# علم رياضيات

**رياضيات** (mathematics)، مطالعي جو شعبو، جيڪو تجرباتي سائنسن ۽ پاڻ رياضيات جي ضرورتن لاء طريقن (Methods)، نظرين (Theories) ۽ مسلمات (Theorems)، جيڪا ترقي يافته ۽ ثابت ڪيا ويا آهن، کي دريافت ۽ منظم ڪري ٿو. رياضيات جا ڪيترائي شعبا آهن، جن ۾ نمبر ٿيوري (انگن جو مطالعو)، الجبرا (فارمولن ۽ لاڳاپيل ساختن جو مطالعو)، جاميٽري (شڪلن ۽ اسپيس جنهن ۾ اها آهن، جو مطالعو)، ڪيلکولس (مسلسل تبديلين جو مطالعو) ۽ سيٽ ٿيوري (جيڪا هن وقت سڀني رياضيات لاءِ بنياد جي طور تي استعمال ڪئي ويندي آهي)، شامل آهن.

رياضيات ۾ تجريدي شين، جيڪي يا ته فطرت کان تجريد آهن يا جديد رياضيات ۾ خالص تجريدي شيون جنهن کي ڪجهه خاص خاصيتن لاءِ مقرر ڪيو ويو آهي، جنهن کي محور (axiom) سڏيو ويندو آهي، جي وضاحت ۽ ڦيرڦار شامل آهي. رياضيات شين جي خاصيتن کي ثابت ڪرڻ لاءِ خالص منطق ۽ دليل، هڪ ثبوت جيڪو اڳ ۾ ئي قائم ڪيل نتيجن لاءِ ڪٽائيندڙ ضابطن (deductive rules) جي اطلاق جي تسلسل تي مشتمل آهي، استعمال ڪري ٿي. انهن نتيجن ۾، اڳ ۾ ثابت ٿيل نظريا، محور، ۽ فطرت کان تجريد جي صورت ۾، ڪجهه بنيادي خاصيتون جيڪيون غور هيٺ نظريي لاء صحيح شروعاتي نقطا سمجهيا وڃن ٿا.

رياضيات فطري سائنس، انجنيئرنگ، طب، فنانس، ڪمپيوٽر سائنس ۽ سماجي سائنس جي ضرورت آهي. جيتوڻيڪ رياضيات کي وڏي پيماني تي ماڊلنگ رجحان لاء استعمال ڪيو ويندو آهي. رياضيات جي بنيادي حقيقتون ڪنهن به سائنسي تجربن کان آزاد آهن. رياضيات جا ڪجهه علائقا، جهڙوڪ شماريات ۽ گيم جو نظريو (Game Theory)، انهن جي اطلاقن سان ويجهي لاڳاپي ۾ ترقي ڪيو آهي ۽ اڪثر ڪري لاڳو ڪيل رياضيات جي تحت گروپ ٿيل آهن. ٻيا علائقا ڪنهن به اطلاق جي بغير، آزاديء سان ترقي ڪيا آهن (۽ انهي ڪري، انهن کي خالص رياضيات سڏيو ويندو آهي) پر اڪثر بعد ۾ عملي اطلاق ڳوليندا آهن.

* حسابي رياضي
* آلجبرا
* جاميٽري
* ڪيلڪيولس
* انگن جو نظريو
* شماريات

## تفصيل

**رياضيات** (Mathematics) جو لفظ رياضت مان بڻيو آهي جنهنجو مطلب، سکڻ يا مشق ڪرڻ يا پڙهڻ ٿيندو آهي. رياضي جو علم اصل ۾، انگن جي استعمال جي ذريعي مقدارن جي خاصيتن ۽ ان جي وچ ۾ تعلقن جي تحقيق ۽ مطالعي کي چيو وڃي ٿو، ان کان علاوه ان ۾ ڍانچن، شڪلن ۽ تبدلات سان لاڳاپيل بحث بہ ڪيو وڃي ٿو. ھن علم جي باري ۾ گمان غالب آھي تہ ھن جي ابتدا يا ارتقاء دراصل ڳڻڻ (شمار ڪرڻ)، پئمائش ڪرڻ ۽ شين جي شڪلن ۽ حرڪتن جو مطالعو ڪرڻ جھڙن بنيادي عملن جي تجريد (abstraction) ۽ منطقي استدلال (logical reasoning) جي ذريعي ٿي.

رياضي دان، انھن تصورن ۽ فڪرن جي جيڪي مٿي ڏنل آھن، ڇنڊ ڇاڻ ڪندا آھن ۽ انھن سان لاڳاپيل بحث ڪندا آھن. ان جو مقصد نئين گمان ڪيل خيالن (conjecture) جي لاءِ صيغا (formula) اخذ ڪرڻ ھوندو آھي ۽ پوءِ احتياط سان چونڊيل مسلمات (axioms)، تعريفن ۽ قاعدن جي مدد سان رياضي جي اخذ ڪيل صيغن کي درست ثابت ڪرڻ آھي.

