# کوانٹم فیلڈ تھیوری

سدھانتک بھوتک وگیان وچّ، کوانٹم پھیلڈ تھیوری (QFT) سنگھنے پدارتھ دی بھوتک وگیان وچّ کواسیپارٹیکلز (اچانک گھٹناکرم) اتے پارٹیکل پھجکس وچّ اپّ پرمانو کناں دا کوانٹم مکینیکل نمونہ رچن لئی اک سدھانتک ڈھانچہ ہے۔ اک کوانٹم پھیلڈ تھیوری کناں نوں بھوتکی کھیتر وچّ بنیادی اورجا دیاں درجیوار اوستھاواں دی طرحاں لیندی ہے جس کارن کناں نوں پھیلڈ کوانٹا کیہا جاندا ہے۔

## پریبھاشا

اداہرن وجوں، کوانٹم الیکٹروڈائنامکس (QED) دا اک بجل کھیتر (الیکٹرون پھیلڈ) ہندا ہے اتے اک پھوٹون کھیتر ہندا ہے۔ کوانٹم کروموڈائنامکس (QCD) دی ہریک طرحاں دے کوارک لئی اک-اک کھیتر ہندا ہے اتے سنگھنے پدارتھ وچّ، اک پرمانو ستھانانترن کھیتر ہندا ہے جو پھونون کن پیدا کردی ہے۔ ایڈورڈ وٹن کوانٹم کھیتر سدھانت نوں نوین بھوتک وگیان دے ہن تکّ دے سدھانتاں وچوں سبھ توں اوکھا سدھانت کہندا ہے۔

### ڈائنامکس

کوانٹم کھیتر سدھانت وچّ، کناں درمیان کوانٹم مکینیکل پرسپر کریاواں سنبندھت بنیادی کھیتراں درمیان پرسپر کریاواں دے شبداں راہیں درسایا جاندا ہے۔ کوانٹم کھیتر سدھانت دی شبداولی میکسویلّ دیاں سمیکرناں وچلیاں بجلئی اتے چمبکی کھیتراں والے چارجاں درمیان پرسپر کریاواں دی شبداولی نال ملدی-جلدی ہے۔ پھر وی، میکسویلّ دے سدھانت دے پراتن کھیتراں توں الٹ، کوانٹم کھیتر سدھانت وچلے کھیتر عامَ طور 'تے اوستھاواں دی کوانٹم سپرپجیشن وچّ موجود ہندیاں ہن اتے کوانٹم مکینکس دے نیماں تحت ہندیاں ہن۔

### اوستھاواں

کوانٹم مکینیکل تننتر(سسٹم) وچّ کناں دی سنکھیا ستھر ہندی ہے، جسدے ہریک کن نوں آزادی دا نشچت درجہ حاصل ہندا ہے۔ اس توں الٹ، اک کوانٹم کھیتر سدھانت دیاں اتیجت اوستھاواں کناں دی کوئی وی سنکھیا پیش کر سکدیاں ہن۔ ایہہ گن کوانٹم کھیتر سدھانتاں نوں اجیہے تنتر درساؤن لئی خاص طور 'تے لابھدائک بنا دندا ہے جتھے کن دی گنتی/انک وقت دے نال بدل سکدی ہووے، جو تلناتمک ینتراولی دا نرنائک لچھن ہے۔

کیونکہ سپیس وچّ کھیتر نرنتر ماتراواں ہندیاں ہن، اس لئی اوہناں وچّ کناں دی منچاہی بھاری سنکھیا دیاں اتیجت اوستھاواں موجود ہندیاں ہن، جو کوانٹم کھیتر سدھانت تنتراں نوں اک پربھاوشالی اننت ماترا دی آزادی دا درجہ دندے ہن۔ آزادی دا اننت درجہ (ڈگری) اسانی نال ناپیاں گئی ماتراواں دے وستھار دندا ہے(یانِ کہ ماتراواں اننت بن جاندیاں ہن)۔ کوانٹم کھیتر سدھانت دے ماپدنڈاں دا پنر-سدھارنیکرن (رینورملائیجیشن) جاں سپیس سمیں دے وکھرے-کرن ورگیاں تکنیکاں نوں، جویں لیٹسّ کوانٹم کروموڈائنامیکس وچّ، اجیہے اننتاں توں بچن لئی ورتیا جاندا ہے تاں ہو بھوتکی طور 'تے ارتھ بھرپور نتیجے نکل سکن۔

### پھیلڈاں اتے ریڈیئیشناں

گروتاکرشن پھیلڈ اتے الیکٹرومیگنیٹک پھیلڈ قدرت وچّ پائیاں جان والیاں کیول دو مڈھلیاں پھیلڈاں ہن جہناں دا نشچت دائرہ ہندا ہے اتے اک سبندھت پراتن نمر-اورجا حد ہندی ہے، جو بری طرحاں گھٹ جاندی ہے اتے اپنیاں کن-ورگیاں اتسرجناں (excitations) نوں لکو لیندی ہے۔ 1905 وچّ، آئینسٹائین نے اورجا اتے گتی-ماترا دے انرنتر وٹاندرے اتے ‘کن-ورگے’ ورتارے نوں الیکٹرومیگنیٹک پھیلڈ لئی ‘پھیلڈ کوانٹا’ دا نام دتا۔ مول روپ وچّ، اسدا مکھ منتوَ وکیرن (ریڈیئیشن) دے تاپ-ینتر-وگیان نوں سمجھاؤنا سی۔ بے شکّ کونپٹن سکیٹرنگ (الیکٹرون کارن پھوٹوناں دا ستھر کھنڈاؤ) اتے پھوٹوئلیکٹرک پربھاو زور نال ایہہ سجھاؤندے ہن کہ پھوٹون دی موجودگی، ہن ایہہ سمجھیا جاندا ہے کہ اک کوانٹم الیکٹرومیگنیٹک پھیلڈ لاگوُ کرے بناں سمجھائی جا سکدی ہے: اسلئی، ریڈیئیشن دے کوانٹم سبھاء دا ہور زیادہ نشچت ثبوت ہن نوین کوانٹم درشٹی-وگیانی (optics) وچّ اینٹیباؤنسنگ (برابر کھنڈے پھوٹوناں دا کھیتر) پربھاو وچّ لیا جاندا ہے۔

## تھیوریاں

باقی بچے مڈھلے بل گریوٹی لئی فلحال کوئی سمپورن کوانٹم تھیوری نہیں ہے۔ گریوٹی نوں اک کوانٹم پھیلڈ تھیوری دے طور تے درساؤن والیاں کجھ پرستاوت تھیوریاں اک گریویٹون نامک کن دو موجودگی چتردیاں ہن جو گریویٹیشنل بل دی آواجائی دا سادھن کن ہے۔ شاید، گریویٹیشنل پھیلڈ دے لئی صحیح ہن تکّ دی اگیات کوانٹم پھیلڈ تھیوری نمر-اورجا حد وچّ آئینسٹائین دی جنرل تھیوری عوف ریلیٹیوٹی وانگ ورتاؤ کریگی۔ مڈھلے بلاں دی کوانٹم پھیلڈ تھیوری اپنے آپ وچّ سپرسٹرنگ تھیوری وانگ اک زیادہ مڈھلی تھیوری دی نمر-اورجا پربھاوی پھیلڈ تھیوری دی حد دے روپ وچّ گھڑی گئی ہ

معیاری کن بھوتک وگیان وچّ جیادادر سدھانت کوانٹم پھیلڈ تھیوری دے تلناتمک طور تے بنائے جاندے ہن، جویں کوانٹم الیکٹروڈائنامیکس، کوانٹم کروموڈائنامیکس، اتے سٹینڈرڈ ماڈل۔ کوانٹم الیکٹروڈائنامیکس جو الیکٹرومیگنیٹزم پھیلڈ دی کوانٹم پھیلڈ سدھانتک پرستتی ہے، نمر-اورجا حد وچّ الیکٹروڈائنامیکس دی میکسویلّ تھیوری نوں لگبھگّ دوبارہ گھڑدی ہے جس وچّ واستوک الیکٹرون-پوجیٹرون جوڑیاں کارن لوڑیندی میکسویلّ سمیکرن وچّ چھوٹا جیہا غیر- ریکھک سدھار کیتا گیا ہے۔

کوانٹم پھیلڈ تھیوری دی بے ترتیب کرن والے (پرچربیٹو) درشٹیکون وچّ، سمپورن پھیلڈ پرسپر کریاواں دی شبداولی شامل کناں دی سنکھیا دے اک انومانت وستھار دے طور تے انومانت کیتا جاندا ہے۔ وستھار وچلے ہریک نیم نوں ہور کناں دوارا وچولگری کیتے جا رہے کناں درمیان بلاں دے طور تے سمجھیا جا سکدا ہے۔ کوانٹم الیکٹروڈائنامیکس وچّ، دو الیکٹروناں درمیان الیکٹرومیگنیٹک بل پھوٹوناں دے وٹاندرے راہیں پیدا ہندا ہے۔ اسیتراں، وچولے ویکٹر بوسون کمزور بل دی آواجائی دے سادھن بندے ہن اتے گلوؤن کوانٹم کروموڈائنامیکس وچّ طاقتور بل دی آواجائی دے سادھن بندے ہن۔ بل دی آواجائی دے سادھناں والے کناں دی دھارنا پرچربیشن تھیوری توں ملدی ہے، اتے ایہہ دھارنا بنیاں ہوئیاں اوستھاواں والی کوانٹم پھیلڈ تھیوری تکّ دی غیر- وستھار حد والی پہنچ دے سندربھ وچّ کوئی ارتھ نہیں رکھدی۔

## کوانٹم پھیلڈ تھیوری دا اتہاس

### بنیاداں

اس کھیتر دا شروعاتی وکاس ڈیریک، پھوک، پولی، ہیشنبرگ اتے بوگولیؤبوو نے کیتا۔ ایہہ وکاس 1950ویں دہاکے وچّ کوانٹم الیکٹروڈائنامیکس دی تھیوری دی رچنا نال سماپت ہویا۔

