# ਵਕਰਤਾ

A migrating, wild-type *Dictyostelium discoideum* ਸੈੱਲ ਜਿਸਦੀ ਹੱਦ ਕਰਵੇਚਰ ਨਾਲ ਰੰਗਦਾਰ ਕੀਤੀ ਹੋਈ ਹੈ. Scale bar: 5 µm; duration: 22 seconds.
**ਵਕਰਤਾ** ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ, ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਦੇ ਵੱਖਰੇ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਛੁਪੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਸੰਕਲਪਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹੈ। ਸਹਿਜ ਗਿਆਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਕਹਿੰਦੇ ਹੋਏ, ਕਰਵੇਚਰ ਉਹ ਮਾਤਰਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਰਾਹੀਂ ਕੋਈ ਜੀਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਵਸਤੂ ਫਲੈਟ (ਪੱਧਰੀ), ਜਾਂ ਕਿਸੇ ਰੇਖਾ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ ਸਿੱਧੀ ਹੋਣ ਤੋਂ ਝੁਕਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਸੰਦਰਭ ਤੇ ਅਧਾਰਿਤ ਵੱਖਰੇ ਵੱਖਰੇ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਵੀ ਇਸ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਐਕਸਟਰਿੰਸਿਕ (ਬਾਹਰੀ) ਕਰਵੇਚਰ ਅਤੇ ਇੰਟਰਿੰਸਿਕ (ਅੰਦਰੂਨੀ) ਕਰਵੇਚਰ ਦਰਮਿਆਨ ਇੱਕ ਮੁੱਖ ਫਰਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਬਾਹਰੀ ਕਰਵੇਚਰ ਕਿਸੇ ਹੋਰ ਸਪੇਸ (ਆਮਤੌਰ ਤੇ ਯੂਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ) ਅੰਦਰ ਇਸ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਜੜੀਆਂ ਹੋਈਆਂ ਵਸਤੂਆਂ ਲਈ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਓਸ ਵਸਤੂ ਨੂੰ ਛੂਹਣ ਵਾਲੇ ਚੱਕਰਾਂ ਦੇ ਕਰਵੇਚਰ ਦੇ ਰੇਡੀਅਸ (ਵਕਰਤਾ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ) ਨਾਲ ਸਬੰਧ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇੰਟ੍ਰਿੰਸਿਕ ਕਰਵੇਚਰ (ਅੰਦਰੂਨੀ ਵਕਰਤਾ) ਕਿਸੇ ਰੀਮਾਨੀਅਨ ਮੈਨੀਫੋਲਡ (ਬਹੁਪਰਤ) ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਆਰਟੀਕਲ ਮੁੱਖ ਤੌਰ ਤੇ ਪਹਿਲੇ ਸੰਕਲਪ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਹੈ।

ਐਕਸਟ੍ਰਿੰਸਿਕ ਕਰਵੇਚਰ (ਬਾਹਰੀ ਵਕਰਤਾ) ਦੀ ਕਾਨੋਨੀਕਲ ਉਦਾਹਰਨ ਇੱਕ ਚੱਕਰ ਹੈ, ਜਿਸਦੀ ਕਰਵੇਚਰ ਇਸਦੇ ਰੇਡੀਅਸ ਦੇ ਉਲਟ (ਰੈਸੀਪਰੋਕਲ) ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਛੋਟੇ ਚੱਕਰ (ਸਰਕਲ) ਜਿਆਦਾ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਝੁਕਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਇਸ ਕਾਰਣ ਜਿਆਦਾ ਕਰਵੇਚਰ ਰੱਖਦੇ ਹਨ। ਕਿਸੇ ਸਮੂਥ ਕਰਵ (ਸੁਚਾਰੂ ਵਕਰ) ਦਾ ਕਰਵੇਚਰ, ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਓਸਕੁਲੇਟਿੰਗ (ਛੂਹ ਰਹੇ) ਇਸਦੇ ਚੱਕਰ ਦੇ ਕਰਵੇਚਰ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਆਮ ਤੌਰ ਤੇ ਇਹ ਇੱਕ ਸਕੇਲਰ ਮਾਤਰਾ (ਕੁਆਂਟਿਟੀ) ਹੈ, ਪਰ ਝੁਕਣ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਅਤੇ ਇਸਦੇ ਤਿੱਖੇਪਣ ਨੂੰ ਦਿਮਾਗ ਵਿੱਚ ਰੱਖ ਕੇ ਇੱਕ ਕਰਵੇਚਰ ਵੈਕਟਰ ਵੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਜਿਆਦਾ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਚੀਜ਼ਾਂ (ਜਿਵੇਂ ਸਤਹਿਾਂ ਜਾਂ ਇੱਥੋਂ ਤੱਕ ਕਰਵਡ n-ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸਾਂ) ਦੇ ਕਰਵੇਚਰ ਨੂੰ ਲੀਨੀਅਰ ਅਲਜਬਰੇ ਤੋਂ ਲਈਆਂ ਗਈਆਂ ਹੋਰ ਕੰਪਲੈਕਸ ਚੀਜ਼ਾਂ ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਆਮ ਰੀਮੈਨ ਕਰਵੇਚਰ ਟੈਂਸਰ।

