# ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ

ਸਿਧਾਂਤਕ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ, ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ (QFT) ਸੰਘਣੇ ਪਦਾਰਥ ਦੀ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਕੁਆਸੀਪਾਰਟੀਕਲਜ਼ (ਅਚਾਨਕ ਘਟਨਾਕ੍ਰਮ) ਅਤੇ ਪਾਰਟੀਕਲ ਫਿਜਿਕਸ ਵਿੱਚ ਉੱਪ ਪ੍ਰਮਾਣੂ ਕਣਾਂ ਦਾ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨੀਕਲ ਨਮੂਨਾ ਰਚਣ ਲਈ ਇੱਕ ਸਿਧਾਂਤਕ ਢਾਂਚਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਕਣਾਂ ਨੂੰ ਭੌਤਿਕੀ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਬੁਨਿਆਦੀ ਊਰਜਾ ਦੀਆਂ ਦਰਜੇਵਾਰ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੀ ਤਰ੍ਹਾਂ ਲੈਂਦੀ ਹੈ ਜਿਸ ਕਾਰਨ ਕਣਾਂ ਨੂੰ ਫੀਲਡ ਕੁਆਂਟਾ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

## ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ

ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਕੁਆਂਟਮ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਡਾਇਨਾਮਿਕਸ (QED) ਦਾ ਇੱਕ ਬਿਜਲ ਖੇਤਰ (ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਫੀਲਡ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਫੋਟੋਨ ਖੇਤਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕੁਆਂਟਮ ਕ੍ਰੋਮੋਡਾਇਨਾਮਿਕਸ (QCD) ਦੀ ਹਰੇਕ ਤਰਾਂ ਦੇ ਕੁਆਰਕ ਲਈ ਇੱਕ-ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਸੰਘਣੇ ਪਦਾਰਥ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਪ੍ਰਮਾਣੂ ਸਥਾਨਾਂਤਰਨ ਖੇਤਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਫੋਨੋਨ ਕਣ ਪੈਦਾ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਐਡਵਰਡ ਵਿੱਟਨ ਕੁਆਂਟਮ ਖੇਤਰ ਸਿਧਾਂਤ ਨੂੰ ਨਵੀਨ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਦੇ ਹੁਣ ਤੱਕ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਸਭ ਤੋਂ ਔਖਾ ਸਿਧਾਂਤ ਕਹਿੰਦਾ ਹੈ।

### ਡਾਇਨਾਮਿਕਸ

ਕੁਆਂਟਮ ਖੇਤਰ ਸਿਧਾਂਤ ਵਿੱਚ, ਕਣਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨੀਕਲ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਸੰਬੰਧਿਤ ਬੁਨਿਆਦੀ ਖੇਤਰਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਕੁਆਂਟਮ ਖੇਤਰ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀ ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ ਮੈਕਸਵੈੱਲ ਦੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿਚਲੀਆਂ ਬਿਜਲਈ ਅਤੇ ਚੁੰਬਕੀ ਖੇਤਰਾਂ ਵਾਲੇ ਚਾਰਜਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਦੀ ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ ਨਾਲ ਮਿਲਦੀ-ਜੁਲਦੀ ਹੈ। ਫਿਰ ਵੀ, ਮੈਕਸਵੈੱਲ ਦੇ ਸਿਧਾਂਤ ਦੇ ਪੁਰਾਤਨ ਖੇਤਰਾਂ ਤੋਂ ਉਲਟ, ਕੁਆਂਟਮ ਖੇਤਰ ਸਿਧਾਂਤ ਵਿਚਲੇ ਖੇਤਰ ਆਮ ਤੌਰ 'ਤੇ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੀ ਕੁਆਂਟਮ ਸੁੱਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੇ ਨਿਯਮਾਂ ਤਹਿਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ।

### ਅਵਸਥਾਵਾਂ

ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨੀਕਲ ਤੰੰਤਰ(ਸਿਸਟਮ) ਵਿੱਚ ਕਣਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਸਥਿਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਦੇ ਹਰੇਕ ਕਣ ਨੂੰ ਆਜਾਦੀ ਦਾ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਦਰਜਾ ਹਾਸਿਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤੋਂ ਉਲਟ, ਇੱਕ ਕੁਆਂਟਮ ਖੇਤਰ ਸਿਧਾਂਤ ਦੀਆਂ ਉਤੇਜਿਤ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਕਣਾਂ ਦੀ ਕੋਈ ਵੀ ਸੰਖਿਆ ਪੇਸ਼ ਕਰ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਹ ਗੁਣ ਕੁਆਂਟਮ ਖੇਤਰ ਸਿਧਾਂਤਾਂ ਨੂੰ ਅਜਿਹੇ ਤੰਤਰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਖਾਸ ਤੌਰ 'ਤੇ ਲਾਭਦਾਇਕ ਬਣਾ ਦਿੰਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਕਣ ਦੀ ਗਿਣਤੀ/ਅੰਕ ਵਕਤ ਦੇ ਨਾਲ ਬਦਲ ਸਕਦੀ ਹੋਵੇ, ਜੋ ਤੁਲਨਾਤਮਕ ਯੰਤਰਾਵਲੀ ਦਾ ਨਿਰਣਾਇਕ ਲੱਛਣ ਹੈ।

ਕਿਉਂਕਿ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਖੇਤਰ ਨਿਰੰਤਰ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਇਸ ਲਈ ਉਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਕਣਾਂ ਦੀ ਮਨਚਾਹੀ ਭਾਰੀ ਸੰਖਿਆ ਦੀਆਂ ਉਤੇਜਿਤ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਮੌਜੂਦ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜੋ ਕੁਆਂਟਮ ਖੇਤਰ ਸਿਧਾਂਤ ਤੰਤਰਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਪ੍ਰਭਾਵਸ਼ਾਲੀ ਅਨੰਤ ਮਾਤਰਾ ਦੀ ਆਜਾਦੀ ਦਾ ਦਰਜਾ ਦਿੰਦੇ ਹਨ। ਆਜਾਦੀ ਦਾ ਅਨੰਤ ਦਰਜਾ (ਡਿਗਰੀ) ਅਸਾਨੀ ਨਾਲ ਨਾਪੀਆਂ ਗਈ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਦੇ ਵਿਸਥਾਰ ਦਿੰਦਾ ਹੈ(ਯਾਨਿ ਕਿ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਅਨੰਤ ਬਣ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ)। ਕੁਆਂਟਮ ਖੇਤਰ ਸਿਧਾਂਤ ਦੇ ਮਾਪਦੰਡਾਂ ਦਾ ਪੁਨਰ-ਸਧਾਰਨੀਕਰਨ (ਰੀਨੌਰਮਲਾਈਜੇਸ਼ਨ) ਜਾਂ ਸਪੇਸ ਸਮੇਂ ਦੇ ਵੱਖਰੇ-ਕਰਨ ਵਰਗੀਆਂ ਤਕਨੀਕਾਂ ਨੂੰ, ਜਿਵੇਂ ਲੈਟਿੱਸ ਕੁਆਂਟਮ ਕ੍ਰੋਮੋਡਾਇਨਾਮੈਕਿਸ ਵਿੱਚ, ਅਜਿਹੇ ਅਨੰਤਾਂ ਤੋਂ ਬਚਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਤਾਂ ਹੋ ਭੌਤਿਕੀ ਤੌਰ 'ਤੇ ਅਰਥ ਭਰਪੂਰ ਨਤੀਜੇ ਨਿਕਲ ਸਕਣ।

### ਫੀਲਡਾਂ ਅਤੇ ਰੇਡੀਏਸ਼ਨਾਂ

ਗਰੂਤਾਕਰਸ਼ਨ ਫੀਲਡ ਅਤੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਫੀਲਡ ਕੁਦਰਤ ਵਿੱਚ ਪਾਈਆਂ ਜਾਣ ਵਾਲੀਆਂ ਕੇਵਲ ਦੋ ਮੁਢਲੀਆਂ ਫੀਲਡਾਂ ਹਨ ਜਿਹਨਾਂ ਦਾ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਦਾਇਰਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇੱਕ ਸਬੰਧਿਤ ਪੁਰਾਤਨ ਨਿਮਰ-ਊਰਜਾ ਹੱਦ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਬੁਰੀ ਤਰਾਂ ਘਟ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਅਪਣੀਆਂ ਕਣ-ਵਰਗੀਆਂ ਉਤਸਰਜਨਾਂ (excitations) ਨੂੰ ਲਕੋ ਲੈਂਦੀ ਹੈ। 1905 ਵਿੱਚ, ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਨੇ ਊਰਜਾ ਅਤੇ ਗਤੀ-ਮਾਤਰਾ ਦੇ ਅਨਿਰੰਤਰ ਵਟਾਂਦਰੇ ਅਤੇ ‘ਕਣ-ਵਰਗੇ’ ਵਰਤਾਰੇ ਨੂੰ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਫੀਲਡ ਲਈ ‘ਫੀਲਡ ਕੁਆਂਟਾ’ ਦਾ ਨਾਮ ਦਿੱਤਾ। ਮੂਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ, ਉਸਦਾ ਮੁੱਖ ਮੰਤਵ ਵਿਕੀਰਣ (ਰੇਡੀਏਸ਼ਨ) ਦੇ ਤਾਪ-ਯੰਤਰ-ਵਿਗਿਆਨ ਨੂੰ ਸਮਝਾਉਣਾ ਸੀ। ਬੇਸ਼ੱਕ ਕੌਂਪਟਨ ਸਕੈਟਰਿੰਗ (ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਕਾਰਣ ਫੋਟੌਨਾਂ ਦਾ ਸਥਿਰ ਖਿੰਡਾਓ) ਅਤੇ ਫੋਟੋਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਪ੍ਰਭਾਵ ਜੋਰ ਨਾਲ ਇਹ ਸੁਝਾਉਂਦੇ ਹਨ ਕਿ ਫੋਟੋਨ ਦੀ ਮੌਜੂਦਗੀ, ਹੁਣ ਇਹ ਸਮਝਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਕੁਆਂਟਮ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਫੀਲਡ ਲਾਗੂ ਕਰੇ ਬਿਨਾਂ ਸਮਝਾਈ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ: ਇਸਲਈ, ਰੇਡੀਏਸ਼ਨ ਦੇ ਕੁਆਂਟਮ ਸੁਭਾਅ ਦਾ ਹੋਰ ਜਿਆਦਾ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸਬੂਤ ਹੁਣ ਨਵੀਨ ਕੁਆਂਟਮ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀ-ਵਿਗਿਆਨ (optics) ਵਿੱਚ ਐਂਟੀਬਾਊਂਸਿੰਗ (ਬਰਾਬਰ ਖਿੰਡੇ ਫੋਟੋਨਾਂ ਦਾ ਖੇਤਰ) ਪ੍ਰਭਾਵ ਵਿੱਚ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

## ਥਿਊਰੀਆਂ

ਬਾਕੀ ਬਚੇ ਮੁਢਲੇ ਬਲ ਗਰੈਵਟੀ ਲਈ ਫਿਲਹਾਲ ਕੋਈ ਸੰਪੂਰਨ ਕੁਆਂਟਮ ਥਿਊਰੀ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਗਰੈਵਿਟੀ ਨੂੰ ਇੱਕ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੀਆਂ ਕੁੱਝ ਪ੍ਰਸਤਾਵਿਤ ਥਿਊਰੀਆਂ ਇੱਕ ਗਰੈਵੀਟੋਨ ਨਾਮਕ ਕਣ ਦੌ ਮੌਜੂਦਗੀ ਚਿਤਰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਗਰੈਵੀਟੇਸ਼ਨਲ ਬਲ ਦੀ ਆਵਾਜਾਈ ਦਾ ਸਾਧਨ ਕਣ ਹੈ। ਸ਼ਾਇਦ, ਗਰੈਵੀਟੇਸ਼ਨਲ ਫੀਲਡ ਦੇ ਲਈ ਸਹੀ ਹੁਣ ਤੱਕ ਦੀ ਅਗਿਆਤ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਨਿਮਰ-ਊਰਜਾ ਹੱਦ ਵਿੱਚ ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਦੀ ਜਨਰਲ ਥਿਊਰੀ ਔਫ ਰੀਲੇਟੀਵਿਟੀ ਵਾਂਗ ਵਰਤਾਓ ਕਰੇਗੀ। ਮੁਢਲੇ ਬਲਾਂ ਦੀ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਅਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਸੁਪਰਸਟਰਿੰਗ ਥਿਊਰੀ ਵਾਂਗ ਇੱਕ ਜਿਆਦਾ ਮੁਢਲੀ ਥਿਊਰੀ ਦੀ ਨਿਮਰ-ਊਰਜਾ ਪ੍ਰਭਾਵੀ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਦੀ ਹੱਦ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਘੜੀ ਗਈ ਹ

ਮਿਆਰੀ ਕਣ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਜਿਆਦਾਦਰ ਸਿਧਾਂਤ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਦੇ ਤੁਲਨਾਤਮਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਬਣਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਕੁਆਂਟਮ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਡਾਇਨਾਮੈਕਿਸ, ਕੁਆਂਟਮ ਕ੍ਰੋਮੋਡਾਇਨਾਮੈਕਿਸ, ਅਤੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਮਾਡਲ। ਕੁਆਂਟਮ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਡਾਇਨਾਮੈਕਿਸ ਜੋ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਜ਼ਮ ਫੀਲਡ ਦੀ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਸਿਧਾਂਤਕ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਹੈ, ਨਿਮਰ-ਊਰਜਾ ਹੱਦ ਵਿੱਚ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਡਾਇਨਾਮੈਕਸ ਦੀ ਮੈਕਸਵੈੱਲ ਥਿਊਰੀ ਨੂੰ ਲੱਗਭੱਗ ਦੁਬਾਰਾ ਘੜਦੀ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਵਾਸਤਵਿਕ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ-ਪੌਜੀਟ੍ਰੋਨ ਜੋੜਿਆਂ ਕਾਰਨ ਲੋੜੀਂਦੀ ਮੈਕਸਵੈੱਲ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਛੋਟਾ ਜਿਹਾ ਗੈਰ- ਰੇਖਿਕ ਸੁਧਾਰ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਹੈ।

ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਦੀ ਬੇਤਰਤੀਬ ਕਰਨ ਵਾਲੇ (ਪਰਚਰਬੇਟਿਵ) ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ ਵਿੱਚ, ਸੰਪੂਰਨ ਫੀਲਡ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਦੀ ਸ਼ਬਦਾਵਲੀ ਸ਼ਾਮਲ ਕਣਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਇੱਕ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਵਿਸਥਾਰ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਵਿਸਥਾਰ ਵਿਚਲੇ ਹਰੇਕ ਨਿਯਮ ਨੂੰ ਹੋਰ ਕਣਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਿਚੋਲਗਿਰੀ ਕੀਤੇ ਜਾ ਰਹੇ ਕਣਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਬਲਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਸਮਝਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਕੁਆਂਟਮ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਡਾਇਨਾਮੈਕਿਸ ਵਿੱਚ, ਦੋ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਬਲ ਫੋਟੌਨਾਂ ਦੇ ਵਟਾਂਦਰੇ ਰਾਹੀਂ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸੇਤਰਾਂ, ਵਿਚੋਲੇ ਵੈਕਟਰ ਬੋਸੌਨ ਕਮਜੋਰ ਬਲ ਦੀ ਆਵਾਜਾਈ ਦੇ ਸਾਧਨ ਬਣਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਗਲੂਔਨ ਕੁਆਂਟਮ ਕ੍ਰੋਮੋਡਾਇਨਾਮੈਕਿਸ ਵਿੱਚ ਤਾਕਤਵਰ ਬਲ ਦੀ ਆਵਾਜਾਈ ਦੇ ਸਾਧਨ ਬਣਦੇ ਹਨ। ਬਲ ਦੀ ਆਵਾਜਾਈ ਦੇ ਸਾਧਨਾਂ ਵਾਲੇ ਕਣਾਂ ਦੀ ਧਾਰਨਾ ਪਰਚਰਬੇਸ਼ਨ ਥਿਊਰੀ ਤੋਂ ਮਿਲਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਧਾਰਨਾ ਬੰਨੀਆਂ ਹੋਈਆਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਵਾਲੀ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਤੱਕ ਦੀ ਗੈਰ- ਵਿਸਥਾਰ ਹੱਦ ਵਾਲੀ ਪਹੁੰਚ ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਅਰਥ ਨਹੀਂ ਰੱਖਦੀ।

## ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਦਾ ਇਤਿਹਾਸ

### ਬੁਨਿਆਦਾਂ

ਇਸ ਖੇਤਰ ਦਾ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਵਿਕਾਸ ਡੀਰੈਕ, ਫੌਕ, ਪੌਲੀ, ਹੇਸ਼ਨਬਰਗ ਅਤੇ ਬੋਗੋਲੀਊਬੋਵ ਨੇ ਕੀਤਾ। ਇਹ ਵਿਕਾਸ 1950ਵੇਂ ਦਹਾਕੇ ਵਿੱਚ ਕੁਆਂਟਮ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਡਾਇਨਾਮੈਕਿਸ ਦੀ ਥਿਊਰੀ ਦੀ ਰਚਨਾ ਨਾਲ ਸਮਾਪਤ ਹੋਇਆ।