### گیج تھیوری

گیج تھیوری دے پھارمیلے بنائے اتے نردھارت کیتے گئے، جہناں نے اگے چل کے پارٹیکل پھجکس دے سٹینڈرڈ ماڈل وچّ شامل بلاں دے ایکیکرن دی پریرنا دتی۔ ایہہ کوشش 1950 وچّ ینگ اتے ملز دے کم نال شروع ہوئے سن، اتے 1960ویں دہاکے دوران مارٹینس اتے ہوراں دی میزبانی راہیں جاری رہے اتے 1970ویں دہاکے راہیں جیرارڈ’ٹ ہوپھٹ، پھرینک ولکجیک، ڈیوڈ گروس اتے ڈیوڈ پولیٹزر دے کم راہیں سمپورن ہوئے۔

### وشال وشلیشن

سنگھنے پدارتھ دی پھجکس وچّ اوستھا تبدیلیاں دی سمجھ دے سمانتر وکاساں نے پنر-نردھاریکرن سموہ دے ادھٔین نوں جنم دتا۔ اسنے بدلے وچّ سدھانتک بھوتک وگیان دے وشال وشلیشن نوں جنم دتا جسنے کناں اتے سنگھنے پدارتھ دی بھوتک وگیان دیاں تھیوریاں نوں کوانٹم پھیلڈ تھیوری راہیں اک کیتا ۔ اس وچّ 1970ویں دہاکے دوران دا مائیکل پھشر اتے لیو کاڈانوپھ دا کم شامل ہے جسنے کینیتھ جی. ولسن راہیں کوانٹم پھیلڈ تھیوری دے اردھ پنر-نردھارن نوں جنم دتا۔

## پھیلڈ تھیوری سدھانت

### کلاسیکل اتے کوانٹم پھیلڈاں

اک کلاسیکل پھیلڈ سپیس اتے سمیں دے کسے کھیتر تے پربھاشت کیتا گیا اک فنکشن ہندا ہے۔ دو بھوتکی گھٹناکرم جو پراتن پھیلڈاں راہیں درسائے جاندے ہن، نیوٹونیئن گریویٹیشن (نیوٹونیئن گریویٹیشنل پھیلڈ g(x، t) راہیں پرستت)، اتے کلاسیکل الیکٹرومیگنیٹزم (الیکٹرک اتے میگنیٹک پھیلڈ E(x، t) اتے B(x، t) راہیں پرستت ) ہن۔ کیونکہ اجہیاں پھیلڈاں سدھانت وچّ سپیس وچّ ہریک بندو تے وکھرا ملّ لے سکدیاں ہن، ایہناں نوں آزادی دی اننت ڈگری والیاں کیہا جاندا ہے۔

کلاسیکل پھیلڈ تھیوری، پھیر وی، اجیہے بھوتکی گھٹناکرم دے کوانٹم-مکینیکل پہلوآں لئی جمیوار نہیں ہے۔ اداہرن وجوں، کوانٹم مکینکس توں ایہہ جانیا گیا ہے کہ الیکٹرومیگنیٹزم دے کجھ پہلوآں وچّ انرنتر کن پھوٹون شامل ہن- نرنتر پھیلڈاں شامل نہیں ہن۔ کوانٹم پھیلڈ تھیوری دا کم اک پھیلڈ لکھنا ہے جو، کلاسیکل پھیلڈ وانگ، سپیس اتے سمیں تے پربھاشت اک فنکشن ہے، پر کوانٹم مکینکس دے نریکھناں دا جھگڑا وی حلّ کردا ہے۔ ایہی کوانٹم پھیلڈ ہے۔

ایہہ ترنت سپشٹ نہیں ہندا کہ اجیہی کوانٹم پھیلڈ کویں لکھی جاوے، کیونکہ کوانٹم مکینکس دی بنتر پھیلڈ تھیوری وانگ نہیں ہے۔ اسدے سبھ توں زیادہ عامَ فارمولے وچّ، کوانٹم مکینکس نراکار چالکاں (پرکھ-یوگ) دی تھیوری ہے جو اک نراکار اوستھا سپیس (ہلبرٹ سپیس) تے کریا کر رہے ہن، جتھے پرکھ-یوگ چیزاں بھوتکی طور تے پرکھ-یوگ ماتراواں نوں پرستت کردیاں ہن اتے اوستھا سپیس ادھٔین ادھین سسٹم دیاں سنبھوَ اوستھاواں پرستت کردی ہے۔ اداہرن وجوں، اک سنگل کوانٹم مکینیکل کن دی گتی نال سبندھت مڈھلیاں پرکھ-یوگ چیزاں پوجیٹرون اتے گتی-ناپ چالک اتے ہن۔ پھیلڈ تھیوری، استوں الٹ، x نوں چالک دی جگہ پھیلڈ سوچیبدھّ کرن دے طریقے وجوں ورتدی ہے۔

اک کوانٹم پھیلڈ وکست کرن دے دو عامَ طریقے ہن: رستہ جوڑ فارمولا اتے کانونیکل کوانٹائزیشن (پرمانیکرن)۔ بعد والا اس لیکھ وچّ درسایا گیا ہے۔

#### لگرینجیئن فارمولا بنتر

کوانٹم پھیلڈ تھیوری پراتن پھیلڈ تھیوری توں لگرینجیئن پھارملے دی بنتر دی ورتو کردی ہے۔ ایہہ فارمولا بنتر اک کھیتر دے پربھاو ادھین اک کن دی گتی دے حلّ لئی پراتن مکینیکس وچّ ورتے گئے لگرینجیئن فارمولے دی بنتر سامان ہے۔ پراتن پھیلڈ تھیوری وچّ، لگرینجیئن سنگھنتا نوں نال لکھیا جاندا ہے، جس وچّ اک پھیلڈ φ(x،t) شامل ہے، اتے سمبھاونا دے طور تے اسدے پہلے ڈیریویٹو (derivatives) (∂φ/∂t and ∇φ) ہن، اتے پھیر الور-لگرینج سمیکرن دی اک پھیلڈ-سدھانتک قسم لاگوُ ہندی ہے۔ نردیش انک (t، x) = (x0، x1، x2، x3) = xμ نوں لکھدے ہوئے، ایلور-لگرینج سمیکرن دی ایہہ قسم ایہہ ہے:

**Failed to parse (syntax error): {\displaystyle \frac{\partial}{\partial x^\mu} \left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial\phi/\partial x^\mu)}\right] - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = 0،}**

جتھے μ اتے جوڑ آئینسٹائین دیاں دھارناواں مطابق کیتا جاندا ہے۔

اس سمیکرن نوں حلّ کرن تے، پھیلڈ دی ‘گتی دی سمیکرن’ تے پہنچیا جاندا ہے۔ اداہرن وجوں، جیکر لگرینجیئن سنگھنتا نال شروع کیتا جاوے تاں؛

**Failed to parse (syntax error): {\displaystyle \mathcal{L}(\phi،\nabla\phi) = -\rho(t،\mathbf{x})\،\phi(t،\mathbf{x}) - \frac{1}{8\pi G}|\nabla\phi|^2،}**

اتے پھیر ایلور-لگرینج سمیکرن لاگوُ کرن تے، گتی دی سمیکرن بندی ہے۔

**Failed to parse (syntax error): {\displaystyle 4\pi G \rho(t،\mathbf{x}) = \nabla^2 \phi.}**

ایہہ سمیکرن برہمنڈی گروتاکرشن دا نیوٹن دا سدھانت ہے، جو گروتاکرشن شکتی φ(t، x) اتے پنج سنگھنتا (mass density) ρ(t، x) دے شبداں وچّ ڈپھرینشیئل روپ وچّ لکھیا گیا ہے۔ نامکرن توں علاوہ، ادھٔین ادھین پھیلڈ گروتاکرشن شکتی φ ہے، گروتاکرشن پھیلڈ g نہیں ہے۔ اسیتراں، جدوں الیکٹرومیگنیٹزم دے ادھٔین لئی پراتن پھیلڈ تھیوری نوں ورتیا جاندا ہے، دلچسپی دا کھیتر بجلئی-چمبکتا چار-پٹینشل (V/c، A) ہندا ہے، الیکٹرک پھیلڈ E اتے میگنیٹک پھیلڈ B نہیں ہندیاں۔

کوانٹم پھیلڈ تھیوری کوانٹم پھیلڈاں لئی گتی دیاں سمیکرناں نردھارت کرن لئی اسے لگرینجیئن ودھی نوں ورتدی ہے۔ گتی دیاں ایہہ سمیکرناں پھیر ہیٹھاں لکھے کانونیکل نردھاریکرن ودھی توں روپانترن سبندھاں راہیں پوریاں کیتیاں جاندیاں ہن، اسطراں ایہہ پھیلڈ دے ورتاؤ وچّ کوانٹم مکینیکل پربھاواں دا سہیوگ کردیاں ہن۔

## سنگل اتے کئی کن کوانٹم مکینکس

کوانٹم مکینکس وچّ، اک کن (جویں اک الیکٹرون جاں پروٹون) اک گنجھل دار ترنگ-فنکشن ψ(x، t) راہیں درسایا جاندا ہے، جسدی وقت دی اتپتی شروڈنگر سمیکرن دوارا طے ہندی ہے؛

**Failed to parse (syntax error): {\displaystyle -\frac{{\hbar}^2}{2m}\frac{{\partial}^2}{\partial x^2}\psi(x،t) + V(x)\psi(x،t) = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} \psi(x،t).}**

اتھے m کن دا پنج ہے اتے V(x) لگایا گیا پٹینشل ہے۔ کن دے ورتاؤ بارے بھوتکی جانکاری الگّ الگّ ماتراواں لئی سمبھاونا گھنتا فنکشن بنا کے ترنگپھنکشن توں لئی جاندی ہے؛ جویں، کن دے ستھان لئی سمبھاونا گھنتا فنکشن ψ٭(x) x ψ(x) ہے، اتے کن دے گتی-ناپ (momentum) لئی سمبھاونا گھنتا فنکشن −iħψ٭(x)dψ/dx ہے ؛ جسنوں x اتے انٹیگریٹ (integrating) کرن تے کرم وار ستھان اتے گتی-ناپ دی امید دا پتہ چلدا ہے۔ کوانٹم مکینکس دا ایہہ نسخہ، جتھے کن دا ترنگ فنکشن اک پراتن پچھوکڑ پٹینشن V(x) توں الٹ شامل ہندا ہے، نوں کدے کدے پہلا پرمانیکرن (کوانٹائزیشن) کیہا جاندا ہے۔