بنيادي قسم جي رياضي جي معلومات جو استعمال قديم زماني کان ئي مشھور آھي ۽ قديم مصر، بين النهرين ۽ قديم هندستان جي تھذيبن ۾ ان جا آثار ملن ٿا (ڏسو: رياضي جي تاريخ). اڄ دنيا ڀر ۾ علم رياضي سائنس، انجنيئرنگ، طب ۽ معاشيات سميت تمام علمي شعبن ۾ استعمال ڪيو پيو وڃي ۽ انھن اھم شعبن ۾ استعمال ٿيڻ واري رياضي کي عموماََ اطلاقي رياضي چيو وڃي ٿو تہ انھن شعبن تي رياضي جو نفاذ ڪري ۽ رياضي جي مدد وٺي ڪري نہ صرف نئين رياضياتي پھلوئن جي دريافت جا رستا کلجي وجهڻ ٿا، بلڪه، ڪڏهن ڪڏهن، رياضي ۽ ٻين شعبن جي انضمام يا ميلاپ سان، علم جا مڪمل طور تي نئين شعبي جي وجود ۾ اچڻ جا مثال موجود آهن.

تاريخي طور تي، ثبوت جو تصور ۽ ان سان لاڳاپيل رياضياتي سختي پهريون ڀيرو يوناني رياضي ۾ ظاهر ٿيو، خاص طور تي اقليدس (Euclide) جي عنصرن ۾. ان جي شروعات کان وٺي، رياضي کي بنيادي طور تي جاميٽري ۽ رياضي ۾ ورهايو ويو (قدرتي انگن ۽ جزن جي ڦيرڦار)، 16هين ۽ 17هين صدي تائين، جڏهن الجبرا ۽ ڪيلکولس کي نئين شعبن طور متعارف ڪرايو ويو. ان وقت کان وٺي، رياضياتي جدت ۽ سائنسي دريافتن جي وچ ۾ رابطي ٻنهي جي ترقي ۾ لاڳاپا اضافو ٿي چڪو آهي. 19هين صدي جي آخر ۾، رياضي جو بنيادي بحران محوري طريقي جي سسٽمائيزيشن جو سبب بڻيو، جنهن ۾ رياضياتي علائقن جي تعداد ۽ انهن جي استعمال جي شعبن ۾ هڪ ڊرامائي واڌ جو اعلان ڪيو. همعصر رياضيات جي مضمونن جي درجه بندي رياضي جي سٺ کان وڌيڪ پهرين-سطح جي علائقن کي لسٽ ڪري ٿي.

## نالو

انگريزي ٻولي ۾ به ميٿميٽڪس (mathematics) جو لفظ يوناني ٻولي جي لفظ، ميٿيما (mathema) مان ماخوذ ڪيل آهي جنهن جو مطلب سکڻ يا پڙهڻ آهي.

## رياضي جا ميدان

رينائسنس کان اڳ، رياضي ٻن مکيه علائقن ۾ ورهايل هئي: رياضي، انگن جي ڦيرڦار جي حوالي سان ۽ جاميٽري، شڪلن جي مطالعي جي حوالي سان. ڪوڙي سائنس جا ڪي قسم، جهڙوڪ علم اعداد (Numerology) ۽ علم نجوم، ان وقت رياضي کان واضح طور تي فرق نه ڪيو ويو.

ريناسنس دوران، ٻه وڌيڪ علائقا ظاهر ٿيا. رياضياتي اشارا الجبرا جو سبب بڻيو، جيڪو تقريبن فارمولن جي مطالعي ۽ ڦيرڦار تي مشتمل آهي. ڳڻپيوڪر (Caculus)، ٻن ذيلي شعبن تي مشتمل آهي فرق واري (Differential) ۽ انٽيگرل ڳڻپيوڪر (Integral Calculus) مسلسل ڪمن جو مطالعو آهي، جيڪي مختلف مقدارن جي وچ ۾ عام طور تي غير لڪيري لاڳاپن کي ماڊل ڪن ٿا، جيئن متغيرن مقدارن جي نمائندگي، متغير طور ڪن ٿا. هيءَ تقسيم چئن مکيه علائقن؛ رياضي، جاميٽري، الجبرا ۽ ڳڻپيوڪر، 19هين صدي جي آخر تائين برقرار رهي. فلڪياتي ميڪانڪس ۽ سولڊ ميڪنڪس جهڙا علائقا ان وقت رياضي دان پڙهندا هئا، پر هاڻي انهن کي فزڪس سان لاڳاپيل سمجهيو وڃي ٿو.ڪمبينيٽرونڪس (combinatorics) جو موضوع گهڻو ڪري رڪارڊ ٿيل تاريخن لاءِ مطالعو ڪيو ويو آهي، پر سترهين صديءَ تائين رياضي جي الڳ شاخ نه بڻجي سگهيو.

