# Sinu (matemàtica)

Artìculu in LSC

Dadu unu triàngulu rettàngolu, su sinu de un'àngulu agudu est definidu comente a su raportu intre sas longàrias de su catetu opostu a s'àngulu e de s'ipotenusa
In matemàtica, in piessigna in trigonometria, dadu unu triàngulu retàngulu su **sinu** (dae su latinu *sinus-i*, bortadura de su arabu *jaib*, trasliteratzione de su sanscritu *jiva*) de unu de sos duos àngulos internos bighinos a s'ipotenusa est definidu comente a su raportu intre sas longàrias de su catetu opostu a s'àngulu e de s'ipotenusa.

Prus in generale su sinu de un'àngulu WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 , espressadu in grados o radiantes, est una cantidade chi dipendet petzi dae WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 , fata impreende sa circonferèntzia unitària. WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 Defininde comente a WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 su sinu in s'àngulu WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 s'otenet sa **funtzione sinu**, una funtzione trigonomètrica de fundamentale importu in s'anàlisi matemàtica. WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20

## Definitzione

In su triàngulu ruju in figura, su sinu de

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26

Prus in generale si definit su sinu de un'àngulu WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 partinde dae sa circonferèntzia goniomètrica, overas dae sa circonferentzia de raju unitàriu in su pranu cartesianu. Pigada sa semireta essinte dae s'orìgine chi format un'àngulu  WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 cun s'assas de sas ascisse comente a in figura, su sinu de s'àngulu est tando definidu comente a su balore de sa coordinada WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 de su puntu de intersetzione tra sa semiretta e sa circonferenza (in figura, est sa longària de su tretu WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 ). WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 Su domìniu de sa funtzione sinu est s'ammenta de sos nùmeros reales, mentras su codomìniu est su discansu reale WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 , est a nàrrere aplichende tale funtzione a cale si siat nùmeru reale, s'otenet semper unu nùmeru reale incluidu intre WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 e WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 , estremos inclùdidos.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58

Sa tabella sighente elencat sos printzipales balores notèvoles assuntos dae sa funtzione sinu:

|  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 in radiantes | 0 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_62  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_64  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_66  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_68  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_70  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_72  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 in grados | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 180° | 270° | 360° |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_76  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_78  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_80  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_82  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_84  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_86  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_88  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_90  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_92  |

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 In sos testos de matemàtica su sinu de WIKINIUM\_MATH\_PH\_146 est a parusu indicadu cun sa notatzione WIKINIUM\_MATH\_PH\_148 o WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 , ue WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 est un' abbreviatzione de su latinu sinus impreada fintzas in sos paisos de limba inglesa. WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 WIKINIUM\_MATH\_PH\_160 Esistet una àtera definitzione de sinu chi si collega a sas rotatziones: su sinu de un'àngulu WIKINIUM\_MATH\_PH\_162 est su cumponente longu s'assas de sas ordinadas de su versore WIKINIUM\_MATH\_PH\_164 , versore de s'assas de sas ascisse, giradu de WIKINIUM\_MATH\_PH\_166 . WIKINIUM\_MATH\_PH\_168 WIKINIUM\_MATH\_PH\_170 WIKINIUM\_MATH\_PH\_172

## Funtzione sinu

Sa funtzione sinu est definida assotziende ad WIKINIUM\_MATH\_PH\_174 su sinu de s'àngulu WIKINIUM\_MATH\_PH\_176 in radianties, e nd'est indicada comente WIKINIUM\_MATH\_PH\_178 . Sigomente WIKINIUM\_MATH\_PH\_180 e WIKINIUM\_MATH\_PH\_182 definint su matessi àngulu, sa funtzione sinu est una funtzione periòdica de perìodu WIKINIUM\_MATH\_PH\_184 , ue WIKINIUM\_MATH\_PH\_186 è l'àngulu ziru. WIKINIUM\_MATH\_PH\_188 WIKINIUM\_MATH\_PH\_190 WIKINIUM\_MATH\_PH\_192 WIKINIUM\_MATH\_PH\_194 WIKINIUM\_MATH\_PH\_196 WIKINIUM\_MATH\_PH\_198 WIKINIUM\_MATH\_PH\_200 WIKINIUM\_MATH\_PH\_202