### ਗੇਜ ਥਿਊਰੀ

ਗੇਜ ਥਿਊਰੀ ਦੇ ਫਾਰਮੀਲੇ ਬਣਾਏ ਅਤੇ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕੀਤੇ ਗਏ, ਜਿਹਨਾਂ ਨੇ ਅੱਗੇ ਚੱਲ ਕੇ ਪਾਰਟੀਕਲ ਫਿਜਿਕਸ ਦੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਮਾਡਲ ਵਿੱਚ ਸ਼ਾਮਲ ਬਲਾਂ ਦੇ ਏਕੀਕਰਨ ਦੀ ਪ੍ਰੇਰਣਾ ਦਿੱਤੀ। ਇਹ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ 1950 ਵਿੱਚ ਯੰਗ ਅਤੇ ਮਿੱਲਜ਼ ਦੇ ਕੰਮ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਹੋਏ ਸਨ, ਅਤੇ 1960ਵੇਂ ਦਹਾਕੇ ਦੌਰਾਨ ਮਾਰਟੀਨਸ ਅਤੇ ਹੋਰਾਂ ਦੀ ਮੇਜ਼ਬਾਨੀ ਰਾਹੀਂ ਜਾਰੀ ਰਹੇ ਅਤੇ 1970ਵੇਂ ਦਹਾਕੇ ਰਾਹੀਂ ਜੇਰਾਰਡ’ਟ ਹੂਫਟ, ਫਰੈਂਕ ਵਿਲਕਜੈਕ, ਡੇਵਿਡ ਗਰੌਸ ਅਤੇ ਡੇਵਿਡ ਪੋਲੀਟਜ਼ਰ ਦੇ ਕੰਮ ਰਾਹੀਂ ਸੰਪੂਰਨ ਹੋਏ।

### ਵਿਸ਼ਾਲ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ

ਸੰਘਣੇ ਪਦਾਰਥ ਦੀ ਫਿਜਿਕਸ ਵਿੱਚ ਅਵਸਥਾ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਦੀ ਸਮਝ ਦੇ ਸਮਾਂਤਰ ਵਿਕਾਸਾਂ ਨੇ ਪੁਨਰ-ਨਿਰਧਾਰੀਕਰਨ ਸਮੂਹ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਨੂੰ ਜਨਮ ਦਿੱਤਾ। ਇਸਨੇ ਬਦਲੇ ਵਿੱਚ ਸਿਧਾਂਤਕ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਦੇ ਵਿਸ਼ਾਲ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਨੂੰ ਜਨਮ ਦਿੱਤਾ ਜਿਸਨੇ ਕਣਾਂ ਅਤੇ ਸੰਘਣੇ ਪਦਾਰਥ ਦੀ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਦੀਆਂ ਥਿਊਰੀਆਂ ਨੂੰ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਰਾਹੀਂ ਇੱਕ ਕੀਤਾ । ਇਸ ਵਿੱਚ 1970ਵੇਂ ਦਹਾਕੇ ਦੌਰਾਨ ਦਾ ਮਾਈਕਲ ਫਿਸ਼ਰ ਅਤੇ ਲੀਓ ਕਾਡਾਨੌਫ ਦਾ ਕੰਮ ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ ਜਿਸਨੇ ਕੀਨੇਥ ਜੀ. ਵਿਲਸਨ ਰਾਹੀਂ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਦੇ ਅਰਧ ਪੁਨਰ-ਨਿਰਧਾਰਨ ਨੂੰ ਜਨਮ ਦਿੱਤਾ।

## ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਸਿਧਾਂਤ

### ਕਲਾਸੀਕਲ ਅਤੇ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡਾਂ

ਇੱਕ ਕਲਾਸੀਕਲ ਫੀਲਡ ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਸਮੇਂ ਦੇ ਕਿਸੇ ਖੇਤਰ ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਦੋ ਭੌਤਿਕੀ ਘਟਨਾਕ੍ਰਮ ਜੋ ਪੁਰਾਤਨ ਫੀਲਡਾਂ ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਨਿਊਟੋਨੀਅਨ ਗਰੈਵੀਟੇਸ਼ਨ (ਨਿਊਟੋਨੀਅਨ ਗਰੈਵੀਟੇਸ਼ਨਲ ਫੀਲਡ g(x, t) ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ), ਅਤੇ ਕਲਾਸੀਕਲ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਜ਼ਮ (ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਅਤੇ ਮੈਗਨੈਟਿਕ ਫੀਲਡ E(x, t) ਅਤੇ B(x, t) ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ) ਹਨ। ਕਿਉਂਕਿ ਅਜਿਹੀਆਂ ਫੀਲਡਾਂ ਸਿਧਾਂਤ ਵਿੱਚ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਤੇ ਵੱਖਰਾ ਮੁੱਲ ਲੈ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ, ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ ਅਜਾਦੀ ਦੀ ਅਨੰਤ ਡਿਗਰੀ ਵਾਲੀਆਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਕਲਾਸੀਕਲ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ, ਫੇਰ ਵੀ, ਅਜਿਹੇ ਭੌਤਿਕੀ ਘਟਨਾਕ੍ਰਮ ਦੇ ਕੁਆਂਟਮ-ਮਕੈਨੀਕਲ ਪਹਿਲੂਆਂ ਲਈ ਜਿਮੇਵਾਰ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਣ ਵਜੋਂ, ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਤੋਂ ਇਹ ਜਾਣਿਆ ਗਿਆ ਹੈ ਕਿ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਜ਼ਮ ਦੇ ਕੁੱਝ ਪਹਿਲੂਆਂ ਵਿੱਚ ਅਨਿਰੰਤਰ ਕਣ ਫੋਟੌਨ ਸ਼ਾਮਲ ਹਨ- ਨਿਰੰਤਰ ਫੀਲਡਾਂ ਸ਼ਾਮਲ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਦਾ ਕੰਮ ਇੱਕ ਫੀਲਡ ਲਿਖਣਾ ਹੈ ਜੋ, ਕਲਾਸੀਕਲ ਫੀਲਡ ਵਾਂਗ, ਸਪੇਸ ਅਤੇ ਸਮੇਂ ਤੇ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਇੱਕ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੈ, ਪਰ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੇ ਨਿਰੀਖਣਾਂ ਦਾ ਝਗੜਾ ਵੀ ਹੱਲ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਹੀ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਹੈ।

ਇਹ ਤੁਰੰਤ ਸਪਸ਼ਟ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ ਕਿ ਅਜਿਹੀ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਕਿਵੇਂ ਲਿਖੀ ਜਾਵੇ, ਕਿਉਂਕਿ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੀ ਬਣਤਰ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਵਾਂਗ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਸਭ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਆਮ ਫਾਰਮੂਲੇ ਵਿੱਚ, ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਨਿਰਾਕਾਰ ਚਾਲਕਾਂ (ਪਰਖ-ਯੋਗ) ਦੀ ਥਿਊਰੀ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਨਿਰਾਕਾਰ ਅਵਸਥਾ ਸਪੇਸ (ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ) ਤੇ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰ ਰਹੇ ਹਨ, ਜਿੱਥੇ ਪਰਖ-ਯੋਗ ਚੀਜਾਂ ਭੌਤਿਕੀ ਤੌਰ ਤੇ ਪਰਖ-ਯੋਗ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਅਵਸਥਾ ਸਪੇਸ ਅਧਿਐਨ ਅਧੀਨ ਸਿਸਟਮ ਦੀਆਂ ਸੰਭਵ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨੀਕਲ ਕਣ ਦੀ ਗਤੀ ਨਾਲ ਸਬੰਧਤ ਮੁਢਲੀਆਂ ਪਰਖ-ਯੋਗ ਚੀਜਾਂ ਪੌਜੀਟ੍ਰੌਨ ਅਤੇ ਗਤੀ-ਨਾਪ ਚਾਲਕ ਅਤੇ ਹਨ। ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ, ਇਸਤੋਂ ਉਲਟ, x ਨੂੰ ਚਾਲਕ ਦੀ ਜਗਹ ਫੀਲਡ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰਨ ਦੇ ਤਰੀਕੇ ਵਜੋਂ ਵਰਤਦੀ ਹੈ।

ਇੱਕ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਵਿਕਸਿਤ ਕਰਨ ਦੇ ਦੋ ਆਮ ਤਰੀਕੇ ਹਨ: ਰਸਤਾ ਜੋੜ ਫਾਰਮੂਲਾ ਅਤੇ ਕਾਨੋਨੀਕਲ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ (ਪਰਿਮਾਣੀਕਰਨ)। ਬਾਦ ਵਾਲਾ ਇਸ ਲੇਖ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ।

#### ਲਗਰੇਂਜੀਅਨ ਫਾਰਮੂਲਾ ਬਣਤਰ

ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਪੁਰਾਤਨ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਤੋਂ ਲਗਰੇਂਜੀਅਨ ਫਾਰਮੁਲ਼ੇ ਦੀ ਬਣਤਰ ਦੀ ਵਰਤੋ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਫਾਰਮੂਲਾ ਬਣਤਰ ਇੱਕ ਖੇਤਰ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵ ਅਧੀਨ ਇੱਕ ਕਣ ਦੀ ਗਤੀ ਦੇ ਹੱਲ ਲਈ ਪੁਰਾਤਨ ਮਕੈਨੀਕਸ ਵਿੱਚ ਵਰਤੇ ਗਏ ਲਗਰੇਂਜੀਅਨ ਫਾਰਮੂਲੇ ਦੀ ਬਣਤਰ ਸਮਾਨ ਹੈ। ਪੁਰਾਤਨ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ, ਲਗਰੇਂਜੀਅਨ ਸੰਘਣਤਾ ਨੂੰ ਨਾਲ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਫੀਲਡ φ(x,t) ਸ਼ਾਮਲ ਹੈ, ਅਤੇ ਸੰਭਾਵਨਾ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਇਸਦੇ ਪਹਿਲੇ ਡੈਰੀਵੇਟਿਵ (derivatives) (∂φ/∂t and ∇φ) ਹਨ, ਅਤੇ ਫੇਰ ਇਲੂਰ-ਲਗਰੇਂਜ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਇੱਕ ਫੀਲਡ-ਸਿਧਾਂਤਕ ਕਿਸਮ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕ (t, x) = (x0, x1, x2, x3) = xμ ਨੂੰ ਲਿਖਦੇ ਹੋਏ, ਈਲੂਰ-ਲਗਰੇਂਜ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਇਹ ਕਿਸਮ ਇਹ ਹੈ:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2

ਜਿੱਥੇ μ ਉੱਤੇ ਜੋੜ ਆਈਨਸਟਾਈਨ ਦੀਆਂ ਧਾਰਨਾਵਾਂ ਮੁਤਾਬਿਕ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਸਮੀਕਰਨ ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਤੇ, ਫੀਲਡ ਦੀ ‘ਗਤੀ ਦੀ ਸਮੀਕਰਨ’ ਤੇ ਪਹੁੰਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਜੇਕਰ ਲਗਰੇਂਜੀਅਨ ਸੰਘਣਤਾ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕੀਤਾ ਜਾਵੇ ਤਾਂ;

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
ਅਤੇ ਫੇਰ ਈਲੂਰ-ਲਗਰੇਂਜ ਸਮੀਕਰਨ ਲਾਗੂ ਕਰਨ ਤੇ, ਗਤੀ ਦੀ ਸਮੀਕਰਨ ਬਣਦੀ ਹੈ।

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
ਇਹ ਸਮੀਕਰਨ ਬ੍ਰਹਿਮੰਡੀ ਗਰੂਤਾਕਰਸ਼ਨ ਦਾ ਨਿਊਟਨ ਦਾ ਸਿਧਾਂਤ ਹੈ, ਜੋ ਗਰੂਤਾਕਰਸ਼ਨ ਸ਼ਕਤੀ φ(t, x) ਅਤੇ ਪੁੰਜ ਸੰਘਣਤਾ (mass density) ρ(t, x) ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਨਾਮਕਰਨ ਤੋਂ ਇਲਾਵਾ, ਅਧਿਐਨ ਅਧੀਨ ਫੀਲਡ ਗਰੂਤਾਕਰਸ਼ਨ ਸ਼ਕਤੀ φ ਹੈ, ਗਰੂਤਾਕਰਸ਼ਨ ਫੀਲਡ g ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸੇਤਰਾਂ, ਜਦੋਂ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੇਗਨੈਟਿਜ਼ਮ ਦੇ ਅਧਿਐਨ ਲਈ ਪੁਰਾਤਨ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਨੂੰ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਦਿਲਚਸਪੀ ਦਾ ਖੇਤਰ ਬਿਜਲਈ-ਚੁੰਬਕਤਾ ਚਾਰ-ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ (V/c, A) ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਲੈਕਟ੍ਰਿਕ ਫੀਲਡ E ਅਤੇ ਮੈਗਨੈਟਿਕ ਫੀਲਡ B ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀਆਂ।

ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡਾਂ ਲਈ ਗਤੀ ਦੀਆਂ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਨ ਲਈ ਇਸੇ ਲਗਰੇਂਜੀਅਨ ਵਿਧੀ ਨੂੰ ਵਰਤਦੀ ਹੈ। ਗਤੀ ਦੀਆਂ ਇਹ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਫੇਰ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੇ ਕਾਨੋਨੀਕਲ ਨਿਰਧਾਰੀਕਰਨ ਵਿਧੀ ਤੋਂ ਰੂਪਾਂਤਰਨ ਸਬੰਧਾਂ ਰਾਹੀਂ ਪੂਰੀਆਂ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ, ਇਸਤਰਾਂ ਇਹ ਫੀਲਡ ਦੇ ਵਰਤਾਓ ਵਿੱਚ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨੀਕਲ ਪ੍ਰਭਾਵਾਂ ਦਾ ਸਹਿਯੋਗ ਕਰਦੀਆਂ ਹਨ।

## ਸਿੰਗਲ ਅਤੇ ਕਈ ਕਣ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ

ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਕਣ (ਜਿਵੇਂ ਇੱਕ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਜਾਂ ਪ੍ਰੋਟੋਨ) ਇੱਕ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਤਰੰਗ-ਫੰਕਸ਼ਨ ψ(x, t) ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸਦੀ ਵਕਤ ਦੀ ਉਤੱਪਤੀ ਸ਼ਰੋਡਿੰਗਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਹੁੰਦੀ ਹੈ;

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
ਇੱਥੇ m ਕਣ ਦਾ ਪੁੰਜ ਹੈ ਅਤੇ V(x) ਲਗਾਇਆ ਗਿਆ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਹੈ। ਕਣ ਦੇ ਵਰਤਾਓ ਬਾਰੇ ਭੌਤਿਕੀ ਜਾਣਕਾਰੀ ਅਲੱਗ ਅਲੱਗ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਲਈ ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਬਣਾ ਕੇ ਤਰੰਗਫੰਕਸ਼ਨ ਤੋਂ ਲਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ; ਜਿਵੇਂ, ਕਣ ਦੇ ਸਥਾਨ ਲਈ ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ψ\*(x) x ψ(x) ਹੈ, ਅਤੇ ਕਣ ਦੇ ਗਤੀ-ਨਾਪ (momentum) ਲਈ ਸੰਭਾਵਨਾ ਘਣਤਾ ਫੰਕਸ਼ਨ −iħψ\*(x)dψ/dx ਹੈ ; ਜਿਸਨੂੰ x ਉੱਤੇ ਇੰਟੀਗਰੇਟ (integrating) ਕਰਨ ਤੇ ਕ੍ਰਮਵਾਰ ਸਥਾਨ ਅਤੇ ਗਤੀ-ਨਾਪ ਦੀ ਉਮੀਦ ਦਾ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ। ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦਾ ਇਹ ਨੁਸਖਾ, ਜਿੱਥੇ ਕਣ ਦਾ ਤਰੰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਇੱਕ ਪੁਰਾਤਨ ਪਿਛੋਕੜ ਪੁਟੈਂਸ਼ਨ V(x) ਤੋਂ ਉਲਟ ਸ਼ਾਮਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਨੂੰ ਕਦੇ ਕਦੇ ਪਹਿਲਾ ਪਰਿਮਾਣੀਕਰਨ (ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦਾ ਇਹ ਵਿਵਰਣ ਜਿਆਦਾ ਕਣਾਂ ਦੇ ਵਰਤਾਓ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਵੀ ਵਧਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿੰਨੀ ਦੇਰ ਕਣਾਂ ਦੀ ਕਿਸਮ ਅਤੇ ਸੰਖਿਆ ਫਿਕਸ ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ। ਕਣ ਇੱਕ ਤਰੰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ψ(x1, x2, ..., xN, t) ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ ਜੋ ਸ਼ਰੋਡਿੰਗਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੇ ਵਿਸਥਾਰ ਵਾਲੇ ਰੂਪ ਦੁਆਰਾ ਤੈਅ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਅਕਸਰ ਕੋਈ ਵੀ ਅਜਿਹੇ ਕੇਸ ਵਿੱਚ ਦਿਲਸਚਪੀ ਲੈਂਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਸਾਰੇ N ਕਣ ਇੱਕੋ ਕਿਸਮ ਦੇ ਹੁੰਦੇ ਹਨ (ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਨਿਊਟਰਲ ਔਰਗੌਨ ਨਿਊਕਲਿਅਸ ਦੁਆਲੇ ਘੁੰਮਦੇ 18 ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ)। ਜਿਵੇਂ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਕਣਾਂ ਦੇ ਲੇਖ ਵਿੱਚ ਦਰਸਾਇਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਇਸਤੋਂ ਭਾਵ ਹੈ ਕਿ ਸਾਰੇ ਦੇ ਸਾਰੇ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਅਵਸਥਾ ਜਾਂ ਤਾਂ ਸਮਰੂਪ (ਬੋਸੌਨ) ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਅਸਮਰੂਪ (ਫਰਮੀਔਨ) ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਇਸਦੇ ਰਚਣਹਾਰੇ ਕਣਾਂ ਦੇ ਨਿਰਦੇਸ਼ ਅੰਕਾਂ ਦਾ ਵਟਾਂਦਰਾ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੰਝ ਇੱਕ ਫਰਮੀਔਨਿਕ ਸਿਸਟਮ (ਅਤੇ ਇੱਕ ਬੋਸੌਨਿਕ ਸਿਸਟਮ ਲਈ ਸਲੇਟਰ ਮਾਪਦੰਡ) ਦੇ ਤਰੰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਲੇਟਰ ਮਾਪਦੰਡ ਵਰਤ ਕੇ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕਿ ਇੱਕ ਖਿੱਚੇ ਹੋਏ ਉਤਪਾਦ ਦੀ ਸਮਰੂਪ ਜਾਂ ਅਸਮਰੂਪ ਸਬ-ਸਪੇਸ ਦੇ ਇੱਕ ਤੱਤ ਦੇ ਸਮਾਨ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, N ਬੋਸੌਨਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਆਮ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾ ਨੂੰ ਇੰਝ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10
ਜਿੱਥੇ WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 ਇੱਕਲੌਤੇ ਕਣ ਦੀਆਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਹਨ, Nj ਸੰਖਿਆ j ਅਵਸਥਾ ਘੇਰਨ ਵਾਲੇ ਕਣਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਹੈ , ਅਤੇ N ਤੱਤਾਂ ਤੇ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰ ਕਰੇ ਸਾਰੇ ਸੰਭਵ ਕ੍ਰਮਪਰਿਵਰਤਨਾਂ (permutations) p ਦੁਆਰਾ ਜੋੜ ਕੱਢਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਆਮ ਤੌਰ ਤੇ, ਇਹ N! (N factorial) ਅਲੱਗ ਅਲੱਗ ਚੀਜਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 ਇੱਕ ਸਧਾਰਨ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਕਾਰਕ (a normalizing factor) ਹੈ।