کوانٹم مکینکس دا ایہہ وورن زیادہ کناں دے ورتاؤ نوں درساؤن لئی وی ودھایا جا سکدا ہے، جنی دیر کناں دی قسم اتے سنکھیا پھکس رہندی ہے۔ کن اک ترنگ فنکشن ψ(x1، x2، ...، xN، t) راہیں درسائے جاندے ہن جو شروڈنگر سمیکرن دے وستھار والے روپ دوارا طے ہندا ہے۔

اکثر کوئی وی اجیہے کیس وچّ دلسچپی لیندا ہے جتھے سارے N کن اکو قسم دے ہندے ہن (اداہرن وجوں، نیوٹرل اؤرگون نیوکلئس دوآلے گھمدے 18 الیکٹرون)۔ جویں اکو جہے کناں دے لیکھ وچّ درسایا گیا ہے، استوں بھاوَ ہے کہ سارے دے سارے سسٹم دی اوستھا جاں تاں سمروپ (بوسون) ہونی چاہیدی ہے جاں اسمروپ (پھرمیؤن) ہونی چاہیدی ہے، جدوں اسدے رچنہارے کناں دے نردیش انکاں دا وٹاندرا کیتا جاندا ہے۔ انجھ اک پھرمیؤنک سسٹم (اتے اک بوسونک سسٹم لئی سلیٹر ماپدنڈ) دے ترنگ فنکشن دے روپ وچّ اک سلیٹر ماپدنڈ ورت کے کیتا جاندا ہے، جو کہ اک کھچے ہوئے اتپاد دی سمروپ جاں اسمروپ سب-سپیس دے اک تتّ دے سامان ہے۔

اداہرن وجوں، N بوسوناں دے اک سسٹم دی عامَ کوانٹم اوستھا نوں انجھ لکھیا جاندا ہے:

**Failed to parse (syntax error): {\displaystyle |\phi\_1 \cdots \phi\_N \rang = \sqrt{\frac{\prod\_j N\_j!}{N!}} \sum\_{p\in S\_N} |\phi\_{p(1)}\rang \otimes \cdots \otimes |\phi\_{p(N)} \rang،}**

جتھے WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 اکلوتے کن دیاں اوستھاواں ہن، Nj سنکھیا j اوستھا گھیرن والے کناں دی گنتی ہے ، اتے N تتاں تے کریا کر کرے سارے سنبھوَ کرمپرورتناں (permutations) p دوارا جوڑ کڈھیا جاندا ہے۔ عامَ طور تے، ایہہ N! (N factorial) الگّ الگّ چیزاں دا جوڑ ہندا ہے۔

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 اک سدھارن کرن والا کارک (a normalizing factor) ہے۔

اپر دسے کوانٹم مکینکس دے وورن وچّ کئی کمیاں ہن جو کوانٹم پھیلڈ تھیوری راہیں پتہ چلدیاں ہن۔ سبھ توں پہلی کمی،ایہہ چنگی طرحاں پتہ نہیں چلدا کہ کوانٹم مکینکس نوں سپیشل ریلیٹیوٹی دے پربھاواں نوں شامل کرن لئی کویں ودھایا جاوے۔ شروڈنگر سمیکرن دی جگہ ہور کوششاں، جویں کلین-گورڈن سمیکین جاں ڈیریک سمیکرن ، وچّ وی کئی اسنتشٹی بھریاں وشیشتاواں ہن؛ جویں، اوہناں وچّ اورجا آئیگنملّ (eigenvalues) ہن جو –∞ تکّ جاندے ہن، جس کارن گراؤنڈ اوستھا دی کوئی اسان پریبھاشا موجود نہیں لگدی ہے۔استوں پتہ چلیا کہ اجہیاں استھرتاواں ستھانک سپیس وچّ اک سمبھاوت ویاکھیا والے تلناتمک ترنگ-پھنکشناں کارن پیدا ہندیاں ہن، کیونکہ سمبھاونا سرکھیا (پروبیبلٹی کنزرویشن) اک تلناتمک سہِ-روپانترن (ساپیکھک کوویریسئنٹ) دھارنا نہیں ہے۔ دوجی کمی، جو پہلی نال سبندھت ہے، ایہہ ہے کہ کوانٹم مکینکس وچّ کناں دی رچنا تے وناش نوں درساؤن دی کوئی ینتراولی نہیں ہے؛ ایہہ جوڑے دی پیداور ورگے گھٹناکرم نوں درساؤن لئی مہتوپورن ہے جو E = mc2 والے تلناتمک سبندھ مطابق پنج تے اورجا درمیان وٹاندرے دا نتیجہ ہن۔

### دوجی کوانٹائزیشن

دوجی کوانٹائزیشن بہو-وستو کوانٹم سسٹماں نوں درساؤن اتے اوہناں دا وشلیشن کرن لئی ورتیا جان والا فارمولا سوتریکرن ہے۔ اس نوں کوانٹم پھیلڈ تھیوری وچّ کانونیکل کوانٹائزیشن دے نام نال وی جانیا جاندا ہے، جس وچّ پھیلڈاں (عامطور تے پدارتھاں دے ویو پھنکشناں) نوں پھیلڈ اوپریٹراں دے طور تے سوچیا جاندا ہے، بالکل اویں ہی جویں بھوتکی ماتراواں (پزیشن، مومینٹم آدی) نوں پہلی کوانٹائزیشن وچّ اوپریٹراں دے طور تے سوچیا جاندا ہے۔ اس طریقے دے پرمکھ وچار 1927 وچّ ڈیراک دوارا پیش کیتے گئے سن، اتے پھوک اتے جورڈن راہیں بعد وچّ وکست کیتے گئے ۔

اس بھاگ وچّ، اسیں دوجی کوانٹائزیشن نامک اک کوانٹم پھیلڈ تھیوری رچن لئی اک طریقہ بیان کراںگے۔ اس وچّ بنیادی طور تے کئی اکو جہے کن دیاں اوستھاواں دی سپیس وچّ آزادی دی کوانٹم مکینیکل ڈگری نوں سوچیبدھّ کرن دا طریقہ چننا شامل ہے۔ ایہہ کوانٹم مکینکس دے ہیملٹونیئن (Hamiltonian) فارمولا بنتر تے ادھارت ہے۔

کئی ہور پہنچاں وی موجود ہن، جویں پھینمین دا رستہ جوڑ طریقہ (پاتھ انٹیگرل) جو اک لگرینجیئن فارمولا بنتر ورتدا ہے۔ اجیہی ہور جانکاری لئی پرمانیکرن (کوانٹائزیشن) تے لیکھ پڑو۔

#### بوسون

سرلتا لئی، اسیں پہلاں بوسوناں لئی دوجی نردھاریکرن دی چرچہ کراںگے، جو پوری طرحاں سمروپ کوانٹم اوستھاواں رچدے ہن۔ آؤ پرسپر اؤرتھوگونل (mutually orthogonal) اکلوتے کن دیاں اوستھاواں نوں **Failed to parse (syntax error): {\displaystyle |\phi\_1\rang، |\phi\_2\rang، |\phi\_3\rang،}**
 راہیں لکھیئے جو سسٹم وچّ سنبھوَ ہن۔ اداہرن وجوں، WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 اوستھا دے اک کن نال اتے WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 اوستھا دے دو کناں نال بنی 3-کن اوستھا نوں اس طرحاں لکھیا جاندا ہے؛

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10
دوجی کوانٹائزیشن دا پہلا قدم قبجہ-سنکھیاواں (occupation numbers) دے شبداں وچّ اجہیاں کوانٹم اوستھاواں نوں درساؤنا ہے۔ اسطراں کرن لئی اکلوتے کن دیاں اوستھاواں **Failed to parse (syntax error): {\displaystyle |\phi\_1\rang، |\phi\_2\rang، }**
 وچوں ہریک اوستھا گھیرن والے کناں دی سنکھیا دی قبجہ سنکھیا دے روپ وچّ سوچی بنائی جاندی ہے۔ ایہہ اوستھاواں نوں نام دین دا سدھارن طور تے اک ہور طریقہ ہے۔

اداہرن وجوں، اپر درسائی 3-کن اوستھا نوں اسطراں وی لکھیا جاندا ہے؛

**Failed to parse (syntax error): {\displaystyle |1، 2، 0، 0، 0، \dots \rangle.}**

اک N- کنا اوستھا N کناں دے سسٹم نوں درساؤن والیاں اوستھاواں دی سپیس نال سبندھ رکھدی ہے۔ اگلا قدم اک N-کن اوستھا سپیساں نوں اک ودھائی ہوئی اوستھا سپیس نال ملاؤن ہندا ہے جس نوں پھوک سپیس (Fock space) کہندے ہن، جو کناں دی کوئی وی سنکھیا دے سسٹماں نوں درسا سکدی ہے۔ ایہہ بغیر کسے کن (ویکمّ اوستھا، جس نوں |0> لکھیا جاندا ہے) والے اک سسٹم دی اوستھا سپیس اتے 1-کن سسٹم دی اوستھا سپیس دے جوڑ دی بنی ہندی ہے، اتے اسے طرحاں اگے۔۔ کناں دی اک نشچت سنکھیا درساؤن والیاں اوستھاواں نوں پھوک اوستھاواں کیہا جاندا ہے: پھوک سپیس دا اک عامَ تتّ پھوک اوستھاواں دا اک ریکھک جوڑ ہووےگا۔ پھوک سپیس وچّ قبجہ-سنکھیا پرستتی اتے پرمانت بوسون اوستھاواں درمیان اک-نال-اک سدھا سبندھ ہندا ہے۔

اس بندو تے، کوانٹم مکینیکل سسٹم ساڈے اپر درسائے مطابق اک کوانٹم پھیلڈ بن جاندا ہے۔ پھیلڈ دی آزادی والی مڈھلی ڈگری قبجہ-سنکھیاواں ہندیاں ہن، اتے ہریک قبجہ سنکھیا اک نمبر j راہیں سوچیبدھّ کیتا جاندا ہے جس توں بھاوَ ہے کہ ایہہ اکلوتے کن دیاں اوستھاواں **Failed to parse (syntax error): {\displaystyle |\phi\_1\rang، |\phi\_2\rang،\dots،|\phi\_j\rang،\dots}**
 وچوں کس ولّ اشارہ کردا ہے؛