Rapresentatzione gràfica de sa funtzione sinu
Disinnu *y* = sin(x) impreende su chircu trigonometrico unitàriu.
## Sinu e cosinu

Intre sinu e cosinu esistit sa relatzione fundamentale: WIKINIUM\_MATH\_PH\_204 WIKINIUM\_MATH\_PH\_206

chi est cunsighèntzia de su teorema de Pitàgora. Defatis in su triàngulu WIKINIUM\_MATH\_PH\_208 de sa figura a subra, su cosinu de WIKINIUM\_MATH\_PH\_210 est definidu comente WIKINIUM\_MATH\_PH\_212 WIKINIUM\_MATH\_PH\_214 WIKINIUM\_MATH\_PH\_216 WIKINIUM\_MATH\_PH\_218 WIKINIUM\_MATH\_PH\_220

Dae s'àtera banda, su terema de Pitàgora aplicadu a su triàngulu WIKINIUM\_MATH\_PH\_222 furnit sa relatzione WIKINIUM\_MATH\_PH\_224 WIKINIUM\_MATH\_PH\_226 WIKINIUM\_MATH\_PH\_228 WIKINIUM\_MATH\_PH\_230 WIKINIUM\_MATH\_PH\_232 WIKINIUM\_MATH\_PH\_234

e tando WIKINIUM\_MATH\_PH\_236 WIKINIUM\_MATH\_PH\_238

Balet fintzas sa relatzione:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_240 WIKINIUM\_MATH\_PH\_242 Comente pro su cosinu, sa cosecante de un'àngulu est WIKINIUM\_MATH\_PH\_244 divididu pro su sinu de s'àngulu WIKINIUM\_MATH\_PH\_246

## Propiedades analìticas de sa funtzione sinu

Sa funtzione sinu (biaitu) e sa sua aprossimatzione dada dae su polinòmiu de Taylor de 7º gradu (bascu).
Sa derivada de sa funtzione sinu est sa funtzione cosinu: WIKINIUM\_MATH\_PH\_248 WIKINIUM\_MATH\_PH\_250

Sa derivada segunda est imbetzes WIKINIUM\_MATH\_PH\_252 WIKINIUM\_MATH\_PH\_254

Sa funtzione sinu est una funtzione analìtica, sa cale "isparghidura" in sèrie de Taylor est WIKINIUM\_MATH\_PH\_256 WIKINIUM\_MATH\_PH\_258

In anàlisi matemàtica custa agualidade est s'ispissu impreada pro definire su sinu. Sa matessi sèrias definit su sinu comente a funtzione olomorfa subra totu su pranu complessu.

## Ecuatziones fundamentales relativas a su sinu

Sighint unas cantas ecuatziones fundamentale chi riguardat sa funtzione sinu:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_260

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_262 WIKINIUM\_MATH\_PH\_264 WIKINIUM\_MATH\_PH\_266 WIKINIUM\_MATH\_PH\_268 WIKINIUM\_MATH\_PH\_270

cun s'annanta de sa cunditzione chi: WIKINIUM\_MATH\_PH\_272 WIKINIUM\_MATH\_PH\_274

Esistet fintzas un' identidade trigonometrica chi ponet in relatzione sa funtzione sinu a sa funtzione tangente:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_276

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_278
Custa identidade si rivelat de fundamentale importu in sa risolutzione de ecuatziones goniomètricas in sas cales s'incògnita figuret comente a argumentu siat de unu sinu siat de unu cosinu o de funtziones derivadas de custas. Esistet difatis un'anàloga identidade pro cantu riguardat su coseno e s'impreu parente de custas duas identidades permitet sa risolutzione de s'ecuatzione in s'incògnita WIKINIUM\_MATH\_PH\_280 . WIKINIUM\_MATH\_PH\_282

## Definitziones curreladas

Su pari-pari de su sinu, definidu ue su sinu est diferente de zero, est sa cosecante:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_284