ਉੱਪਰ ਦੱਸੇ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੇ ਵਿਵਰਣ ਵਿੱਚ ਕਈ ਕਮੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਰਾਹੀਂ ਪਤਾ ਚਲਦੀਆਂ ਹਨ। ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲੀ ਕਮੀ,ਇਹ ਚੰਗੀ ਤਰਾਂ ਪਤਾ ਨਹੀਂ ਚਲਦਾ ਕਿ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੇਨਿਕਸ ਨੂੰ ਸਪੈਸ਼ਲ ਰੀਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੇ ਪ੍ਰਭਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸ਼ਾਮਲ ਕਰਨ ਲਈ ਕਿਵੇਂ ਵਧਾਇਆ ਜਾਵੇ। ਸ਼ਰੋਡਿੰਗਰ ਸਮੀਕਰਨ ਦੀ ਜਗਹ ਹੋਰ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ਾਂ, ਜਿਵੇਂ ਕਲੀਨ-ਗੌਰਡਨ ਸਮੀਕੇਨ ਜਾਂ ਡੀਰੈਕ ਸਮੀਕਰਨ , ਵਿੱਚ ਵੀ ਕਈ ਅਸੰਤੁਸ਼ਟੀ ਭਰੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਹਨ; ਜਿਵੇਂ, ਉਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਊਰਜਾ ਆਈਗਨਮੁੱਲ (eigenvalues) ਹਨ ਜੋ –∞ ਤੱਕ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਜਿਸ ਕਾਰਨ ਗਰਾਉਂਡ ਅਵਸਥਾ ਦੀ ਕੋਈ ਅਸਾਨ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਲਗਦੀ ਹੈ।ਇਸਤੋਂ ਪਤਾ ਚੱਲਿਆ ਕਿ ਅਜਿਹੀਆਂ ਅਸਥਿਰਤਾਵਾਂ ਸਥਾਨਿਕ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸੰਭਾਵਤ ਵਿਆਖਿਆ ਵਾਲੇ ਤੁਲਨਾਤਮਕ ਤਰੰਗ-ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਕਾਰਨ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਕਿਉਂਕਿ ਸੰਭਾਵਨਾ ਸੁਰੱਖਿਆ (ਪ੍ਰੋਬੇਬਿਲਟੀ ਕੰਜ਼ਰਵੇਸ਼ਨ) ਇੱਕ ਤੁਲਨਾਤਮਿਕ ਸਹਿ-ਰੂਪਾਂਤਰਨ (ਸਾਪੇਖਿਕ ਕੋਵੇਰੀਸਅੰਟ) ਧਾਰਨਾ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਦੂਜੀ ਕਮੀ, ਜੋ ਪਹਿਲੀ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਹੈ, ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ ਕਣਾਂ ਦੀ ਰਚਨਾ ਤੇ ਵਿਨਾਸ਼ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਦੀ ਕੋਈ ਯੰਤਰਾਵਲੀ ਨਹੀਂ ਹੈ; ਇਹ ਜੋੜੇ ਦੀ ਪੈਦਾਵਰ ਵਰਗੇ ਘਟਨਾਕ੍ਰਮ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ ਜੋ E = mc2 ਵਾਲੇ ਤੁਲਨਾਤਮਿਕ ਸਬੰਧ ਮੁਤਾਬਿਕ ਪੁੰਜ ਤੇ ਊਰਜਾ ਦਰਮਿਆਨ ਵਟਾਂਦਰੇ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਹਨ।

### ਦੂਜੀ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ

ਦੂਜੀ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਬਹੁ-ਵਸਤੂ ਕੁਆਂਟਮ ਸਿਸਟਮਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਅਤੇ ਉਹਨਾਂ ਦਾ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਕਰਨ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਣ ਵਾਲਾ ਫਾਰਮੂਲਾ ਸੂਤਰੀਕਰਨ ਹੈ। ਇਸ ਨੂੰ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ ਕਾਨੋਨੀਕਲ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਦੇ ਨਾਮ ਨਾਲ ਵੀ ਜਾਣਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਫੀਲਡਾਂ (ਆਮਤੌਰ ਤੇ ਪਦਾਰਥਾਂ ਦੇ ਵੇਵ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ) ਨੂੰ ਫੀਲਡ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਸੋਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਬਿਲਕੁਲ ਉਵੇਂ ਹੀ ਜਿਵੇਂ ਭੌਤਿਕੀ ਮਾਤਰਾਵਾਂ (ਪੁਜ਼ੀਸ਼ਨ, ਮੋਮੈਂਟਮ ਆਦਿ) ਨੂੰ ਪਹਿਲੀ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਵਿੱਚ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਸੋਚਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਤਰੀਕੇ ਦੇ ਪ੍ਰਮੁੱਖ ਵਿਚਾਰ 1927 ਵਿੱਚ ਡੀਰਾਕ ਦੁਆਰਾ ਪੇਸ਼ ਕੀਤੇ ਗਏ ਸਨ, ਅਤੇ ਫੌਕ ਅਤੇ ਜੌਰਡਨ ਰਾਹੀਂ ਬਾਦ ਵਿੱਚ ਵਿਕਸਿਤ ਕੀਤੇ ਗਏ ।

ਇਸ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਦੂਜੀ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਨਾਮਕ ਇੱਕ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਰਚਣ ਲਈ ਇੱਕ ਤਰੀਕਾ ਬਿਆਨ ਕਰਾਂਗੇ। ਇਸ ਵਿੱਚ ਬੁਨਿਆਦੀ ਤੌਰ ਤੇ ਕਈ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਕਣ ਦੀਆਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੀ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਅਜਾਦੀ ਦੀ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨੀਕਲ ਡਿਗਰੀ ਨੂੰ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰਨ ਦਾ ਤਰੀਕਾ ਚੁਣਨਾ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹੈ। ਇਹ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੇ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ (Hamiltonian) ਫਾਰਮੂਲਾ ਬਣਤਰ ਤੇ ਅਧਾਰਿਤ ਹੈ।

ਕਈ ਹੋਰ ਪਹੁੰਚਾਂ ਵੀ ਮੌਜੂਦ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਫੇਨਮੇਨ ਦਾ ਰਸਤਾ ਜੋੜ ਤਰੀਕਾ (ਪਾਥ ਇੰਟੀਗਰਲ) ਜੋ ਇੱਕ ਲਗਰੇਂਜੀਅਨ ਫਾਰਮੂਲਾ ਬਣਤਰ ਵਰਤਦਾ ਹੈ। ਅਜਿਹੀ ਹੋਰ ਜਾਣਕਾਰੀ ਲਈ ਪਰਿਮਾਣੀਕਰਨ (ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ) ਤੇ ਲੇਖ ਪੜੋ।

#### ਬੋਸੌਨ

ਸਰਲਤਾ ਲਈ, ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਬੋਸੌਨਾਂ ਲਈ ਦੂਜੀ ਨਿਰਧਾਰੀਕਰਨ ਦੀ ਚਰਚਾ ਕਰਾਂਗੇ, ਜੋ ਪੂਰੀ ਤਰਾਂ ਸਮਰੂਪ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਰਚਦੇ ਹਨ। ਆਓ ਪਰਸਪਰ ਔਰਥੋਗੋਨਲ (mutually orthogonal) ਇੱਕਲੌਤੇ ਕਣ ਦੀਆਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਨੂੰ WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 ਰਾਹੀਂ ਲਿਖੀਏ ਜੋ ਸਿਸਟਮ ਵਿੱਚ ਸੰਭਵ ਹਨ। ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 ਅਵਸਥਾ ਦੇ ਇੱਕ ਕਣ ਨਾਲ ਅਤੇ WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 ਅਵਸਥਾ ਦੇ ਦੋ ਕਣਾਂ ਨਾਲ ਬਣੀ 3-ਕਣ ਅਵਸਥਾ ਨੂੰ ਇਸ ਤਰਾਂ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ;

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22
ਦੂਜੀ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਦਾ ਪਹਿਲਾ ਕਦਮ ਕਬਜਾ-ਸੰਖਿਆਵਾਂ (occupation numbers) ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਅਜਿਹੀਆਂ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣਾ ਹੈ। ਇਸਤਰਾਂ ਕਰਨ ਲਈ ਇੱਕਲੌਤੇ ਕਣ ਦੀਆਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਅਵਸਥਾ ਘੇਰਨ ਵਾਲੇ ਕਣਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਦੀ ਕਬਜਾ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸੂਚੀ ਬਣਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਨੂੰ ਨਾਮ ਦੇਣ ਦਾ ਸਧਾਰਨ ਤੌਰ ਤੇ ਇੱਕ ਹੋਰ ਤਰੀਕਾ ਹੈ।

ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਉੱਪਰ ਦਰਸਾਈ 3-ਕਣ ਅਵਸਥਾ ਨੂੰ ਇਸਤਰਾਂ ਵੀ ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ;

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26
ਇੱਕ N- ਕਣਾ ਅਵਸਥਾ N ਕਣਾਂ ਦੇ ਸਿਸਟਮ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੀਆਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੀ ਸਪੇਸ ਨਾਲ ਸਬੰਧ ਰੱਖਦੀ ਹੈ। ਅਗਲਾ ਕਦਮ ਇੱਕ N-ਕਣ ਅਵਸਥਾ ਸਪੇਸਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਵਧਾਈ ਹੋਈ ਅਵਸਥਾ ਸਪੇਸ ਨਾਲ ਮਿਲਾਉਣ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਨੂੰ ਫੋਕ ਸਪੇਸ (Fock space) ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਕਣਾਂ ਦੀ ਕੋਈ ਵੀ ਸੰਖਿਆ ਦੇ ਸਿਸਟਮਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਬਗੈਰ ਕਿਸੇ ਕਣ (ਵੈਕੱਮ ਅਵਸਥਾ, ਜਿਸ ਨੂੰ |0> ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ) ਵਾਲੇ ਇੱਕ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਅਵਸਥਾ ਸਪੇਸ ਅਤੇ 1-ਕਣ ਸਿਸਟਮ ਦੀ ਅਵਸਥਾ ਸਪੇਸ ਦੇ ਜੋੜ ਦੀ ਬਣੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਸੇ ਤਰਾਂ ਅੱਗੇ।। ਕਣਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸੰਖਿਆ ਦਰਸਾਉਣ ਵਾਲੀਆਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਨੂੰ ਫੋਕ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ: ਫੋਕ ਸਪੇਸ ਦਾ ਇੱਕ ਆਮ ਤੱਤ ਫੋਕ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਰੇਖਿਕ ਜੋੜ ਹੋਵੇਗਾ। ਫੋਕ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਕਬਜਾ-ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਅਤੇ ਪ੍ਰਮਾਣਿਤ ਬੋਸੋਨ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਇੱਕ-ਨਾਲ-ਇੱਕ ਸਿੱਧਾ ਸਬੰਧ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਬਿੰਦੂ ਤੇ, ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨੀਕਲ ਸਿਸਟਮ ਸਾਡੇ ਉੱਪਰ ਦਰਸਾਏ ਮੁਤਾਬਿਕ ਇੱਕ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਫੀਲਡ ਦੀ ਅਜਾਦੀ ਵਾਲੀ ਮੁਢਲੀ ਡਿਗਰੀ ਕਬਜਾ-ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਹਰੇਕ ਕਬਜਾ ਸੰਖਿਆ ਇੱਕ ਨੰਬਰ j ਰਾਹੀਂ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਤੋਂ ਭਾਵ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਇੱਕਲੌਤੇ ਕਣ ਦੀਆਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 ਵਿੱਚੋਂ ਕਿਸ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦਾ ਹੈ;

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30
ਇਸ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਦੀਆਂ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਰਚਣ ਤੇ ਵਿਨਾਸ਼ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਚਾਲਕਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਕੇ ਖੋਜੀਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ ਹਨ, ਜੋ ਕਣਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਦੇ ਅਤੇ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਕੁਆਂਟਮ ਹਾਰਮੋਨੀਕ ਔਸੀਲੇਟਰ (quantum harmonic oscillator) ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ ਲੈਡਰ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਜੋ ਊਰਜਾ ਕੁਆਂਟਾ ਜੋੜਦੇ ਤੇ ਘਟਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਫੇਰ ਵੀ, ਇਹ ਓਪਰੇਟਰ ਸੱਚਮੁੱਚ ਇੱਕ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾ ਤੇ ਕਣਾਂ ਨੂੰ ਰਚਦੇ ਅਤੇ ਵਿਨਾਸ਼ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਬੋਸੌਨਿਕ ਵਿਨਾਸ਼ਕਾਰੀ ਓਪਰੇਟਰ ਅਤੇ ਹੇਠਾਂ ਦਰਸਾਏ ਪ੍ਰਭਾਵ ਰੱਖਦੇ ਹੋਏ ਕਬਜਾ-ਸੰਖਿਆ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਵਿੱਚ ਅਸਾਨੀ ਨਾਲ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ;

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34
ਇਹ ਦਿਖਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਹ ਆਮ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨੀਕਲ ਸਮਝ ਵਿਚਲੇ ਓਪਰੇਟਰ ਹਨ, ਯਾਨਿ ਕਿ ਫੋਕ ਸਪੇਸ ਤੇ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰ ਰਹੇ ਰੇਖਿਕ ਓਪਰੇਟਰ ਹਨ। ਹੋਰ ਅੱਗੇ, ਇਹ ਸੱਚਮੁੱਚ ਹਰਮਿੱਟਨ ਇਕੱਠ (Hermitian conjugates) ਹਨ, ਜੋ ਸਾਡੇ ਲਿਖੇ ਮੁਤਾਬਿਕ ਤਰੀਕੇ ਨੂੰ ਸਹੀ ਸਾਬਤ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਰੂਪਾਂਤਰਨ (commutation ) ਸਬੰਧ ਦੀ ਵੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਨ;

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
ਜਿੱਥੇ ਕਰੋਨੈੱਕਰ ਡੈਲਟਾ ( Kronecker delta) ਲਈ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਇਹ ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਅਜਾਦ ਕੁਆਂਟਮ ਹਾਰਮੋਨੀਕ ਔਸੀਲੇਟਰਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਅਨੰਤ ਸਮੂਹ ਲਈ ਲੈਡਰ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਦੁਆਰਾ ਚਲਾਏ ਜਾਂਦੇ ਸਬੰਧ ਹਨ, ਜੋ ਹਰੇਕ ਇਕਲੌਤੇ ਕਣ ਅਵਸਥਾ ਲਈ ਇੱਕ ਇੱਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਹਰੇਕ ਅਵਸਥਾ ਵਿੱਚ ਬੋਸੌਨਾਂ ਨੂੰ ਜੋੜਨਾ ਜਾਂ ਘਟਾਉਣਾ ਇਸਲਈ ਇੱਕ ਹਾਰਮੋਨੀਕ ਔਸੀਲੇਟਰ ਵਿੱਚ ਊਰਜਾ ਦਾ ਇੱਕ ਕੁਆਂਟਮ ਜੋੜਨ ਜਾਂ ਕੱਢਣ ਸਮਾਨ ਹੈ।

ਅਪਣੇ ਸਬੰਧਿਤ ਰਚਨਾਕਾਰ ਓਪਰੇਟਰ WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 ਦੇ ਅੱਗੇ ਇੱਕ ਵਿਨਾਸ਼ਕਾਰ ਓਪਰੇਟਰ WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 ਲਾਗੂ ਕਰਦੇ ਹੋਏ kth ਇੱਕਲੌਤੇ ਕਣ ਦੀ ਖੁਦ- WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 ਅਵਸਥਾ ਵਿੱਚ *k*th ਸੰਖਿਆ ਵਾਪਸ ਆ ਜਾਂਦੀ ਹੈ;

