# Teorija skupova

**Teorija skupova** je matematička teorija dobro definisanih kolekcija objekata koje zovemo skupovima. Ovi objekti se zovu elementi skupa. Čista teorija skupova je ona teorija u kojoj su elementi skupa opet skupovi. Srž teorije skupova je proučavanje beskonačnih skupova. U teoriji skupova skupovi su dati aksiomatski, tj njihovo postojanje i osnovna svojstva su data odgovarajućim formalnim aksiomama. Formalni jezik čiste teorije skupova dopuštaju da se formalizuju svi matematički pojmovi. Na taj način teorija skupova postaje standardna osnova matematike pošto svaki matematički objekt može da se vidi kao skup i svaka teorema matematike može logički biti izvedena predikatskim računom iz aksioma teorije skupova.

Oba aspekta teorije skupova, kao matematičke nauke o beskonačnom i kao osnove matematike, imaju svoje filozofsko značenje. Da bi se mogao u potpunosti razumeti ovaj članak, potrebno je prvo ovladati Osnovama teorije skupova

## Ishodišta

Ocem teorije skupova, kao posebne matematičke discipline, se smatra Georg Kantor (Georg Cantor). Njegovo fundamentalno otkriće je bilo da je skup realnih brojeva neprebrojiv tj. i pored toga da su skupovi prirodnih i realnih brojeva beskonačni, više je realnih brojeva nego prirodnih što je dovelo do zaključka da postoje različite vrednosti beskonačnosti.

Prema Kantoru dva skupa WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 su iste veličine, tj. kardinalnosti, ako se elementi skupa WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 mogu 1-u-1 preslikati u elemente skupa WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 . Na taj način skupovi WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 prirodnih i realnih WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 brojeva imaju različite kardinalnosti. Time je Kantor definisao njegovu hipotezu kontinuuma koja tvrdi da svaki beskonačni skup realnih brojeva je ili prebrojiv ili nije tj. ima kardinalnost skupa WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 , ili kardinalnost skupa WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 . Do danas, Kantorova hipoteza kontinuuma niti je oborena niti dokazana. Pokušaji da se ova hipoteza dokaže doveli su do saznanja da se sama hipoteza ne može niti dokazati niti oboriti na osnovi postojeće aksiomatike moderne teorije skupova.

Naivno shvatanje da skup mora da ima uvek neko svojstvo ili karakteristiku dovelo je do otkrića Raselovog (Bertrand Russell) paradoksa (koji je pre Rasela bio poznat Cermelou (Ernst Zermelo)) koji glasi

*Neka je dato svojstvo skupova po kome skupovi nisu elementi samih sebe. Ako ovo svojstvo definiše skup, nazovimo ga skup WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 , tada je WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 element samoga sebe ako nije element samoga sebe*.
Na taj način neke kolekcije kao što su kolekcija svih skupova, kolekcija svih ordinalnih brojeva, kolekcija svih kardinalnih brojeva, nisu skupovi. Ovakve kolekcije se zovu prave klase.

Da bi se izbegli paradoksi i dobila čvrsta osnova teorije, teorija skupova je aksiomatizovana. Prvu aksiomatizaciju teorije je dao Cermelo koji je izbegao Raselov paradoks aksiomom razdvajanja koja kvantificira svojstva skupa preko tvrdnje drugog reda. Skolem (Thoralf Skolem) i Frenkel (Abraham Fraenkel) su aksiomu razdvajanja formalizovali formulama prvog reda a zatim uveli aksiomu zamene koja je bila nužna da bi se podupro razvoj teorije transfinitnih ordinala i kardinala. Dalji rad u cilju poboljšanja Cermelove teorije je bio na dokazivanju osnovnih činjenica teorije skupova kao što je tvrdnja da se svaki skup sadrži u nekom tranzitivnom skupu, tj. skupu koji sadrži sve elemente sopstvenih elemenata. Fon Nojman (John von Neumann) je dodao aksiomu osnove čime je stvoren standardni aksiomatički sistem teorije skupova koji se zove Cermelo-Frenkel aksiome sa aksiomom izbora.

## Aksiome teorije skupova

U ovoj sekciji izložićemo, u kratkim crtama, Cermelo-Frenkel aksiome sa aksiomom izbora (CFI). Cela aksiomatika se može izložena u logici prvog reda sa samo jednom binarnom relacijom pripadnosti WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 . Ovde odstupamo od tog pravila kako bi tekst članka bio čitljiviji onom ko se prvi put susreće sa ovom teorijom.