## ਪਲੇਨ ਕਰਵਾਂ ਦਾ ਕਰਵੇਚਰ (ਪੱਧਰੀਆਂ ਵਕਰਾਂ ਦੀ ਵਕਰਤਾ)

ਮੰਨ ਲਓ C ਇੱਕ ਪਲੇਨ ਵਕਰ ਹੈ (ਸ਼ੁੱਧ ਤਕਨੀਕੀ ਮਾਨਤਾਵਾਂ ਥੱਲੇ ਲਿਖੀਆਂ ਹਨ)। ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ C ਦਾ ਕਰਵੇਚਰ ਓਸ ਚੀਜ਼ ਦਾ ਨਾਪ ਹੈ ਕਿ ਗਵਾਂਢੀ ਬਿੰਦੂਆਂ ਵੱਲ ਜਾਂਦੀ ਹੋਈ ਇਸਦੀ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾ (ਟੇਨਜੈਂਟ ਲਾਈਨ) ਕਿੰਨੀ ਕੁ ਸੈਂਸਟਿਵ (ਸਵੇੰਦਨਸ਼ੀਲ) ਹੈ। ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਬਰਾਬਰ ਤਰੀਕਿਆਂ ਰਾਹੀਂ ਇਸ ਵਿਚਾਰ ਨੂੰ ਸ਼ੁੱਧ ਬਣਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਜੀਓਮੈਟ੍ਰਿਕ (ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ) ਹੈ। ਕਿਸੇ ਸਿੱਧੀ ਰੇਖਾ ਦੀ ਕਰਵੇਚਰ ਨੂੰ ਜ਼ੀਰੋ ਬਰਾਬਰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨਾ ਕੁਦਰਤੀ ਗੱਲ ਹੈ। ਰੇਡੀਅਸ R ਵਾਲੇ ਕਿਸੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਕਰਵੇਚਰ ਵਿਸ਼ਾਲ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ R ਬਹੁਤ ਛੋਟਾ ਹੋਵੇਗਾ ਅਤੇ ਕਰਵੇਚਰ ਬਹੁਤ ਛੋਟਾ ਹੋਵੇਗਾ ਜੇਕਰ R ਵੱਡਾ ਹੋਵੇਗਾ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਕਿਸੇ ਚੱਕਰ ਦਾ ਕਰਵੇਚਰ ਰੇਡੀਅਸ ਦੇ ਉਲਟ ਹੋਣਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:

float
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
ਕਿਸੇ ਕਰਵ C ਅਤੇ ਇਸ ਉੱਤੇ ਦਿੱਤੇ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ P ਲਈ, ਇੱਕ ਯੂਨੀਕ ਚੱਕਰ ਜਾਂ ਰੇਖਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਜਿਆਦਾ ਨੇੜੇ ਤੋਂ P ਦੇ ਨੇੜੇ ਕਰਵ ਨੂੰ ਲਗਭਗ ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕੈਲਕੁਲੇਟ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ P ਉੱਤੇ ਓਸਕੁਲੇਟਿੰਗ ਚੱਕਰ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ। P ਉੱਤੇ C ਦਾ ਕਰਵੇਚਰ ਓਸ ਚੱਕਰ ਜਾਂ ਰੇਖਾ ਦੇ ਕਰਵੇਰਚਰ ਬਰਾਬਰ ਹੋਣਾ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕਰਵੇਚਰ ਦਾ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਕਰਵੇਚਰ ਦੇ ਉਲਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਕਰਵੇਚਰ ਨੂੰ ਸਮਝਣ ਦਾ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਭੌਤਿਕੀ ਹੈ। ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ ਕੋਈ ਪਾਰਟੀਕਲ (ਕਣ) ਯੂਨਿਟ ਸਪੀਡ ਨਾਲ ਕਰਵ ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਹੈ। C ਲਈ ਟਾਈਮ s ਨੂੰ ਪੈਰਾਮੀਟਰ (ਮਾਪਦੰਡ) ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਲੈਂਦੇ ਹੋਏ, ਇਹ ਕਰਵ ਲਈ ਕੁਦਰਤੀ ਮਾਪਦੰਡਤਾ (ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰੀਜ਼ੇਸ਼ਨ) ਮੁਹੱਈਆ ਕਰਵਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਯੂਨਿਟ ਟੇਨਜੈਂਟ (ਸਪਰਸ਼) ਵੈਕਟਰ T (ਜੋ ਵਿਲੌਸਿਟੀ ਵੈਕਟਰ ਵੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਪਾਰਟੀਕਲ ਯੂਨਿਟ ਸਪੀਡ ਨਾਲ ਗਤੀ ਕਰ ਰਿਹਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ) ਟਾਈਮ ਤੇ ਵੀ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਫੇਰ, ਕਰਵੇਚਰ, T ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਦੀ ਦਰ (ਰੇਟ ਔਫ ਚੇਂਜ) ਦਾ ਮੈਗਨੀਟਿਊਡ (ਮੁੱਲ/ਮਾਤਰਾ) ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਚਿੰਨ੍ਹ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਦੇ ਹੋਏ,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
ਕਿਸੇ ਪੱਧਰੀ ਵਕਰ ਉੱਤੇ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ ਉੱਤੇ T ਅਤੇ N ਵੈਕਟਰ, ਦੂਜੀ ਫਰੇਮ (ਡੌਟਡ) ਦਾ ਇੱਕ ਬਦਲਿਆ ਹੋਏ ਰੂਪ, ਅਤੇ T ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ: ਬਿੰਦੂਆਂ ਦਰਮਿਆਨ ਦੂਰੀ δT. δs ਹੈ। ਹੱਦ (ਲਿਮਿਟ) WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 ਦਿਸ਼ਾ N ਵੱਲ ਹੋਵੇਗੀ ਅਤੇ ਕਰਵੇਚਰ, ਫਰੇਮ ਦੀ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਦੀ ਸਪੀਡ ਦਾ ਵਿਵਰਣ ਦੇਵੇਗੀ।
ਇਹ ਪਾਰਟੀਕਲ ਦੇ ਐਕਸਲਰੇਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਵੈਕਟਰ WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 ਐਕਸਲਰੇਟ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਵੈਕਟਰ ਹੈ। ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ ਤੇ, ਕਰਵੇਚਰ k ਇਹ ਨਾਪਦਾ ਹੈ ਕਿ ਵਕਰ ਤੋਂ ਯੂਨਿਟ ਸਪਰਸ਼ ਵੈਕਟਰ ਕਿੰਨੀ ਤੇਜ਼ੀ ਨਾਲ ਘੁੰਮਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਵਕਰ ਓਸੇ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਨੇੜੇ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ, ਯੂਨਿਯ ਟੇਨਜੈਂਟ ਵੈਕਟਰ ਬਹੁਤ ਘੱਟ ਬਦਲਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਕਰਵੇਚਰ ਘੱਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ; ਜਿੱਥੇ ਕਰਵ ਕੋਈ ਕਸਿਆ ਹੋਇਆ ਮੋੜ ਲੈਂਦੀ ਹੈ, ਕਰਵੇਚਰ ਜਿਆਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਕਰਵਚੇਰ ਪ੍ਰਤਿ ਇਹ ਦੋਹੇ ਪਹੁੰਚਾਂ ਆਪਸ ਵਿੱਚ ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਅੱਗੇ ਲਿਖੇ ਨਿਰੀਖਣ ਰਾਹੀਂ ਸਬੰਧਿਤ ਹਨ। ਪਹਿਲੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ, ਚੱਕਰ ਦਾ ਕਰਵੇਚਰ ਆਰਕ ਦੇ ਕਿਸੇ ਐਂਗਲ ਦੇ ਉਸਦੀ ਲੰਬਾਈ ਨਾਲ ਅਨੁਪਾਤ ਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸੇਤਰਾਂ, ਕਿਸੇ ਪੱਧਰੀ ਵਕਰ ਦਾ ਕਿਸੇ ਵੀ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਕਰਵਵੇਚਰ dθ ਦੇ ਅਨੁਪਾਤ ਦੀ ਸੀਮਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ dθ ਉਹ ਸੂਖਮ ਕੋਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਕਰਵ ਦੇ ਬਹੁਤ ਸੂਖਮ ਹਿੱਸੇ ਦੇ ਸਿਰਿਆਂ ਉੱਤੇ ਕਰਵ ਤੋਂ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਅਤੇ ਸੂਖਮ ਹਿੱਸੇ ds ਦਰਮਿਆਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਯਾਨਿ ਕਿ dθ/ds। ਜੇਕਰ ਸੂਖਮ ਹਿੱਸੇ ਦੇ ਸਿਰਿਆਂ ਉੱਤੇ ਸਪਰਸ਼ ਰੇਖਾਵਾਂ ਨੂੰ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇ, ਤਾਂ ਇਹ ਦਿਖਾਉਣਾ ਅਸਾਨ ਹੈ ਕਿ ਇਸ ਹੱਦ ਵਿੱਚ, ਅੰਤਰ ਵਾਲੇ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਮਾਤਰਾ dθ ਬਰਾਬਰ ਹੈ, ਜੋ ਕਰਵੇਚਰ ਦੀ ਦੂਜੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਲਿਖੀ ਐਕਸਪਰੈਸ਼ਨ (ਦਰਸਾਓ) ਵੱਲ ਲੈ ਕੇ ਜਾਂਦੀ ਹੈ।