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 ਨਾਮਕ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਦੇ ਮੇਲ ਨੂੰ kth ਖੁਦ- ਅਵਸਥਾ ਲਈ ਸੰਖਿਆ-ਓਪਰੇਟਰ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਦਾ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਓਪਰੇਟਰ (ਜੋ ਸ਼ਰੋਡਿੰਗਰ ਸਮੀਕਰਨ ਵਿੱਚ ਯੰਤਰਾਵਲੀ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਕਰਦਾ ਹੈ) ਰਚਨਾਕਾਰ ਅਤੇ ਵਿਨਾਸ਼ਕਾਰੀ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ , ਮੁਕਤ (ਕ੍ਰਿਆ ਨਾ ਕਰ ਰਹੇ) ਬੋਸੋਨਾਂ ਦੇ ਖੇਤਰ ਲਈ, ਖੇਤਰ ਦੀ ਕੁੱਲ ਊਰਜਾ ਹਰੇਕ ਊਰਜਾ ਦੀ ਖੁਦ- ਅਵਸਥਾ ਵਿੱਚ ਬੋਸੋਨਾਂ ਦੀਆਂ ਊਰਜਾਵਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਕਰਕੇ ਖੋਜੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਜੇਕਰ kth ਇਕਲੌਤੇ ਕਣ ਊਰਜਾ ਦੀ ਖੁਦ- ਅਵਸਥਾ ਦੀ ਊਰਜਾ WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 ਹੋਵੇ ਅਤੇ ਇਸ ਅਵਸਥਾ ਵਿੱਚ WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 ਬੋਸੋਨ ਹੋਣ, ਤਾਂ ਇਹਨਾਂ ਬੋਸੋਨਾਂ ਦੀ ਕੁੱਲ ਊਰਜਾ WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 ਹੋਵੇਗੀ। ਸਾਰੀ ਦੀ ਸਾਰੀ ਫੀਲਡ ਦੀ ਊਰਜਾ ਫੇਰ k ਉੱਤੇ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਜੋੜ ਹੋਵੇਗੀ:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54
ਇਸਨੂੰ WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 ਦੀ ਜਗਹ ਸਬੰਧਿਤ ਨੰਬਰ WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 ਨਾਲ ਬਦਲ ਕੇ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਓਪਰੇਟਰ ਵਿੱਚ ਬਦਲਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਇਸਤਰਾਂ ਇਹ ਇਸਤਰਾਂ ਬਣ ਜਾਂਦਾ ਹੈ;

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60
#### ਫਰਮੀਔਨ

ਇਹ ਪਤਾ ਚਲਦਾ ਹੈ ਕਿ ਫਰਮੀਔਨਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਰਚਨਾ ਅਤੇ ਵਿਨਾਸ਼ ਦੀ ਇੱਕ ਵੱਖਰੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਾ ਜਰੂਰ ਵਰਤੀ ਜਾਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ। ਪੌਲੀ ਐਕਸਕਲੂਜ਼ਨ ਸਿਧਾਂਤ ਮੁਤਾਬਿਕ, ਫਰਮੀਔਨ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਨਹੀਂ ਸ਼ੇਅਰ ਕਰ ਸਕਦੇ, ਇਸਲਈ ਉਹਨਾਂ ਦੇ ਕਬਜਾ-ਨੰਬਰ Ni ਸਿਰਫ 0 ਜਾਂ 1 ਦਾ ਮੁੱਲ ਹੀ ਲੈ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਫਰਮੀਔਨਿਕ ਵਿਨਾਸ਼ਕਾਰ ਓਪਰੇਟਰ c ਅਤੇ ਰਚਨਾਕਾਰ ਓਪਰੇਟਰ WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 ਇੱਕ ਫੋਕ ਅਵਸਥਾ ਉੱਤੇ ਅਪਣੀ ਕਾਰਵਾਈ ਰਾਹੀਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਇਸਲਈ ;

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70
ਇਹ ਇੱਕ ਉਲਟ-ਰੂਪਾਂਤਰਨ ਨਿਯਮ ਅਧੀਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ (anticommutation relation):

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72
ਇਸਤੋਂ ਇਹ ਨੋਟ ਕੀਤਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਫਰਮੀਓਨਿਕ ਰਚਨਾਕਾਰ ਓਪਰੇਟਰ ਨੂੰ ਦੋ ਵਾਰ ਲਾਗੂ ਕਰਨਾ 0 ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਕਣਾਂ ਲਈ ਇਕਲੌਤੇ ਕਣ ਦੀਆਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਨੂੰ ਸਾਂਝਾ ਕਰਨਾ ਅਸੰਭਵ ਹੈ, ਜੋ ਐਕਸਕਲੂਜ਼ਨ ਸਿਧਾਂਤ ਦੇ ਮੁਤਾਬਿਕ ਹੈ|

#### ਫੀਲਡ ਓਪਰੇਟਰ

ਅਸੀਂ ਪਹਿਲਾਂ ਜਿਵੇਂ ਦੱਸਿਆ ਕਿ ਇੱਕ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਵਿੱਚ ਅਜਾਦੀ ਦੀਆਂ ਡਿਗਰੀਆਂ ਨੂੰ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰਨ ਦੇ ਇੱਕ ਤਰੀਕੇ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਤਰੀਕੇ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਦੂਜੀ ਕੁਆਂਟਾਇਜ਼ੇਸ਼ਨ ਇਕਲੌਤੇ ਕਣ ਦੀਆਂ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਨੂੰ ਗਿਣ ਕੇ ਫੀਲਡ ਨੂੰ ਸੂਚੀਬੱਧ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਚਰਚਾ ਕੀਤੀ, ਇੱਕ ਅਜਿਹੀ ‘ਫੀਲਡ’ ਬਾਰੇ ਸੋਚਣਾ ਜਿਆਦਾ ਕੁਦਰਤੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਫੀਲਡ, ਜਿਸ ਨੂੰ ਸਥਾਨ ਦੁਆਰਾ ਸੂਚੀਬੱਧ ਅਜਾਦੀ ਦੀਆਂ ਡਿਗਰੀਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਇਸ ਸਿਰੇ ਤੇ, ਅਸੀਂ ਫੀਲਡ ਓਪਰੇਟਰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਜੋ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਖਾਸ ਬਿੰਦੂ ਤੇ ਇੱਕ ਕਣ ਨੂੰ ਰਚਦਾ ਜਾਂ ਵਿਨਾਸ਼ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਪਾਰਟੀਕਲ ਫਿਜਿਕਸ ਵਿੱਚ, ਅਜਿਹੇ ਓਪਰੇਟਰ ਕੰਮ ਕਰਨ ਲਈ ਸੌਖੇ ਹਨ, ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਸਿਧਾਂਤਾਂ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲੇ ਬਣਾਉਣਾ ਸੌਖਾ ਕਰਦੇ ਹਨ ਜੋ ਰੀਲੇਟੀਵਿਟੀ ਦੀਆਂ ਜਰੂਰਤਾਂ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੇ ਹਨ।

ਇਕਲੌਤਾ-ਕਣ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਉਹਨਾਂ ਦੀ ਗਤੀ-ਨਾਪ (momenta) ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ ਆਮ ਤੌਰ ਤੇ ਗਿਣੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ (ਜਿਵੇਂ ਡੱਬੇ ਵਿੱਚ ਕਣ ਸਮੱਸਿਆ ਵਿੱਚ)। ਇਹਨਾਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਲਈ ਰਚਨਾਕਾਰ ਅਤੇ ਵਿਨਾਸ਼ਕਾਰ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਤੇ ਫੋਰੀਅਰ ਟਰਾਂਸਫੌਰਮ (Fourier transform) ਲਾਗੂ ਕਰਕੇ ਅਸੀਂ ਫੀਲਡ ਓਪਰੇਟਰ ਰਚ ਸਕਦੇ ਹਾਂ। ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਬੋਸੋਨਿਕ ਫੀਲਡ ਓਪਰੇਟਰ WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ;

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76
ਬੋਸੋਨਿਕ ਫੀਲਡ ਓਪਰੇਟਰ ਰੂਪਾਂਤਰਨ (commutation) ਸਬੰਧ ਦਾ ਪਾਲਣ ਕਰਦਾ ਹੈ;

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78
ਜਿੱਥੇ WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 ਡੀਰਾਕ ਡੈਲਟਾ ਫੰਕਸ਼ਨ (Dirac delta function) ਲਈ ਲਿਖਿਆ ਗਿਆ ਹੈ। ਪਹਿਲਾਂ ਵਾਂਗ, ਫਰਮੀਓਨਿਕ ਸਬੰਧ ਉਹੀ ਹਨ, ਕਮਿਊਟੇਟਰਾਂ ਦੀ ਜਗਹ ਉਲਟ-ਕਮਿਊਟੇਟਰ ਹਨ।

ਫੀਲਡ ਓਪਰੇਟਰ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ-ਕਣ ਤਰੰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਉਹੀ ਚੀਜ਼ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ। ਪਹਿਲਾ ਓਪਰੇਟਰ ਫੋਕ ਸਪੇਸ ਤੇ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਨ ਵਾਲਾ ਓਪਰੇਟਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਬਾਦ ਵਿੱਚ ਲਿਖਿਆ ਹੋਇਆ ਕਿਸੇ ਸਥਾਨ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕਣ ਨੂੰ ਖੋਜਣ ਲਈ ਇੱਕ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨੀਕਲ ਵਿਸਥਾਰ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਇਹਨਾਂ ਦਾ ਨੇੜੇ ਦਾ ਸਬੰਧ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਆਮ ਤੌਰ ਤੇ ਇੱਕੋ ਚਿੰਨ ਨਾਲ ਸੱਚਮੁੱਚ ਸਾਂਝੇ ਤੌਰ ਤੇ ਲਿਖੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਜੇਕਰ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਸਪੇਸ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਵਾਲਾ ਹੈਮੀਲਟੋਨੀਅਨ ਓਪਰੇਟਰ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82
ਜਿੱਥੇ ਸੂਚਕ ਅੰਕ i ਅਤੇ j ਸਾਰੇ ਕਣਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਫੇਰ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ (ਨਾ-ਤੁਲਨਾਤਮਿਕ ਹੱਦ ਅਤੇ ਮਮੂਲੀ ਸਵੈ-ਕ੍ਰਿਆ ਲਈ) ਇਹ ਹੈ;

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84
ਇਹ ਊਰਜਾ ਦੇ ਅਨੁਮਾਨਿਤ ਮੁੱਲ ਲਈ ਇੱਕ ਦਰਸਾਓ ਵਾਂਗ ਦਿਸਦੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਤਰੰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਰੋਲ ਅਦਾ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਫੀਲਡ ਓਪਰੇਟਰ ਅਤੇ ਤਰੰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਰਮਿਆਨ ਇਹ ਸਬੰਧ ਸਪੇਸ-ਪ੍ਰੋਜੈਕਟਡ ਹੇਮੀਲਟੋਨੀਅਨ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀਆਂ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਬਣਤਰ ਸੌਖੀ ਕਰਦਾ ਹੈ।

### ਯੰਤਰਾਵਲੀ (Dynamics)

ਇੱਕ ਵਾਰ ਹੈਮਿਲਟੋਨੀਅਨ ਓਪਰੇਟਰ ਨੂੰ ਕਾਨੋਨੀਕਲ ਕੁਆਂਟੀਜੇਸ਼ਨ ਕ੍ਰਿਆ ਦੇ ਹਿੱਸੇ ਵਜੋਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰ ਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਅਵਸਥਾ ਦੀ ਵਕਤ ਤੇ ਨਿਰਭਰਤਾ ਸ਼ਰੋਡਿੰਗਰ ਸਮੀਕਰਨ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿਵੇਂ ਹੋਰ ਕੁਆਂਟਮ ਥਿਊਰੀਆਂ ਨਾਲ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਬਦਲ ਵਿੱਚ, ਹੇਜ਼ਨਬਰਗ ਤਸਵੀਰ ਵਰਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਵਕਤ ਦੀ ਨਿਰਭਰਤਾ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਦੇ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਨਾ ਕਿ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

#### ਹਿੱਸੇਦਾਰੀਆਂ; ਫੀਲਡਾਂ ਅਤੇ ਕਣਾਂ ਦਾ ਏਕੀਕਰਨ

ਪਿਛਲੇ ਹਿੱਸੇ ਵਿੱਚ ਜੋ ਅਸੀਂ ‘ਦੂਜਾ ਨਿਰਧਾਰੀਕਰਨ’ ਵਿਧੀ ਪੜੀ ਉਹ ਇਕਲੌਤੇ ਕਣ ਦੀਆਂ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਸਮੂਹ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸ਼ੁਰੂਆਤੀ ਬਿੰਦੂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਲੈਂਦੀ ਹੈ। ਕਦੇ ਕਦੇ, ਅਜਿਹੀਆਂ ਸਿੰਗਲ-ਕਣ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨਾ ਅਸੰਭਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਸਿੱਧਾ ਹੀ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਵੱਲ ਜਾਣਾ ਪੈਂਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਫੀਲਡ ਦੀ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਜਰੂਰ ਹੀ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ ਫੋਟੋਨ ਲਈ ਇੱਕ ਤਰੰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨਾ ਅਸੰਭਵ (ਕਈ ਕਾਰਨਾਂ ਕਰਕੇ) ਹੈ। ਅਜਿਹੀਆਂ ਹਾਲਤਾਂ ਵਿੱਚ, ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਰਚਣ ਲਈ ਪੁਰਾਤਨ ਫੀਲਡ ਦੀਆਂ ਮਕੈਨੀਕਲ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਪਰਖ ਕੇ ਸਬੰਧਿਤ ਕੁਆਂਟਮ ਥਿਊਰੀ ਦਾ ਅਨੁਮਾਨ ਲਗਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਮੁਕਤ (ਗੈਰ-ਕ੍ਰਿਆਸ਼ੀਲ) ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡਾਂ ਲਈ, ਇਸ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਬਣਾਈਆਂ ਗਈਆਂ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀਆਂ ਦੀਆਂ ਉਹੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਦੂਜੇ ਨਿਰਾਧਾਰੀਕਰਨ ਵਰਤ ਕੇ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਚੰਗੀ ਤਰਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਰਚਨਾਕਾਰ ਤੇ ਵਿਨਾਸ਼ਕਾਰ ਉਪਰੇਟਰਾਂ ਦਾ ਕਮੀਊਟੇਸ਼ਨ ਜਾਂ ਉਲਟ-ਕਮੀਊਟੇਸ਼ਨ ਸਬੰਧਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਨਾ।

ਇਸਤਰਾਂ ਨਾਲ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ‘ਫੀਲਡ-ਵਰਗੀਆਂ’ ਚੀਜਾਂ (ਜਿਵੇਂ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਫੀਲਡ, ਜਿਸਦੇ ਵਾਧੇ ਘਾਟੇ ਫੋਟੌਨ ਹਨ) ਅਤੇ ‘ਕਣ-ਵਰਗੀਆਂ’ ਚੀਜਾਂ (ਜਿਵੇਂ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ, ਜੋ ਇੱਕ ਬੁਨਿਆਦੀ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਫੀਲਡ ਦੇ ਵਾਧੇ ਘਾਟੇ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਲਏ ਜਾਂਦੇ ਹਨ) ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਇੱਕ ਏਕਤਾ ਵਾਲਾ ਢਾਂਚਾ ਮੁੱਹਈਆ ਕਰਵਾਉਂਦੀ ਹੈ, ਜਿੰਨੀ ਦੇਰ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਮੁਕਤ ਫੀਲਡਾਂ ਦੀਆਂ ਰੁਕਾਵਟਾਂ (perturbations) ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਅਜੇ ਵੀ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਕਰਦੀਆਂ ਫੀਲਡਾਂ ਦੇ ਆਮ ਕੇਸਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਅਣਸੁਲ਼ਝੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਹਨ ਜੋ ਪਰਚਰਬੇਸ਼ਨ ਥਿਊਰੀ ਦੁਆਰਾ ਸਹੀ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਬਿਆਨ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂ ਨਹੀਂ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾ ਸਕਦੀਆਂ। ਇਸ ਵਿਸ਼ੇ ਤੇ ਹੋਰ ਪੜਨ ਲਈ, ਹਾਗ ਥਿਊਰਮ (Haag's theorem) ਦੇਖੋ।

#### ਕਣਾਂ ਦੀ ਅੰਤਰ ਨਾ ਹੋਣ ਦੀ ਯੋਗਤਾ ਦਾ ਭੌਤਿਕੀ ਅਰਥ

ਦੂਜਾ ਨਿਰਧਾਰੀਕਰਨ ਵਿਧੀ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਕਣਾਂ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਹੈ। ਇੱਕ ਅੰਤਰ ਹੋਣ ਯੋਗ ਕਈ-ਕਣ ਸਿਸਟਮ ਤੋਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਬਣਾਉਣ ਦੇ ਯੋਗ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੇ ਸੀ, ਕਿਉਂਕਿ ਅਜਾਦੀ ਦੀਆਂ ਡਿਗਰੀਆਂ ਨੂੰ ਸੂਚੀਬੱਧ ਅਤੇ ਵੱਖਰਾ ਕਰਨ ਦਾ ਕੋਈ ਰਸਤਾ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਣਾ ਸੀ।

ਕਈ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨੀ ਉਲਟ- ਵਿਆਖਿਆ ਲੈਣ ਨੂੰ ਤਰਜੀਹ ਦਿੰਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਇਹ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਇਹ ਸਮਝਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਕਣ ਕੀ ਹਨ। ਸਧਾਰਨ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ, ਸਮਰੂਪ (ਬੋਸੋਨਿਕ) ਜਾਂ ਅਸਮਰੂਪ (ਫਰਮੀਓਨਿਕ) ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਵਰਤਣ ਲਈ ਖਾਸ ਜਿਆਦਾ ਸਿਧਾਂਤਕ ਪ੍ਰੇਰਣਾ ਨਹੀਂ ਰਹੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਅਜਿਹੀਆਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੀ ਜਰੂਰਤ ਸਿਰਫ ਇੱਕ ਪ੍ਰਯੋਗ-ਸਿੱਧ ਤੱਥ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਹੀ ਕਹੀ ਗਈ ਹੈ। ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਦੇ ਨਜ਼ਰੀਏ ਤੋਂ, ਕਣ ਇੱਕੋ-ਜਿਹੇ ਸਿਰਫ ਤੇ ਸਿਰਫ ਤਾਂ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ ਜੇ ਉਹ ਇੱਕੋ ਬੁਨਿਆਦੀ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਦੇ ਵਾਧੇ ਘਾਟੇ ਦਾ ਨਤੀਜਾ ਹੋਣ। ਇਸ ਲਈ, ਸਵਾਲ ਕਿ ‘ਸਾਰੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਇੱਕੋ ਜਿਹੇ ਕਿਉਂ ਹਨ?’ ਅਲੱਗ ਅਲੱਗ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨਾਂ ਨੂੰ ਬੁਨਿਆਦੀ ਚੀਜਾਂ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਨ ਤੋਂ ਗਲਤੀ ਨਾਲ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਅਸਲ ਵਿੱਚ ਸਿਰਫ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਨ ਫੀਲਡ ਹੀ ਬੁਨਿਆਦੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