* Aksioma proširenja: Dva skupa WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 su jednaki ako imaju iste elemente.
* Aksioma praznog skupa: Skup koji nema elemente zove se prazan skup i označava sa WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 .
* Aksioma para: Ako su dati skupovi WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 , tada postoji skup WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 koji sadrži samo WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 kao svoje elemente. Postoji takođe skup WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 čiji je jedan jedini element skup WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 .
* Aksioma partitivnog skupa: Za svaki skup WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 postoji skup WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 koji se zove partitivni skup skupa WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 čiji su elementi svi podskupovi skupa WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 .
* Aksioma unije: Za svaki skup WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 postoji skup WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 koji se zove unija skupa WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 a čiji su elementi elementi skupa WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 .
* Aksioma beskonačnosti: Postoji beskonačan skup, tj. postoji skup WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 koji sadrži WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 i takav da ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 tada je WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 .
* Aksioma razdvajanja: Za svaki skup WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 i svako dato svojstvo skupa postoji skup koji sadrži elemente skupa WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 koji imaju pomenuto svojstvo skupa. Svojstvo skupa je definisano formulom WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 u logici prvog reda. Na taj je način aksiom razdvajanja u suštini aksiom šema tj. beskonačna lista aksioma, gde je svaka aksioma data formulom WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 .
* Aksioma zamene: Za svaku funkciju koja se može definisati na skupu WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 kao svom domenu postoji skup čiji su elementi sve vrednosti ove funkcije. Zamena je takođe aksioma šema jer su funkcije definisane formulama.
* Aksioma osnove: Svaki neprazni skup WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 sadrži neki WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 -minimalni element tj.element koji ne sadrži ni jedan drugi element skupa WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 .
* Aksioma izbora: Za svaki skup WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 uzajamno disjunktnih nepraznih skupova postoji skup koji sadrži tačno jedan element iz svakog skupa koji pripada skupu WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 .

Problemi i sumnje u valjanost ove aksiome potiču od činjenice da aksioma tvrdi da postoje skupovi koji ne mogu biti eksplicitno definisani. Ove sumnje su uklonjene Gedelovim (Kurt Gödel) dokazom da je aksioma izbora saglasna sa ostalim Cermelo-Frenkel aksiomama. Aksioma izbora je ekvivalentna principu dobre uređenosti koji tvrdi da svaki skup može da se dobro uredi tj. svaki skup može da se linearno uredi tako da svaki njegov neprazan podskup ima neki minimalni element.

U teoriji skupova se pored simbola WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 koriste pomoćni simboli podskupa WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 , unije WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 , preseka WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 , uređenog para WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 i Dekartovog proizvoda WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 koji nisu nužni. Detaljnije o ovim pomoćnim simbolima vidi u Osnove teorije skupova,

## Teorija transfinitnih ordinala i kardinala

Cermelo-Frenkelove aksiome (CF) zajedno sa aksiomom izbora mogu se koristiti pri razvoju Kantorove teorije transfinitnih (tj. beskonačnih) tipova uređenja: ordinala i kardinala.

Prvi ordinalni broj je WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 . Ako je dat ordinal WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 , onda je njegov neposredni sledbenik WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 definisan kao skup WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 . Ako je dat neprazan skup WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 ordinala takav da je za svako WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 njegov sledbenik WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 takođe u WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 , može se dobiti granični ordinal WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 . Lako se pokazuje da je svaki ordinal strogo dobro uređen preko relacije WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 , tj. linearno je uređen preko WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 i ne postoji beskonačno WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 -opadajući niz. Svaki dobro uređeni skup je izomorfan nekom jedinstvenom ordinalu koji se zove tip uređenja.

Operacije sabiranja i množenja prirodnih brojeva se mogu proširiti na ordinale. Ordinal WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 je tip uređenja dobrog uređenja koje se dobija spajanjem dobro uređenog skupa tipa uređenja WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 i dobro uređenog skupa tipa uređenja WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 . Niz ordinala dobro uređenih po WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 , je

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_130
Ordinali zadovoljavaju princip transfinitne indukcije: pretpostavimo da je WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 klasa ordinala takva da kad god WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 sadrži sve ordinale WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 koji su manji od nekog ordinala WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 , tada je WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 takođe u WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 . Na taj način klasa WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 sadrži sve ordinale. Koristeći transfinitnu indukciju može se u CFI (za šta je potrebna i aksioma zamene) dokazati princip transfinitne rekurzije koji kaže da ako je data klasa-funkcija koja se može definisati WIKINIUM\_MATH\_PH\_146 , onda se može definisati klasa-funkcija WIKINIUM\_MATH\_PH\_148 takva da WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 je vrednost funkcije WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 primenjene na funkciju WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 koja je ograničena na WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 . Transfinitna rekurzija se koristi, na primer, da se definišu aritmetičke operacije sabiranja, množenja i eksponenta na ordinalima.