19هين صدي جي آخر ۾، رياضي ۾ بنيادي بحران ۽ نتيجي ۾ محوري طريقي جي سسٽمائيزيشن رياضي جي نئين علائقن جي ڌماڪي جو سبب بڻيو. سال 2020ع جي رياضي جي مضمون جي درجه بندي ۾ 63 کان گهٽ نه پهرين سطح وارا علائقا شامل آهن. انهن علائقن مان ڪجهه پراڻن ڀاڱن سان ملندڙ جلندڙ آهن، جيئن انگن جو نظريو (اعليٰ رياضي جو جديد نالو) ۽ جاميٽري. پهرين سطح جي ٻين ڪيترن ئي علائقن جي نالن ۾ لفظ، ”جاميٽري“ شامل آهي يا ٻي صورت ۾ عام طور تي جاميٽري جو حصو سمجهيا وڃن ٿا. الجبرا ۽ ڳڻپيوڪر پهرين سطح جي علائقن جي طور تي ظاهر نه ٿيندا آهن پر ترتيب سان ڪيترن ئي پهرين سطح جي علائقن ۾ ورهايل آهن. 20هين صدي عيسويءَ دوران ٻيا پھرين سطح جا علائقا، جھڙوڪ رياضياتي منطق ۽ بنياد، اُڀريا يا اڳي انھن کي رياضي طور نه سمجھيو ويو ھو.

### انگن جو نظريو

اصل مضمون جي لاءِ ڏسوانڱن جو نظريو
هي الم اسپائرل آهي، جيڪو بنيادي نمبرن جي تقسيم کي بيان ڪري ٿو. اسپائرل ۾ ڳاڙهي ڊاريون لائينون نظرياتي اندازي مطابق، پرائم هجڻ ۽ ڪوڊراٽڪ پولينوميل جي قدر هجڻ جي وچ ۾، آزاديءَ تي اشارو ڪن ٿيون، هڪ اندازو جيڪا هاڻي هارڊي ۽ لٽل ووڊ جو ڪانجيڪٽر F سان سڃاڻو ويندو آهي.
انگن جو نظريو انگن جي ڦيرڦار سان شروع ٿيو، يعني قدرتي انگ (N) ۽ بعد ۾ انٽيجرز (Z) ۽ منطقي انگ (Q) تائين وڌايو ويو. انگ جي نظريي کي ڪنهن زماني ۾ رياضي سڏيو ويندو هو، پر اڄڪلهه اهو اصطلاح اڪثر ڪري عددي حسابن لاءِ استعمال ٿيندو آهي. انگن جو نظريو قديم بابل ۽ شايد چين ڏانهن واپس اچي ٿو. ٻه نمايان ابتدائي نمبر جا نظريا دان قديم يونان جو اقليدس (Euclid) ۽ اسڪندريا، مصر جو ڊيوفانتس هئا. انڱن جي نظريي جو جديد مطالعو ان جي تجريدي شڪل ۾ گهڻو ڪري پيئري ڊي فرمٽ ۽ ليون هارڊ ايولر ڏانهن منسوب ڪيو ويو آهي. ائڊرين-ميري ليجنڊري ۽ ڪارل فريڊرخ گاس جي مدد سان فيلڊ مڪمل طور تي ڪامياب ٿيو.

ڪيتريون ئي آساني سان بيان ڪيل انگن اکرن جا مسئلن جا حل آهن جنھن کي، اڪثر ڪري رياضي کان نفيس طريقن جي ضرورت هونديون آهن. هڪ نمايان مثال فرمٽ جو آخري ٿيورم آهي. اهو اندازو 1637ع ۾ پيئر ڊي فرمٽ پاران بيان ڪيو ويو هو، پر اهو 1994ع ۾ اينڊريو وائلز طرفان ثابت ڪيو ويو، جنهن اسڪيم جي نظريي کان وٺي الجبرڪ جاميٽري، ڪيٽيگري ٿيوري ۽ هومولوجيڪل الجبرا جا اوزار استعمال ڪيا. ٻيو مثال گولڊباخ جو اندازو آهي، جنهن ۾ اهو ثابت ڪري ٿو ته 2 کان وڏو هر انٽيجر ٻن بنيادي انگن جو مجموعو آهي. 1742ع ۾ ڪرسچن گولڊباخ پاران بيان ڪيو ويو، اهو اندازو ڪافي ڪوشش جي باوجود اڃا تائين ثابت نه ٿي سگهيو آهي.

انگن جي نظريي ۾ ڪيترائي ذيلي علائقا، جن ۾ تجزياتي نمبر جو نظريو، الجبري نمبر جو نظريو، انگن جي جاميٽري (طريقه مبني)، ڊيوفانٽائن مساواتون ۽ عبوري نظريو (پرابلم اورينٽيڊ) شامل آھن.