#### ਕਣ ਸਥਿਰਤਾ ਅਤੇ ਅਸਥਿਰਤਾ

ਦੂਜੇ ਨਿਰਧਾਰੀਕਰਨ ਦੌਰਾਨ, ਅਸੀਂ Nਫਿਕਸਡ ਨੰਬਰ ਦੇ ਕਣਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈਮੀਲਟੋਨੀਅਨ ਅਤੇ ਅਵਸਥਾ ਸਪੇਸ ਤੋਂ ਸ਼ੁਰੂ ਕੀਤਾ ਸੀ, ਅਤੇ ਇੱਕ ਮਨਚਾਹੇ ਨੰਬਰਾਂ ਦੇ ਕਣਾਂ ਲਈ ਇੱਕ ਹੈਮੀਲਟੋਨੀਅਨ ਅਤੇ ਅਵਸਥਾ ਸਪੇਸ ਤੇ ਖਤਮ ਕੀਤਾ ਸੀ। ਬੇਸ਼ੱਕ, ਕਈ ਆਮ ਹਾਲਤਾਂ ਵਿੱਚ, Nਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਅਤੇ ਸੰਪੂਰਨ ਚੰਗੀ ਤਰਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਮਾਤਰਾ ਹੈ, ਯਾਨਿ ਕਿ ਜਿਵੇਂ ਅਸੀਂ ਇੱਕ ਡੱਬੇ ਵਿੱਚ ਬੰਦ ਪ੍ਰਮਾਣੂਆਂ ਦੀ ਗੈਸ ਨੂੰ ਦਰਸਾ ਰਹੇ ਹੋਈਏ। ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਦੇ ਨਜ਼ਰੀਏ ਤੋਂ, ਅਜਿਹੀਆਂ ਹਾਲਤਾਂ ਅਜਿਹੀਆਂ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਈਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਨੰਬਰ ਓਪਰੇਟਰ WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 ਦੀਆਂ ਖੁਦ-ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਹਨ, ਜੋ ਹਾਜ਼ਰ ਕਣਾਂ ਦੀ ਸਾਰੀ ਗਿਣਤੀ ਨਾਪਦਾ ਹੈ। ਜਿਵੇਂ ਕਿਸੇ ਵੀ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨੀਕਲ ਪਰਖ-ਯੋਗ ਨਾਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 ਸਥਾਈ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ ਜੇਕਰ ਇਹ ਹੈਮੀਲਟੋਨੀਅਨ ਨਾਲ ਰੂਪਾਂਤਰਨ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੋਵੇ। ਇਸ ਹਾਲਤ ਵਿੱਚ, ਕੁੱਲ ਫੋਕ ਸਪੇਸ ਦੀ N-ਕਣ ਸਪ-ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾ ਅਟਕ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਹਾਲਤ ਸਧਾਰਨ N-ਕਣ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੁਆਰਾ ਦਰਸਾਉਣ ਬਰਾਬਰ ਚੰਗੀ ਤਰਾਂ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ। (ਸਖਤੀ ਨਾਲ ਕਹਿੰਦੇ ਹੋਏ, ਇਹ ਸਿਰਫ ਗੈਰ-ਕ੍ਰਿਅਸ਼ੀਲ ਕੇਸ ਵਿੱਚ ਹੀ ਸਹੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਾਂ ਪੁਨਰ-ਸਧਾਰੀਕ੍ਰਿਤ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀਆਂ ਦੀ ਨਿਮਰ-ਘਣਤਾ ਹੱਦ ਵਿੱਚ ਹੀ ਸਹੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ)

ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਉੱਪਰ ਦਰਸਾਇਆ ਮੁਕਤ-ਬੋਸੋਨ ਹੈਮੀਲਟੋਨੀਅਨ ਕਣਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਸਥਿਰ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਜਦੋਂ ਵੀ ਹੈਮੀਲਟੋਨੀਅਨ ਕਿਸੇ ਅਵਸਥਾ ਤੇ ਓਪਰੇਟ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਵਿਨਾਸ਼ਕਾਰ ਓਪਰੇਟਰ ak ਦੁਆਰਾ ਵਿਨਾਸ਼ ਕੀਤਾ ਹਰੇਕ ਕਣ ਫਟਾਫਟ ਰਚਨਾਕਾਰ ਓਪਰੇਟਰ WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 ਰਾਹੀਂ ਦੁਬਾਰਾ ਰਚ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਦੂਜੇ ਪਾਸੇ, ਇਹ ਸੰਭਵ ਹੈ, ਅਤੇ ਸੱਚਮੁੱਚ ਆਮ ਗੱਲ ਹੈ, ਅਜਿਹੀਆਂ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦਾ ਸਾਹਮਣਾ ਕਰਨਾ ਜੋ WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 ਦੀਆਂ ਖੁਦ-ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀਆਂ, ਜਿਹਨਾਂ ਦੇ ਕਣਾਂ ਦੀ ਚੰਗੀ ਤਰਾਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਗਿਣਤੀ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ। ਅਜਿਹੀਆਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਨਾਲ ਸਧਾਰਨ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਰਤਦੇ ਹੋਏ ਨਿਬਟਣਾ ਮੁਸ਼ਕਲ ਜਾਂ ਅਸੰਭਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਇਹਨਾਂ ਨੂੰ Nਦੀਆਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਮਾਤਰਵਾਂ ਰੱਖਣ ਵਾਲੀਆਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੀ ਕੁਆਂਟਮ ਸੁਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ ਅਸਾਨੀ ਨਾਲ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਮੰਨ ਲਓ ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਬੋਸੋਨਿਕ ਫੀਲਡ ਹੈ ਜਿਸਦੇ ਕਣ ਇੱਕ ਫਰਮੀਓਨਿਕ ਫੀਲਡ ਨਾਲ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਕੇ ਰਚੇ ਜਾਂ ਵਿਨਾਸ਼ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਸੰਯੁਕਤ ਸਿਸਟਮ ਦਾ ਹੈਮੀਲਟੋਨੀਅਨ, ਮੁਕਤ ਬੋਸੋਨ ਅਤੇ ਮੁਕਤ ਫਰਮੀਔਨ ਫੀਲਡਾਂ ਦੇ ਹੈਮੀਲਟੋਨੀਅਨ ਜਮਾਂ ਇੱਕ ਪੁਟੈਂਸ਼ਲ ਊਰਜਾ ਦੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਬਣੇਗਾ ਜਿਵੇਂ;

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94
ਜਿੱਥੇ WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 ਅਤੇ ak ਬੋਸੋਨਿਕ ਰਚਨਾਕਾਰ ਅਤੇ ਵਿਨਾਸ਼ਕਾਰ ਓਪਰੇਟਰਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ, WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 ਅਤੇ ck ਫਰਮੀਓਨਿਕ ਰਚਨਾਕਾਰ ਤੇ ਵਿਨਾਸ਼ਕਾਰ ਓਪਰੇਟਰ ਦਰਸਾਉਂਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ Vq ਇੱਕ ਮਾਪਦੰਡ ਹੈ ਜੋ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆ ਦੀ ਤਾਕਤ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਹ ‘ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆ’ ਸ਼ਬਦ ਅਜਿਹੀਆਂ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ k ਅਵਸਥਾ ਵਾਲਾ ਇੱਕ ਫਰਮੀਓਨ ਜਾਂ ਇੱਕ ਬੋਸੋਨ ਨੂੰ ਸੋਖਦਾ ਹੈ ਜਾਂ ਕੱਢ ਦਿੰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਕਾਰਨ ਇੱਕ ਵੱਖਰੀ ਖੁਦ-ਅਵਸਥਾ k+q ਵੱਲ ਧੱਕ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। (ਅਸਲ ਵਿੱਚ, ਇਸ ਤਰਾਂ ਦਾ ਹੈਮੀਲਟੋਨੀਅਨ ਧਾਤਾਂ ਵਿੱਚ ਚਾਲਕ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨਾਂ ਅਤੇ ਫੋਨੋਨਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨਾਂ ਅਤੇ ਫੋਟੋਨਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆ ਵੀ ਇਸੇ ਤਰਾਂ ਹੁੰਦੀ ਮੰਨੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਇਹ ਥੋੜੀ ਜਿਹੀ ਗੁੰਝਲਦਾਰ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਸਪਿੱਨ ਦਾ ਰੋਲ ਮਹਤੱਵਪੂਰਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ)। ਇੱਥੇ ਇੱਕ ਗੱਲ ਨੋਟ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਹੈ ਕਿ ਭਾਵੇਂ ਅਸੀਂ ਬੋਸੌਨਾਂ ਦੇ ਫਿਕਸ ਨੰਬਰ ਨਾਲ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਦੇ ਹਾਂ, ਅਸੀਂ ਆਮ ਤੌਰ ਤੇ ਬਾਦ ਵਿੱਚ ਬੋਸੋਨਾਂ ਦੇ ਵੱਖਰੇ ਨੰਬਰ ਵਾਲੀਆਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੀ ਸੁਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨ ਤੇ ਮੁਕਾਉਂਦੇ ਹਨ। ਫਰਮੀਔਨਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ, ਫੇਰ ਵੀ, ਇਸ ਕੇਸ ਵਿੱਚ ਸਥਿਰ (ਸੁਰੱਖਿਅਤ) ਰਹਿੰਦੀ ਹੈ।

ਸੰਘਣੇ ਪਦਾਰਥ ਦੀ ਭੋਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ, ਕਣਾਂ ਦੀ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸੰਖਿਆ ਵਾਲੀਆਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਕਈ ਸੁਪਰਫਲੱਡਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਲਈ ਖਾਸ ਤੌਰ ਤੇ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹਨ। ਇੱਕ ਸੁਪਰਫਲੱਡ ਦੀਆਂ ਕਈ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਇਸ ਧਾਰਨਾਂ ਤੋਂ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ ਕਿ ਇਸਦੀ ਕੁਆਂਟਮ ਅਵਸਥਾ ਵੱਖਰੀਆਂ ਕਣ ਸੰਖਿਆਵਾਂ ਵਾਲੀਆਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਸੁੱਪਰਪੁਜੀਸ਼ਨ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਨਾਲ ਹੋਰ ਜੋੜਦੇ ਹੋਏ, ਇੱਕ ਧੁੰਦਲੀ (coherent) ਅਵਸਥਾ ਦੀ ਧਾਰਨਾ (BCS ਗਰਾਉਂਡ ਅਵਸਥਾ ਅਤੇ ਲੇਜ਼ਰ ਦਾ ਮਾਡਲ ਬਣਾਉਣ ਲਈ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ) ਅਜਿਹੀ ਅਵਸਥਾ ਵੱਲ ਇਸ਼ਾਰਾ ਕਰਦੀ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਕਣਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ ਅਨਿਸ਼ਚਿਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਪਰ ਇੱਕ ਚੰਗੀ ਤਰਾਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਚਰਣ (phase) ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

### ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਦ੍ਰਿਸ਼ਟੀਕੋਣ

ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਦਾ ਪਹਿਲਾਂ ਦਰਸਾਇਆ ਵਿਵਰਣ ਉਸ ਭਾਵਨਾ ਦਾ ਪਿੱਛਾ ਕਰਦਾ ਹੈ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਜਿਆਦਾਤਰ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨੀ ਵਿਸ਼ੇ ਤੱਕ ਪਹੁੰਚਦੇ ਹਨ। ਫੇਰ ਵੀ, ਇਹ ਗਣਿਤਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਸਖਤ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਪਿਛਲੇ ਕਈ ਦਹਾਕਿਆਂ ਤੋਂ, ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਲਈ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੇ ਸਮੂਹਾਂ ਨੂੰ ਰਚ ਕੇ ਇੱਕ ਠੋਸ ਗਣਿਤਿਕ ਬੁਨਿਆਦ ਦੇਣ ਦੀਆਂ ਕਈਆਂ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ਾਂ ਕੀਤੀਆਂ ਗਈਆਂ। ਇਹ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ਾਂ ਦੋ ਵਿਸ਼ਾਲ ਸ਼੍ਰੇਣੀਆਂ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦੀਆਂ ਹਨ।

ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ਾਂ ਦੀ ਪਹਿਲੀ ਸ਼੍ਰੇਣੀ, 1950 ਵੇਂ ਦਹਾਕੇ ਦੌਰਾਨ ਪਹਿਲੀ ਵਾਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤੀ ਗਈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਵਾਈਟਮੈਨ, ਔਸਟਰਵਾਲਡਰ-ਸ਼ਰੇਡਰ, ਅਤੇ ਹਾਗ ਕੈਸਲਰ ਸਿਸਟਮ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹਨ। ਉਹਨਾਂ ਨੇ ਫੰਕਸ਼ਨਲ ਵਿਸ਼ਲੇਸ਼ਣ ਦੇ ਸੰਦਰਭ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ‘ਓਪਰੇਟਰ ਮੁੱਲ ਫੀਲਡ’ ਦੀ ਭੌਤਿਕੀ ਧਾਰਨਾ ਬਣਾਉਣ ਦੀ ਕੋਸ਼ਿਸ਼ ਕੀਤੀ, ਅਤੇ ਸੀਮਤ ਸਫਲਤਾ ਮਿਲੀ। ਇਹ ਸਾਬਤ ਕਰਨਾ ਸੰਭਵ ਸੀ ਕਿ ਇਹਨਾਂ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੀ ਕੋਈ ਵੀ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਨੇ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਆਮ ਥਿਊਰਮਾਂ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕੀਤਾ, ਜਿਵੇਂ ਸਪਿੱਨ-ਆਂਕੜਾ ਥਿਊਰਮ ਅਤੇ CPT ਥਿਉਰਮ। ਬਦਕਿਸਮਤੀ ਨਾਲ, ਇਹ ਦਿਖਾਉਣਾ ਅਸਧਾਰਣ ਤੌਰ ਤੇ ਮੁਸ਼ਕਲ ਸਾਬਤ ਹੋਇਆ ਕਿ ਕੋਈ ਵੀ ਵਾਸਤਵਿਕ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ, ਸਟੈਂਡਰਡ ਮਾਡਲ ਸਮੇਤ, ਇਹਨਾਂ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਇਹਨਾਂ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਨਾਲ ਚੱਲਣ ਵਾਲੀਆਂ ਜਿਆਦਾਤਰ ਥਿਊਰੀਆਂ ਭੌਤਿਕੀ ਤੌਰ ਤੇ ਤੁੱਛ ਸਨ, ਨਿਮਰ- ਅਯਾਮਾਂ ਤੱਕ ਸੀਮਤ ਸਨ ਅਤੇ ਦਿਲਸਚਪ ਯੰਤਰਾਵਲੀ ਦੀ ਕਮੀ ਵਾਲੀਆਂ ਸਨ। ਇਹਨਾਂ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਨੂੰ ਵੀ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਨ ਵਾਲੀਆਂ ਥਿਊਰੀਆਂ ਰਚਨਾਤਮਿਕ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਦੇ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਆਉਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਸੀਗਲ, ਗਲਿੱਮ, ਜੈਫ ਅਤੇ ਹੋਰਾਂ ਦੁਆਰਾ 1970ਵੇਂ ਦਹਾਕੇ ਵਿੱਚ ਇਸ ਖੇਤਰ ਵਿੱਚ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਕੰਮ ਕੀਤਾ ਗਿਆ।

1980ਵੇਂ ਦਹਾਕੇ ਦੌਰਾਨ, ਰੇਖਾ ਗਣਿਤਿਕ ਵਿਚਾਰਾਂ ਤੇ ਅਧਾਰਿਤ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦਾ ਦੂਜਾ ਸਮੂਹ ਪੇਸ਼ ਕੀਤਾ ਗਿਆ। ਖੋਜਬੀਨ ਦੀ ਇਹ ਲਾਈਨ, ਜੋ ਅਪਣਾ ਧਿਆਨ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਖਾਸ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਵੱਲ ਰੱਖਦੀ ਹੈ ਟੋਪੋਲੋਜੀਕਲ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀਆਂ ਕਹੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਜਿਆਦਾ ਨੇੜੇ ਤੋਂ ਮਾਈਕਲ ਅੱਤਿਆਹ ਅਤੇ ਗਰੀਮ ਸੀਗਲ ਨਾਲ ਜੁੜੀ ਹੈ, ਅਤੇ ਐਡਵਰਡ ਵਿੱਟਨ, ਰਿਚਰਡ ਬੋਰਚਰਡਜ਼, ਅਤੇ ਮੈਗਜਿਮ ਕੋਂਟਸੇਵਿੱਚ ਦੁਆਰਾ ਅੱਗੇ ਵਧਾਈ ਗਈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਜਿਆਦਾਤਰ ਭੌਤਿਕੀ ਸਬੰਧੀ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀਆਂ, ਜਿਵੇਂ ਸਟੈਂਡਰਡ ਮਾਡਲ, ਟੋਪੋਲੋਜੀਕਲ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀਆਂ ਨਹੀਂ ਹਨ; ਅੰਸ਼ਿਕ ਕੁਆਂਟਮ ਹਾਲ ਪ੍ਰਭਾਵ ਦੀ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਇੱਕ ਨੋਟ ਕਰਨ ਯੋਗ ਅੱਪਵਾਦ ਹੈ। ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਟੋਪੋਲੌਜੀਕਲ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਦਾ ਮੁੱਖ ਪ੍ਰਭਾਵ ਗਣਿਤ ਤੇ ਰਿਹਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ(representation) ਥਿਊਰੀ, ਬੀਜਗਣਿਤਿਕ ਟੋਪੋਲੌਜੀ, ਅਤੇ ਡਿੱਫਰੈਂਸ਼ੀਅਲ ਰੇਖਾ ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਉਪਯੋਗ ਰਹੇ ਹਨ।

ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਲਈ ਢੁਕਵਾਂ ਸਵੈ-ਸਿੱਧ ਸਬੂਤ ਖੋਜਣਾ ਅਜੇ ਵੀ ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਖੁੱਲੀ ਅਤੇ ਮੁਸ਼ਕਲ ਸਮੱਸਿਆ ਬਣੀ ਹੋਈ ਹੈ। ਕਰੋੜਾਂ ਦੇ ਇਨਾਮ ਵਾਲੀਆਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ- ਯਾਂਗ-ਮਿੱਲਜ਼ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ ਪੁੰਜ ਦੀ ਵਿੱਥ ਦੀ ਮੌਜੂਦਗੀ ਨੂੰ ਸਾਬਤ ਕਰਨਾ- ਇਸ ਮਸਲੇ ਨਾਲ ਜੁੜਿਆ ਹੈ।

## ਸਬੰਧਤ ਘਟਨਾਵਾਂ

ਲੇਖ ਦੇ ਪਿਛਲੇ ਭਾਗ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀਆਂ ਦੀਆਂ ਜਿਆਦਾ ਆਮ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਦਾ ਵਿਵਰਨ ਦਰਸਾਇਆ। ਸਿਧਾਂਤਕ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਦੇ ਕਈ ਖੇਤਰਾਂ ਵਿੱਚ ਅਧਿਐਨ ਕੀਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਕੁੱਝ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀਆਂ, ਵਾਧੂ ਖਾਸ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਰੱਖਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਿਵੇਂ ਪੁਨਰ-ਨਿਰਧਾਰੀਕਰਨ ਦੀ ਯੋਗਤਾ, ਗੇਜ ਸਮਰੂਪਤਾ, ਅਤੇ ਸੁਪਰ ਸਮਰੂਪਤਾ। ਇਹ ਅੱਗੇ ਵਾਲੇ ਭਾਗਾਂ ਵਿੱਚ ਬਿਆਨ ਕੀਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਹਨ।

### ਪੁਨਰ-ਮਾਨਕੀਕਰਨ

ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਦੇ ਇਤਿਹਾਸ ਦੇ ਸ਼ੁਰੂ ਵਿੱਚ, ਇਹ ਖੋਜਿਆ ਗਿਆ ਕਈ ਨੁਕਸਾਨਦਾਇਕ ਨਾ ਦਿਸਣ ਵਾਲੀਆਂ ਗਿਣਤੀਆਂ, ਜਿਵੇਂ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਫੀਲਡ ਦੀ ਹਾਜ਼ਰੀ ਕਾਰਨ ਇੱਕ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਨ ਦੀ ਊਰਜਾ ਵਿੱਚ ਬੇਤਰਤੀਬੀ (perturbative) ਤਬਦੀਲੀ, ਅਨੰਤ ਨਤੀਜੇ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਕਰਨ ਇਹ ਹੈ ਕਿ ਇੱਕ ਊਰਜਾ ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲੀ ਲਈ ਪਰਚਰਬੇਸ਼ਨ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਹੋਰ ਊਰਜਾਂ ਲੈਵਲਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਥੋੜੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਤੇ ਅਨੰਤ ਕਈ ਲੈਵਲ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਹਰੇਕ ਇੱਕ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਯੋਗਦਾਨ ਪਾਉਂਦਾ ਹੈ।

ਇਹਨਾਂ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕਈ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਪੁਰਾਤਨ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਡਾਇਨਾਮੈਕਸ ਵਿੱਚ ਅਸਫਲਤਾਵਾਂ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਹਨ ਜੋ ਪਛਾਣੀਆਂ ਗਈਆਂ ਸਨ ਪਰ 19ਵੀਂ ਸਦੀ ਵਿੱਚ ਹੱਲ ਨਹੀਂ ਕੀਤੀਆਂ ਗਈਆਂ, ਅਤੇ ਉਹ ਮੁਢਲੇ ਤੌਰ ਤੇ ਇਸ ਤੱਥ ਤੋਂ ਪੈਦਾ ਹੋਈਆਂ ਹਨ ਕਿ ਇੱਕ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਦੀਆਂ ਮੰਨੀਆਂ ਗਈਆਂ ਕਈ ਅੰਦਰੂਨੀ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਇਸਦੇ ਦੁਆਲੇ ਇਸਦੇ ਰਾਹੀਂ ਰੱਖੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਫੀਲਡ ਨਾਲ ਜੁੜੀਆਂ ਹਨ। ਇੱਕ ਇੱਕਲੌਤੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਰਾਹੀਂ ਰੱਖੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਊਰਜਾ- ਇਸਦੀ ਸਵੈ-ਊਰਜਾ- ਹੀ ਇੱਕਮਾਤਰ ਮਾਤਰਾ ਨਹੀਂ ਹੈ, ਸਗੋਂ ਇਸਦੀ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਫੀਲਡ ਵਿੱਚ ਰੱਖੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਊਰਜਾ ਵੀ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਇਸਦੇ ਹਾਜ਼ਰ ਫੋਟੌਨਾਂ ਦਾ ਬੱਦਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਗੋਲ ਸੋਮੇ ਦੇ ਖੇਤਰ ਵਿਚਲੀ ਊਰਜਾ ਪੁਰਾਤਨ ਅਤੇ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਦੋਹਾਂ ਵਿੱਚ ਝੁਕਦੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਪਰ ਜਿਵੇਂ ਫੁਰੱਰੀ ਦੀ ਮਦੱਦ ਨਾਲ ਵੇਸਕੋਪਫ ਦੁਆਰਾ ਖੋਜਿਆ ਗਿਆ, ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ, ਝੁਕਾਓ ਬਹੁਤ ਮਮੂਲੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਸਿਰਫ ਗੋਲੇ ਦੇ ਅਰਧ ਵਿਆਸ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕ (logarithm) ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਸਮੱਸਿਆ ਦਾ ਹੱਲ, ਸੰਖੇਪ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਸਟੱਕਲਬਰਗ ਦੁਆਰਾ ਸੁਝਾਇਆ ਗਿਆ, ਲੈਂਬ ਦੁਆਰਾ ਨਿਰਣਾਇਕ ਪ੍ਰਯੋਗ ਤੋਂ ਬਾਦ ਬੈਥ ਦੁਆਰਾ ਵਿਆਕਤੀਗਤ ਤੌਰ ਤੇ, ਸ਼ਵਿੰਗਰ ਦੁਆਰਾ ਇੱਕ ਲੂਪ ਤੇ ਲਾਗੂ ਕੀਤਾ ਗਿਆ, ਅਤੇ ਸਿਸਟੇਮੈਟਿਕ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਸਾਰੇ ਲੂਪਾਂ ਤੇ ਫੇਨਮੈਨ ਅਤੇ ਡੇਸਨ ਦੁਆਰਾ ਵਧਾਇਆ ਗਿਆ, ਜਪਾਨ ਦੇ ਯੁੱਧ ਤੋਂ ਬਾਦ ਵਿੱਚ ਅਲੱਗ ਤੌਰ ਤੇ ਟੋਮੋਨਾਗਾ ਦੁਆਰਾ ਇਕਾਗਰਤਾ ਵਾਲੇ ਕੰਮ ਨਾਲ, ਇਹ ਪਛਾਣ ਮਿਲੀ ਕਿ ਫੋਟੌਨਾਂ ਤੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਨਾਂ ਦੀਆਂ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਸਾਰੇ ਅਨੰਤ ਪਰਖੀਆਂ ਗਈਆਂ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਨਾਲ ਬਦਲ ਕੇ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਵਿੱਚ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਦੇ ਇੱਕ ਪੁਨਰ-ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਸੀਮਤ ਨੰਬਰ ਵਿੱਚ ਅਲੱਗ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ: ਖਾਸ ਤੌਰ ਤੇ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨਾਂ ਦਾ ਪੁੰਜ ਅਤੇ ਚਾਰਜ: ਇਸਨੂੰ ਪੁਨਰ-ਮਾਨਕੀਕਰਨ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਪੁਨਰ-ਮਾਨਕੀਕਰਨ ਦੀ ਤਕਨੀਕ ਪਛਾਣਦੀ ਹੈ ਕਿ ਸਮੱਸਿਆ ਸ਼ੁੱਧ ਤੌਰ ਤੇ ਜਰੂਰ ਹੀ ਗਣਿਤਿਕ ਹੈ, ਕਿ ਹੱਦ ਦੀਆਂ ਛੋਟੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਗਲਤੀ ਤੇ ਹਨ। ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਉੱਤੇ ਇੱਕ ਥਿਊਰੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਦੇ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਸਭ ਤੋਂ ਪਹਿਲਾਂ ਫੀਲਡਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੱਟ-ਔਫ ਰੱਖੋ, ਇਹ ਤਸਵੀਰ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹੋਏ ਕਿ ਕੁਆਂਟਿਆਂ ਕੋਲ ਕੁੱਝ ਹੱਦ ਦੀ ਉੱਚ ਮਾਤਰਾ ਤੋਂ ਜਿਆਦਾ ਊਰਜਾਵਾਂ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀਆਂ। ਇਸ ਕੋਲ ਨਿਰੰਤਰ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਇੱਕ ਬਣਤਰ ਰਾਹੀਂ ਬਦਲਣ ਦਾ ਪ੍ਰਭਾਵ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ ਬਹੁਤ ਛੋਟੀ ਤਰੰਗ ਲੰਬਾਈ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ, ਜਿਵੇਂ ਇੱਕ ਜਾਲੀ ਉੱਤੇ। ਜਾਲੀਆਂ ਘੁੰਮਣ ਸਮਰੂਪਤਾ ਤੋੜ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਅਤੇ ਫੇਨਮੇਨ, ਪੌਲੀ ਅਤੇ ਵਿੱਲਰਜ਼ ਦੁਆਰਾ ਪਾਏ ਨਿਰਣਾਇਕ ਯੋਗਦਾਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਯੋਗਦਾਨ, ਜਿਸਦਾ ਟੀ’ਹੂਫਟ ਅਤੇ ਵੈਲੱਟਮੈਨ ਰਾਹੀਂ ਨਵੀਨੀਕਕਰਨ ਕੀਤਾ ਗਿਆ, ਪਰਚਰਬੇਸ਼ਨ ਥਿਊਰੀ ਲਈ ਇੱਕ ਸਮਰੂਪਤਾ ਸਥਿਰਤਾ ਕੱਟ-ਔਫ ਹੈ {ਇਸ ਪ੍ਰਕ੍ਰਿਆ ਨੂੰ ਨਿਯਮਤੀਕਰਨ (regularization) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ }। ਪਰਚਰਬੇਸ਼ਨ ਥਿਊਰੀ ਤੋਂ ਬਾਹਰ ਕੋਈ ਹੋਰ ਸਮਰੂਪ ਕੱਟ-ਔਫ ਨਹੀਂ ਗਿਆਤ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਸਖਤ ਜਾਂ ਸੰਖਿਅਕ ਕੰਮ ਲਈ ਲੋਕ ਅਕਸਰ ਇੱਕ ਅਸਲੀ ਜਾਲੀ ਵਰਤਦੇ ਹਨ।

ਇੱਕ ਜਾਲੀ ਉੱਤੇ, ਹਰੇਕ ਮਾਤਰਾ ਸੀਮਤ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਪਰ ਵਿੱਥਾਂ ਉੱਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ 0 ਸਪੇਸਿੰਗ ਦੀ ਹੱਦ ਬਾਰੇ ਗੱਲ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਅਸੀਂ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਂਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਭੌਤਿਕੀ ਤੌਰ ਤੇ ਜਾਂਚਯੋਗ ਮਾਤਰਾਵਾਂ ਜਾਂਚੇ ਗਏ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨ ਦਾ ਪੁੰਜ ਵਾਂਗ ਫਿਕਸ ਰਹਿਣ, ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਥਿਊਰੀ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰ ਰਹੇ ਲਗਰੇਂਜੀਅਨ ਵਿੱਚ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਵਿੱਥਾਂ ਤੇ ਨਿਰਭਰ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਉਮੀਦ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਜਾਲੀ ਦੀਆਂ ਵਿੱਥਾਂ ਨਾਲ ਸਥਿਰ ਅੰਕਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦੇ ਕੇ, ਲੰਬੀਆਂ ਦੂਰੀਆਂ ਤੇ ਸਾਰੇ ਨਤੀਜੇ ਜਾਲੀ ਲਈ ਅਸਵੇਂਦਨਸ਼ੀਲ ਬਣ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਤੇ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਦੀ ਹੱਦ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕਰਦੇ ਹਨ।

ਪੁਨਰ-ਮਾਨਕੀਕਰਨ ਵਿਧੀ ਕੇਵਲ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਖਾਸ ਸ਼੍ਰੇਣੀ ਲਈ ਹੀ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸ ਨੂੰ ਪੁਨਰ-ਮਾਨਕੀਕਰਨਯੋਗ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀਆਂ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਥਿਊਰੀ ਬੇਤਰਤੀਬੀ ਤੌਰ ਤੇ ਪੁਨਰ-ਮਾਨਕੀਕਰਨਯੋਗ (perturbatively renormalizable) ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜਦੋਂ ਲਗਰੇਂਜੀਅਨ ਵਿੱਚ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਬਹੁਤ ਥੋੜੀਆਂ ਵਿੱਥਾਂ ਲਈ ਜਾਲੀਦਾਰ ਵਿੱਥਾਂ ਦੇ ਲਘੂਗਣਕਾਂ (logarithms) ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਵੱਧ ਤੋਂ ਵੱਧ ਝੁਕ ਸਕਦੇ ਹਨ। ਪਰਚਰਬੇਸ਼ਨ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ ਫੇਰ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਦੀ ਹੱਦ ਚੰਗੀ ਤਰਾਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕੀਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਭਾਵੇਂ ਇਹ ਗੈਰ-ਬੇਤਰਤੀਬੀ ਤੌਰ ਤੇ ਚੰਗੀ ਤਰਾਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ, ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਸਿਰਫ ਦੂਰੀ ਦੇ ਪੈਮਾਨਿਆਂ ਤੇ ਹੀ ਦਿਸਦੀਆਂ ਹਨ ਜੋ ਕਮਜੋਰ ਸੰਯੋਜਨਾਂ ਲਈ ਉਲਟ ਸੰਯੋਜਨਾਂ ਵਿੱਚ ਤੇਜੀ ਨਾਲ (exponentially) ਸੂਖਮ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ। ਪਾਰਟੀਕਲ ਫਿਜਿਕਸ ਦਾ ਸਟੈਂਡਰਡ ਮਾਡਲ ਬੇਤਰਤੀਬੀ ਤੌਰ ਤੇ ਪੁਨਰ-ਮਾਨਕੀਕਰਨਯੋਗ ਹੈ, ਤੇ ਇਸਦੀਆਂ ਜਨਮਦਾਤਾ ਥਿਊਰੀਆਂ ਵੀ ਇਵੇਂ ਹੀ ਹਨ (ਕੁਆਂਟਮ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਡਾਇਨਾਮੈਕਿਸ/ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਵੀਕ ਥਿਊਰੀ ਅਤੇ ਕੁਆਂਟਮ ਕ੍ਰੋਮੋਡਾਇਨਾਮੈਕਿਸ)। ਤਿੰਨੇ ਜਨਮਦਾਤਾਵਾਂ ਵਿੱਚੋਂ, ਕੁਆਂਟਮ ਕ੍ਰੋਮੋਡਾਇਨਾਮੈਕਿਸ ਨੂੰ ਇੱਕ ਨਿਰੰਤਰਤਾ ਦੀ ਹੱਦ ਵਾਲੀ ਨਾ ਹੋਣਾ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂ ਕਿ ਅਨੰਤਸਪਰਸ਼ੀ ਤੌਰ ਤੇ ਮੁਕਤ SU(2) ਅਤੇ SU(3) ਕਮਜੋਰ ਹਾਈਪਰ-ਤਬਦੀਲੀ ਅਤੇ ਤਾਕਤਵਰ ਕਲਰ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਗੈਰ-ਬੇਤਰਤੀਬੀ ਤੌਰ ਤੇ ਚੰਗੀ ਤਰਾਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਕੀਤੀਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ।

ਪੁਨਰ-ਮਾਨਕੀਕਰਨ ਗਰੁੱਪ ਦੱਸਦਾ ਹੈ ਕਿ ਕਿਵੇਂ ਪੁਨਰ-ਮਾਨਕੀਕਰਨਯੋਗ ਥਿਊਰੀਆਂ, ਕਿਸੇ ਦਿੱਤੀ ਹੋਈ ਉੱਚ-ਊਰਜਾ ਥਿਊਰੀ ਲਈ, ਲੰਬੀ ਦੂਰੀ ਵਾਲੀ ਨਿਮਰ-ਊਰਜਾ ਦੀ ਪ੍ਰਭਾਵੀ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪੈਦਾ ਹੋ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਸਦੇ ਕਾਰਨ, ਪੁਨਰ-ਮਾਨਕੀਕਰਨਯੋਗ ਥਿਊਰੀਆਂ ਬੁਨਿਆਦੀ ਉੱਚ-ਊਰਜਾ ਵਾਲੇ ਸੂਖਮ-ਦੂਰੀ ਘਟਨਾਕ੍ਰਮ ਦੇ ਸਹੀ ਸਹੀ ਸੁਭਾਅ ਪ੍ਰਤਿ ਅਸਵੇਂਦਨਸ਼ੀਲ ਹਨ। ਇਹ ਇੱਕ ਵਰਦਾਨ ਹੈ ਕਿਉਂਕਿ ਇਹ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨੀਆਂ ਨੂੰ ਉੱਚ-ਊਰਜਾ ਵਾਲੇ ਘਟਨਾਕ੍ਰਮ ਦੇ ਵਿਵਰਣ ਨੂੰ ਜਾਣੇ ਬਗੈਰ ਹੀ ਨਿਮਰ-ਊਰਜਾ ਥਿਊਰੀਆਂ ਦੇ ਫਾਰਮੂਲਿਆਂ ਦੀ ਬਣਤਰ ਘੜਨ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਇੱਕ ਸਰਾਪ ਵੀ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਸਟੈਂਡਰਡ ਮਾਡਲ ਵਰਗੀ ਕੋਈ ਪੁਨਰ-ਮਾਨਕੀਕਰਨਯੋਗ ਥਿਊਰੀ ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਵਾਰ ਕੰਮ ਕਰਦੀ ਪਾਈ ਜਾਂਦੀ ਹੈ, ਤਾਂ ਇਹ ਉੱਚ-ਊਰਜਾ ਵਾਲੀਆਂ ਪ੍ਰਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਬਹੁਤ ਘੱਟ ਸੁਰਾਗ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਸਟੈਂਡਰਡ ਮਾਡਲ ਵਿੱਚ ਉੱਚ ਊਰਜਾ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਨੂੰ ਦੇਖਣ ਦਾ ਇੱਕੋ ਤਰੀਕਾ ਉਦੋਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਦੋਂ ਇਹ ਮਨਾ ਕੀਤੀਆਂ ਗਈਆਂ ਘਟਨਾਵਾਂ ਨੂੰ ਹੋਰ ਕਿਸੇ ਤਰੀਕੇ ਹੋਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜਾਂ ਜੇਕਰ ਇਹ ਸੰਯੋਜਨ ਕਰਨ ਵਾਲੇ ਸਥਿਰ ਅੰਕਾਂ ਦਰਮਿਆਨ ਮਾਤ੍ਰਿਕ ਸਬੰਧਾਂ ਦਰਸਾਉਣ।