**Failed to parse (syntax error): {\displaystyle | N\_1، N\_2، N\_3، \dots، N\_j، \dots \rang .}**

اس کوانٹم پھیلڈ دیاں وشیشتاواں رچن تے وناش کرن والے چالکاں نوں پربھاشت کرکے کھوجیاں جا سکدیاں ہن، جو کناں نوں جوڑدے اتے گھٹاؤندے ہن۔ ایہہ کوانٹم ہارمونیک اؤسیلیٹر (quantum harmonic oscillator) سمسیا وچّ لیڈر اوپریٹراں سامان ہن، جو اورجا کوانٹا جوڑدے تے گھٹاؤندے ہن۔ پھیر وی، ایہہ اوپریٹر سچ مچّ اک دتی ہوئی کوانٹم اوستھا تے کناں نوں رچدے اتے وناش کردے ہن۔ بوسونک وناش کاری اوپریٹر اتے ہیٹھاں درسائے پربھاو رکھدے ہوئے قبجہ-سنکھیا پرستتی وچّ اسانی نال پربھاشت کیتے جاندے ہن؛

**Failed to parse (syntax error): {\displaystyle a\_2 | N\_1، N\_2، N\_3، \dots \rang = \sqrt{N\_2} \mid N\_1، (N\_2 - 1)، N\_3، \dots \rang،}Failed to parse (syntax error): {\displaystyle a\_2^\dagger | N\_1، N\_2، N\_3، \dots \rang = \sqrt{N\_2 + 1} \mid N\_1، (N\_2 + 1)، N\_3، \dots \rang.}**

ایہہ دکھایا جا سکدا ہے کہ ایہہ عامَ کوانٹم مکینیکل سمجھ وچلے اوپریٹر ہن، یانِ کہ پھوک سپیس تے کریا کر رہے ریکھک اوپریٹر ہن۔ ہور اگے، ایہہ سچ مچّ ہرمٹن اکٹھ (Hermitian conjugates) ہن، جو ساڈے لکھے مطابق طریقے نوں صحیح ثابت کردے ہن۔ ایہہ روپانترن (commutation ) سبندھ دی وی پالنا کردے ہن؛

**Failed to parse (syntax error): {\displaystyle \left[a\_i ، a\_j \right] = 0 \quad،\quad \left[a\_i^\dagger ، a\_j^\dagger \right] = 0 \quad،\quad \left[a\_i ، a\_j^\dagger \right] = \delta\_{ij}، }**

جتھے کرونیکر ڈیلٹا ( Kronecker delta) لئی لکھیا گیا ہے۔ ایہہ سنکھیپ روپ وچّ آزاد کوانٹم ہارمونیک اؤسیلیٹراں دے اک اننت سموہ لئی لیڈر اوپریٹراں دوارا چلا ئے جاندے سبندھ ہن، جو ہریک اکلوتے کن اوستھا لئی اک اک ہندے ہن۔ ہریک اوستھا وچّ بوسوناں نوں جوڑنا جاں گھٹاؤنا اسلئی اک ہارمونیک اؤسیلیٹر وچّ اورجا دا اک کوانٹم جوڑن جاں کڈھن سامان ہے۔

اپنے سبندھت رچناکار اوپریٹر WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 دے اگے اک وناشکار اوپریٹر WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 لاگوُ کردے ہوئے kth اکلوتے کن دی خود- WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 اوستھا وچّ *k*th سنکھیا واپس آ جاندی ہے؛

**Failed to parse (syntax error): {\displaystyle a\_k^\dagger\،a\_k|\dots، N\_k، \dots \rangle=N\_k| \dots، N\_k، \dots \rangle.}**

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 نامک اوپریٹراں دے میل نوں kth خود- اوستھا لئی سنکھیا-اوپریٹر کیہا جاندا ہے۔

کوانٹم پھیلڈ دا ہیملٹونیئن اوپریٹر (جو شروڈنگر سمیکرن وچّ ینتراولی نردھارت کردا ہے) رچناکار اتے وناش کاری اوپریٹراں دے روپ وچّ لکھیا جا سکدا ہے۔ اداہرن وجوں ، مکت (کریا نہ کر رہے) بوسوناں دے کھیتر لئی، کھیتر دی کلّ اورجا ہریک اورجا دی خود- اوستھا وچّ بوسوناں دیاں اورجاواں دا جوڑ کرکے کھوجی جاندی ہے۔ جیکر kth اکلوتے کن اورجا دی خود- اوستھا دی اورجا WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 ہووے اتے اس اوستھا وچّ WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 بوسون ہون، تاں ایہناں بوسوناں دی کلّ اورجا WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 ہوویگی۔ ساری دی ساری پھیلڈ دی اورجا پھیر k اتے کیتا گیا جوڑ ہوویگی:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26
اسنوں WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 دی جگہ سبندھت نمبر WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 نال بدل کے ہیملٹونیئن اوپریٹر وچّ بدلیا جا سکدا ہے۔ اسطراں ایہہ اسطراں بن جاندا ہے؛

**Failed to parse (syntax error): {\displaystyle H = \sum\_k E\_k \، a^\dagger\_k \،a\_k.}**

#### پھرمیؤن

ایہہ پتہ چلدا ہے کہ پھرمیؤناں نوں درساؤن لئی رچنا اتے وناش دی اک وکھری پریبھاشا ضرور ورتی جانی چاہیدی ہے۔ پولی ایکسکلوزن سدھانت مطابق، پھرمیؤن کوانٹم اوستھاواں نہیں شعر کر سکدے، اسلئی اوہناں دے قبجہ-نمبر Ni صرف 0 جاں 1 دا ملّ ہی لے سکدے ہن۔ پھرمیؤنک وناشکار اوپریٹر c اتے رچناکار اوپریٹر WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 اک پھوک اوستھا اتے اپنی کاروائی راہیں پربھاشت کیتے جاندے ہن، اسلئی ؛

**Failed to parse (syntax error): {\displaystyle c\_j | N\_1، N\_2، \dots، N\_j = 0، \dots \rangle = 0 }Failed to parse (syntax error): {\displaystyle c\_j | N\_1، N\_2، \dots، N\_j = 1، \dots \rangle = (-1)^{(N\_1 + \cdots + N\_{j-1})} | N\_1، N\_2، \dots، N\_j = 0، \dots \rangle }Failed to parse (syntax error): {\displaystyle c\_j^\dagger | N\_1، N\_2، \dots، N\_j = 0، \dots \rangle = (-1)^{(N\_1 + \cdots + N\_{j-1})} | N\_1، N\_2، \dots، N\_j = 1، \dots \rangle }Failed to parse (syntax error): {\displaystyle c\_j^\dagger | N\_1، N\_2، \dots، N\_j = 1، \dots \rangle = 0. }**

ایہہ اک الٹ-روپانترن نیم ادھین ہندے ہن (anticommutation relation):

**Failed to parse (syntax error): {\displaystyle \left\{c\_i ، c\_j \right\} = 0 \quad،\quad \left\{c\_i^\dagger ، c\_j^\dagger \right\} = 0 \quad،\quad \left\{c\_i ، c\_j^\dagger \right\} = \delta\_{ij}. }**

استوں ایہہ نوٹ کیتا جا سکدا ہے کہ اک پھرمیؤنک رچناکار اوپریٹر نوں دو وار لاگوُ کرنا 0 دندا ہے، اسلئی کناں لئی اکلوتے کن دیاں اوستھاواں نوں سانجھا کرنا اسمبھو ہے، جو ایکسکلوزن سدھانت دے مطابق ہے|

#### پھیلڈ اوپریٹر

اسیں پہلاں جویں دسیا کہ اک کوانٹم پھیلڈ وچّ آزادی دیاں ڈگریاں نوں سوچیبدھّ کرن دے اک طریقے توں زیادہ طریقے ہو سکدے ہن۔ دوجی کوانٹائزیشن اکلوتے کن دیاں کوانٹم اوستھاواں نوں گن کے پھیلڈ نوں سوچیبدھّ کردا ہے۔ پھیر وی، جویں اسیں چرچہ کیتی، اک اجیہی ‘پھیلڈ’ بارے سوچنا زیادہ قدرتی ہندا ہے، جویں الیکٹرومیگنیٹک پھیلڈ، جس نوں ستھان دوارا سوچیبدھّ آزادی دیاں ڈگریاں دے سموہ دے روپ وچّ لیا جاندا ہے۔

اس سرے تے، اسیں پھیلڈ اوپریٹر پربھاشت کر سکدے ہاں جو سپیس وچّ اک خاص بندو تے اک کن نوں رچدا جاں وناش کردا ہے۔ پارٹیکل پھجکس وچّ، اجیہے اوپریٹر کم کرن لئی سوکھے ہن، کیونکہ ایہہ سدھانتاں دے فارمولے بناؤنا سوکھا کردے ہن جو ریلیٹیوٹی دیاں ضرورتاں نوں سنتشٹ کردے ہن۔

اکلوتا-کن اوستھاواں اوہناں دی گتی-ناپ (momenta) دے شبداں وچّ عامَ طور تے گنیاں جاندیاں ہن (جویں ڈبے وچّ کن سمسیا وچّ)۔ ایہناں اوستھاواں لئی رچناکار اتے وناشکار اوپریٹراں تے پھوریئر ٹرانسپھورم (Fourier transform) لاگوُ کرکے اسیں پھیلڈ اوپریٹر رچ سکدے ہاں۔ اداہرن وجوں، بوسونک پھیلڈ اوپریٹر WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 ایہہ ہندا ہے؛

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
بوسونک پھیلڈ اوپریٹر روپانترن (commutation) سبندھ دا پالن کردا ہے؛

**Failed to parse (syntax error): {\displaystyle \left[\phi(\mathbf{r}) ، \phi(\mathbf{r'}) \right] = 0 \quad،\quad \left[\phi^\dagger(\mathbf{r}) ، \phi^\dagger(\mathbf{r'}) \right] = 0 \quad،\quad \left[\phi(\mathbf{r}) ، \phi^\dagger(\mathbf{r'}) \right] = \delta^3(\mathbf{r} - \mathbf{r'}) }**

جتھے WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 ڈیراک ڈیلٹا فنکشن (Dirac delta function) لئی لکھیا گیا ہے۔ پہلاں وانگ، پھرمیؤنک سبندھ اوہی ہن، کمیوٹیٹراں دی جگہ الٹ-کمیوٹیٹر ہن۔