### جاميٽري

اصل مضمون جي لاءِ ڏسوجاميٽري
هڪ گولي جي مٿاڇري تي، اقليدس جي جاميٽري صرف مقامي تقريبن جي طور تي لاڳو ٿئي ٿي. وڏي پيماني لاءِ ٽڪنڊي جي زاوين جو مجموعو °180 جي برابر نا هوندو هي.
جاميٽري رياضي جي قديم ترين شاخن مان هڪ آهي. ان جي شروعات تجرباتي شين سان ٿي جيڪا شڪلين جي حوالي سان ٿي، جيئن ته لائينون، زاويا ۽ دائرا، جيڪي خاص طور تي سروي ۽ فن تعمير جي ضرورتن لاءِ ٺاهيا ويا، پر ان کان پوءِ ڪيترن ئي ٻين ذيلي شعبن ۾ ترقي ڪري چڪو آهي. هڪ بنيادي جدت هئي قديم يونانين پاران ثبوتن جي تصور جو تعارف، جنهن جي ضرورت آهي ته هر دعوي کي ثابت ڪيو وڃي. مثال طور، ماپ جي ذريعي تصديق ڪرڻ ڪافي ناهي ته، چئو، ٻه ڊگھيون برابر آهن؛ انهن جي برابري کي ثابت ٿيڻ گهرجي استدلال جي ذريعي اڳوڻي قبول ٿيل نتيجن (نظريات) ۽ ڪجهه بنيادي بيانن مان. بنيادي بيان ثبوت جي تابع نه آهن ڇو ته اهي خود واضح آهن (موضوعات)، يا مطالعي جي موضوع جي تعريف جو حصو آهن (محور). هي اصول، سڀني رياضيات لاءِ بنيادي، پهريون ڀيرو جاميٽري لاءِ وضاحت ڪئي وئي هئي، ۽ 300 ق. نتيجي ۾ نڪرندڙ ايڪليڊين جاميٽري شڪلين جو مطالعو آهي ۽ انهن جي ترتيبن کي اڪيليڊن جهاز (جهاز جي جاميٽري) ۽ ٽي-dimensional Euclidean اسپيس ۾ لائينن، جهازن ۽ دائرن مان ٺهيل آهي. Euclidean جاميٽري 17 صدي عيسويء تائين طريقن يا دائري ۾ تبديلي جي بغير ترقي ڪئي وئي، جڏهن ريني ڊيڪارٽ متعارف ڪرايو جنهن کي هاڻي ڪارٽسين ڪوآرڊينيٽ سڏيو ويندو آهي. هن پيراڊم جي هڪ وڏي تبديلي کي قائم ڪيو: حقيقي انگن کي لڪير جي حصن جي ڊيگهه جي طور تي بيان ڪرڻ جي بدران، اهو انهن جي همراهن کي استعمال ڪندي پوائنٽن جي نمائندگي ڪرڻ جي اجازت ڏني، جيڪي انگ آهن. الجبرا (۽ بعد ۾، حساب ڪتاب) اهڙيء طرح جاميٽري مسئلن کي حل ڪرڻ لاء استعمال ڪري سگهجي ٿو.

is one of the oldest branches of mathematics. It started with empirical recipes concerning shapes, such as lines, angles and circles, which were developed mainly for the needs of surveying and architecture, but has since blossomed out into many other subfields.

A fundamental innovation was the ancient Greeks' introduction of the concept of proofs, which require that every assertion must be *proved*. For example, it is not sufficient to verify by measurement that, say, two lengths are equal; their equality must be proven via reasoning from previously accepted results (theorems) and a few basic statements. The basic statements are not subject to proof because they are self-evident (postulates), or are part of the definition of the subject of study (axioms). This principle, foundational for all mathematics, was first elaborated for geometry, and was systematized by Euclid around 300 BC in his book *Elements*.

The resulting Euclidean geometry is the study of shapes and their arrangements constructed from lines, planes and circles in the Euclidean plane (plane geometry) and the three-dimensional Euclidean space.

Euclidean geometry was developed without change of methods or scope until the 17th century, when René Descartes introduced what is now called Cartesian coordinates. This constituted a major change of paradigm: Instead of defining real numbers as lengths of line segments (see number line), it allowed the representation of points using their *coordinates*, which are numbers. Algebra (and later, calculus) can thus be used to solve geometrical problems. Geometry was split into two new subfields: synthetic geometry, which uses purely geometrical methods, and analytic geometry, which uses coordinates systemically.

Analytic geometry allows the study of curves unrelated to circles and lines. Such curves can be defined as the graph of functions, the study of which led to differential geometry. They can also be defined as implicit equations, often polynomial equations (which spawned algebraic geometry). Analytic geometry also makes it possible to consider Euclidean spaces of higher than three dimensions.