### ਹਾਗ ਥਿਊਰਮ

ਇੱਕ ਕਠੋਰ ਗਣਿਤਿਕ ਨਜ਼ਰੀਏ ਤੋਂ, ਇੱਕ ਲੋਰੇਨਟਜ਼-ਸਹਿ-ਅਸਥਿਰ ਅੰਕ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆ ਤਸਵੀਰ ਨਹੀਂ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ ਫੇਨਮੈਨ ਦੇ ਰੇਖਾਚਿੱਤਰ ਦੀ ਪਰਚਰਬੇਟਿਵ ਪਹੁੰਚ ਸਖਤੀ ਨਾਲ ਸਾਬਤ ਨਹੀਂ ਹੋਈ ਹੈ, ਭਾਵੇਂ ਇਸਨੇ ਪ੍ਰਯੋਗਾਂ ਦੁਆਰਾ ਸਾਬਤ ਵਿਸ਼ਾਲ ਸੰਖੇਪ ਅਨੁਮਾਨ ਦਿੱਤੇ ਹਨ। ਇਸ ਨੂੰ ਹਾਗ ਥਿਊਰਮ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਪਰ ਜਿਆਦਾਤਰ ਕਣ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨੀ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਤੇ ਭਰੋਸਾ ਕਰਦੇ ਹਨ ਅਤੇ ਜਿਆਦਾਤਰ ਨੇ ਇਸ ਤੋਂ ਮੋਢਾ ਝਾੜ ਲਿਆ ਹੈ।

ਰਡਲਫ ਹਾਗ ਨੇ ਸਿੱਧ ਕੀਤਾ ਕਿ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆ ਤਸਵੀਰ ਇੱਕ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਨ ਵਾਲੀ ਰਿਲੇਟਿਵਿਸਟਿਕ (ਸਾਪੇਖਿਕ) ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ, ਇਸ ਨੂੰ ਅੱਜਕੱਲ ਹਾਗ ਦੀ ਥਿਊਰਮ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਹਾਗ ਦੇ ਅਸਲੀ ਸਬੂਤ ਬਾਅਦ ਵਿੱਚ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਲੇਖਕਾਂ, ਜਿਹਨਾਂ ਵਿੱਚ ਹਾਲ ਅਤੇ ਵਿੱਟਮੈਨ ਸ਼ਾਮਿਲ ਹਨ, ਵੱਲੋਂ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਕੀਤੇ ਗਏ, ਜੋ ਇਸ ਨਤੀਜੇ ਤੇ ਪਹੁੰਚਿਆ ਕਿ ਇੱਕ ਸਿੰਗਲ, ਬ੍ਰਹਿਮੰਡੀ ਹਿਲਬਰਟ ਸਪੇਸ ਪੇਸ਼ਕਸ਼ ਸੁਤੰਤਰ ਅਤੇ ਕ੍ਰਿਆਸ਼ੀਲ ਫੀਲਡਾਂ ਦੋਹਾਂ ਨੂੰ ਦਰਸਾਉਣ ਅਤੇ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਨ ਲਈ ਕਾਫੀ ਨਹੀਂ ਹੈ। 1975 ਵਿੱਚ, ਰੀਡ ਅਤੇ ਸਿਮੋਨ ਨੇ ਸਾਬਤ ਕੀਤਾ ਕਿ ਇੱਕ ਹਾਗ ਵਰਗੀ ਥਿਊਰਮ ਵੱਖਰੇ ਪੁੰਜਾਂ ਦੀਆਂ ਸੁਤੰਤਰ ਨਿਊਟ੍ਰਲ ਸਕੇਲਰ ਫੀਲਡਾਂ ਤੇ ਵੀ ਲਾਗੂ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਇੰਟਰੈਕਸ਼ਨ ਤਸਵੀਰ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਦੀ ਗੈਰਹਾਜ਼ਰੀ ਹੇਠ ਵੀ ਮੌਜੂਦ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ ।

### ਨਾਪ-ਅਜਾਦੀ (Gauge freedom)

ਇੱਕ ਨਾਪ-ਥਿਊਰੀ ਅਜਿਹੀ ਥਿਊਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਸਥਾਨਿਕ ਮਾਪਦੰਡ ਨਾਲ ਇੱਕ ਸਮਰੂਪਤਾ ਸਵੀਕਾਰ ਕਰਦੀ ਹੈ। ਉਦਾਹਰਨ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, ਹਰੇਕ ਕੁਆਂਟਮ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ, ਤਰੰਗ ਫੰਕਸ਼ਨ ਦਾ ਸੰਸਾਰਿਕ ਚਰਣ (global phase) ਮਨਚਾਹਾ ਹੈ ਅਤੇ ਕੋਈ ਭੌਤਿਕੀ ਚੀਜ਼ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਨਹੀਂ ਕਰਦਾ। ਫਲਸਰੂਪ, ਥਿਊਰੀ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਦੀ ਸੰਸਾਰੀ ਤਬਦੀਲੀ ਥੱਲੇ ਤਬਦੀਲੀਯੋਗ ਨਹੀਂ ਹੈ (ਹਰੇਕ ਜਗਹ ਤੇ, ਸਾਰੇ ਤਰੰਗ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਸਥਿਰ ਅੰਕ ਜੋੜਦੇ ਹੋਏ); ਇਹ ਸੰਸਾਰਿਕ ਸਮਰੂਪਤਾ ਹੈ। ਕੁਆਂਟਮ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਡਾਇਨਾਮੈਕਿਸ ਵਿੱਚ, ਅਵਸਥਾ ਦੇ ਇੱਕ ਸਥਾਨਿਕ ਪਰਿਵਰਤਨ ਹੇਠਾਂ ਵੀ ਥਿਊਰੀ ਤਬਦੀਲੀਯੋਗ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ, ਯਾਨਿ ਕਿ- ਸਾਰੇ ਤਰੰਗ ਫੰਕਸ਼ਨਾਂ ਦੀਆਂ ਅਵਸਥਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਇਸ ਤਰਾਂ ਤਬਦੀਲੀ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਸਪੇਸ ਸਮੇਂ ਵਿੱਚ ਹਰੇਕ ਬਿੰਦੂ ਤੇ ਤਬਦੀਲੀ ਵੱਖਰੀ ਵੱਖਰੀ ਹੋ ਸਕਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਸਥਾਨਿਕ ਸਮਰੂਪਤਾ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਇੱਕ ਚੰਗੀ ਤਰਾਂ ਨਿਸ਼ਚਿਤ ਗਣਕ (derivative) ਓਪਰੇਟਰ ਦੀ ਹੋਂਦ ਲਈ, ਇੱਕ ਨਵੀਂ ਫੀਲਡ ਸ਼ੁਰੂ ਕਰਨੀ ਪਵੇਗੀ, ਜਿਸਨੂੰ ਗੇਜ ਫੀਲਡ ਕਹਿੰਦੇ ਹਨ, ਜੋ ਬਦਲਣ ਵਾਲੇ ਅੰਕਾਂ ਦੀ ਸਥਾਨਿਕ ਤਬਦੀਲੀ ਮੁਤਾਬਿਕ ਤਬਦੀਲ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਜੋ ਗਣਕ (derivative) ਪ੍ਰਭਾਵਿਤ ਨਾ ਹੋ ਸਕੇ। ਕੁਆਂਟਮ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਡਾਇਨਾਮੈਕਿਸ ਵਿੱਚ ਇਹ ਨਾਪ-ਫੀਲਡ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਮੈਗਨੈਟਿਕ ਫੀਲਡ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਤਬਦੀਲ ਹੋਣ ਵਾਲੇ ਅੰਕਾਂ ਦੇ ਸਥਾਨਿਕ ਨਾਪ ਦੀ ਤਬਦੀਲੀ ਨੂੰ ਪੈਮਾਨਾ ਤਬਦੀਲੀ (gauge transformation) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ, ਫੀਲਡ ਦੇ ਵਾਧੇ ਘਾਟੇ ਕਣਾਂ ਨੂੰ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਦੇ ਹਨ। ਗੇਜ ਫੀਲ ਦੇ ਵਾਧੇ ਘਾਟੇ ਨਾਲ ਸਬੰਧਿਤ ਕਣ ਗੇਜ ਬੋਸੋਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਕੁਆਂਟਮ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਡਾਇਨਾਮੈਕਿਸ ਦੇ ਕੇਸ ਵਿੱਚ ਫੋਟੋਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।
ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ ਅਜਾਦੀ ਦੀਆਂ ਡਿਗਰੀਆਂ ਫੀਲਡਾਂ ਦੇ ਸਥਾਨਿਕ ਉਤਰਾਓ-ਚੜਾਓ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਗੇਜ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਮੌਜੂਦਗੀ ਅਜਾਦੀ ਦੀਆਂ ਡਿਗਰੀਆਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਵਿੱਚ ਘਾਟਾ ਪੈਦਾ ਕਰਦੀ ਹੈ, ਕਿਉਂਕਿ ਫੀਲਡਾਂ ਦੇ ਕੁੱਝ ਉਤਰਾਓ-ਚੜਾਓ ਗੇਜ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਰਾਹੀਂ 0 ਵਿੱਚ ਤਬਦੀਲ ਕੀਤੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ, ਇਸਲਈ ਉਹ ਨਾਮਾਤਰ ਉਤਰਾਓ-ਚੜਾਓ ਰੱਖਣ ਸਮਾਨ ਹਨ, ਇਸਲਈ ਉਹਨਾ ਦਾ ਕੋਈ ਭੌਤਿਕੀ ਅਰਥ ਵੀ ਨਹੀਂ ਰਹਿ ਜਾਂਦਾ। ਅਜਿਹੇ ਉਤਰਾਓ-ਚੜਾਓ ਆਮ ਤੌਰ ਤੇ ‘ਅਜਾਦੀ ਦੀਆਂ ਗੈਰ-ਭੌਤਿਕੀ ਡਿਗਰੀਆਂ’ ਜਾਂ ਨਾਪ-ਕਲਾਕ੍ਰਿਤੀਆਂ (gauge artifact) ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ; ਆਮ ਤੌਰ ਤੇ ਇਹਨਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਕੁੱਝ ਦਾ ਇੱਕ ਨੈਗੇਟਿਵ ਮੁੱਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਉਹਨਾਂ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸਥਾਈ ਥਿਊਰੀ ਲਈ ਗੈਰ-ਢੁਕਵਾਂ ਬਣਾਉਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਲਈ, ਜੇਕਰ ਪੁਰਾਤਨ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ ਦੀ ਇੱਕ ਨਾਪ-ਸਮਰੂਪਤਾ ਹੋਵੇ, ਫੇਰ ਇਸਦਾ ਨਿਰਧਾਰਿਤ ਰੂਪ (ਯਾਨਿ ਕਿ ਸਬੰਧਿਤ ਕੁਆਂਟਮ ਫੀਲਡ ਥਿਊਰੀ) ਦੀ ਵੀ ਅਪਣੀ ਸਮਰੂਪਤਾ ਹੋਵੇਗੀ। ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਇੱਕ ਗੇਜ ਸਮਰੂਪਤਾ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਕੁਆਂਟਮ ਨਿਯਮਹੀਣਤਾ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ। ਜੇਕਰ ਇੱਕ ਗੇਜ ਸਮਰੂਪਤਾ ਵਿੱਚ ਨਿਯਮਹੀਣਤਾ ਹੋਵੇ (ਯਾਨਿ ਕਿ ਕੁਆਂਟਮ ਥਿਊਰੀ ਵਿੱਚ ਨਾ ਰੱਖੀ ਹੋਵੇ) ਫੇਰ ਥਿਊਰੀ ਸਥਿਰ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੀ: ਉਦਾਹਰਨ ਵਜੋਂ, ਕੁਆਂਟਮ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਡਾਇਨਾਮੈਕਿਸ ਵਿੱਚ, ਜੇਕਰ ਕੋਈ ਗੇਜ ਨਿਯਮਹੀਣਤਾ ਹੁੰਦੀ, ਫੇਰ ਇਸਨੇ ਲੰਬਾਤਮਿਕ ਧਰੁਵੀਕਰਨ (longitudinal polarization) ਵਾਲੇ ਫੋਟੌਨਾਂ ਦੀ ਮੌਜੂਦਗੀ ਮੰਗਣੀ ਸੀ ਅਤੇ ਵਕਤ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਧਰੁਵੀਕਰਨ ਮੰਗਣਾ ਸੀ, ਜਿਹਨਾਂ ਦਾ ਨੈਗੈਟਿਵ ਮੁੱਲ ਹੋਣ ਕਾਰਨ ਥਿਊਰੀ ਅਸਥਿਰ ਰਹਿ ਜਾਣੀ ਸੀ; ਅਜਿਹੇ ਫੋਟੌਨਾਂ ਦੇ ਦਿਸਣ ਦੀ ਇੱਕ ਹੋਰ ਸੰਭਾਵਨਾ ਸਿਰਫ ਮੱਧ ਵਾਲੀਆਂ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਵਿੱਚ ਹੋ ਸਕਦੀ ਸੀ ਪਰ ਕਿਸੇ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆ ਦੇ ਅੰਤਿਮ ਉਤਪਾਦ ਵਿੱਚ ਨਹੀਂ ਹੋ ਸਕਦੀ ਸੀ, ਜੋ ਥਿਊਰੀ ਨੂੰ ਗੈਰ-ਅਮਲੀ ਅਤੇ ਦੁਬਾਰਾ ਅਸਥਿਰ ਬਣਾ ਦਿੰਦੀ (ਦੇਖੋ ਔਪਟੀਕਲ ਥਿਊਰਮ)

ਆਮ ਤੌਰ ਤੇ, ਇੱਕ ਥਿਊਰੀ ਦੀਆਂ ਗੇਜ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਕਈ ਵੱਖਰੀਆਂ ਵੱਖਰੀਆਂ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਦੀਆਂ ਬਣੀਆਂ ਹੁੰਦੀਆਂ ਹਨ, ਜੋ ਜਰੂਰੀ ਨਹੀਂ ਕਿ ਕਮੀਊਟੇਟਿਵ (commutative) ਹੋਣ। ਇਹ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਸਮੂਹਿਕ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇੱਕ ਗੇਜ ਗਰੁੱਪ ਨਾਮਕ ਗਣਿਤਿਕ ਚੀਜ਼ ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਈਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਅਤਿ-ਸੂਖਮ ਨਾਪ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਨਾਪ-ਗਰੁੱਪ ਜਨਮਦਾਤਾ ਹਨ। ਇਸਲਈ ਗੇਜ ਬੋਸੋਨਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ ਗਰੁੱਪ ਅਯਾਮ ਹੁੰਦੀ ਹੈ (ਯਾਨਿ ਕਿ ਬੁਨਿਆਦ ਰਚਣ ਵਾਲੇ ਜਨਮਦਾਤਾਵਾਂ ਦੀ ਗਿਣਤੀ)।
ਕੁਦਰਤ ਵਿੱਚ ਸਾਰੀਆਂ ਬੁਨਿਆਦੀ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆਵਾਂ ਗੇਜ ਥਿਊਰੀਆਂ ਰਾਹੀਂ ਦਰਸਾਈਆਂ ਜਾਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਇਹ ਹਨ;

• ਕੁਆਂਟਮ ਕ੍ਰੋਮੋਡਾਇਨਾਮੈਕਿਸ, ਜਿਸਦਾ ਗੇਜ ਗਰੁੱਪ SU(3) ਹੈ। ਗੇਜ ਬੋਸੌਨ 8 ਗਲੂਔਨ ਹਨ।

• ਇਲੈਕਟ੍ਰੋ-ਵੀਕ ਥਿਊਰੀ, ਜਿਸਦਾ ਗੇਜ ਗਰੁੱਪ U(1) × SU(2) ਹੈ, (U(1) ਅਤੇ SU(2) ਦੀ ਸਿੱਧੀ ਪੈਦਾਵਰ)।

• ਗਰੈਵਿਟੀ, ਜਿਸਦੀ ਪੁਰਾਤਨ ਥਿਊਰੀ ਜਨਰਲ ਰੀਲੇਟੀਵਿਟੀ ਹੈ, ਜੋ ਸਮਾਨਤਾ ਸਿਧਾਂਤ ਨੂੰ ਮੰਨਦੀ ਹੈ, ਜੋ ਗੇਜ ਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀ ਇੱਕ ਕਿਸਮ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਇਹ ਸਪਸ਼ੱਟ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪੁਨਰ-ਮਾਨਕੀਕਰਨਯੋਗ ਨਹੀਂ ਹੈ।