### ਸ਼ੁੱਧ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ

ਮੰਨ ਲਓ ਕਿ C ਇੱਕ ਦੋ ਵਾਰ “ਨਿਰੰਤਰ ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਏਬਲ ਪੈਦਾ ਹੋ ਰਹੀ ਪਲੇਨ ਕਰਵ” ਹੋਵੇ, ਜਿਸਦਾ ਇੱਥੇ ਅਰਥ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ γ(t) = (x(t), y(t)) ਦੇ ਇੱਕ ਜੋੜੇ ਰਾਹੀਂ C ਦੀ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਿਕ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਮੌਜੂਦ ਹੈ ਕਿ, x ਅਤੇ y ਦੇ ਪਹਿਲੇ ਅਤੇ ਦੂਜੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੋਵੇਂ ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਨਿਰੰਤਰ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਡੋਮੇਨ ਰਾਹੀਂ ਇਹ ਸ਼ਰਤ ਪੂਰੀ ਹੋਵੇ;

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
ਅਜਿਹੀ ਕਿਸੇ ਪਲੇਨ ਕਰਵ ਲਈ, ਆਰਕ ਲੰਬਾਈ s ਦੇ ਨਾਲ ਜੁੜੀ ਇੱਕ ਪੁਨਰ-ਮਾਪਦੰਡਕਰਣ (ਰੀਪੈਰੀਮੀਟ੍ਰੀਜ਼ੇਸ਼ਨ) ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਹ C ਦਾ ਅਜਿਹਾ ਮਾਪਦੰਡਕਰਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10
ਵਿਲੌਸਿਟੀ ਵੈਕਟਰ T(s) ਯੂਨਿਟ ਸਪਸ਼ਟ ਵੈਕਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਯੂਨਿਟ ਨੌਰਮਲ ਵੈਕਟਰ N(s), ਕਰਵੇਚਰ κ(s), ਓਰੀਐਂਟਡ ਜਾਂ ਸਾਈਨਡ ਕਰਵੇਚਰ k(s), ਅਤੇ ਕਰਵੇਚਰ ਦਾ ਰੇਡੀਅਸ R(s) ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੁੰਦੇ ਹਨ:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
ਮਨਮਰਜੀ ਦੇ “ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ” ਵਿੱਚ ਕਰਵੇਚਰ ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਲਗਾਉਣ ਲਈ ਵਿਵਰਣ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਹੇਠਾਂ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।

### ਸਾਇਨਡ ਕਰਵੇਚਰ

ਸਾਇਨਡ ਕਰਵੇਚਰ k ਓਸ ਦਿਸ਼ਾ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕਰਵ ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ ਪੈਰਾਮੀਟਰ ਦੇ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਯੂਨਿਟ ਸਪਰਸ਼ ਵੈਕਟਰ ਘੁੰਮਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰ ਐਂਟੀਕਲੌਕਵਾਇਜ਼ ਘੁੰਮਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਮੁੱਲ k > 0 ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ। ਜੇਕਰ ਇਹ ਕਲੌਕਵਾਇਜ਼ (ਘੜੀ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ) ਘੁੰਮਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ k < 0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਲਈ, ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਕਿਸੇ ਗਰਾਫ ਦੇ ਕਰਵੇਚਰ ਦਾ ਚਿੰਨ੍ਹ ਦੂਜੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਦੇ ਚਿੰਨ੍ਹ ਬਰਾਬਰ ਹੀ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ।