In the 19th century, mathematicians discovered non-Euclidean geometries, which do not follow the parallel postulate. By questioning that postulate's truth, this discovery has been viewed as joining Russell's paradox in revealing the foundational crisis of mathematics. This aspect of the crisis was solved by systematizing the axiomatic method, and adopting that the truth of the chosen axioms is not a mathematical problem. In turn, the axiomatic method allows for the study of various geometries obtained either by changing the axioms or by considering properties that do not change under specific transformations of the space.

Today's subareas of geometry include:

* Projective geometry, introduced in the 16th century by Girard Desargues, extends Euclidean geometry by adding points at infinity at which parallel lines intersect. This simplifies many aspects of classical geometry by unifying the treatments for intersecting and parallel lines.
* Affine geometry, the study of properties relative to parallelism and independent from the concept of length.
* Differential geometry, the study of curves, surfaces, and their generalizations, which are defined using differentiable functions.
* Manifold theory, the study of shapes that are not necessarily embedded in a larger space.
* Riemannian geometry, the study of distance properties in curved spaces.
* Algebraic geometry, the study of curves, surfaces, and their generalizations, which are defined using polynomials.
* Topology, the study of properties that are kept under continuous deformations.
	+ Algebraic topology, the use in topology of algebraic methods, mainly homological algebra.
* Discrete geometry, the study of finite configurations in geometry.
* Convex geometry, the study of convex sets, which takes its importance from its applications in optimization.
* Complex geometry, the geometry obtained by replacing real numbers with complex numbers.

### Algebra

اصل مضمون جي لاءِ ڏسوAlgebra
The quadratic formula, which concisely expresses the solutions of all quadratic equations The Rubik's Cube group is a concrete application of group theory.
Algebra is the art of manipulating equations and formulas. Diophantus (3rd century) and al-Khwarizmi (9th century) were the two main precursors of algebra. Diophantus solved some equations involving unknown natural numbers by deducing new relations until he obtained the solution. Al-Khwarizmi introduced systematic methods for transforming equations, such as moving a term from one side of an equation into the other side. The term *algebra* is derived from the Arabic word *al-jabr* meaning 'the reunion of broken parts' that he used for naming one of these methods in the title of his main treatise.

Algebra became an area in its own right only with François Viète (1540–1603), who introduced the use of variables for representing unknown or unspecified numbers. Variables allow mathematicians to describe the operations that have to be done on the numbers represented using mathematical formulas.

Until the 19th century, algebra consisted mainly of the study of linear equations (presently *linear algebra*), and polynomial equations in a single unknown, which were called *algebraic equations* (a term still in use, although it may be ambiguous). During the 19th century, mathematicians began to use variables to represent things other than numbers (such as matrices, modular integers, and geometric transformations), on which generalizations of arithmetic operations are often valid. The concept of algebraic structure addresses this, consisting of a set whose elements are unspecified, of operations acting on the elements of the set, and rules that these operations must follow. The scope of algebra thus grew to include the study of algebraic structures. This object of algebra was called *modern algebra* or abstract algebra, as established by the influence and works of Emmy Noether.

Some types of algebraic structures have useful and often fundamental properties, in many areas of mathematics. Their study became autonomous parts of algebra, and include:

* group theory;
* field theory;
* vector spaces, whose study is essentially the same as linear algebra;
* ring theory;
* commutative algebra, which is the study of commutative rings, includes the study of polynomials, and is a foundational part of algebraic geometry;
* homological algebra;
* Lie algebra and Lie group theory;
* Boolean algebra, which is widely used for the study of the logical structure of computers.

The study of types of algebraic structures as mathematical objects is the purpose of universal algebra and category theory. The latter applies to every mathematical structure (not only algebraic ones). At its origin, it was introduced, together with homological algebra for allowing the algebraic study of non-algebraic objects such as topological spaces; this particular area of application is called algebraic topology.

### Calculus and analysis

اصل مضمون/مضمونن جي لاءِ ڏسوCalculus**۽** Mathematical analysis
A Cauchy sequence consists of elements such that all subsequent terms of a term become arbitrarily close to each other as the sequence progresses (from left to right).
Calculus, formerly called infinitesimal calculus, was introduced independently and simultaneously by 17th-century mathematicians Newton and Leibniz. It is fundamentally the study of the relationship of variables that depend on each other. Calculus was expanded in the 18th century by Euler with the introduction of the concept of a function and many other results. Presently, "calculus" refers mainly to the elementary part of this theory, and "analysis" is commonly used for advanced parts.

Analysis is further subdivided into real analysis, where variables represent real numbers, and complex analysis, where variables represent complex numbers. Analysis includes many subareas shared by other areas of mathematics which include:

* Multivariable calculus
* Functional analysis, where variables represent varying functions;
* Integration, measure theory and potential theory, all strongly related with probability theory on a continuum;
* Ordinary differential equations;
* Partial differential equations;
* Numerical analysis, mainly devoted to the computation on computers of solutions of ordinary and partial differential equations that arise in many applications.