Bilo koji beskonačni skup je prebrojiv ako se može 1-u-1 preslikati u WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 , tj. koji je bijetivan sa WIKINIUM\_MATH\_PH\_160 . Svi ordinali koje smo spomenuli gore su ili konačni ili prebrojivi. Skup svih konačnih i prebrojivih ordinala je takođe ordinal, označen sa WIKINIUM\_MATH\_PH\_162 , koji nije prebrojiv. Na isti način skup svih ordinala koji su bijektivni sa nekim ordinalom koji je manji od ordinala WIKINIUM\_MATH\_PH\_164 je takođe ordinal, označen sa WIKINIUM\_MATH\_PH\_166 , i koji nije bijektivan sa WIKINIUM\_MATH\_PH\_168 , itd.

Kardinal se definiše kao ordinal koji nije bijektivan sa nekim manjim ordinalom. Time je svaki konačni ordinal i kardinal. Beskonačni kardinali se zapisuju slovom alef ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_170 ) i indeksiraju ordinalima.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_172
Za svaki kardinal postoji veći kardinal i granica rastućeg niza kardinala je opet kardinal. Klasa svih kardinala nije skup nego prava klasa.

Beskonačni kardinal WIKINIUM\_MATH\_PH\_174 je regularan ako nije unija manje od WIKINIUM\_MATH\_PH\_176 manjih kardinala. WIKINIUM\_MATH\_PH\_178 je regularni kardinal kao i svi njegovi beskonačni sledbenici kardinali kao što je WIKINIUM\_MATH\_PH\_180 . Ne-regularni beskonačni kardinal se zove singularni kardinal. Prvi singularni kardinal je WIKINIUM\_MATH\_PH\_182 i unija je prebrojivo mnogo manjih kardinala, tj. WIKINIUM\_MATH\_PH\_184 .

Kofinalnost kardinala WIKINIUM\_MATH\_PH\_186 , u oznaci WIKINIUM\_MATH\_PH\_188 , je najmanji kardinal WIKINIUM\_MATH\_PH\_190 takav da je WIKINIUM\_MATH\_PH\_192 unija WIKINIUM\_MATH\_PH\_194 -mnogo manjih ordinala, tj. WIKINIUM\_MATH\_PH\_196 .

Po aksiomi izbora svaki skup WIKINIUM\_MATH\_PH\_198 se može dobro urediti, tj. bijektvan je sa nekim jedinstvenim kardinalom koji se zove kardinalnost skupa WIKINIUM\_MATH\_PH\_200 . Suma WIKINIUM\_MATH\_PH\_202 dvaju kardinala WIKINIUM\_MATH\_PH\_204 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_206 se definiše kao kardinalnost skupa koji je unija bilo koja dva disjunktna skupa gde je kardinalnost jednoga WIKINIUM\_MATH\_PH\_208 a drugoga WIKINIUM\_MATH\_PH\_210 . Proizvod WIKINIUM\_MATH\_PH\_212 se definiše kao kardinalnost Dekartovog proizvoda WIKINIUM\_MATH\_PH\_214 . Operacije sume i proizvoda dvaju beskonačnih kardinala WIKINIUM\_MATH\_PH\_216 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_218 se definišu kao WIKINIUM\_MATH\_PH\_220 .

Eksponent kardinala je izuzetno kompleksan problem pa ćemo ga izostaviti.