پھیلڈ اوپریٹر اک سنگل-کن ترنگ فنکشن دے طور تے اوہی چیز نہیں ہندے۔ پہلا اوپریٹر پھوک سپیس تے کریا کرن والا اوپریٹر ہندا ہے، اتے بعد وچّ لکھیا ہویا کسے ستھان وچّ اک کن نوں کھوجن لئی اک کوانٹم مکینیکل وستھار ہندا ہے۔ پھیر وی، ایہناں دا نیڑے دا سبندھ ہندا ہے، اتے عامَ طور تے اکو چنہ نال سچ مچّ سانجھے طور تے لکھے جاندے ہن۔ جیکر ساڈے کول اک سپیس پرستتی والا ہیمیلٹونیئن اوپریٹر ہے، جویں

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40
جتھے سوچک انک i اتے j سارے کناں نوں درساؤندے ہن، پھیر پھیلڈ تھیوری ہیملٹونیئن (نہ-تلناتمک حد اتے ممولی سوے-کریا لئی) ایہہ ہے؛

**Failed to parse (syntax error): {\displaystyle H = - \frac{\hbar^2}{2m} \int d^3\!r \ \phi^\dagger(\mathbf{r}) \nabla^2 \phi(\mathbf{r}) + \frac{1}{2}\int\!d^3\!r \int\!d^3\!r' \؛ \phi^\dagger(\mathbf{r}) \phi^\dagger(\mathbf{r}') U(|\mathbf{r} - \mathbf{r}'|) \phi(\mathbf{r'}) \phi(\mathbf{r}). }**

ایہہ اورجا دے انومانت ملّ لئی اک درساؤ وانگ دسدی ہے، جس وچّ ترنگ فنکشن دا رول ادا کردی ہے۔ پھیلڈ اوپریٹر اتے ترنگ فنکشن درمیان ایہہ سبندھ سپیس-پروجیکٹڈ ہیمیلٹونیئن توں شروع ہندیاں پھیلڈ تھیوریاں دے فارمولیاں دی بنتر سوکھی کردا ہے۔

### ینتراولی (Dynamics)

اک وار ہیملٹونیئن اوپریٹر نوں کانونیکل کوانٹیجیشن کریا دے حصے وجوں پراپت کر لیا جاندا ہے، تاں اوستھا دی وقت تے نربھرتا شروڈنگر سمیکرن نال درسایا جاندا ہے، جویں ہور کوانٹم تھیوریاں نال کیتا جاندا ہے۔ اسدے بدل وچّ، ہیزنبرگ تصویر ورتی جا سکدی ہے جتھے وقت دی نربھرتا اوپریٹراں دے وچّ ہندی ہے نہ کہ اوستھاواں وچّ ہندی ہے۔

#### حصیداریاں؛ پھیلڈاں اتے کناں دا ایکیکرن

پچھلے حصے وچّ جو اسیں ‘دوجا نردھاریکرن’ ودھی پڑی اوہ اکلوتے کن دیاں کوانٹم اوستھاواں دے اک سموہ نوں اک شروعاتی بندو دے طور تے لیندی ہے۔ کدے کدے، اجہیاں سنگل-کن اوستھاواں نوں پربھاشت کرنا اسمبھو ہندا ہے، اتے سدھا ہی کوانٹم پھیلڈ تھیوری ولّ جانا پیندا ہے۔ اداہرن وجوں، الیکٹرومیگنیٹک پھیلڈ دی کوانٹم پھیلڈ تھیوری ضرور ہی کوانٹم پھیلڈ تھیوری ہونی چاہیدی ہے، کیونکہ اک سنگل پھوٹون لئی اک ترنگ فنکشن پربھاشت کرنا اسمبھو (کئی کارناں کرکے) ہے۔ اجہیاں حالتاں وچّ، کوانٹم پھیلڈ تھیوری رچن لئی پراتن پھیلڈ دیاں مکینیکل وشیشتاواں پرکھ کے سبندھت کوانٹم تھیوری دا انومان لگایا جاندا ہے۔ مکت (غیر-کریاشیل) کوانٹم پھیلڈاں لئی، اس طریقے نال بنائیاں گئیاں کوانٹم پھیلڈ تھیوریاں دیاں اوہی وشیشتاواں ہندیاں ہن جو دوجے نرادھاریکرن ورت کے پراپت ہندیاں ہن، جویں چنگی طرحاں پربھاشت رچناکار تے وناشکار اپریٹراں دا کمیؤٹیشن جاں الٹ-کمیؤٹیشن سبندھاں دی پالنا کرنا۔

اسطراں نال کوانٹم پھیلڈ تھیوری ‘پھیلڈ-ورگیاں’ چیزاں (جویں الیکٹرومیگنیٹک پھیلڈ، جسدے وادھے گھاٹے پھوٹون ہن) اتے ‘کن-ورگیاں’ چیزاں (جویں الیکٹرون، جو اک بنیادی الیکٹرون پھیلڈ دے وادھے گھاٹے دے طور تے لئے جاندے ہن) درساؤن لئی اک ایکتا والا ڈھانچہ مہئیا کرواؤندی ہے، جنی دیر پرسپر کریاواں نوں مکت پھیلڈاں دیاں رکاوٹاں (perturbations) دے طور تے منیا جاندا ہے۔ اجے وی پرسپر کریاواں کردیاں پھیلڈاں دے عامَ کیساں نال سبندھت انسلجھیاں سمسیاواں ہن جو پرچربیشن تھیوری دوارا صحیح طریقے نال بیان کیتیاں جاں نہیں کیتیاں جا سکدیاں۔ اس وشے تے ہور پڑن لئی، ہاگ تھیورم (Haag's theorem) دیکھو۔

#### کناں دی انتر نہ ہون دی یوگتا دا بھوتکی ارتھ

دوجا نردھاریکرن ودھی مہتوپورن طریقے نال اکو جہے کناں تے نربھر ہے۔ اک انتر ہون یوگ کئی-کن سسٹم توں اسیں اک کوانٹم پھیلڈ تھیوری بناؤن دے یوگ نہیں ہو سکدے سی، کیونکہ آزادی دیاں ڈگریاں نوں سوچیبدھّ اتے وکھرا کرن دا کوئی رستہ نہیں ہو سکنا سی۔

کئی بھوتک وگیانی الٹ- ویاکھیا لین نوں ترجیح دندے ہن، جو ایہہ ہندی ہے کہ کوانٹم پھیلڈ تھیوری ایہہ سمجھاؤندی ہے کہ اکو جہے کن کی ہن۔ سدھارن کوانٹم مکینکس وچّ، سمروپ (بوسونک) جاں اسمروپ (پھرمیؤنک) اوستھاواں ورتن لئی خاص زیادہ سدھانتک پریرنا نہیں رہی ہے، اتے اجہیاں اوستھاواں دی ضرورت صرف اک پریوگ-سدھ تتھّ دے روپ وچّ ہی کہی گئی ہے۔ کوانٹم پھیلڈ تھیوری دے نظرئیے توں، کن اکو-جہے صرف تے صرف تاں ہو سکدے ہن جے اوہ اکو بنیادی کوانٹم پھیلڈ دے وادھے گھاٹے دا نتیجہ ہون۔ اس لئی، سوال کہ ‘سارے الیکٹرون اکو جہے کیوں ہن؟’ الگّ الگّ الیکٹروناں نوں بنیادی چیزاں دے طور تے اشارہ کرن توں غلطی نال پیدا ہندا ہے، جدوں کہ اصل وچّ صرف الیکٹرون پھیلڈ ہی بنیادی ہندی ہے۔

#### کن ستھرتا اتے استھرتا

دوجے نردھاریکرن دوران، اسیں Nپھکسڈ نمبر دے کناں نوں درساؤندی ہیمیلٹونیئن اتے اوستھا سپیس توں شروع کیتا سی، اتے اک منچاہے نمبراں دے کناں لئی اک ہیمیلٹونیئن اتے اوستھا سپیس تے ختم کیتا سی۔ بے شکّ، کئی عامَ حالتاں وچّ، Nاک مہتوپورن اتے سمپورن چنگی طرحاں پربھاشت ماترا ہے، یانِ کہ جویں اسیں اک ڈبے وچّ بند پرمانوآں دی گیس نوں درسا رہے ہوئیے۔ کوانٹم پھیلڈ تھیوری دے نظرئیے توں، اجہیاں حالتاں اجہیاں کوانٹم اوستھاواں راہیں درسائیاں جاندیاں ہن جو نمبر اوپریٹر WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 دیاں خود-اوستھاواں ہن، جو حاضر کناں دی ساری گنتی ناپدا ہے۔ جویں کسے وی کوانٹم مکینیکل پرکھ-یوگ نال ہندا ہے، WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 ستھائی رہندا ہے جیکر ایہہ ہیمیلٹونیئن نال روپانترن ہو سکدا ہووے۔ اس حالت وچّ، کلّ پھوک سپیس دی N-کن سپ-سپیس وچّ کوانٹم اوستھا اٹک جاندی ہے، اتے حالت سدھارن N-کن کوانٹم مکینکس دوارا درساؤن برابر چنگی طرحاں پربھاشت کیتی جا سکدی ہے۔ (سختی نال کہندے ہوئے، ایہہ صرف غیر-کرئشیل کیس وچّ ہی صحیح ہندی ہے جاں پنر-سدھاریکرت کوانٹم پھیلڈ تھیوریاں دی نمر-گھنتا حد وچّ ہی صحیح ہندی ہے)

اداہرن وجوں، اسیں دیکھ سکدے ہاں کہ اپر درسایا مکت-بوسون ہیمیلٹونیئن کناں دی سنکھیا ستھر کردا ہے۔ جدوں وی ہیمیلٹونیئن کسے اوستھا تے اوپریٹ کردا ہے، اک وناشکار اوپریٹر ak دوارا وناش کیتا ہریک کن پھٹاپھٹ رچناکار اوپریٹر WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 راہیں دوبارہ رچ دتا جاندا ہے۔

دوجے پاسے، ایہہ سنبھوَ ہے، اتے سچ مچّ عامَ گلّ ہے، اجہیاں کوانٹم اوستھاواں دا ساہمنا کرنا جو WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 دیاں خود-اوستھاواں نہیں ہندیاں، جہناں دے کناں دی چنگی طرحاں نشچت گنتی نہیں ہندی۔ اجہیاں اوستھاواں نال سدھارن کوانٹم مکینکس ورتدے ہوئے نبٹنا مشکل جاں اسمبھو ہندا ہے، پر ایہناں نوں Nدیاں وکھریاں ماترواں رکھن والیاں اوستھاواں دی کوانٹم سپرپجیشن دے روپ وچّ کوانٹم پھیلڈ تھیوری وچّ اسانی نال درسایا جا سکدا ہے۔ اداہرن وجوں، منّ لؤ ساڈے کول اک بوسونک پھیلڈ ہے جسدے کن اک پھرمیؤنک پھیلڈ نال پرسپر کریا کرکے رچے جاں وناش کیتے جا سکدے ہن۔ سنیوکت سسٹم دا ہیمیلٹونیئن، مکت بوسون اتے مکت پھرمیؤن پھیلڈاں دے ہیمیلٹونیئن جماں اک پٹینشل اورجا دے شبداں دے جوڑ دے روپ وچّ بنیگا جویں؛