### Discrete mathematics

اصل مضمون جي لاءِ ڏسوDiscrete mathematics
A diagram representing a two-state Markov chain. The states are represented by 'A' and 'E'. The numbers are the probability of flipping the state.
Discrete mathematics, broadly speaking, is the study of individual, countable mathematical objects. An example is the set of all integers. Because the objects of study here are discrete, the methods of calculus and mathematical analysis do not directly apply. Algorithmsسانچو:Emdashespecially their implementation and computational complexityسانچو:Emdashplay a major role in discrete mathematics.

The four color theorem and optimal sphere packing were two major problems of discrete mathematics solved in the second half of the 20th century. The P versus NP problem, which remains open to this day, is also important for discrete mathematics, since its solution would potentially impact a large number of computationally difficult problems.

Discrete mathematics includes:

* Combinatorics, the art of enumerating mathematical objects that satisfy some given constraints. Originally, these objects were elements or subsets of a given set; this has been extended to various objects, which establishes a strong link between combinatorics and other parts of discrete mathematics. For example, discrete geometry includes counting configurations of geometric shapes
* Graph theory and hypergraphs
* Coding theory, including error correcting codes and a part of cryptography
* Matroid theory
* Discrete geometry
* Discrete probability distributions
* Game theory (although continuous games are also studied, most common games, such as chess and poker are discrete)
* Discrete optimization, including combinatorial optimization, integer programming, constraint programming

### Mathematical logic and set theory

اصل مضمون/مضمونن جي لاءِ ڏسوMathematical logic**۽** Set theory
The Venn diagram is a commonly used method to illustrate the relations between sets.
The two subjects of mathematical logic and set theory have belonged to mathematics since the end of the 19th century. Before this period, sets were not considered to be mathematical objects, and logic, although used for mathematical proofs, belonged to philosophy and was not specifically studied by mathematicians.

Before Cantor's study of infinite sets, mathematicians were reluctant to consider actually infinite collections, and considered infinity to be the result of endless enumeration. Cantor's work offended many mathematicians not only by considering actually infinite sets but by showing that this implies different sizes of infinity, per Cantor's diagonal argument. This led to the controversy over Cantor's set theory. In the same period, various areas of mathematics concluded the former intuitive definitions of the basic mathematical objects were insufficient for ensuring mathematical rigour.

This became the foundational crisis of mathematics. It was eventually solved in mainstream mathematics by systematizing the axiomatic method inside a formalized set theory. Roughly speaking, each mathematical object is defined by the set of all similar objects and the properties that these objects must have. For example, in Peano arithmetic, the natural numbers are defined by "zero is a number", "each number has a unique successor", "each number but zero has a unique predecessor", and some rules of reasoning. This mathematical abstraction from reality is embodied in the modern philosophy of formalism, as founded by David Hilbert around 1910.

The "nature" of the objects defined this way is a philosophical problem that mathematicians leave to philosophers, even if many mathematicians have opinions on this nature, and use their opinionسانچو:Emdashsometimes called "intuition"سانچو:Emdashto guide their study and proofs. The approach allows considering "logics" (that is, sets of allowed deducing rules), theorems, proofs, etc. as mathematical objects, and to prove theorems about them. For example, Gödel's incompleteness theorems assert, roughly speaking that, in every consistent formal system that contains the natural numbers, there are theorems that are true (that is provable in a stronger system), but not provable inside the system. This approach to the foundations of mathematics was challenged during the first half of the 20th century by mathematicians led by Brouwer, who promoted intuitionistic logic, which explicitly lacks the law of excluded middle.

These problems and debates led to a wide expansion of mathematical logic, with subareas such as model theory (modeling some logical theories inside other theories), proof theory, type theory, computability theory and computational complexity theory. Although these aspects of mathematical logic were introduced before the rise of computers, their use in compiler design, formal verification, program analysis, proof assistants and other aspects of computer science, contributed in turn to the expansion of these logical theories.

### شماريات ۽ ٻيا فيصلي جي سائنسون

اصل مضمون/مضمونن جي لاءِ ڏسوشماريات**۽** امڪان جو نظريو
بي ترتيب آباديءَ جي ورڇ (μ) جو جيڪو به روپ هجي، نمونن جو مطلب (x̄) گاس جي ورهائڻ (Gaussian distribution) ڏانهن هوندو آهي ۽ ان جو ويرينس (σ) امڪاني نظريي جي مرڪزي حد ٿيوريم طرفان ڏنو ويندو آهي.
شماريات (انگن اکرن) جو ميدان هڪ رياضياتي ايپليڪيشن آهي جيڪو ڊيٽا جي نمونن جي گڏ ڪرڻ ۽ پروسيسنگ لاء، رياضياتي طريقن جي بنياد تي، خاص طور تي امڪاني نظريي جو طريقيڪار استعمال ڪندي استعمال ڪيو ويندو آهي. شماريات جا ماهر بي ترتيب نموني يا بي ترتيب ڪيل تجربن سان ڊيٽا ٺاهيندا آهن.