ਚਿੰਨਬੱਧ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਕਰਵੇਚਰ ਕਿਸੇ ਕਰਵ ਲਈ ਚੁਣੇ ਗਏ ਖਾਸ ਮਾਪਦੰਡਕਰਣ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਯੂਨਿਟ ਚੱਕਰ ਨੂੰ (cos(θ),sin(θ)) (ਕਾਉਂਟਰਕਲੌਕਵਾਇਜ਼, k > 0 ਨਾਲ), ਜਾਂ (cos(−θ),sin(−θ)) (ਕਲੌਕਵਾਇਜ਼, k < 0 ਨਾਲ) ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰਾਈਜ਼ਡ (ਮਾਪਦੰਡਕ੍ਰਿਤ) ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਹੋਰ ਸ਼ੁੱਧਤਾ ਨਾਲ ਕਹਿੰਦੇ ਹੋਏ, ਚਿੰਨਬੱਧ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਕਰਵੇਚਰ ਕਿਸੇ ਲੀਨ ਹੋ ਰਹੀ ਕਰਵ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਦੇ ਰੱਖ ਰਖਾਓ ਦੀ ਚੋਣ ਤੇ ਹੀ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਪੱਧਰੇਪਣ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਲੀਨ ਹੋ ਰਹੀ ਕਰਵ ਦੋ ਸੰਭਵ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਰੱਖਦੀ ਹੈ।

### ਸਥਾਨਿਕ ਦਰਸਾਓ

ਕਾਰਟੀਜ਼ੀਅਨ ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ γ(t) = (x(t),y(t)), ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਪੱਧਰੀ ਕਰਵ ਲਈ, ਕਰਵੇਚਰ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14
ਜਿੱਥੇ ਪਰਾਈਮਾਂ ਵਾਲੇ ਸੂਚਕ ਅੰਕ ਪੈਰਾਮੀਟਰ t ਪ੍ਰਤਿ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਚਿੰਨਬੱਧ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਕਰਵੇਚਰ k ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ;

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
ਇਹ ਦਰਸਾਓ ਉੱਪਰ ਚਰਚਿਤ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਜੀਓਮੈਟ੍ਰਿਕ ਅਰਥ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ, ਕਰਵੇਚਰ, ਨੌਰਮਲ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਸਪਰਸ਼ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਤਬਦੀਲੀ ਮਾਤਰਾ ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18
ਇਹਨਾਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨੂੰ ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟ ਸੁਤੰਤਰ ਅੰਦਾਜ਼ ਵਿੱਚ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ;

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20
### ਕਿਸੇ ਗਰਾਫ ਦਾ ਕਰਵੇਚਰ

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਾਹਰੀ ਤੌਰ ਤੇ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਕਿਸੇ ਪਲੇਨ ਕਰਵ ਦੇ ਜਰਾ ਘੱਟ ਆਮ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ,  *x*  ਕੋਆਰਡੀਨੇਟ ਪ੍ਰਤਿ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵਾਂ ਲਈ ਪਰਾਈਮਜ਼ ਵਰਤ ਕੇ ਹੁਣ, ਕਰਵੇਚਰ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24  ,
ਅਤੇ ਸਾਈਨ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ ਕਰਵੇਚਰ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26  .
ਇਹ ਮਾਤਰਾ ਫਿਜਿਕਸ ਅਤੇ ਇੰਜਨੀਅਰਿੰਗ ਵਿੱਚ ਆਮ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ;: ਉਦਾਹਰਨ ਲਈ, ਬੀਮਾਂ ਵਿੱਚ ਝੁਕਾਓ ਦੀ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਵਿੱਚ, ਕਿਸੇ ਟੈਂਸ ਸਟਰਿੰਗ ਦੀ 1 D ਵਾਈਬਰੇਸ਼ਨ (ਕੰਪਨ), ਸਤਹਿਾਂ ਦੁਆਲੇ ਤਰਲ ਦਾ ਪ੍ਰਵਾਹ, ਅਤੇ ਸਾਗਰੀ ਤਰੰਗਾਂ ਵਿੱਚ ਮੁਕਤ ਸਤਹਇ ਹੱਦ ਸ਼ਰਤਾਂ। ਅਜਿਹੀਆਂ ਐਪਲੀਕੇਸ਼ਨਾਂ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਮਾਨਤਾ ਲਗਭਗ ਮੰਨ ਹੀ ਲਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਇਕਾਈ ਦੇ ਤੁਲਨਾਤਮਿਕ ਸਲੋਪ (ਢਾਲ) ਬਹੁਤ ਛੋਟੀ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਇਹ ਸੰਖੇਪਤਾ ਵਰਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28
ਇਹ ਸੰਖੇਪਤਾ ਘਟਨਾਕ੍ਰਮ ਦਾ ਵਿਵਰਣ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਸਿੱਧੀ ਹੀ ਲੀਨੀਅਰ ਇਕੁਏਸ਼ਨ ਪੈਦਾ ਕਰਦੀ ਹੈ।
ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਕਰਵ ਪੋਲਰ “ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟਾਂ ਜਿਵੇਂ WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਕਰਵੇਚਰ ਇਹ ਬਣੇਗਾ

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32
ਜਿੱਥੇ ਹੁਣ ਪਰਾਈਮ ਚਿੰਨ੍ਹ ਥੀਟੇ ਪ੍ਰਤਿ ਡਿਫਰੈਂਸੀਏਸ਼ਨ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ।