**Failed to parse (syntax error): {\displaystyle H\_|= \sum\_{k،q} V\_q (a\_q + a\_{-q}^\dagger) c\_{k+q}^\dagger c\_k،}**

جتھے WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 اتے ak بوسونک رچناکار اتے وناشکار اوپریٹراں نوں درساؤندے ہن، WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 اتے ck پھرمیؤنک رچناکار تے وناشکار اوپریٹر درساؤندے ہن، اتے Vq اک ماپدنڈ ہے جو پرسپر کریا دی طاقت درساؤندا ہے۔ ایہہ ‘پرسپر کریا’ شبد اجہیاں کریاواں درساؤندا ہے جس وچّ k اوستھا والا اک پھرمیؤن جاں اک بوسون نوں سوکھدا ہے جاں کڈھ دندا ہے، جس کارن اک وکھری خود-اوستھا k+q ولّ دھکّ دتا جاندا ہے۔ (اصل وچّ، اس طرحاں دا ہیمیلٹونیئن دھاتاں وچّ چالک الیکٹروناں اتے پھونوناں درمیان پرسپر کریاواں درساؤن لئی ورتیا جاندا ہے۔ الیکٹروناں اتے پھوٹوناں درمیان پرسپر کریا وی اسے طرحاں ہندی منی جاندی ہے، پر ایہہ تھوڑی جہی گنجھل دار ہندی ہے کیونکہ سپنّ دا رول مہتوپورن ہندا ہے)۔ اتھے اک گلّ نوٹ کرن والی ہے کہ بھاویں اسیں بوسوناں دے پھکس نمبر نال شروع کردے ہاں، اسیں عامَ طور تے بعد وچّ بوسوناں دے وکھرے نمبر والیاں اوستھاواں دی سپرپجیشن تے مکاؤندے ہن۔ پھرمیؤناں دی سنکھیا، پھیر وی، اس کیس وچّ ستھر (سرکھات) رہندی ہے۔

سنگھنے پدارتھ دی بھوتک وگیان وچّ، کناں دی انشچت سنکھیا والیاں اوستھاواں کئی سپرپھلڈاں نوں درساؤن لئی خاص طور تے مہتوپورن ہن۔ اک سپرپھلڈّ دیاں کئی وشیشتاواں اس دھارناں توں پیدا ہندیاں ہن کہ اسدی کوانٹم اوستھا وکھریاں کن سنکھیاواں والیاں اوستھاواں دی اک سپرپجیشن ہندی ہے۔ اسدے نال ہور جوڑدے ہوئے، اک دھندلی (coherent) اوستھا دی دھارنا (BCS گراؤنڈ اوستھا اتے لیزر دا ماڈل بناؤن لئی ورتی جاندی ہے) اجیہی اوستھا ولّ اشارہ کردی ہے جس وچّ کناں دی سنکھیا انشچت ہندی ہے پر اک چنگی طرحاں نشچت چرن (phase) ہندا ہے۔

### سوے-سدھ درشٹیکون

کوانٹم پھیلڈ تھیوری دا پہلاں درسایا وورن اس بھاونا دا پچھا کردا ہے جس وچّ زیادہتر بھوتک وگیانی وشے تکّ پہنچدے ہن۔ پھیر وی، ایہہ گنتک طور تے سخت نہیں ہے۔ پچھلے کئی دہاکیاں توں، کوانٹم پھیلڈ تھیوری نوں اسدے لئی سوے-سدھ فارمولیاں دے سموہاں نوں رچ کے اک ٹھوس گنتک بنیاد دین دیاں کئیاں کوششاں کیتیاں گئیاں۔ ایہہ کوششاں دو وشال شرینیاں وچّ آؤندیاں ہن۔

سوے-سدھ کوششاں دی پہلی شرینی، 1950 ویں دہاکے دوران پہلی وار پرستت کیتی گئی، جس وچّ وائیٹمین، اؤسٹروالڈر-شریڈر، اتے ہاگ کیسلر سسٹم شامل ہن۔ اوہناں نے پھنکشنل وشلیشن دے سندربھ وچّ اک ‘اوپریٹر ملّ پھیلڈ’ دی بھوتکی دھارنا بناؤن دی کوشش کیتی، اتے سیمت سفلتا ملی۔ ایہہ ثابت کرنا سنبھوَ سی کہ ایہناں سوے-سدھ فارمولیاں نوں سنتشٹ کردی کوئی وی کوانٹم پھیلڈ تھیوری نے نشچت عامَ تھیورماں نوں سنتشٹ کیتا، جویں سپنّ-آنکڑا تھیورم اتے CPT تھیورم۔ بدقسمتی نال، ایہہ دکھاؤنا اسدھارن طور تے مشکل ثابت ہویا کہ کوئی وی واستوک پھیلڈ تھیوری، سٹینڈرڈ ماڈل سمیت، ایہناں سوے-سدھ فارمولیاں نوں سنتشٹ کردی ہے۔ ایہناں سوے-سدھ فارمولیاں نال چلن والیاں زیادہتر تھیوریاں بھوتکی طور تے تچھّ سن، نمر- ایاماں تکّ سیمت سن اتے دلسچپ ینتراولی دی کمی والیاں سن۔ ایہناں سوے-سدھ فارمولیاں وچوں اک نوں وی سنتشٹ کرن والیاں تھیوریاں رچناتمک کوانٹم پھیلڈ تھیوری دے کھیتر وچّ آؤندیاں ہن۔ سیگل، گلمّ، جیپھ اتے ہوراں دوارا 1970ویں دہاکے وچّ اس کھیتر وچّ مہتوپورن کم کیتا گیا۔

1980ویں دہاکے دوران، ریکھا گنتک وچاراں تے ادھارت سوے-سدھ فارمولیاں دا دوجا سموہ پیش کیتا گیا۔ کھوجبین دی ایہہ لائن، جو اپنا دھیان کوانٹم پھیلڈ تھیوریاں دی اک خاص شرینی ولّ رکھدی ہے ٹوپولوجیکل کوانٹم پھیلڈ تھیوریاں کہی جاندی ہے، جو زیادہ نیڑے توں مائیکل اتیاہ اتے گریم سیگل نال جڑی ہے، اتے ایڈورڈ وٹن، رچرڈ بورچرڈز، اتے میگجم کونٹسیوچّ دوارا اگے ودھائی گئی۔ پھیر وی، زیادہتر بھوتکی سبندھی کوانٹم پھیلڈ تھیوریاں، جویں سٹینڈرڈ ماڈل، ٹوپولوجیکل کوانٹم پھیلڈ تھیوریاں نہیں ہن؛ انشک کوانٹم حالَ پربھاو دی کوانٹم پھیلڈ تھیوری اک نوٹ کرن یوگ اپواد ہے۔ سوے-سدھ ٹوپولوجیکل کوانٹم پھیلڈ تھیوری دا مکھ پربھاو گنت تے رہا ہے، جس وچّ پرستتی(representation) تھیوری، بیجگنتک ٹوپولوجی، اتے ڈپھرینشیئل ریکھا گنت وچّ مہتوپورن اپیوگ رہے ہن۔

کوانٹم پھیلڈ تھیوری لئی ڈھکواں سوے-سدھ ثبوت کھوجنا اجے وی گنت وچّ اک کھلی اتے مشکل سمسیا بنی ہوئی ہے۔ کروڑاں دے انعام والیاں سمسیاواں وچوں اک- یانگ-ملز تھیوری وچّ پنج دی وتھّ دی موجودگی نوں ثابت کرنا- اس مصلے نال جڑیا ہے۔

## سبندھت گھٹناواں

لیکھ دے پچھلے بھاگ وچّ، اسیں کوانٹم پھیلڈ تھیوریاں دیاں زیادہ عامَ وشیشتاواں دا وورن درسایا۔ سدھانتک بھوتک وگیان دے کئی کھیتراں وچّ ادھٔین کیتیاں گئیاں کجھ کوانٹم پھیلڈ تھیوریاں، وادھو خاص وشیشتاواں رکھدیاں ہن، جویں پنر-نردھاریکرن دی یوگتا، گیج سمروپتا، اتے سپر سمروپتا۔ ایہہ اگے والے بھاگاں وچّ بیان کیتیاں گئیاں ہن۔

### پنر-مانکیکرن

کوانٹم پھیلڈ تھیوری دے اتہاس دے شروع وچّ، ایہہ کھوجیا گیا کئی نقصاندائک نہ دسن والیاں گنتیاں، جویں الیکٹرومیگنیٹک پھیلڈ دی حاضری کارن اک الیکٹرون دی اورجا وچّ بے ترتیبی (perturbative) تبدیلی، اننت نتیجے دندیاں ہن۔ کرن ایہہ ہے کہ اک اورجا وچّ تبدیلی لئی پرچربیشن تھیوری وچّ سارے ہور اورجاں لیولاں دا جوڑ شامل ہندا ہے، اتے تھوڑیاں دوریاں تے اننت کئی لیول ہندے ہن جہناں وچوں ہریک اک نشچت یوگدان پاؤندا ہے۔