شمارياتي نظريو مطالعي جي فيصلي جي مسئلن جهڙوڪ شمارياتي عمل جي خطري (متوقع نقصان) کي گھٽائڻ، جهڙوڪ طريقيڪار استعمال ڪندي، مثال طور، پيٽرولر تخميني، فرضي جاچ ۽ بهترين چونڊيو. رياضياتي انگن اکرن جي انهن روايتي علائقن ۾، هڪ شمارياتي-فيصلو وارو مسئلو هڪ مقصدي فنڪشن کي گھٽائڻ، جهڙوڪ متوقع نقصان يا قيمت، مخصوص رڪاوٽن جي تحت ٺاهيو ويندو آهي. مثال طور، هڪ سروي کي ڊزائين ڪرڻ ۾ اڪثر ڪري آبادي جو اندازو لڳائڻ جي قيمت کي گھٽائڻ شامل آهي مطلب هڪ ڏنل سطح جي اعتماد سان. ان جي اصلاح جي استعمال جي ڪري، انگن اکرن جو رياضياتي نظريو ٻين فيصلن جي سائنسن، جهڙوڪ آپريشن ريسرچ، ڪنٽرول ٿيوري، ۽ رياضياتي معاشيات سان اوورليپ ٿئي ٿو.

Statistical theory studies

decision problems such as minimizing the risk (expected loss) of a statistical action, such as using a procedure in, for example, parameter estimation, hypothesis testing, and selecting the best. In these traditional areas of mathematical statistics, a statistical-decision problem is formulated by minimizing an objective function, like expected loss or cost, under specific constraints. For example, designing a survey often involves minimizing the cost of estimating a population mean with a given level of confidence. Because of its use of optimization, the mathematical theory of statistics overlaps with other decision sciences, such as operations research, control theory, and mathematical economics.

### حسابي رياضي

اصل مضمون جي لاءِ ڏسوحسابي رياضي
شمارياتي رياضيات رياضياتي مسئلن جو مطالعو آهي جيڪي عام طور تي انساني، عددي صلاحيت لاء تمام وڏا آهن. عددي تجزيي مطالعي جا طريقا تجزيي ۾ مسئلن لاء فنڪشنل تجزيو ۽ تقريبن نظريي کي استعمال ڪندي؛ انگن اکرن جي تجزيي ۾ وسيع طور تي ۽ خاص ڌيان سان گولن جي غلطين تي، تقريبات جو مطالعو شامل آهي. عددي تجزيي ۽، وڌيڪ وسيع طور تي، سائنسي ڪمپيوٽنگ پڻ رياضياتي سائنس جي غير تجزياتي موضوعن جو مطالعو ڪري ٿو، خاص طور تي الگورٿمڪ-ميٽرڪس-۽-گراف ٿيوري. ڪمپيوٽري رياضي جي ٻين علائقن ۾ ڪمپيوٽر جي الجبرا ۽ علامتي حساب شامل آهن.

## تاريخ

## علامتي اشارا ۽ اصطلاحون

## سائنس سان تعلق

## علم نجوم ۽ باطنيات سان تعلق

## فلسفو

## تربيت ۽ مشق

## ثقافتي اثر

## ايوارڊ ۽ انعامي مسئلا

فيلڊس ميڊل جي سامهون واري پاسي يوناني پولي ميٿ آرشيميدس جي تصوير سان
رياضي ۾ سڀ کان وڌيڪ معزز انعام فيلڊز ميڊل آهي، جيڪو سال 1936ع ۾ قائم ٿيو ۽ هر چئن سالن ۾ (سواءِ عالمي جنگ II جي چوڌاري) چئن ماڻهن تائين ڏنو ويو آهي. اهو نوبل انعام جي رياضياتي برابر سمجهيو ويندو آهي.

ٻين معزز رياضي انعامن ۾ شامل آهن:

\* ايبل انعام، 2002ع ۾ قائم ڪيو ويو ۽ پهريون ڀيرو 2003ع ۾ نوازيو ويو.

\* چرن ميڊل لائف ٽائيم اچيومينٽ سال 2009ع ۾ متعارف ڪرايو ۽ پهريون ڀيرو 2010ع ۾ انعام ڏنو ويو.

* رياضي ۾ وولف انعام، تاحيات حاصلات لاء سال 1970ع ۾ قائم ڪيو ويو. سال 1978ع ليروئي پي. اسٽيلي کي انعام کان نوازيو ويو.

