\_MATH\_PH\_362 . Za WIKINIUM\_MATH\_PH\_364 se kaže da je (harmonijski) konjugovana
sa WIKINIUM\_MATH\_PH\_366 u odnosu na dati konusni presjek.

Postoji jedinstvena prava koja sadrži sve takve tačke WIKINIUM\_MATH\_PH\_368 konjugovane sa WIKINIUM\_MATH\_PH\_370 u odnosu na dati konusni presjek,
za sve onakve prave WIKINIUM\_MATH\_PH\_372 . Ta prava se naziva **polara** za pol (ili sa polom) WIKINIUM\_MATH\_PH\_374 . Tačka WIKINIUM\_MATH\_PH\_376 je **pol** te polare.

## Nalaženje elemenata konusnih presjeka

Ako je jednačina konusnog presjeka WIKINIUM\_MATH\_PH\_378 data koeficientima:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_380 onda

Jednačina tangente u tački { WIKINIUM\_MATH\_PH\_382 } sa tog konusnog presjeka je:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_384

Jednačina polare sa polom WIKINIUM\_MATH\_PH\_386

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_388

Jednačina dijametra konjugovanog sa (neasimptotskom) pravom određenom vektorom { WIKINIUM\_MATH\_PH\_390 }
je:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_392

Jednačina asimptote u (asimptotskoj) pravoj određenoj vektorom {{ WIKINIUM\_MATH\_PH\_394 }

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_396

Tačka { WIKINIUM\_MATH\_PH\_398 } je centar (simetrije) konusnog presjeka ako i samo ako zadovoljava:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_400

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_402

Kod elipse i hiperbole pravac { WIKINIUM\_MATH\_PH\_404 } bilo koje od osa zadovoljava:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_406

Iz ove jednačine se dobijaju prave osa (kao njena nenula rješenja) a ose su dijametri konjugovani s tim pravama pa im se jednačine nalaze kao u (3).

Kod parabole rješenja { WIKINIUM\_MATH\_PH\_408 } WIKINIUM\_MATH\_PH\_410
jednačine (2) daju prave ose i pravu normalnu na nju.

Prava ose parabole (tj. njena asimptotska prava) je prava određena onim od vektora

{ WIKINIUM\_MATH\_PH\_412 } ili { WIKINIUM\_MATH\_PH\_414 } koji nije { WIKINIUM\_MATH\_PH\_416 }.

Zato se osa kod parabole nalazi kao dijametar koji je konjugovan sa pravom određenom vektorom { WIKINIUM\_MATH\_PH\_418 } ili { WIKINIUM\_MATH\_PH\_420 } koji nije { WIKINIUM\_MATH\_PH\_422 } (bar jedan od njih nije { WIKINIUM\_MATH\_PH\_424 }
jer bi u suprotnom bilo WIKINIUM\_MATH\_PH\_426 ).

## Dio kvadratne forme

Jednačina

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_428

se može napisati u obliku

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_430 .

Dakle, koniku možemo predstaviti kao presjek grafika kvadratne forme WIKINIUM\_MATH\_PH\_432 i ravni WIKINIUM\_MATH\_PH\_434 .

## Ekscentricitet izražen preko parametara kvadratne forme

Kada je konika zapisana algebarski kao:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_436

ekscentricitet se može zapisati kao funkcija prarametara kvadratne jednačine.

Ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_438 , konika je parabola i njen ekscentricitet je jednak 1. U suprotnom slučaju, uzimajući u obzir da jednačina predstavlja hiperbolu ili neimaginarnu elipsu, eksentricitet je dat sa:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_440

gdje je WIKINIUM\_MATH\_PH\_442 ako je determinanta matrice 3x3

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_444 negativna, a WIKINIUM\_MATH\_PH\_446 ako je ta determinanta pozitivna.

## Invarijante konika

Trag i determinanta WIKINIUM\_MATH\_PH\_448
u invarijante u odnosu na rotaciju oko koordinatnih osa i translaciju ravni.