ایہناں سمسیاواں وچوں کئی سمسیاواں پراتن الیکٹروڈائنامیکس وچّ اسپھلتاواں نال سبندھت ہن جو پچھانیاں گئیاں سن پر 19ویں صدی وچّ حلّ نہیں کیتیاں گئیاں، اتے اوہ مڈھلے طور تے اس تتھّ توں پیدا ہوئیاں ہن کہ اک الیکٹرون دیاں منیاں گئیاں کئی اندرونی وشیشتاواں اسدے دوآلے اسدے راہیں رکھی جان والی الیکٹرومیگنیٹک پھیلڈ نال جڑیاں ہن۔ اک اکلوتے الیکٹرون راہیں رکھی جان والی اورجا- اسدی سوے-اورجا- ہی اکماتر ماترا نہیں ہے، سگوں اسدی الیکٹرومیگنیٹک پھیلڈ وچّ رکھی جان والی اورجا وی شامل ہندی ہے، جو اسدے حاضر پھوٹوناں دا بدل ہندا ہے۔ اک گول سومے دے کھیتر وچلی اورجا پراتن اتے کوانٹم مکینکس دوہاں وچّ جھکدی جاندی ہے، پر جویں پھرری دی مددّ نال ویسکوپپھ دوارا کھوجیا گیا، کوانٹم مکینکس وچّ، جھکاؤ بہت ممولی ہندا ہے، صرف گولے دے اردھ ویاس دے لگھوگنک (logarithm) دے طور تے ہندا ہے۔

سمسیا دا حلّ، سنکھیپ روپ وچّ سٹکلبرگ دوارا سجھایا گیا، لیمب دوارا نرنائک پریوگ توں بعد بیتھ دوارا ویاکتیگت طور تے، شونگر دوارا اک لوپ تے لاگوُ کیتا گیا، اتے سسٹیمیٹک طریقے نال سارے لوپاں تے پھینمین اتے ڈیسن دوارا ودھایا گیا، جاپان دے یدھ توں بعد وچّ الگّ طور تے ٹوموناگا دوارا اکاگرتا والے کم نال، ایہہ پچھان ملی کہ پھوٹوناں تے الیکٹروناں دیاں پرسپر کریاواں وچّ سارے اننت پرکھیاں گئیاں ماتراواں نال بدل کے سمیکرناں وچّ ماتراواں دے اک پنر-نشچت سیمت نمبر وچّ الگّ کیتے جا سکدے ہن: خاص طور تے الیکٹروناں دا پنج اتے چارج: اسنوں پنر-مانکیکرن کیہا جاندا ہے۔ پنر-مانکیکرن دی تکنیک پچھاندی ہے کہ سمسیا شدھ طور تے ضرور ہی گنتک ہے، کہ حد دیاں چھوٹیاں دوریاں غلطی تے ہن۔ نرنترتا اتے اک تھیوری پربھاشت کرن دے معاملے وچّ، سبھ توں پہلاں پھیلڈاں وچّ اک کٹّ-اؤپھ رکھو، ایہہ تصویر بناؤندے ہوئے کہ کوانٹیاں کول کجھ حد دی اچّ ماترا توں زیادہ اورجاواں نہیں ہو سکدیاں۔ اس کول نرنتر سپیس نوں اک بنتر راہیں بدلن دا پربھاو ہندا ہے جتھے بہت چھوٹی ترنگ لمبائی موجود نہیں ہندی، جویں اک جالی اتے۔ جالیاں گھمن سمروپتا توڑ دندیاں ہن، اتے پھینمین، پولی اتے ولرز دوارا پائے نرنائک یوگداناں وچوں اک یوگدان، جسدا ٹی’ہوپھٹ اتے ویلٹمین راہیں نوینیککرن کیتا گیا، پرچربیشن تھیوری لئی اک سمروپتا ستھرتا کٹّ-اؤپھ ہے {اس پرکریا نوں نیمتیکرن (regularization) کیہا جاندا ہے }۔ پرچربیشن تھیوری توں باہر کوئی ہور سمروپ کٹّ-اؤپھ نہیں گیات ہے، اسلئی سخت جاں سنکھئک کم لئی لوک اکثر اک اصلی جالی ورتدے ہن۔

اک جالی اتے، ہریک ماترا سیمت ہندی ہے پر وتھاں اتے نربھر کردی ہے۔ جدوں 0 سپیسنگ دی حد بارے گلّ کیتی جاندی ہے، اسیں ایہہ یقینی بناؤندے ہاں کہ بھوتکی طور تے جانچیوگ ماتراواں جانچے گئے الیکٹرون دا پنج وانگ پھکس رہن، جسدا ارتھ ہے کہ تھیوری پربھاشت کر رہے لگرینجیئن وچّ ستھر انک وتھاں تے نربھر کردے ہن۔ امید دے طور تے، جالی دیاں وتھاں نال ستھر انکاں نوں بدلن دی آگیا دے کے، لمبیاں دوریاں تے سارے نتیجے جالی لئی اسویندنشیل بن جاندے ہن، تے اک نرنترتا دی حد نشچت کردے ہن۔

پنر-مانکیکرن ودھی کیول کوانٹم پھیلڈ تھیوریاں دی اک خاص شرینی لئی ہی کم کردی ہے، جس نوں پنر-مانکیکرنیوگ کوانٹم پھیلڈ تھیوریاں کیہا جاندا ہے۔ اک تھیوری بے ترتیبی طور تے پنر-مانکیکرنیوگ (perturbatively renormalizable) ہندی ہے جدوں لگرینجیئن وچّ ستھر انک بہت تھوڑیاں وتھاں لئی جالیدار وتھاں دے لگھوگنکاں (logarithms) دے طور تے ودھ توں ودھ جھک سکدے ہن۔ پرچربیشن تھیوری وچّ پھیر نرنترتا دی حد چنگی طرحاں نشچت کیتی جاندی ہے، بھاویں ایہہ غیر-بے ترتیبی طور تے چنگی طرحاں نشچت نہیں ہندی، سمسیاواں صرف دوری دے پیمانیاں تے ہی دسدیاں ہن جو کمزور سنیوجناں لئی الٹ سنیوجناں وچّ تیزی نال (exponentially) سوخم ہندیاں ہن۔ پارٹیکل پھجکس دا سٹینڈرڈ ماڈل بے ترتیبی طور تے پنر-مانکیکرنیوگ ہے، تے اسدیاں جنم داتا تھیوریاں وی اویں ہی ہن (کوانٹم الیکٹروڈائنامیکس/ الیکٹروویک تھیوری اتے کوانٹم کروموڈائنامیکس)۔ تنے جنمداتاواں وچوں، کوانٹم کروموڈائنامیکس نوں اک نرنترتا دی حد والی نہ ہونا منیا جاندا ہے، جدوں کہ اننتسپرشی طور تے مکت SU(2) اتے SU(3) کمزور ہائیپر-تبدیلی اتے طاقتور کلر پرسپر کریاواں غیر-بے ترتیبی طور تے چنگی طرحاں نشچت کیتیاں جاندیاں ہن۔

پنر-مانکیکرن گروپ دسدا ہے کہ کویں پنر-مانکیکرنیوگ تھیوریاں، کسے دتی ہوئی اچّ-اورجا تھیوری لئی، لمبی دوری والی نمر-اورجا دی پربھاوی پھیلڈ تھیوری دے روپ وچّ پیدا ہو جاندیاں ہن۔ اسدے کارن، پنر-مانکیکرنیوگ تھیوریاں بنیادی اچّ-اورجا والے سوخم-دوری گھٹناکرم دے صحیح صحیح سبھاء پرتِ اسویندنشیل ہن۔ ایہہ اک وردان ہے کیونکہ ایہہ بھوتک وگیانیاں نوں اچّ-اورجا والے گھٹناکرم دے وورن نوں جانے بغیر ہی نمر-اورجا تھیوریاں دے فارمولیاں دی بنتر گھڑن دی آگیا دندا ہے۔ ایہہ اک سراپ وی ہے، کیونکہ سٹینڈرڈ ماڈل ورگی کوئی پنر-مانکیکرنیوگ تھیوری جیکر اک وار کم کردی پائی جاندی ہے، تاں ایہہ اچّ-اورجا والیاں پرکریاواں نوں بہت گھٹّ سراغ دندی ہے۔ سٹینڈرڈ ماڈل وچّ اچّ اورجا کریاواں نوں دیکھن دا اکو طریقہ ادوں ہندا ہے جدوں ایہہ منا کیتیاں گئیاں گھٹناواں نوں ہور کسے طریقے ہون دی آگیا دندیاں ہن، جاں جیکر ایہہ سنیوجن کرن والے ستھر انکاں درمیان ماترک سبندھاں درساؤن۔

### ہاگ تھیورم

اک کٹھور گنتک نظرئیے توں، اک لورینٹز-سہِ-استھر انک کوانٹم پھیلڈ تھیوری وچّ کوئی وی پرسپر کریا تصویر نہیں ہے۔ اسدا ارتھ ہے کہ کوانٹم پھیلڈ تھیوری وچّ پھینمین دے ریکھاچتر دی پرچربیٹو پہنچ سختی نال ثابت نہیں ہوئی ہے، بھاویں اسنے پریوگاں دوارا ثابت وشال سنکھیپ انومان دتے ہن۔ اس نوں ہاگ تھیورم کیہا جاندا ہے، پر زیادہتر کن بھوتک وگیانی کوانٹم پھیلڈ تھیوری تے بھروسہ کردے ہن اتے زیادہتر نے اس توں موڈھا جھاڑ لیا ہے۔

رڈلپھ ہاگ نے سدھ کیتا کہ پرسپر کریا تصویر اک پرسپر کریا کرن والی رلیٹوسٹک (ساپیکھک) کوانٹم پھیلڈ تھیوری وچّ موجود نہیں ہندی، اس نوں اجکلّ ہاگ دی تھیورم کیہا جاندا ہے۔ ہاگ دے اصلی ثبوت بعد وچّ بہت سارے لیکھکاں، جہناں وچّ حالَ اتے وٹمین شامل ہن، ولوں سرو سدھارن کیتے گئے، جو اس نتیجے تے پہنچیا کہ اک سنگل، برہمنڈی ہلبرٹ سپیس پیش کش ستنتر اتے کریاشیل پھیلڈاں دوہاں نوں درساؤن اتے سنتشٹ کرن لئی کافی نہیں ہے۔ 1975 وچّ، ریڈ اتے سمون نے ثابت کیتا کہ اک ہاگ ورگی تھیورم وکھرے پنجاں دیاں ستنتر نیوٹرل سکیلر پھیلڈاں تے وی لاگوُ ہندی ہے، جسدا ارتھ ہے کہ انٹریکشن تصویر کریاواں دی غیر حاضری ہیٹھ وی موجود نہیں ہو سکدی ۔

