# Pi

En sirkel med diameter lik 1 har en omkrets lik WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 .
Den matematiske konstanten WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 (symbol: WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 (minuskel **pi**), gresk bokstav) er definert som forholdet mellom omkretsen og diameteren til en sirkel: Omkrets = WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 × diameter. Ofte brukes 3,14 eller brøken 22/7 som en rimelig tilnærming til WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 for hverdags bruk, for eksempel i skolen. Den nøyaktige verdien har uendelig mange ikke-sykliske desimaler, dermed er WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 et irrasjonalt tall eller mer spesifikt et transcendentalt tall.

Man bruker tallet WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 , som forklart over, når man skal regne omkrets og areal av sirkler eller ellipser. WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 brukes også når man skal finne volum- og overflateverdi av kjegler, sylindre og kuler. Også i trigonometrien er WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 en grunnleggende konstant.

En numerisk tilnærming til pi, er: WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 ≅ 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 (100 desimaler).

I 2022 ble WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 kalkulert til 100 billioner desimaler av Google, noe som tok i overkant av fem måneder.

Pi-dagen markeres den 14. mars etter amerikansk datering m-dd: 3.14, eller internasjonal datering den tredje dagen i uke 14 (2023: 5. april).

Minuskelen WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 .
Arealet til sirkelen er lik WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 x r².
## Historie

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 har gjennom historien blitt beregnet på ulikt vis:

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| Babylonerne | ca. 2000 f. Kr. | 3,125 |
| Egypterne | ca. 2000 f. Kr. | 3,160 45 |
| Salomo | ca. 950 f. Kr.^  | 3 |
| Arkimedes | ca. 250 f. Kr. | 3,141 8 (223/71 < WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 < 22/7) |
| Liu Xin | ca. 5 f. Kr. | 3,125 (25/8) |
| Zu Chongzhi | ca. 480 e. Kr. | 3,141 592 920 (355/113) |
| Otho | 1573 | 3,141 592 9 |
| Viete | 1593 | 3,141 592 653 6 |
| Ludolph van Ceulen | ca. 1600 | 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 88 – 35 desimaler med lignende metoder som Arkimedes. |
| William Shanks | 1873 | Han brukte 707 desimalplasser, men han gjorde en feil ved den 528. desimalplassen slik at resten ble feil. |
| John von Neumann m.fl. | 1949 | 2037 desimaler, brukte den tidlige datamaskinen ENIAC, kjøringen tok 70 timer. |
| Guilloud og Bouyer | 1973 | 1 001 250 desimaler. |
| Kanada og Tamura | 1989 | 1 073 741 799 desimaler. |
| Yasumasa Kanada | 2004 | 1 241 100 000 000 desimaler ved hjelp av en PC. |
| Fabrice Bellard Alexander Yee Shigeru Kondo | 2009 2013 | 2 699 999 990 000 desimaler. 12 100 000 000 050 desimaler. |
| Emma Haruka Iwao/Google | 2019 | 31 415 926 535 897 desimaler. |

Den tysk-nederlandske matematikkprofessoren Ludolph van Ceulen brukte store deler av sitt liv på å kalkulere 35 desimaler. De ble inngravert på hans gravstein i Leiden i Nederland i 1610.

I 1761 beviste Johann Heinrich Lambert at WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 er irrasjonalt tall. Transcendensen til tallet ble bevist i 1882 av Ferdinand von Lindemann.

## Beregning

### Behovet for nøyaktighet av WIKINIUM\_MATH\_PH\_32

Siden WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 er et irrasjonalt tall er det ikke grenser for hvor nøyaktig man kan beregne WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 , men er det egentlig nødvendig? – NASA bruker i sine baneberegninger for interplanetære reiser 16 signifikante sifre. Det viser seg at 39 signifikante siffer er tilstrekkelig til å beregne de fleste kosmologiske konstanter, siden du da kan beregne omkretsen av universet med en nøyaktighet på ett atom. Hvis man tar hensyn til avrundingsfeil vil noen få hundre siffer være nok til alle tenkelige vitenskapelige formål. π er nok er matematikkens mest kjente konstant som historisk har vært vanskelig å beregne med høy presisjon, men det har også visse praktiske fordeler, slik som at beregningsalgoritmer for WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 brukes til å teste superdatamaskiner, testing av numeriske algoritmer og i ren matematikk der man trenger data for å evaluere forutsigbarheten i WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 .

### Algoritmer for beregning av WIKINIUM\_MATH\_PH\_42

Det finnes flere måter å beregne en tilnærming til konstanten. En metode som ikke konvergerer særlig raskt (trenger 152 trinn før det beregnede tallet kan avrundes til 3,14) og som ofte blir kalt Leibniz' formel er

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44
eller som en tilnærming

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46
I det ovenstående er WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 angitt til 72 desimaler.

I begynnelsen av 1900-tallet fant den unge matematikeren Srinivasa Aiyangar Ramanujan fra India mange nye formler for WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 . Noen var forbløffende korte og elegante, dype og raskt konvergerende etter få trinn. Spesielt denne er berømt:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52
Der WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 er fakultet av WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 ; dvs. WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 , osv.

