# Esfèra

Una esfèra
En geometria, una **esfèra** (del grèc σφαῖρα, *sfaíra*) es la superfícia formada per totes los punts de l'espaci tals que la distància (nomenada *rai*) a un punt determinat (nomenat *centre*) es totjorn la meteissa, formant una estructura de tres dimensions. Los punts que lor distància al centre es inferiora al rai constituisson una *bola* (lo solide interior a l'esfèra).

## Equacion

Dins un sistèma ortonormal de coordenadas, l'equacion de l'esfèra unitària (es a dire que son rai val 1) e centrada a l'origina de las coordenadas es:
x² + y² + z² = 1

Aquela equacion s'obten en considerant lo punt M(x,y,z) de l'esfèra e lo modul del vector **OM** qu'es egal a 1.

Pus generalament l'esfèra de rai **r**, de centre **Ω(a, b, c)** a per equacion:
(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r²

L'equacion del plan tangent al punt M(x',y',z') s'obten per mejan del *desdoblament de las variablas*: dins lo cas de l'esfèra unitària:
x·x' + y·y' + z·z' = 1

E al segond exemple:
(x - a)·(x' - a) + (y - b)·(y' - b) + (z - c)·(z' - c) = r²

## Aira e volum

L'aira d'una esfèra de rai *r* es:
   WIKINIUM\_MATH\_PH\_0

Lo volum d'una bola (domeni interior a l'esfèra) de rai *r* es:
   WIKINIUM\_MATH\_PH\_2

Se consideram l'aira e lo volum coma foncions S(r) e V(r) del rai, alara se nòta que l'aira es la foncion derivada del volum. Aquel fach es pas un azard, perque se pòt descompausar lo volum en jaces d'espessor fòrça pichona **dr** (diferencial de r), e los volums d'aqueles jaces s'aproximan de **S(r)·dr** quand **dr** tend cap a 0. Addicionant los volums infinitesimals de totes aqueles jaces (en quantitat infinida) quand lo rai *r* es prèp de zèro a *R* dona per definicion l'integrala seguenta:
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4

## Zona e segment esferics

Una **zona esferica** es la partida de la superfícia esferica delimitada per dos plans parallèls que copan l'esfèra, formant dos cercles anomenats *basas*. L'aira de la zona esferica, d'una esfèra de rai *r*, delimitat per doas basas separadas per una nautor *h* es:

```
 A = 2 · π · r · h
```

Un **segment esferic** es lo solide delimitat per una zona esferica e los dos plans parallèls que lo delimitan. Lo volum del segment esferic, d'una esfèra de rai *r*, delimitat per doas basas, de rais *a* e *b* respectivament, separadas per una nautor *h* es:

```
 V = 1/6 · π · h · (h2 + 3·a2 + 3·b2)
```

I a un cas especial de zona esferica: la **calòta esferica** es una zona esferica delimitada per un sol plan que copa l'esfèra (un dels dos plans anteriors seriá tangent, o amb una basa de rai 0). Dins aquel cas, l'aira de la calòta se calcula coma per un segment de dos basas, e lo volum de la calòta seriá simplament:

```
 V = 1/6 · π · h · (h2 + 3·a2)
```

Un **emisfèri** es una calòta esferica delimitada per un sol plan que passa per un cercle maximum de l'esfèra.

## Fusèl e còn esferics

Un **fusèl esferic** o **lunula** es una de las doas partidas (opausadas e simetricas) de la superfícia esferica delimitada per dos cercles maximums que se copan. L'aira d'un fusèl esferic, d'una esfèra de rai *r*, amb una longitud angulara de *θ* (l'angle de copa dels cercles maximums, en radians) es:

```
 A = 2 · r2 · θ
```

Un **còn esferic** es lo solide delimitat per un fusèl esferic, e los dos plans que lo delimitan, que se copan a l'axe de l'esfèra. Lo volum d'un còn esferic, d'una esfèra de rai *r*, amb una longitud angulara de *θ* (en radians) es:

```
 V = 2/3 · r3 · θ
```

## Triangle esferic

Un **triangle esferic** es una partida de l'esfèra delimitada per tres cercles maximums que se copan. L'aira d'un triangle esferic, d'una esfèra de rai *r*, amb angles *L*, *M* e *N* (mesurats en radians) es:

```
 A = r2 · (L + M + N - π)
```

## Sector esferic

Un **sector esferic** es lo solide limitat per una esfèra e la superfícia conica que son vertèx es al centre d'aquela esfèra. Se *S* es l'aira de la partida de l'esfèra que lo limita e *r* n'es lo rai, lo volum del sector val *r S*/3.

## Ligams extèrnes

* (ca)Demostracion de la formula del volum de l'esfèra utilizant lo principi de Cavalieri