## ਸਪੇਸ ਕਰਵਾਂ ਦਾ ਕਰਵੇਚਰ

ਕਰਵੇਚਰ ਅਤੇ ਐਕਸਲਰੇਸ਼ਨ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਐਨੀਮੇਸ਼ਨ WIKINIUM\_MATH\_PH\_34
ਜਿਵੇਂ ਦੋ-ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਕਰਵਾਂ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮਾਂ (ਅਤੇ ਜਿਆਦਾ) ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਨਿਯਮਤ (ਰੈਗੁਲਰ) ਸਪੇਸ ਕਰਵ C ਦਾ ਕਰਵੇਚਰ, ਕਰਵ ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ ਯੂਨਿਟ ਸਪੀਡ ਨਾਲ ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਕਿਸੇ ਪਾਰਟੀਕਲ ਦੇ ਐਕਸਲਰੇਸ਼ਨ ਦੇ ਮੁੱਲ ਬਰਾਬਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਜੇਕਰ γ(s), ਕਰਵ C ਦੀ ਪੈਰਾਮੀਟ੍ਰੀਜ਼ੇਸ਼ਨ ਵਕਰਲੰਬਾਈ ਹੋਵੇ, ਤਾਂ ਯੂਨਿਟ ਟੇਨਜੈਂਟ ਵੈਕਟਰ T(s) ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
ਅਤੇ ਐਕਸਲਰੇਸ਼ਨ ਦਾ ਮੁੱਲ ਕਰਵੇਚਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38
ਐਕਸਲਰੇਸ਼ਨ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਯੂਨਿਟ ਨੌਰਮਲ ਵੈਕਟਰ N(s) ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਨੂੰ ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40
ਦੋ ਵੈਕਟਰਾਂ T(s) ਅਤੇ N(s) ਨੂੰ ਰੱਖਣ ਵਾਲੀ ਪਲੇਨ ਨੂੰ ਕਰਵ ਉੱਤੇ γ(s) ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਓਸਕੁਲੇਟਿੰਗ ਪਲੇਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕਰਵੇਚਰ ਦੀ ਅੱਗੇ ਲਿਖੀ ਰੇਖਾਗਣਿਤਿਕ ਵਿਆਖਿਆ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। γ(s) ਨੂੰ ਸਪਰਸ਼ ਕਰਦੀ ਓਸਕੁਲੇਟਿੰਗ ਪਲੇਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਅਜਿਹਾ ਚੱਕਰ ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਕਿਸੇ ਸਪਰਸ਼ ਬਿੰਦੂ ਉੱਤੇ ਦੂਜੇ ਦਰਜੇ ਤੱਕ ਦਾ ਟੇਲਰ ਸੀਰੀਜ਼ γ(s) ਵਾਲੇ ਸੀਰੀਜ਼ ਨਾਲ ਸਹਿਮਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਕਰਵ ਪ੍ਰਤਿ ਸਪਰਸ਼ ਕਰਦਾ ਚੱਕਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਚੱਕਰ ਦੇ ਰੇਡੀਅਸ R(s) ਨੂੰ ਕਰਵੇਚਰ ਦਾ ਰੇਡੀਅਸ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਕਰਵੇਚਰ ਇਸਦੇ ਉਲਟ (ਰੈਸੀਪਰੋਕਲ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42
ਟੇਨਜੈਂਟ, ਕਰਵੇਚਰ, ਅਤੇ ਨੌਰਮਲ ਵੈਕਟਰ ਇਕਠੇ ਹੀ ਕਿਸੇ ਬਿੰਦੂ ਨੇੜੇ ਕਰਵ ਦੇ ਦੂਜੇ ਦਰਜੇ ਦੇ ਵਰਤਾਓ ਦਾ ਵਿਵਰਣ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ, ਕਿਸੇ ਕਰਵ ਦਾ ਤੀਜੇ ਦਰਜੇ ਦਾ ਵਰਤਾਓ ਟੌਰਜ਼ਨ ਦੇ ਇੱਕ ਸਬੰਧਿਤ ਸੰਕਲਪ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਉਹ ਪਲ ਨਾਪਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਤੱਕ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਹੈਲੀਕਲ ਰਸਤੇ ਵਿੱਚ ਕਰਵ ਗਤੀ ਕਰਨ ਵਾਲ ਮਜਬੂਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਟੌਰਜ਼ਨ ਅਤੇ ਕਰਵੇਚਰ ਫਰਨੈੱਟ-ਸੀਰੇਟ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ (ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ) ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਜਨਰਲਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ (ਉੱਚ-ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ) ਰਾਹੀਂ ਸਬੰਧ ਰੱਖਦੇ ਹਨ।

### ਲੋਕਲ ਐਕਸਪਰੈਸ਼ਨਜ਼

ਕਾਰਟੀਜ਼ੀਅਨ ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟਾਂ ਵਿੱਚ ਦਿੱਤੀ γ(t) = (x(t),y(t),z(t)) ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਿਸੇ ਮਾਪਦੰਡ ਨਾਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਸਪੇਸ ਕਰਵ ਲਈ, ਕਰਵੇਚਰ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (*x*(*t*),*y*(*t*),*z*(*t*))}},
the curvature is

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44
ਜਿੱਥੇ ਪਰਾਈਮਜ਼ ਮਾਪਦੰਡ t ਪ੍ਰਤਿ ਡਿਫਰੈਂਸ਼ੀਏਸ਼ਨ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਇਸਨੂੰ ਇਸ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੇ ਰਾਹੀਂ “ਕੋ-ਆਰਡੀਨੇਟ ਸਿਸਟਮ” ਤੋਂ ਸੁਤੰਤਰ ਕਰਕੇ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ;

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46
ਜਿੱਥੇ × ਵੈਕਟਰ ਕਰੌਸ ਪ੍ਰੋਡਕਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੀ,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48
ਇੱਥੇ t ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਟਰਾਂਸਪੋਜ਼ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਆਖਰੀ ਫਾਰਮੂਲਾ ਕਿਸੇ ਵੀ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨ ਵਾਲੀ ਯੂਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਕਰਵਾਂ ਦੇ ਕਰਵੇਚਰ ਲਈ ਵੀ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

