# Gravitasjonsfelt

Feltlinjer for gravitasjonsfeltet **g** utenfor en sfærisk symmetrisk masse.
**Gravitasjonsfelt** i klassisk fysikk er et felt som på hvert sted bestemmer tyngdekraften som virker på et massivt legeme. Det kan settes lik med tyngdeakselerasjonen som legemet er utsatt for. Matematisk er det et vektorfelt som ofte betegnes ved **g**. Feltet skyldes tilstedeværelsen av andre masser og har en størrelse som er gitt ved Newtons gravitasjonslov. I et ikke-inertielt referansesystem vil fiktive krefter som sentrifugalkraften også kunne bidra til det totale gravitasjonsfeltet.

I Einsteins generelle relativitetsteori er det ingen prinsipiell forskjell mellom gravitasjon som skyldes masse og ikke-inertielle effekter. Begge bidrar til å gi tidrommet en krumning som kan beregnes fra dets metriske tensor. Gravitasjonsfeltet opptrer ikke lenger som noe felt, men er erstattet med effekten av tidrommets geometri. Istedenfor å forklare bevegelsen til partikler eller planeter ved hjelp av gravitasjonskrefter, viste Einstein at de beveger seg fritt langs geodetiske kurver i et krummet tidrom.

## Newtons teori

I 1687 publiserte Newton sin lov for gravitasjonskraften mellom en masse *m* og en annen masse *M* som man kan anta befinner seg i origo. Hvis da massen *m* befinner seg i posisjon **r**, er den påvirket av kraften

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
hvor *G* er gravitasjonskonstanten og minustegnet viser at kraften er tiltrekkende. Er også andre masser *Mi* til stede, vil disse også bidra på samme måte til kraften som virker på *m*. Totalkraften finnes ved å summere bidragene fra hver av disse andre massene.

Dette er første eksempel på en fjernvirkningsteori hvor kraften mellom de to massene virker instantant fra den ene til den andre uten noen tidsforsinkelse. Likedan sier loven ingenting om hvordan denne kraften i det hele tatt er i stand til å virke på avstand uten å ha noe medium å bevege seg gjennom. Newton selv var opptatt av disse spørsmålene.

Omtrent to hundre år senere viste Laplace i sine verk om celest mekanikk at man kunne få en bedre forståelse av disse problemene ved å beskrive Newtons lov for gravitasjonskraften som virker på en masse *m* i posisjon **r**, ved å si at alle andre masser *Mi* i posisjoner **ri*  skaper et vektorfelt **g** i dette punktet gitt ved

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
Dette er gravitasjonsfeltet i alle punkt utenfor de gitte massene. Kraften som virker på massen *m*, kan da skrives som

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
På samme måte vil en annen masse *m'* som befinner seg i en posisjon **r'**i det samme gravitasjonsfeltet, bli utsatt for kraften **F'** = *m'* **g**(**r'**). En tilsvarende formulering benyttes for å uttrykke Coulombs lov for elektriske krefter i elektrostatikken ved å beskrive dem som resultatet av et elektrisk felt.

### Gravitasjonspotensialet

Da kraften mellom to masser er rettet langs deres forbindelseslinje, sies den å være konservativ. Gravitasjonsfeltet kan derfor skrives som gradienten av et potensial som er et skalarfelt Φ(**r**)  og definert ved

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
For en samling masser *Mi* i posisjoner **ri*  er dette gravitasjonspotensialet gitt som

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
Da en slik skalar funksjon vanligvis er mye enklere å beregne enn et vektorfelt, er gravitasjonspotensialet både teoretisk og praktisk viktig. Gravitasjonsfeltet spiller en sekundær rolle som kan finnes fra potensialet ved en derivasjon.

### Bevegelsesligning

Kraften **F** = *m* **g** som virker på en masse *m* i et gravitasjonsfelt, vil gi den en akselerasjon **a** = *d*2**r**/*dt*2  som følger fra Newtons andre lov *m* **a** = **F**. Det gir ganske enkelt den klassiske bevegelsesligningen  **a** = **g** eller

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10
når man skriver gravitasjonsfeltet som **g** = - **∇** Φ. Massen *m* er forsvunnet fra ligningen som et uttrykk for ekvivalensprinsippet.