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_286
Sa funtzione sinu, restrinta a su discansu WIKINIUM\_MATH\_PH\_288 , est inietiva e tando tenet un'inversa, mutida arcoseno e indicada cun WIKINIUM\_MATH\_PH\_290 o cun WIKINIUM\_MATH\_PH\_292 chi pigat dae sa notatzione de sa funtzione inversa. Pro definitzione si tenet tando: WIKINIUM\_MATH\_PH\_294 WIKINIUM\_MATH\_PH\_296 WIKINIUM\_MATH\_PH\_298 WIKINIUM\_MATH\_PH\_300

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_302 WIKINIUM\_MATH\_PH\_304
## Unas àteras propiedades

De sa fòrmula de Eulero si deduce chi sa funtzione sinu est in relatzione cun sa funtzione esponentziale e cun sa funtzione sinu iperbòlicu. Difatis pro ogni nùmeru reale WIKINIUM\_MATH\_PH\_306 si tenet WIKINIUM\_MATH\_PH\_308 WIKINIUM\_MATH\_PH\_310

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_312 WIKINIUM\_MATH\_PH\_314
Carchi fòrmulas piessignas chi riguardant sa funtzione sinu interessant s'operatzione de produtu.

Pro esempru resurtat pro ogni intreu WIKINIUM\_MATH\_PH\_316

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_318

In anàlisi cumplessa, aplichende su teorema de fatorizatzione de Weierstrass a sa funtzione sinu, faghet a la espressare comente a prodùidu infinitu, mediante sa sighente fòrmula chi balet pro ogni nùmeru complessu WIKINIUM\_MATH\_PH\_320 WIKINIUM\_MATH\_PH\_322 WIKINIUM\_MATH\_PH\_324 WIKINIUM\_MATH\_PH\_326 WIKINIUM\_MATH\_PH\_328 WIKINIUM\_MATH\_PH\_330 WIKINIUM\_MATH\_PH\_332 WIKINIUM\_MATH\_PH\_334

Sa funtzione sinu est fintzas in relatzione cun carchi funtzione ispetziale, comente si podet bìdere, pro esempru, dae sa fòrmula de riflessione de sa funtzione Gama WIKINIUM\_MATH\_PH\_336 WIKINIUM\_MATH\_PH\_338

e de s'ecuatzione funtzionale satisfata dae sa funtzione zeta de Riemann

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_340

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_342
## Istòria e orìgine de su nùmene

Su cuntzetu de sinu est istadu introduidu dae su matemàticu e astrònomu indianu Aryabhata I (in devanāgarī: आर्यभट) in s'òpera sua Aryabhatiya (499).

Su sinu est pro definitzione sa metade de una *corda*, est a nàrrere unu tretu chi unit duos puntos (narados *estremos*) de una circonferenza. In sànscritu, "metade corda" est torradu cun *jya-ardha*, a bias sostituidu cun *ardha-jya* e abbreviadu in jya "corda". Custu tèrmine est istadu importadu in sa limba àraba comente a *jiba*, unu tèrmine sena significadu in antis de tando, ma chi rifletiat sa pronùntzia de su nùmene jya. Segundu sas règulas de sa limba àraba, custu nùmene est bènnidu iscritu cun sas duas cunsonantes *jb*, sena vocales. Posca, cando sos tradutores otzidentales ant oridu a sas fontes àrabas, ant interpretadu sa paràula *jb* comente a *jaib*, su cale significadu fiat "baja".

## Nòdidas

## Boghes curreladas

* Funtzione trigonomètrica
* Sinusòide
* Cosinu
* Tangente (matemàtica)
* Arcosinu
* Circonferentzia goniomètrica
* Fòrmula de Eulero
* Fòrmulas de duplicatzione
* Fòrmulas de bisetzione
* Fòrmulas de prostafèresi
* Fòrmulas de Werner
* Teorema de sos sinos
* Funtzione periòdica
* Funtzione alternada
* Sinu iperbòlicu

## Ligamenes esternos

* Sine -- from Wolfram MathWorld