### ਚਾਪ (ਆਰਕ) ਅਤੇ ਤਾਰ (ਕੌਰਡ) ਤੋਂ ਵਕਰਤਾ (ਕਰਵੇਚਰ)

C ਉੱਤੇ ਦਿੱਤੇ ਹੋਏ ਦੋ ਬਿੰਦੂਆਂ P ਅਤੇ Q ਲਈ, ਆਓ s(P,Q) ਨੂੰ P ਅਤੇ Q ਦਰਮਿਆਨ ਕਰਵ ਦੇ ਹਿੱਸੇ ਦੀ ਲੰਬਾਈ ਮੰਨੀਏ, ਅਤੇ d(P,Q) ਨੂੰ ਇਸ ਲੰਬਾਈ ਵਾਲੀ ਰੇਖਾ ਦਾ ਹਿੱਸ਼ਾ ਮੰਨੀਏ। P ਉੱਰੇ ਕਰਵੇਚਰ C ਇਸ ਲਿਮਿਟ ਰਾਹੀਂ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50
ਜਿੱਥੇ ਲਿਮਿਟ ਇਹ ਲਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਕਿ C ਉੱਤੇ Q ਬਿੰਦੂ P ਤੱਕ ਪਹੁੰਚ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਡੈਨੋਮੀਟਰ (ਹਰ) ਚੰਗੀ ਤਰਾਂ ਨਾਲ ਬਰਾਬਰੀ ਕਰਕੇ *d*(*P*,*Q*)3 ਲਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਫਾਰਮੂਲਾ ਕਿਸੇ ਵੀ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨ ਲਈ ਪ੍ਰਮਾਣਿਤ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਅੱਗੇ, P ਦੇ ਕਿਸੇ ਵੀ ਪਾਸੇ ਸੁਤੰਤਰਤਾ ਨਾਲ ਲਿਮਿਟ ਨੂੰ ਲੈ ਕੇ, ਕਰਵੇਚਰ ਦੀ ਇਹ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਕਦੇ ਕਦੇ P ਉੱਤੇ ਸਿੰਗੁਲਰਟੀ ਇਕੱਠੀ ਕਰ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਫਾਰਮੂਲਾ, ਓਸਕੁਲੇਟਿੰਗ ਸਪਰਸ਼ ਚੱਕਰ ਲਈ ਸਾਬਤ ਕਰਕੇ ਬਣਦਾ ਹੈ।

### ਉੱਚ-ਅਯਾਮ: ਸਪੇਸ ਦਾ ਕਰਵੇਚਰ

ਮੁਢਲੇ ਤਰਕ ਦੇ ਵਾਧੇ ਨਾਲ, ਤਿੰਨ ਜਾਂ ਜਿਆਦਾ ਅਯਾਮਾਂ ਦੀ ਕੋਈ ਸਪੇਸ ਅੰਦਰੂਨੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਰਵ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਕਰਵੇਚਰ ਇਸ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਅੰਦਰੂਨੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਹਰ ਜਗਹ ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਨਾ ਕੇਵਲ ਕਿਸੇ ਵਿਸ਼ਾਲ ਸਪੇਸ ਦੇ ਪ੍ਰਤਿ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੀ ਕਿਸੇ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਇਸਨੂੰ ਆਪਣੇ ਅੰਦਰ ਰੱਖਦੀ ਹੈ। ਆਮ ਤੌਰ ਤੇ, ਕਰਵਡ ਸਪੇਸ ਕਿਸੇ ਉੱਚ-ਅਯਾਮੀ ਐੰਬੀਅੰਟ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਜੜੀ ਹੋ ਵੀ ਸਕਦੀ ਹੈ ਤੇ ਨਹੀਂ ਵੀ ਹੋ ਸਕਦੀ ; ਜੇਕਰ ਨਾ ਜੜੀ ਹੋਵੇ ਤਾਂ ਇਸਦਾ ਕਰਵੇਚਰ ਸਿਰਫ ਅੰਦਰੂਨੀ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ।

ਕਰਵੇਚਰ ਦੀ ਅੰਦਰੂਨੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਦੀ ਖੋਜ ਤੋਂ ਬਾਦ, ਜੋ ਕਿ ਗੈਰ-ਯੂਨਿਕਲਡਨ ਜੀਓਮੈਟਰੀ ਨਾਲ ਜੁੜੀ ਹੈ, ਕਈ ਗਣਿਤ ਸ਼ਾਸਤਰੀਆਂ ਅਤੇ ਵਿਗਿਆਨਿਕਾਂ ਨੇ ਸਵਾਲ ਕੀਤਾ ਕਿ ਕੀ ਸਧਾਰਨ ਭੌਤਿਕੀ ਸਪੇਸ ਕਰਵ ਕੀਤੀ ਗਈ ਹੈ, ਭਾਵੇਂ ਯੂਕਿਲਡਨ ਜੀਓਮੈਟਰੀ ਦੀ ਸਫਲਤਾ ਓਸ ਵਕਤ ਤੱਕ ਇਹ ਅਰਥ ਰੱਖਦੀ ਸੀ ਕਿ ਕਰਵੇਚਰ ਦਾ ਰੇਡੀਅਸ ਪੁਲਾੜ ਦੀ ਤਰਾਂ ਵਿਸ਼ਾਲ ਹੋਣਾ ਚਾਹੀਦਾ ਹੈ। ਜਨਰਲ ਰੀਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੀ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ, ਜੋ ਗਰੈਵਟੀ ਅਤੇ ਬ੍ਰਹਿਮੰਡ ਵਿਗਿਆਨ (ਕੌਸਮੌਲੌਜੀ) ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਆਈਡੀਆ ਜਰਾ ਸਪੇਸ ਟਾਈਮ ਦੇ ਕਰਵੇਚਰ ਪ੍ਰਤਿਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ; ਰੀਲੇਟੀਵਿਟੀ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ, ਸਪੇਸ-ਟਾਈਮ ਇੱਕ ਸੂਡ-ਰੀਮਾਨੀਅਨ ਮੈਨੀਫੋਲਡ (ਮਿੱਥ-ਰੀਮਾਨੀਅਨ ਬਹੁਪਰਤ) ਹੈ। ਇੱਕ ਵਾਰ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਦਿੱਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਕਿਸੇ ਖਾਸ ਵਕਤ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਤਿੰਨ-ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸ ਆਮ ਤੌਰ ਤੇ ਇੱਕ ਵਕਰਿਤ ਰੀਮਾਨੀਅਨ ਬਹੁਪਰਤ ਬਣ ਜਾਂਦੀ ਹੈ; ਪਰ ਕਿਉਂਕਿ ਵਕਤ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ ਦੀ ਚੋਣ ਜਿਆਦਾਤਰ ਮਨਮਰਜੀ ਦੀ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ, ਇਹ ਛੁਪਿਆ ਸਪੇਸ-ਟਾਈਮ ਕਰਵੇਚਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਭੌਤਿਕੀ ਤੌਰ ਤੇ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਭਾਵੇਂ ਇੱਕ ਮਨਮਰਜੀ ਦੀ ਕਰਵਡ ਸਪੇਸ ਵਿਵਰਣ ਕਰਨ ਲਈ ਬਹੁਤ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਸਪੇਸ ਦੀ ਕਰਵੇਚਰ ਜੋ ਸਥਾਨਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਆਈਸੋਟ੍ਰੌਪਿਕ ਅਤੇ ਹੋਮੋਜੀਨੀਸਅਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਕਿਸੇ ਸਿੰਗਲ ਗੌਸ਼ੀਅਨ ਕਰਵੇਚਰ ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ; ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਇਹ ਤਾਕਤਵਰ ਸ਼ਰਤਾਂ ਹਨ, ਪਰ ਇਹ ਜ਼ਿੰਮੇਵਾਰ ਭੌਤਿਕੀ ਮਾਨਤਾਵਾਂ ਨਾਲ ਜੁੜੀਆਂ ਹਨ (ਸਾਰੇ ਬਿੰਦੂ ਅਤੇ ਸਾਰੀਆਂ ਦਿਸ਼ਾਵਾਂ ਵੱਖਰੇ ਪਛਾਣੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ)। ਇੱਕ ਪੌਜ਼ੇਟਿਵ ਕਰਵੇਚਰ, ਕਰਵੇਚਰ ਦੇ ਰੇਡੀਅਸ ਦੇ ਇਨਵਰਸ ਸਕੁਏਅਰ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ; ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਇੱਕ ਸਫੀਅਰ (ਗੋਲਾ) ਜਾਂ ਹਾਈਪਰਸਫੀਅਰ ਹੈ। ਨੈਗੈਟਿਵ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਵਕਰਿਤ ਸਪੇਸ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਜੀਓਮੈਟਰੀ ਹੈ। 0 ਕਰਵੇਚਰ ਵਾਲੀ ਸਪੇਸ ਜਾਂ ਸਪੇਸ-ਟਾਈਮ ਨੂੰ ਫਲੈਟ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਯੂਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਫਲੈਟ ਸਪੇਸ ਦੀ ਇੱਕ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ, ਮਿੰਕੋਵਸਕੀ ਸਪੇਸ ਇੱਕ ਫਲੈਟ ਸਪੇਸ-ਟਾਈਮ ਦੀ ਉਦਾਹਰਨ ਹੈ। ਦੋਹੇ ਸੈਟਿੰਗਾਂ ਵਿੱਚ ਭਾਵੇਂ ਫਲੈਟ ਰੇਖਾ ਗਣਿਤਾਂ ਦੀਆਂ ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਨਾਂ ਵੀ ਹਨ। ਇੱਕ ਟੌਰਸ ਜਾਂ ਇੱਕ ਸਲਿੰਡਰ ਦੋਵਾਂ ਨੂੰ ਫਲੈਟ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਦਿੱਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਆਪਣੀ ਟੌਪੌਲੌਜੀ ਵਿੱਚ ਫਰਕ ਰੱਖਦੇ ਹਨ। ਵਕਰਿਤ ਸਪੇਸ ਲਈ ਹੋਰ ਟੌਪੌਲੌਜੀਆਂ ਵੀ ਸੰਭਵ ਹਨ। ਬ੍ਰਹਿਮੰਡ ਦੀ ਸ਼ਕਲ ਬਾਰੇ ਵੀ ਪੜੋ।