Første iterasjon med WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 gir 6 desimalers nøyaktighet, andre gir 14 desimaler, tredje gir 22 desimaler …

Et annet eksempel på en formel for WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 som ikke konvergerer særlig raskt er denne:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72

## Formler der WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 opptrer

### Geometri

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 forekommer i mange geometriske formler for sirkler, sfærer og andre runde objekter.

|  | Geometrisk form | Formel |
| --- | --- | --- |
|  | Omkretsen av en sirkel med radius WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 og diameter WIKINIUM\_MATH\_PH\_80  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_82  |
| Arealet av en sirkel med radien WIKINIUM\_MATH\_PH\_84  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_86  |
|  | Arealet av en ellipse med halvaksene WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 og WIKINIUM\_MATH\_PH\_90  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_92  |
|  | Volumet av en sfære (kule) med radius WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 og diameter WIKINIUM\_MATH\_PH\_96  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_98  |
| Overflatearealet av en sfære med radius WIKINIUM\_MATH\_PH\_100  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_102  |
| Sylinder | Volumet av en sylinder med høyde WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 og radius WIKINIUM\_MATH\_PH\_106  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_108  |
| Overflatearealet av en sylinder med høyde WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 og radius WIKINIUM\_MATH\_PH\_112  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_114  |
|  | Volumet av en kjegle med høyde WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 og radius WIKINIUM\_MATH\_PH\_118  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_120  |
| Overflatearealet av en kjegle med høyde WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 og radius WIKINIUM\_MATH\_PH\_124  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_126  |

### Analyse

Tallet WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 er tett forbundet med de komplekse tallene, noe som følger av de trigonometriske funksjonenes forekomst i Eulers formel for den komplekse eksponentialfunksjonen,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_130
Et spesialtilfelle er Eulers likhet,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_132
som ble kalt "den merkeligste formelen innen matematikken" av Richard Feynman fordi den knytter sammen fem av de viktigste tallene: WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 som er basisen for de naturlige logaritmene, den imaginære enheten WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 som de komplekse tallene defineres ut fra og WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 . Videre følger for eksempel av residysatsen for kurveintegraler at

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_144
Arealet av en kvart enhetssirkel gis ved:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_146
### Øvrig matematikk

* En integralformel, (se *normalfordeling*):

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_148
* Baselproblemet, først løst av Euler (se også *Riemanns zeta-funksjon*):

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_150
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_152
Generelt er WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 et rasjonelt multiplum av WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 for det positive heltallet WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 .
* Gammafunksjonen utregnet ved ½:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_160
* Stirlings formel:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_162
* Egenskapen av Eulers phi-funksjon (se også *Fareysekvens*):

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_164
## Omtrentlige verdier av π

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_166 2 desimalers nøyaktighet, er en av de Diofantiske approksimasjoner
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_168 6 desimalers nøyaktighet, funnet av en den kinesiske matematiker og astronom Zu Chongzhi rundt år 450 e.kr. Det tok ca 1000 år å finne den neste rasjonelle approksimasjonen med flere desimaler WIKINIUM\_MATH\_PH\_170 .
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_172 8 desimalers nøyaktighet, en av mange approksimasjoner funnet av Srinivasa Ramanujan

## WIKINIUM\_MATH\_PH\_174 på avveier

I 1897 var kongressen i delstaten Indiana, i USA, i ferd med å vedta en lov som bl.a. kunne tolkes som en avrunding av WIKINIUM\_MATH\_PH\_176 til 3,2 i stedet for 3,14. Kongressen ble dog stoppet av en professor som tilfeldigvis var til stede før det endelige vedtaket.

Nordmannen Andreas Dahl Uthaug utga i 1916 en bok om et eget norsk WIKINIUM\_MATH\_PH\_178 , som var nøyaktig 3,125.

## Bruk (utvalg)

* utregning av størrelsen på fallskjermen som er nødvendig til å lande en rover på Mars
* utregning av hvor mange rektangulære kamerabilder er nødvendig for å kartlegge overflaten av en planet
* få et romskip til å bremse til akkurat riktig tid når det skal gå inn i den fastlagte banen rund en planet

## Fotnoter

1. ^  Tidsangivelsen kan være omstridt, det er her tatt utgangspunkt i tidsangivelsen slik den fremkommer i Nevi'im og ikke når Nevi'im er skrevet ned.

## Referanser

## Diverse

* David Blatner: *The Joy of Pi*, Walker & Company (1997), ISBN 0-8027-1332-7.
* I 1998 debuterte Darren Arnofsky med en film med navnet pi som handlet om en matematiker som arbeidet med nettopp tallet WIKINIUM\_MATH\_PH\_180 .

## Eksterne lenker

* (no) Norsk side om WIKINIUM\_MATH\_PH\_182
* (en) WIKINIUM\_MATH\_PH\_184 med fire millioner desimaler
* (en) Pi-memory