## Degenerisani konusni presjeci

* tačka
* prava
* 2 prave

Degerisanim slučajem smatramo presjek ravni i konusa koji sadrži tjeme konusa. To mogu biti:

* tačka, kada je ugao između ravni i ose konusa veći od ugla između ose i izvodnice konusa (i manji od WIKINIUM\_MATH\_PH\_450
* ugao između ose i izvodnice konusa)
* prava, kada je ugao izmedju ravni i ose konusa isti kao ugao između ose i izvodnice konusa
* dvije prave koje se sijeku, kada je ugao između ravni i ose konusa manji od ugla između ose i izvodnice konusa.

## Konike u drugim oblastima

## Kosi hitac

Kretanje tijela koje se ispaljuje sa visine WIKINIUM\_MATH\_PH\_452 , sa pocetnom brzinom WIKINIUM\_MATH\_PH\_454 i pod uglom WIKINIUM\_MATH\_PH\_456 u odnosu na tlo, kosi hitac, a putanja koju tijelo opisuje ovim kretanjem je parabola. Primjetimo da, ako zanemarimo otpor vazduha, osim početnih uslova, na tijelo će djelovati i gravitaciono polje.

### Kretanja tijela Sunčevog sistema

Prvi Keplerov zakon kaže da se tijela Sunčevog sistema kreću oko Sunca po konici u čijoj se žiži nalazi Sunce. Večina planeta se kreće po približno kružnoj putanji, zato sto im je ekscentricitet blizak nuli (Zemljin 0.0167, a Jupiterov 0.0488). Interesantno je da Halejeva kometa ima ekscentricitet blizak jedinici (oko 0.995).

### Radio antene (u astronomiji)

*
* Odbijanje zraka od reflektor

Radio antene se oslanjaju na optčke osobine konika. Radio talas, zbog velike talasne dužine, nije jednostavno detektovati, pa se zbog toga koriste paraboloidne antene, u čijoj se žiži nalazi prijemnik. Zbog velikih udaljenosti svi zraci koji padnu na površ su približno paralelni i odbiće se tačno u prijemnik (žižu paraboloida)

### Eliptički sto za bilijar

*

Eliptički sto za bilijar koristi optičke osobine elipse. Ako bi se izveo udarac bez spina sa bijele tačke, u bilo kom pravcu, kugla bi ušla u rupu. Ta osobina stola se dobija time što se tačka sa koje se izvodi udarac i rupa nalaze u žižama elipse.

## Izvori

* Conic Section
* Can You Really Derive Conic Formulae from a Cone?
* OCCURRENCE OF THE CONICS
* conics
* Konusni presjeci
* RASPADNUTE (DEGENERIRANE) KONIKE REALNE PROJEKTIVNE RAVNINE
* KLASIFIKACIJA KONIKA REALNE PROJEKTIVNE RAVNINE(prema vrsti sjecišta s beskonačno dalekim pravcem)
* Konike kao presjeci stožaca i valjaka 2. stepena
* Akopyan, A.V. and Zaslavsky, A.A. (2007). *Geometry of Conics*. American Mathematical Society. str. 134. ISBN 0821843230.
* Derivations of Conic Sectionsat
* Conic sections at Special plane curves.
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_458
* Determinants and Conic Section Curves
* Occurrence of the conics. Conics in nature and elsewhere.
* Conics Arhivirano 2007-10-06 na Wayback Machine-u. An essay on conics and how they are generated.
* See Conic Sections at cut-the-knot for a sharp proof that any finite conic section is an ellipse and Xah Lee for a similar treatment of other conics.
* Cone-plane intersection Arhivirano 2012-02-24 na Wayback Machine-u MATLAB code
* Eight Point Conic Arhivirano 2009-10-25 na Wayback Machine-u at Dynamic Geometry Sketches Arhivirano 2009-03-21 na Wayback Machine-u
* An interactive Java conics grapher; uses a general second-order implicit equation. Arhivirano 2009-10-25 na Wayback Machine-u