### ਸਮਾਨੀਕਰਨ (ਜਨਰਲਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ)

```
ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ A → N → B → A ਤੋਂ ਸਮਾਂਤਰ ਢੋਣ (ਪੈਰਲਲ ਟਰਾਂਸਪੋਰਟ) ਤੇ ਇੱਕ ਵੱਖਰਾ ਵੈਕਟਰ ਮਿਲਦਾ ਹੈ। ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਵੈਕਟਰ ਤੱਕ ਵਾਪਸੀ ਦਾ ਇੰਝ ਫੇਲ ਹੋਣਾ ਸਤਿਹ ਦੀ ਹੋਲੋਨੋਮੀ ਰਾਹੀਂ ਨਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।
```

ਕਰਵੇਚਰ ਦਾ ਗਣਿਤਿਕ ਸੰਕਲਪ ਬਹੁਤ ਜਿਆਦਾ ਸਧਾਰਨ ਸੰਦਰਭਾਂ ਵਿੱਚ ਵੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਜਨਰਲਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨਾਂ ਕਰਵੇਚਰ ਦੇ ਵੱਖਰੇ ਪਹਿਲੂਆਂ ਤੇ ਜੋਰ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜਿਵੇਂ ਇਹ ਥੱਲੇ ਦੇ ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮਝਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੋਵੇ।

ਅਜਿਹੀ ਇੱਕ ਜਨਰਲਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਨੂੰ ਕਾਇਨੈਮੈਟਿਕ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ। ਕਿਸੇ ਕਰਵ ਦੀ ਵਕਰਤਾ ਨੂੰ ਕੁਦਰਤੀ ਤੌਰ ਤੇ ਕਿਸੇ ਕਾਇਨੈਮੈਟਿਕ ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਵਿਚਾਰਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਰਵ ਦੇ ਨਾਲ ਨਾਲ ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਕਿਸੇ ਔਬਜ਼ਰਵਰ ਦੁਆਰਾ ਮਹਿਸੂਸ ਕੀਤੇ ਫੋਰਸ ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦੀ ਹੈ; ਇਸਦੇ ਸਮਾਨ ਹੀ, ਉੱਚ-ਅਯਾਮਾਂ ਵਿੱਚ ਕਰਵੇਚਰ ਨੂੰ ਟਾਈਡਲ ਫੋਰਸ ਦੀ ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ (ਸੈਕਸ਼ਨਲ ਕਰਵੇਚਰ ਬਾਰੇ ਸੋਚਣ ਦਾ ਇਹ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਹੈ)। ਕਰਵੇਚਰ ਦੀ ਇਹ ਜਨਰਲਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਇਸ ਗੱਲ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਟੈਸਟ ਪਾਰਟੀਕਲ ਕਿੰਨੀ ਨੇੜੇ ਤੋਂ ਫੈਲਦੇ (ਡਾਇਵਰਜ) ਜਾਂ ਸੁੰਗੜਦੇ (ਕੌਨਵਰਜ) ਹਨ ਜਦੋਂ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਅਜ਼ਾਦੀ ਨਾਲ ਗਤੀਸ਼ੀਲ ਰਹਿਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੱਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਜੈਕਬੀ ਫੀਲਡ ਬਾਰੇ ਪੜੋ।