### ਬਹੁ-ਮੁੱਲ ਵਾਲੀਆਂ ਨਾਪ-ਤਬਦੀਲੀਆਂ

ਥਿਊਰੀ ਨੂੰ ਅਸਥਿਰ ਛੱਡ ਦੇਣ ਵਾਲੀਆਂ ਗੇਜ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਕ ਤੌਰ ਤੇ ਸਿਰਫ ਇਕਲੌਤੇ ਮੁੱਲ ਵਾਲਾ ਨਾਪ ਫੰਕਸ਼ਨ WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 ਸ਼ਾਮਿਲ ਹੈ ਜੋ ਸ਼ਵਾਰਜ਼ ਏਕੀਕਰਨਯੋਗਤਾ ਮਾਪਦੰਡ (Schwarz integrability criterion) ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ ;

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102
ਨਾਪ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਦੀ ਇੱਕ ਦਿਲਚਸਪ ਸ਼ਾਖਾ ਪੈਦਾ ਹੋ ਜਾਂਦੀ ਹੈ ਜੇਕਰ ਗੇਜ ਫੰਕਸ਼ਨ WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 ਨੂੰ ਬਹੁ-ਮੁੱਲ ਵਾਲਾ ਫੰਕਸ਼ਨ ਹੋਣ ਦੀ ਆਗਿਆ ਦਿੱਤੀ ਜਾਵੇ, ਜੋ ਏਕੀਕਰਨ ਮਾਪਦੰਡ ਦੀ ਉਲੰਘਣਾ ਹੈ। ਇਹ ਭੌਤਿਕੀ ਫੀਲਡ ਤਾਕਤਾਂ ਨੂੰ ਬਦਲਣ ਦੀ ਯੋਗਤਾ ਰੱਖਦੀਆਂ ਹਨ ਅਤੇ ਇਸੇ ਕਰਕੇ ਕੋਈ ਢੁਕਵੀਆਂ ਸਮਰੂਪ ਤਬਦੀਲੀਆਂ ਨਹੀਂ ਹਨ। ਇੰਨਾ ਹੀ ਨਹੀਂ, ਬਦਲੀਆਂ ਗਈਆਂ ਫੀਲਡ ਸਮੀਕਰਨਾਂ ਨਵੀਆਂ ਪੈਦਾ ਹੋਈਆਂ ਫੀਲਡ ਤਾਕਤਾਂ ਦੀ ਹਾਜ਼ਰੀ ਵਿੱਚ ਭੌਤਿਕੀ ਨਿਯਮਾਂ ਨੂੰ ਸਹੀ ਸਹੀ ਦਰਸਾਉਂਦੀਆਂ ਹਨ। ਹਾਗਨ ਕਲੀਨਰਟ ਦੁਆਰਾ ਲਿਖੀ ਪੁਸਤਕ MULTIVALUED FIELDS ਦੇਖੋ ਜਿਸ ਵਿੱਚ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਘਟਨਾਵਾਂ ਲਈ ਉਪਯੋਗ ਲਿਖੇ ਗਏ ਹਨ।

### ਸੁਪਰ-ਸਮਰੂਪਤਾ

ਸੁਪਰ ਸਮਰਥਪਤਾ ਵਿੱਚ ਮੰਨਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਹਰੇਕ ਬੁਨਿਆਦੀ ਫਰਮੀਔਨ ਦਾ ਇੱਕ ਸੁਪਰ ਸਾਥੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਇੱਕ ਬੋਸੋਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਤੇ ਹਰੇਕ ਬੋਸੋਨ ਦਾ ਸੁਪਰ ਸਾਥੀ ਇੱਕ ਫਰਮੀਔਨ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਨੂੰ ਪਦਕ੍ਰਮ ਸਮੱਸਿਆ (Hierarchy Problem) ਨੂੰ ਹੱਲ ਕਰਨ ਲਈ ਬਣਾਇਆ ਗਿਆ ਸੀ, ਯਾਨਿ ਕਿ ਇਹ ਸਮਝਾਉਣ ਲਈ ਕਿ ਜੋ ਕਣ ਕਿਸੇ ਸਮਰੂਪਤਾ (ਹਿਗਜ਼ ਬੋਸੋਨ ਵਾਂਗ) ਦੁਆਰਾ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦੇ, ਵਿਸ਼ਾਲ ਪੈਮਾਨਿਆਂ (GUT, Planck...) ਵੱਲ ਧਕੇਲੇ ਜਾਣ ਲਈ ਅਪਣੇ ਪੁੰਜ ਵਿੱਚ ਰੇਡੀਏਟਿਵ ਸੁਧਾਰ ਕਿਉਂ ਨਹੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕਰਦੇ। ਇਹ ਜਲਦੀ ਹੀ ਮਹਿਸੂਸ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਕਿ ਸੁਪਰਸਮਰੂਪਤਾ ਦੀਆਂ ਹੋਰ ਦਿਲਚਸਪ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ ਹਨ: ਇਸਦਾ ਨਾਪ ਵਾਲਾ ਰੂਪ ਜਨਰਲ ਰੀਲੇਟੀਵਿਟੀ (Supergravity) ਦੀ ਇੱਕ ਸਾਖਾ ਹੈ, ਅਤੇ ਇਹ ਸਟਰਿੰਗ ਥਿਊਰੀ ਦੀ ਸਥਿਰਤਾ ਲਈ ਮੂਲ ਅੰਗ ਹੈ।

ਸੁਪਰਸਮਰੂਪਤਾ ਦਾ ਪਦਕ੍ਰਮ ਸਮੱਸਿਆਵਾਂ ਤੋਂ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਕਰਨ ਦਾ ਤਰੀਕਾ ਇਹ ਹੈ: ਕਿਉਂਕਿ ਹਰੇਕ ਕਣ ਲਈ ਉਸੇ ਪੁੰਜ ਦਾ ਇੱਕ ਸੁਪਰ ਸਾਥੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇੱਕ ਰੇਡੀਏਟਿਵ ਸੁਧਾਰ ਵਿੱਚ ਕੋਈ ਵੀ ਲੂਪ ਇਸਦੇ ਸਬੰਧਿਤ ਸੁਪਰ ਸਾਥੀ ਦੇ ਲੂਪ ਰਾਹੀਂ ਥਿਊਰੀ ਨੂੰ UV ਸੀਮਤ ਛੱਡ ਕੇ ਰੱਦ ਕਰ ਦਿੱਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਕਿਉਂਕਿ ਕੋਈ ਵੀ ਸੁਪਰ ਸਾਥੀ ਅਜੇ ਤੱਕ ਦੇਖਿਆ ਨਹੀਂ ਗਿਆ ਹੈ, ਜੇਕਰ ਸੁਪਰ ਸਮਰੂਪਤਾ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਤਾਂ ਇਹ ਜਰੂਰ ਹੀ ਤੋੜ ਦਿੱਤੀ ਜਾਏਗੀ (ਇੱਕ ਨਰਮ ਨਿਯਮ ਅਧੀਨ, ਜੋ ਸੁਪਰ ਸਮਰੂਪਤਾ ਨੂੰ ਇਸਦੇ ਲਾਭਕਾਰੀ ਲੱਛਣ ਬਰਬਾਦ ਕੀਤੇ ਬਗੈਰ ਤੋੜ ਦਿੰਦਾ ਹੈ)। ਇਸ ਤੋੜ ਦਾ ਸਰਲ ਮਾਡਲ ਮੰਗ ਕਰਦਾ ਹੈ ਕਿ ਸੁਪਰ ਸਾਥੀਆਂ ਦੀ ਊਰਜਾ ਜਿਆਦਾ ਨਹੀਂ ਹੋਣੀ ਚਾਹੀਦੀ; ਇਹਨਾਂ ਕੇਸਾਂ ਵਿੱਚ, ਸੁਪਰਸਮਰੂਪਤਾ ਨੂੰ ਪਰਖਣ ਦੀ ਵਿਸ਼ਾਲ ਹਾਡਰਨ ਟਕਰਾਓ (Large Hadron Collider) ਉੱਤੇ ਉਮੀਦ ਹੈ। ਹਿਗਜ਼ ਕਣ ਇਸੇ ਟਕਰਾਓ ਵਿੱਚ ਖੋਜਿਆ ਗਿਆ ਹੈ, ਅਤੇ ਕੋਈ ਅਜਿਹਾ ਸੁਪਰ ਸਾਥੀ ਨਹੀਂ ਖੋਜਿਆ ਗਿਆ।

## ਇਹ ਵੀ ਦੇਖੋ

2
## ਨੋਟਸ

## ਹਵਾਲੇ

ਇਤਿਹਾਸਿਕ ਹਵਾਲੇ
* Born, M.; Jordan, P.; Heisenberg, W. (1926). "Zur quantenmechanic II" [On Quantum mechanics II]. *Zeitschrift für Physik* (in German). **35** (8). Springer Verlag. Bibcode:1926ZPhy...35..557B. doi:10.1007/BF01379806. ISSN 0044-3328. `{{cite journal}}`: Invalid `|ref=harv` (help); Unknown parameter `|subscription=` ignored (`|url-access=` suggested) (help)CS1 maint: unrecognized language (link)
* Dirac, P. A. M. (1927). "The quantum theory of the emission and absorption of radiation". *Proc. R. Soc. Lond. A*. **114** (767). Royal Society Publishing: 243–265. Bibcode:1927RSPSA.114..243D. doi:10.1098/rspa.1927.0039. `{{cite journal}}`: Invalid `|ref=harv` (help); Unknown parameter `|subscription=` ignored (`|url-access=` suggested) (help)

ਆਮ ਪਾਠਕ ਲੈਵਲ
* Pais, A. (1994) [1986]. *Inward Bound: Of Matter and Forces in the Physical World* (reprint ed.). Oxford, New York, Toronto: Oxford University Press. ISBN 978-0198519973. `{{cite book}}`: Invalid `|ref=harv` (help)

* Schweber, S. S. (1994). *QED and the Men Who Made It: Dyson, Feynman, Schwinger, and Tomonaga*. Princeton University Press. ISBN 9780691033273. `{{cite book}}`: Invalid `|ref=harv` (help)

ਲੇਖਕ
* Newton, T. D.; Wigner, E.P. (1949). "Localized states for elementary systems". *Rev. Mod. Phys.* **21** (3). APS. Bibcode:1949RvMP...21..400N. doi:10.1103/RevModPhys.21.400. ISSN 0034-6861. `{{cite journal}}`: Invalid `|ref=harv` (help)

* Thorn, J. J.; Neel, M. S.; Donato, W. V.; Bergreen, G. S.; Davies, R. E.; Beck, M.. (2004). "Observing the quantum behavior of light in an undergraduate laboratory" (PDF). *Am. J. Phys*. **72** (1210). American Association of Physics Teachers: 243–265. Bibcode:2004AmJPh..72.1210T. doi:10.1119/1.1737397. `{{cite journal}}`: Invalid `|ref=harv` (help)

ਜਾਣ-ਪਛਾਣਾਤਮਿਕ ਪੁਸਤਕਾਂ
* Greiner, W.; Reinhardt, J. (1996). *Field Quantization*. Springer Publishing. ISBN 3-540-59179-6. `{{cite book}}`: Invalid `|ref=harv` (help)

* Peskin, M.; Schroeder, D. (1995). *An Introduction to Quantum Field Theory*. Westview Press. ISBN 0-201-50397-2. `{{cite book}}`: Invalid `|ref=harv` (help)

* Scharf, Günter (2014) [1989]. *Finite Quantum Electrodynamics: The Causal Approach* (third ed.). Dover Publications. ISBN 978-0486492735. `{{cite book}}`: Invalid `|ref=harv` (help)

* Srednicki, M. (2007). *Quantum Field Theory*. Cambridge University Press. ISBN 978-0521-8644-97. `{{cite book}}`: Invalid `|ref=harv` (help)

* Tong, David (2015). "Lectures on Quantum Field Theory". Retrieved 2016-02-09. `{{cite web}}`: Invalid `|ref=harv` (help)

* Zee, Anthony (2010). *Quantum Field Theory in a Nutshell* (2nd ed.). Princeton University Press. ISBN 978-0691140346. `{{cite book}}`: Invalid `|ref=harv` (help)

ਅਡਵਾਂਸ ਪੁਸਤਕਾਂ
* Weinberg, S. (2005). *The Quantum Theory of Fields*. Vol. 1. Cambridge University Press. ISBN 978-0521670531. `{{cite book}}`: Invalid `|ref=harv` (help)

## ਹੋਰ ਅੱਗੇ ਪੜੋ

ਸਧਾਰਨ ਪਾਠਕ
* Feynman, R.P. (2001) [1964]. *The Character of Physical Law*. MIT Press. ISBN 0-262-56003-8. `{{cite book}}`: Invalid `|ref=harv` (help)
* Feynman, R.P. (2006) [1985]. *QED: The Strange Theory of Light and Matter*. Princeton University Press. ISBN 0-691-12575-9. `{{cite book}}`: Invalid `|ref=harv` (help)
* Gribbin, J. (1998). *Q is for Quantum: Particle Physics from A to Z*. Weidenfeld & Nicolson. ISBN 0-297-81752-3. `{{cite book}}`: Invalid `|ref=harv` (help)
* Schumm, Bruce A. (2004) *Deep Down Things*. Johns Hopkins Univ. Press. Chpt. 4.

ਜਾਣ-ਪਛਾਣਾਤਮਿਕ ਪੁਸਤਕਾਂ
* McMahon, D. (2008). *Quantum Field Theory*. McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-154382-8. `{{cite book}}`: Invalid `|ref=harv` (help)
* Bogoliubov, N.; Shirkov, D. (1982). *Quantum Fields*. Benjamin-Cummings. ISBN 0-8053-0983-7. `{{cite book}}`: Invalid `|ref=harv` (help)
* Frampton, P.H. (2000). *Gauge Field Theories**. Frontiers in Physics (2nd ed.). Wiley.* *`{{cite book}}`: Invalid `|ref=harv` (help)*
* Greiner, W; Müller, B. (2000). *Gauge Theory of Weak Interactions*. Springer. ISBN 3-540-67672-4. `{{cite book}}`: Invalid `|ref=harv` (help)
* Itzykson, C.; Zuber, J.-B. (1980). *Quantum Field Theory*. McGraw-Hill. ISBN 0-07-032071-3. `{{cite book}}`: Invalid `|ref=harv` (help)
* Kane, G.L. (1987). *Modern Elementary Particle Physics*. Perseus Books. ISBN 0-201-11749-5. `{{cite book}}`: Invalid `|ref=harv` (help)
* Kleinert, H.; Schulte-Frohlinde, Verena (2001). *Critical Properties of φ4-Theories*. World Scientific. ISBN 981-02-4658-7. Archived from the original on 2012-07-22. Retrieved 2016-06-26. `{{cite book}}`: Invalid `|ref=harv` (help)
* Kleinert, H. (2008). *Multivalued Fields in Condensed Matter, Electrodynamics, and Gravitation* (PDF). World Scientific. ISBN 978-981-279-170-2. Archived from the original (PDF) on 2012-07-16. Retrieved 2016-06-26. `{{cite book}}`: Invalid `|ref=harv` (help)
* Loudon, R (1983). *The Quantum Theory of Light*. Oxford University Press. ISBN 0-19-851155-8. `{{cite book}}`: Invalid `|ref=harv` (help)
* Mandl, F.; Shaw, G. (1993). *Quantum Field Theory*. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-94186-6. `{{cite book}}`: Invalid `|ref=harv` (help)
* Ryder, L.H. (1985). *Quantum Field Theory*. Cambridge University Press. ISBN 0-521-33859-X. `{{cite book}}`: Invalid `|ref=harv` (help)
* Schwartz, M.D. (2014). *Quantum Field Theory and the Standard Model*. Cambridge University Press. ISBN 978-1107034730. Archived from the original on 2018-03-22. Retrieved 2016-06-26. `{{cite book}}`: Invalid `|ref=harv` (help)
* Ynduráin, F.J. (1996). *Relativistic Quantum Mechanics and Introduction to Field Theory* (1st ed.). Springer. ISBN 978-3-540-60453-2. `{{cite book}}`: Invalid `|ref=harv` (help)

ਅਡਵਾਂਸ ਪੁਸਤਕਾਂ
* Brown, Lowell S. (1994). *Quantum Field Theory*. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46946-3. `{{cite book}}`: Invalid `|ref=harv` (help)
* Bogoliubov, N.; Logunov, A.A.; Oksak, A.I.; Todorov, I.T. (1990). *General Principles of Quantum Field Theory*. Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-0-7923-0540-8. `{{cite book}}`: Invalid `|ref=harv` (help)CS1 maint: multiple names: authors list (link)

**ਲੇਖ 't Hooft, Gerard (2007). Butterfield, J.; Earman, John (eds.). *Philosophy of Physics*. Vol. Part A. The Conceptual Basis of Quantum Field Theory: Elsevier. pp. 661–730 – via ScienceDirect. `{{cite book}}`: Invalid `|ref=harv` (help); Unknown parameter `|subscription=` ignored (`|url-access=` suggested) (help) On web at 't Hooft's university website

* Wilczek, frank (1999). "Quantum field theory". *Rev. Mod. Phys*. **71** (S85–S95). arXiv:hep-th/9803075v2. Bibcode:1999RvMPS..71...85W. doi:10.1103/RevModPhys.71.S85. `{{cite journal}}`: Invalid `|ref=harv` (help)

## ਬਾਹਰੀ ਲਿੰਕ

* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Quantum field theory", *ਗਣਿਤ ਦਾ ਵਿਸ਼ਵਕੋਸ਼*, ਸਪਰਿੰਗਰ, ISBN 978-1-55608-010-4
* *Stanford Encyclopedia of Philosophy*: "Quantum Field Theory", by Meinard Kuhlmann.
* Siegel, Warren, 2005. *Fields.* A free text, also available from arXiv:hep-th/9912205.
* Quantum Field Theory Archived 2012-10-02 at the Wayback Machine. by P. J. Mulders