### ناپ-اجادی (Gauge freedom)

اک ناپ-تھیوری اجیہی تھیوری ہندی ہے جو اک ستھانک ماپدنڈ نال اک سمروپتا سویکار کردی ہے۔ اداہرن دے طور تے، ہریک کوانٹم تھیوری وچّ، ترنگ فنکشن دا سنسارک چرن (global phase) منچاہا ہے اتے کوئی بھوتکی چیز پرستت نہیں کردا۔ فلسروپ، تھیوری اوستھاواں دی سنساری تبدیلی تھلے تبدیلییوگ نہیں ہے (ہریک جگہ تے، سارے ترنگ پھنکشناں دیاں اوستھاواں وچّ اک ستھر انک جوڑدے ہوئے)؛ ایہہ سنسارک سمروپتا ہے۔ کوانٹم الیکٹروڈائنامیکس وچّ، اوستھا دے اک ستھانک پرورتن ہیٹھاں وی تھیوری تبدیلییوگ نہیں ہندی، یانِ کہ- سارے ترنگ پھنکشناں دیاں اوستھاواں وچّ اس طرحاں تبدیلی کیتی جا سکدی ہے تاں جو سپیس سمیں وچّ ہریک بندو تے تبدیلی وکھری وکھری ہو سکدی ہے۔ ایہہ ستھانک سمروپتا ہے۔ پھیر وی، اک چنگی طرحاں نشچت گنک (derivative) اوپریٹر دی ہوند لئی، اک نویں پھیلڈ شروع کرنی پویگی، جسنوں گیج پھیلڈ کہندے ہن، جو بدلن والے انکاں دی ستھانک تبدیلی مطابق تبدیل ہو جاندی ہے تاں جو گنک (derivative) پربھاوت نہ ہو سکے۔ کوانٹم الیکٹروڈائنامیکس وچّ ایہہ ناپ-پھیلڈ الیکٹرومیگنیٹک پھیلڈ ہندی ہے۔ تبدیل ہون والے انکاں دے ستھانک ناپ دی تبدیلی نوں پیمانہ تبدیلی (gauge transformation) کیہا جاندا ہے۔

کوانٹم پھیلڈ تھیوری وچّ، پھیلڈ دے وادھے گھاٹے کناں نوں پرستت کردے ہن۔ گیج فیل دے وادھے گھاٹے نال سبندھت کن گیج بوسون ہندا ہے، جو کوانٹم الیکٹروڈائنامیکس دے کیس وچّ پھوٹون ہندا ہے۔
کوانٹم پھیلڈ تھیوری وچّ آزادی دیاں ڈگریاں پھیلڈاں دے ستھانک اتراؤ-چڑاؤ ہندے ہن۔ گیج سمروپتا دی موجودگی آزادی دیاں ڈگریاں دی گنتی وچّ گھاٹا پیدا کردی ہے، کیونکہ پھیلڈاں دے کجھ اتراؤ-چڑاؤ گیج تبدیلیاں راہیں 0 وچّ تبدیل کیتے جا سکدے ہن، اسلئی اوہ ناماتر اتراؤ-چڑاؤ رکھن سامان ہن، اسلئی اہنا دا کوئی بھوتکی ارتھ وی نہیں رہِ جاندا۔ اجیہے اتراؤ-چڑاؤ عامَ طور تے ‘آزادی دیاں غیر-بھوتکی ڈگریاں’ جاں ناپ-کلاکرتیاں (gauge artifact) کیہا جاندا ہے؛ عامَ طور تے ایہناں وچوں کجھ دا اک نیگیٹو ملّ ہندا ہے، جو اوہناں نوں اک ستھائی تھیوری لئی غیر-ڈھکواں بناؤندا ہے۔ اسلئی، جیکر پراتن پھیلڈ تھیوری دی اک ناپ-سمروپتا ہووے، پھیر اسدا نردھارت روپ (یانِ کہ سبندھت کوانٹم پھیلڈ تھیوری) دی وی اپنی سمروپتا ہوویگی۔ دوجے شبداں وچّ، اک گیج سمروپتا وچّ اک کوانٹم نیمہینتا نہیں ہو سکدی۔ جیکر اک گیج سمروپتا وچّ نیمہینتا ہووے (یانِ کہ کوانٹم تھیوری وچّ نہ رکھی ہووے) پھیر تھیوری ستھر نہیں ہندی: اداہرن وجوں، کوانٹم الیکٹروڈائنامیکس وچّ، جیکر کوئی گیج نیمہینتا ہندی، پھیر اسنے لمباتمک دھرویکرن (longitudinal polarization) والے پھوٹوناں دی موجودگی منگنی سی اتے وقت دی دشا وچّ دھرویکرن منگنا سی، جہناں دا نیگیٹو ملّ ہون کارن تھیوری استھر رہِ جانی سی؛ اجیہے پھوٹوناں دے دسن دی اک ہور سمبھاونا صرف مدھ والیاں کریاواں وچّ ہو سکدی سی پر کسے پرسپر کریا دے انتم اتپاد وچّ نہیں ہو سکدی سی، جو تھیوری نوں غیر-عملی اتے دوبارہ استھر بنا دندی (دیکھو اؤپٹیکل تھیورم)

عامَ طور تے، اک تھیوری دیاں گیج تبدیلیاں کئی وکھریاں وکھریاں تبدیلیاں دیاں بنیاں ہندیاں ہن، جو ضروری نہیں کہ کمیؤٹیٹو (commutative) ہون۔ ایہہ تبدیلیاں سموہک روپ وچّ اک گیج گروپ نامک گنتک چیز راہیں درسائیاں جاندیاں ہن۔ اتی-سوخم ناپ تبدیلیاں ناپ-گروپ جنم داتا ہن۔ اسلئی گیج بوسوناں دی گنتی گروپ ایام ہندی ہے (یانِ کہ بنیاد رچن والے جنمداتاواں دی گنتی)۔
قدرت وچّ ساریاں بنیادی پرسپر کریاواں گیج تھیوریاں راہیں درسائیاں جاندیاں ہن۔ ایہہ ہن؛

• کوانٹم کروموڈائنامیکس، جسدا گیج گروپ SU(3) ہے۔ گیج بوسون 8 گلوؤن ہن۔

• الیکٹرو-ویک تھیوری، جسدا گیج گروپ U(1) � SU(2) ہے، (U(1) اتے SU(2) دی سدھی پیداور)۔

• گریوٹی، جسدی پراتن تھیوری جنرل ریلیٹیوٹی ہے، جو سمانتا سدھانت نوں مندی ہے، جو گیج سمروپتا دی اک قسم ہے۔ پھیر وی، ایہہ سپشٹّ روپ وچّ پنر-مانکیکرنیوگ نہیں ہے۔

### بہو-ملّ والیاں ناپ-تبدیلیاں

تھیوری نوں استھر چھڈّ دین والیاں گیج تبدیلیاں وچّ پربھاشک طور تے صرف اکلوتے ملّ والا ناپ فنکشن WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 شامل ہے جو شوارز ایکیکرنیوگتا ماپدنڈ (Schwarz integrability criterion) نوں سنتشٹ کردا ہے ؛

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56
ناپ تبدیلیاں دی اک دلچسپ شاکھا پیدا ہو جاندی ہے جیکر گیج فنکشن WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 نوں بہو-ملّ والا فنکشن ہون دی آگیا دتی جاوے، جو ایکیکرن ماپدنڈ دی النگھنا ہے۔ ایہہ بھوتکی پھیلڈ طاقتاں نوں بدلن دی یوگتا رکھدیاں ہن اتے اسے کرکے کوئی ڈھکویاں سمروپ تبدیلیاں نہیں ہن۔ انا ہی نہیں، بدلیاں گئیاں پھیلڈ سمیکرناں نویاں پیدا ہوئیاں پھیلڈ طاقتاں دی حاضری وچّ بھوتکی نیماں نوں صحیح صحیح درساؤندیاں ہن۔ ہاگن کلینرٹ دوارا لکھی پستک MULTIVALUED FIELDS دیکھو جس وچّ بھوتک وگیان وچّ گھٹناواں لئی اپیوگ لکھے گئے ہن۔

### سپر-سمروپتا

سپر سمرتھپتا وچّ منیا جاندا ہے کہ ہریک بنیادی پھرمیؤن دا اک سپر ساتھی ہندا ہے جو اک بوسون ہندا ہے تے ہریک بوسون دا سپر ساتھی اک پھرمیؤن ہندا ہے۔ اس نوں پدکرم سمسیا (Hierarchy Problem) نوں حلّ کرن لئی بنایا گیا سی، یانِ کہ ایہہ سمجھاؤن لئی کہ جو کن کسے سمروپتا (ہگز بوسون وانگ) دوارا سرکھات نہیں ہندے، وشال پیمانیاں (GUT، Planck...) ولّ دھکیلے جان لئی اپنے پنج وچّ ریڈیئیٹو سدھار کیوں نہیں پراپت کردے۔ ایہہ جلدی ہی محسوس کیتا گیا کہ سپرسمروپتا دیاں ہور دلچسپ وشیشتاواں ہن: اسدا ناپ والا روپ جنرل ریلیٹیوٹی (Supergravity) دی اک ساکھا ہے، اتے ایہہ سٹرنگ تھیوری دی ستھرتا لئی مول انگ ہے۔

سپرسمروپتا دا پدکرم سمسیاواں توں سرکھات کرن دا طریقہ ایہہ ہے: کیونکہ ہریک کن لئی اسے پنج دا اک سپر ساتھی ہندا ہے، اک ریڈیئیٹو سدھار وچّ کوئی وی لوپ اسدے سبندھت سپر ساتھی دے لوپ راہیں تھیوری نوں UV سیمت چھڈّ کے ردّ کر دتا جاندا ہے۔

کیونکہ کوئی وی سپر ساتھی اجے تکّ دیکھیا نہیں گیا ہے، جیکر سپر سمروپتا ہندی ہے تاں ایہہ ضرور ہی توڑ دتی جائیگی (اک نرم نیم ادھین، جو سپر سمروپتا نوں اسدے لابھکاری لچھن برباد کیتے بغیر توڑ دندا ہے)۔ اس توڑ دا سرل ماڈل منگ کردا ہے کہ سپر ساتھیاں دی اورجا زیادہ نہیں ہونی چاہیدی؛ ایہناں کیساں وچّ، سپرسمروپتا نوں پرکھن دی وشال ہاڈرن ٹکراؤ (Large Hadron Collider) اتے امید ہے۔ ہگز کن اسے ٹکراؤ وچّ کھوجیا گیا ہے، اتے کوئی اجیہا سپر ساتھی نہیں کھوجیا گیا۔