## Univerzum WIKINIUM\_MATH\_PH\_222 svih skupova

CF aksiome, sa izuzetkom aksiome proširljivosti, služe pri gradnji kumulativne hijerarhije skupova. Koristeći transfinitnu rekurziju definišemo klasu-funkciju koja koja dodeljuje svakom ordinalu WIKINIUM\_MATH\_PH\_224 skup WIKINIUM\_MATH\_PH\_226 na sledeći način:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_228
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_230
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_232 kad god je WIKINIUM\_MATH\_PH\_234 granični ordinal.
Aksioma partitivnog skupa se koristi da se od WIKINIUM\_MATH\_PH\_236 dobije WIKINIUM\_MATH\_PH\_238 . Aksiome zamene i unije se koriste da se dobije WIKINIUM\_MATH\_PH\_240 za WIKINIUM\_MATH\_PH\_242 granični ordinal. Aksioma beskonačnosti se koristi da se dokaže postojanje WIKINIUM\_MATH\_PH\_244 a time i transfinitni niz ordinala. Aksioma osnove, uz pretpostavku važenja ostalih aksioma, je ekvivalentna tvrdnji da svaki skup pripada nekom WIKINIUM\_MATH\_PH\_246 za neki ordinal WIKINIUM\_MATH\_PH\_248 . Na taj način CF dokazuje da teoretski univerzalni skup, označen sa WIKINIUM\_MATH\_PH\_250 , je unija svih WIKINIUM\_MATH\_PH\_252 , gde je WIKINIUM\_MATH\_PH\_254 neki ordinal.

Prava klasa WIKINIUM\_MATH\_PH\_256 , zajedno sa relacijom WIKINIUM\_MATH\_PH\_258 , zadovoljava sve CFI aksiome a je time i jedan model CFI. CFI nije kompletan opis što ćemo upravo pokazati.

Dokazano i značajno svojstvo WIKINIUM\_MATH\_PH\_260 koje se može dokazati pomoću CFI je takozvani princip refleksije. Za svaku formulu WIKINIUM\_MATH\_PH\_262 CFI dokazuje da postoji neki ordinal WIKINIUM\_MATH\_PH\_264 takav da ga WIKINIUM\_MATH\_PH\_266 reflektuje, tj za svaki WIKINIUM\_MATH\_PH\_268

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_270 važi u WIKINIUM\_MATH\_PH\_272 ako i samo ako WIKINIUM\_MATH\_PH\_274 ) važi u WIKINIUM\_MATH\_PH\_276
Otud WIKINIUM\_MATH\_PH\_278 se ne može opisati nekom rečenicom, pošto bilo koja rečenica koja važi u WIKINIUM\_MATH\_PH\_280 mora da takođe važi u nekom inicijalnom segmentu od WIKINIUM\_MATH\_PH\_282 . Otud dolazimo do zaključka da CFI nije finalno aksiomatizovana jer bi u protivnom CFI dokazala da, za neograničeno mnogo ordinala WIKINIUM\_MATH\_PH\_284 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_286 je neki model CFI, što protivreči drugoj Gedelovoj teoremi.

Princip refleksije je suština CF teorije skupova pošto je ovaj princip ekvivalentan aksiomama beskonačnosti i zamene uz važenje ostalih CF aksioma.

## Teorija skupova kao osnova matematike

Cela matematika se može formalizovati unutar CFI što znači da je moguće samu matematiku proučavati matematički. Svakom pitanju o postojanju nekog matematičkog objekta ili mogućnosti dokazivanja neke pretpostavke ili hipoteze može se dati precizna matematička formulacija. Pitanje o mogućnosti dokaza neke matematičke tvrdnje postaje smisleno matematičko pitanje. Kad je već reč o nerešenom matematičkom problemu ili dilemi ima smisla da se upitamo da li je moguće rešiti ih unutar formalnog CFI sistema. Odgovor može ne biti ni da ni ne jer je CFI nekompletan sistem. Navedimo nekoliko primera gde je moguće formalizovati matematičke objekte unutar CFI. Skup prirodnih brojeva se može identfikovati sa konačnim ordinalima, tj. WIKINIUM\_MATH\_PH\_288 . Skup celih brojeva WIKINIUM\_MATH\_PH\_290 može da se definiše kao skup klasa ekvivalencije parova prirodnih brojeva gde je relacija ekvivalencije WIKINIUM\_MATH\_PH\_292 ako i samo ako WIKINIUM\_MATH\_PH\_294 . Ako se svaki prirodni broj WIKINIUM\_MATH\_PH\_296 identifikuje sa klasom ekvivalencije para WIKINIUM\_MATH\_PH\_298 onda se operacije sume i proizvoda prirodnih brojeva mogu prirodno proširiti na skup celih brojeva WIKINIUM\_MATH\_PH\_300 . Skup racionalnih brojeva WIKINIUM\_MATH\_PH\_302 se može da definiše kao skup klasa ekvivalencije parova WIKINIUM\_MATH\_PH\_304 celih brojeva pri čemu je WIKINIUM\_MATH\_PH\_306 i pri relaciji ekvivalencije WIKINIUM\_MATH\_PH\_308 ako i samo ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_310 . Operacije sume i proizvoda na WIKINIUM\_MATH\_PH\_312 mogu se prirodno proširiti na WIKINIUM\_MATH\_PH\_314 . Poredak WIKINIUM\_MATH\_PH\_316 na skupu racionalnih brojeva je definisan sa: WIKINIUM\_MATH\_PH\_318 ako i samo ako postoji WIKINIUM\_MATH\_PH\_320 takvo da je WIKINIUM\_MATH\_PH\_322 . Realni brojevi se mogu definisati kao Dedekindovi preseci u WIKINIUM\_MATH\_PH\_324 , tj. realni broj je dat parom WIKINIUM\_MATH\_PH\_326 dvaju disjunktnih nepraznih skupova takvih da je WIKINIUM\_MATH\_PH\_328 , i WIKINIUM\_MATH\_PH\_330 za svako WIKINIUM\_MATH\_PH\_332 i WIKINIUM\_MATH\_PH\_334 . Opreacije sume, proizvoda i uređenosti WIKINIUM\_MATH\_PH\_336 na WIKINIUM\_MATH\_PH\_338 , se mogu proširiti na skup realnih brojeva WIKINIUM\_MATH\_PH\_340 .