23 کليل مسئلن جي هڪ مشهور فهرست، جنهن کي "هلبرٽ جا مسئلا" سڏيو ويندو آهي، جرمن رياضي دان ڊيوڊ هيلبرٽ سال 1900ع ۾ مرتب ڪيو هو. ھن لسٽ رياضي دانن جي وچ ۾ وڏي شهرت حاصل ڪئي آھي ۽ گھٽ ۾ گھٽ تيرھن مسئلا (انحصار ڪن ٿا ته ڪھڙي ريت بيان ڪيا ويا آھن) حل ڪيا ويا آھن. ستن اهم مسئلن جي هڪ نئين فهرست، جنهن جو عنوان آهي "ملينيم پرائز پرابلمس"، سال 2000ع ۾ شايع ڪيو ويو. انهن مان صرف هڪ، ريمن جي نظريي، هيلبرٽ جي مسئلن مان هڪ کي نقل ڪري ٿو. انهن مان ڪنهن به مسئلي جو حل هڪ ملين ڊالر جو انعام آهي. اڄ تائين، انهن مسئلن مان صرف هڪ، "پوائنڪيري جو اندازو"، روسي رياضي دان گريگوري پيرلمين طرفان حل ڪيو ويو آهي.

most prestigious award in mathematics is the Fields Medal, established in 1936 and awarded every four years (except around World War II) to up to four individuals. It is considered the mathematical equivalent of the Nobel Prize.

Other prestigious mathematics awards include:

* The Abel Prize, instituted in 2002 and first awarded in 2003
* The Chern Medal for lifetime achievement, introduced in 2009 and first awarded in 2010
* The AMS Leroy P. Steele Prize, awarded since 1970
* The Wolf Prize in Mathematics, also for lifetime achievement, instituted in 1978

A famous list of 23 open problems, called "Hilbert's problems", was compiled in 1900 by German mathematician David Hilbert. This list has achieved great celebrity among mathematicians, and at least thirteen of the problems (depending how some are interpreted) have been solved.

A new list of seven important problems, titled the "Millennium Prize Problems", was published in 2000. Only one of them, the Riemann hypothesis, duplicates one of Hilbert's problems. A solution to any of these problems carries a 1 million dollar reward. To date, only one of these problems, the Poincaré conjecture, has been solved by the Russian mathematician Grigori Perelman.

## پڻ ڏسو

* رياضي جي تاريخ
* رياضياتي اصطلاحن جي فهرست
* رياضي دانن جي فهرست
* رياضي جي مضمونن جي فهرست
* رياضياتي مستقل
* رياضياتي سائنس
* رياضي ۽ فن
* رياضي جي تعليم
* رياضي جو فلسفو
* رياضي ۽ فزڪس جي وچ ۾ تعلق
* سائنس، ٽيڪنالاجي، انجنيئرنگ ۽ رياضي

## خارجي ڳنڍڻا

* Benson, Donald C. (1999). *The Moment of Proof: Mathematical Epiphanies*. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-513919-8.
* Davis, Philip J.; Hersh, Reuben (1999). *The Mathematical Experience* (Reprint ڇاپو). Boston; New York: Mariner Books. ISBN 978-0-395-92968-1. Available online (registration required).
* Courant, Richard; Robbins, Herbert (1996). *What Is Mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods* (2nd ڇاپو). New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-510519-3.
* Gullberg, Jan (1997). *Mathematics: From the Birth of Numbers*. W.W. Norton & Company. ISBN 978-0-393-04002-9.
* Hazewinkel, Michiel, مرتب (2000). *Encyclopaedia of Mathematics*. Kluwer Academic Publishers. – A translated and expanded version of a Soviet mathematics encyclopedia, in ten volumes. Also in paperback and on CD-ROM, and online. آرڪائيو ڪيا ويا August 6, 2024, حوالو موجود آهي وي بيڪ مشين..
* Hodgkin, Luke Howard (2005). *A History of Mathematics: From Mesopotamia to Modernity*. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-152383-0.
* Jourdain, Philip E. B. (2003). "The Nature of Mathematics". ۾ James R. Newman (مرتب). *The World of Mathematics*. Dover Publications. ISBN 978-0-486-43268-7.
* Pappas, Theoni (1986). *The Joy Of Mathematics*. San Carlos, California: Wide World Publishing. ISBN 978-0-933174-65-8.
* Waltershausen, Wolfgang Sartorius von (1965) [1856]. *Gauss zum Gedächtniss*. Sändig Reprint Verlag H. R. Wohlwend. ISBN 978-3-253-01702-5.

سانچو:Areas of mathematics

## حوالا

حوالي جي چڪ: "lower-alpha" نالي جي حوالن جي لاءِ ٽيگ `<ref>` آهن، پر لاڳاپيل ٽيگ `<references group="lower-alpha"/>` نہ مليو