Som et enkelt eksempel kan man betrakte gravitasjonsfeltet på Jordens overflate. Hvis den har masse *M* og radius *R*, har dette en størrelse *g* = *GM*/*R*2. Setter man her inn massen *M* = 5.97×1024 kg og *R* = 6.37×103 km, finner man den kjente verdien *g* = 9.82 m/s2.

Mens gravitasjonspotensialet på overflaten er Φ0 = - *GM*/*R*, har det i en høyde *z* << *R* over denne verdien Φ = - *GM*/(*R + z*) = Φ0 + *gz*. En partikkel i denne høyden får derfor en akselerasjon kun i *z*-retning med størrelse *g* og rettet nedover slik at bevegelsesligningen blir *d*2*z*/*dt*2 = - *g*. Starter partikkelen i punktet *z*0 med hastighet *v*0, vil posisjonen senere langs denne aksen være gitt som

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
Hastigheten i *x*- og *y*-retning vil ikke forandre seg siden massen ikke har noen akselerasjon i disse retningene.

## Einsteins teori

De geometriske egenskapene til tidrommet med koordinatene *xμ* = (*x*0 = *ct*, **x**) er i den generelle relativitetsteorien gitt ved det kvadratiske linjeelementet

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14
hvor *c* er lyshastigheten og man benytter Einsteins summekonvensjon hvor man summerer over alle like par med indekser. Den metriske tensoren *gμν* forenkles til Minkowski-metrikken med de diagonale komponentene (1, -1, -1, -1) i et inertialsystem.

En fri partikkel vil følge en geodetisk kurve i tidrommet. Det følger fra ekvivalensprinsippet og betyr at bevegelsen er gitt som en løsning av differensialligningen

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
hvor størrelsen av linjeelementet er forbundet ved partikkelens egentid ved relasjonen *ds = cdτ*. Størrelsene Γ*σμν*  er Christoffel-symbol gitt ved deriverte av komponentene til metrikken *gμν*.

Sammenlignes den geodetiske ligningen med den tilsvarende bevegelsesligningen i Newtons teori, ser man at det siste leddet tilsvarer leddet med gravitasjonsfeltet. Man kan derfor med en viss rett si at dette går over til å bli beskrevet ved Christoffel-symbolene i Einsteins teori.

Mer presist kan man se denne sammenhengen ved å gå til den ikke-relativistiske grensen hvor partikkelen beveger seg med en hastighet *v* mye mindre enn lyshastigheten i et statisk tidrom. Første komponent *σ* = 0 av den geodetiske ligningen gir da at partikkelens egentid *τ* blir lik koordinattiden *t*. De andre komponentene til den samme ligningen reduseres dermed til

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18
I den samme grensen er dette Christoffel-symbolet gitt som 2Γ*i*00 = ∂*g*00/∂*xi* slik at man finner verdien

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20
for denne metriske komponenten. Den uttrykker Einsteins forklaring av det newtonske gravitasjonsfeltet som fremkommer som en rent geometrisk egenskap ved tidrommet. Newtons fysikk kan benyttes for svake gravitasjonspotensial som oppfyller betingelsen |Φ| << *c*2 og hastigheter *v* << *c*.

## Relativistisk gravitasjonsfelt

I Newtons gravitasjonsteori er gravitasjonsfeltet identisk med tyngdeakselerasjonen **g**. Når man snakker om gravitasjonsfelt i Einsteins relativistiske teori, er det mest nærliggende å tenke på Christoffel-symbolene Γ*σμν* som inngår i den geodetiske bevegelsesligningen. I praksis mener man derimot den metriske tensoren *gμν* som omtales som det «relativistiske gravitasjonsfeltet». Men strengt tatt er dette et relativistisk gravitasjonspotensial da Christoffel-symbolene er gitt som deriverte av disse metriske komponentene.

Dette er analogt med hva som vanligvis skjer i elektromagnetisk teori når den formuleres på relativistisk måte som i kvanteelektrodynamikk. Da omtales ofte det elektromagnetiske firepotensialet *Aμ* som «det elektromagnetiske feltet» og det er disse komponentene som kvantiseres. Men formelt sett skulle denne betegnelsen være reservert for Faraday-tensoren *Fμν = ∂μAν - ∂νAμ* med komponenter som er det elektriske feltet **E** og magnetiske feltet **B**. Samtidig er både *Aμ* og *Fμν* felt ut fra den mer matematiske definisjonen av hva et felt er.

## Referanser