CFI model je par WIKINIUM\_MATH\_PH\_342 gde je WIKINIUM\_MATH\_PH\_344 neprazan skup a WIKINIUM\_MATH\_PH\_346 je binarna relacija na WIKINIUM\_MATH\_PH\_348 takva da su sve CFI aksiome istinite ako se interpretiraju u WIKINIUM\_MATH\_PH\_350 . Na taj način ako je WIKINIUM\_MATH\_PH\_352 neka tvrdnja u teoriji skupova onda se može naći neki CFI model za koji je tvrdnja WIKINIUM\_MATH\_PH\_354 važeća, tada se negacija WIKINIUM\_MATH\_PH\_356 ne može dokazati u CFI. Ako se može naći model za WIKINIUM\_MATH\_PH\_358 i model za WIKINIUM\_MATH\_PH\_360 , tada se WIKINIUM\_MATH\_PH\_362 ne može dokazati niti oboriti u CFI. U tom se slučaju kaže da je WIKINIUM\_MATH\_PH\_364 nezavisna od CFI. Gedelova teorema kompletnosti logike prvog reda kaže da je CFI konsistentna aksiomatika ako se može naći CFI model. Kosistentnost ovde znači da CFI aksiome nisu protivrečne jedna drugoj.

Gedelove teoreme nekompletnosti pokazuju da bilo koji formalni sistem u matematici koji ima smisla je obavezno nekompletan. Ako je CFI konsistentan onda u CFI postoje tvrdnje koje su nezavisne od CFI. Gedelova druga teorema nekompletnosti dokazuje da formala aritmetička tvrdnja CON(CFI) koja pokazuje da je CFI konsistentan sistem ne može biti dokazana u CFI kao što ne može biti dokazana njena negacija, tj. CON(CFI) je nezavisna od CFI.

Ako je CFI konsistentan, tada nije moguće dokazati postojanje CFI modela jer bi u suprotnom bilo moguće da se u CFI dokaže konistentnost samog CFI. Na taj način je dokaz konsistentnosti ili nezavisnosti neke tvrdnje WIKINIUM\_MATH\_PH\_366 uvek dokaz relativne konsistentnosti, tj. ako se pretpostavi da je CFI konsistentan onda CFI ima model a time se može konstruisati drugi model za koju je tvrdnja WIKINIUM\_MATH\_PH\_368 istinita.

Lebeg (Henri Léon Lebesgue) je uveo pojam mere skupa kao apstrakciju dužine za skupove na realnoj pravoj. CFI pokazuje da postoje skupovi koji nemaju Lebegovu meru što praktično znači da za verovatnoću na realnim brojevima postoje događaji bez verovatnoće i da se svaki događaj može umetnuti između dva događaja bez verovatnoće. Da li i koje posledice ova činjenica ima u naukama koje se bave realnim svetom, niko još nije razmišljao.

## Povezano

* Teorija skupova kontinuuma

## Literatura

* Godehard Link (editor): One Hundred Years of Russell's Paradox: Mathematics, Logic, Philosophy, Walter de Gruyter, Berlin-New York 2004
* Aleksandar Perović, Aleksandar Jovanović, Boban Veličković: Teorija skupova, ISBN 978-86-7589-058-4, Matematički fakultet, Beograd
* Andras Hajnal, Peter Hamburger: Set Theory, Cambridge University Press, Nov 11, 1999

## Vanjske veze

* Stanford Encyclopedia of Philosophy Archive/Set Theory