ਕਰਵੇਚਰ ਦੀ ਇੱਕ ਹੋਰ ਵਿਸ਼ਾਲ ਜਨਰਲਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਕਿਸੇ ਸਤਹਿ ਉੱਤੇ ਸਮਾਂਤਰ ਟਰਾਂਸਪੋਰਟ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਤੋਂ ਮਿਲਦੀ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ, ਜੇਕਰ ਕਿਸੇ ਗੋਲੇ ਦੀ ਸਤਹਿ ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਬੰਦ ਲੂਪ ਦੁਆਲੇ ਕਿਸੇ ਵੈਕਟਰ ਨੂੰ ਸਾਰੀ ਦੀ ਸਾਰੀ ਗਤੀ ਦੌਰਾਨ ਇਸਦੇ ਖੁਦ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਰੱਖ ਕੇ ਗਤੀ ਦੇਈਏ, ਤਾਂ ਵੈਕਟਰ ਦੀ ਅੰਤਿਮ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਇਸਦੀ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਪੁਜੀਸ਼ਨ ਤੋਂ ਵੱਖਰੀ ਵੀ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਸ ਘਟਨਾਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਹੋਲੋਨੋਮੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹੋਲੋਨੋਮੀ ਦੇ ਨਾਪ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕਰਵੇਚਰ ਦੇ ਇਸ ਆਈਡੀਏ ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਸਾਰੀਆਂ ਜਨਰਲਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨਾਂ ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਕਰਵੇਚਰ ਸ਼ਕਲ ਬਾਰੇ ਪੜੋ। ਕਰਵੇਚਰ ਦਾ ਇੱਕ ਬਹੁਤ ਨਜ਼ਦੀਕੀ ਸੰਕਲਪ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਗੇਜ ਥਿਊਰੀ ਤੋਂ ਆਉਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ ਕਰਵੇਚਰ ਇੱਕ ਫੀਲਡ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਫੀਲਡ ਦੇ ਲਈ ਇੱਕ ਵੈਕਟਰ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ਮਾਤਰਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਆਮ ਤੌਰ ਤੇ ਰਸਤੇ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ: ਇਹ ਦਰਸ਼ਕ ਦੇ ਕਿਸੇ ਲੂਪ ਦੁਆਲੇ ਗਤੀ ਕਰਨ ਨਾਲ ਤਬਦੀਲ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਕਰਵੇਚਰ ਦੀਆਂ ਦੋ ਹੋਰ ਜਨਰਲਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨਾਂ ਸਕੇਲਰ ਕਰਵੇਚਰ ਅਤੇ ਰਿੱਚੀ ਕਰਵੇਚਰ ਹਨ। ਵਕਰਿਤ ਸਤਹਿ ਜਿਵੇਂ ਸਫੀਅਰ ਵਿੱਚ, ਸਤਹਿ ਉੱਤੇ ਕਿਸੇ ਡਿਸਕ (ਚੱਕਰੀ ਸਤਹਿ) ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ, ਫਲੈਟ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਓਸੇ ਰੇਡੀਅਸ ਦੀ ਡਿਸਕ ਤੋਂ ਵੱਖਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਫਰਕ (ਢੁਕਵੀਂ ਹੱਦ ਤੱਕ) ਸਕੇਲਰ ਕਰਵੇਚਰ ਰਾਹੀਂ ਨਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਡਿਸਕ ਦੇ ਹਿੱਸੇ (ਸੈਕਟਰ) ਦਾ ਖੇਤਰਫਲ ਅੰਤਰ ਰਿੱਚੀ ਕਰਵੇਚਰ ਰਾਹੀਂ ਨਾਪਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਤਿੰਨ ਅਤੇ ਉੱਚ ਅਯਾਮਾਂ ਅੰਦਰ ਸਕੇਲਰ ਅਤੇ ਰਿੱਚੀ ਕਰਵੇਚਰ ਇੱਕ ਸਮਾਨ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਹੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਖਾਸ ਤੌਰ ਤੇ ਰਿਲੇਟੀਵਿਟੀ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ ਇਹ ਦੋਵੇਂ ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਦੀਆਂ ਫੀਲਡ ਇਕੁਏਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਸਾਈਡ ਉੱਤੇ ਦਿਸਦੇ ਹਨ ਜੋ ਸਪੇਸ-ਟਾਈਮ ਦੀ ਜਿਓਮੈਟਰੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ (ਜਿਹਨਾਂ ਦੀ ਦੂਜੀ ਸਾਈਡ ਪਦਾਰਥ ਅਤੇ ਊਰਜਾ ਦੀ ਮੌਜੂਦਗੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦੀ ਹੈ)। ਕਰਵੇਚਰ ਦੀਆਂ ਇਹ ਜਨਰਲਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨਾਂ ਇਹ ਧਾਰਨਾ ਸਥਾਪਤ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ ਕਿ ਕਰਵੇਚਰ ਕਿਸੇ ਨਾਪ ਦੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਕਿਸੇ ਨਾਪ ਦਾ ਕਰਵੇਚਰ ਬਾਰੇ ਪੜੋ।

ਕਰਵੇਚਰ ਦੀ ਇੱਕ ਹੋਰ ਜਨਰਲਾਈਜ਼ੇਸ਼ਨ ਇੱਕ ਵਕਰਿਤ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਦੂਜੀ ਅਜਿਹੀ ਸਪੇਸ ਨਾਲ ਤੁਲਨਾ ਕਰਨ ਦੀ ਯੋਗਤਾ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜਿਸਦਾ ਸਥਿਰ ਕਰਵੇਚਰ ਹੋਵੇ। ਅਕਸਰ ਅਜਿਹਾ ਸਪੇਸਾਂ ਵਿੱਚ ਤਿਕੋਣਾਂ ਨਾਲ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਮੀਟ੍ਰਿਕ ਸਪੇਸਾਂ ਅੰਦਰ ਤਿਕੋਣ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਅਰਥ ਰੱਖਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ CAT(k) ਸਪੇਸਾਂ ਨੂੰ ਜਨਮ ਦਿੰਦੀ ਹੈ।

## ਹਵਾਲਾ