# Den spesielle relativitetsteorien

Albert Einstein på den tiden da han utviklet den spesielle relativitetsteorien.
**Den spesielle relativitetsteorien** danner grunnlaget for all moderne fysikk. Ved å gjøre det klart at oppfattelsen av tid og rom i virkeligheten henger sammen, invarslet teorien en dyptgripende forandring av det eksisterende verdensbildet.

Teorien ble fremsatt i 1905 av Albert Einstein mens han arbeidet ved et patentkontor i Bern. Arbeidet ble publisert i en eneste artikkel hvor han tok opp konflikten han så mellom Maxwells teori for elektromagnetiske fenomen og klassisk mekanikk. Dette medførte en modifikasjon av de kjente, mekaniske bevegelseslovene som viste seg kun å være gyldige for hastigheter mye mindre enn lysets hastighet *c*. I et mindre arbeid samme år fant han at energi *E* og masse *m* er relaterte ved ligningen *E = mc2* som er masseenergiloven.

Einstein hevdet at de forskjellige naturlover må være de samme i alle inertielle referansesystem. Dette gjaldt ikke bare lovene for mekaniske og elektromagnetiske fenomen som var kjent på den tiden, men også for eventuelle nye krefter og lover som kunne bli oppdaget senere. Den spesielle relativitetsteorien har derfor vært selve bærebjelken i etableringen av standardmodellen for alle elementærpartikler. Her inngår den svake og sterke kjernekraften som ikke var kjent på Einsteins tid.

Av minst like stor betydning kan man si var den radikale endringen teorien medførte for den Newtonske oppfatningen av absolutt tid og rom. Den ble kalt *spesiell* fordi den gjelder bare i inertialsystem. De beveger seg med jevn hastighet og er derfor ikke utsatt for akselerasjonskrefter. I senere arbeid utvidet Einstein teorien til å gjelde for alle referansesystem. Akselerasjonskreftene kunne da identifiseres med gravitasjonskrefter formulert som et ekvivalensprinsipp. Først i 1916 ble denne utvidete teorien ferdigstilt. Den blir kalt den generelle relativitetsteorien og danner grunnlaget for all moderne kosmologi.

## Galileis relativitetsprinsipp

Relativ bevegelse var blitt diskutert helt siden Galileo Galilei fant de første mekaniske lovene. Spesielt pekte han på at en person som sitter i et innstengt rom på en båt som beveger seg med jevn fart, ikke vil merke noe til bevegelsen ved å gjøre mekaniske målinger og observasjoner. Han konkluderte med at de mekaniske lovene var de samme for alle observatører som beveger seg på denne måten med jevn hastighet. Dette er hans relativitetsprinsipp.

I dag kan man i stedet tenke seg et tog som beveger seg med konstant hastighet *v* relativt til en stasjon. Både toget og området der stasjonen ligger, er inertialsystem. For å kunne beskrive hva som skjer i et slikt system, kan man angi posisjoner ved bruk av et kartesisk koordinatsystem og tid ved en standard klokke. Inertialsystemet kalles da et *referansesystem* hvor man kan tenke seg observatører som på hvert sted måler koordinatene for hver hendelse og til hvilket tidspunkt de skjer. Hvis toget beveger seg langs *x*-aksen i stasjonssystemet og passerer denne med koordinat *x* = 0 ved tiden *t* = 0, vil det ved et senere tidspunkt *t* ha kommet til *x = vt* i dette referansesystemet.

En mann reiser med toget og opprettet et referansesystem der. Klokken han benytter, han etter stasjonsuret slik at de to klokkene viser samme tid *t'* = *t*. De to klokkene vil fortsette å gå i takt og med alle andre klokker. Dette hadde Newton fastslått var en universell tid, gjeldende i hele Universet.

### Galilei-transformasjon

I togsystemet har mannen valgt å gi setet han har bestilt, koordinaten *x'* = 0. Hvis noe skjer lengre frem i toget, vil hendelsen ha en stedskoordinat *x'* > 0. En observatør på bakken som bruker det stasjonære referansesystemet, ser den samme hendelsen, vil han si at den skjer med koordinat

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
Denne enkle relasjonen kalles ofte for en *galileisk koordinattransformasjon* og er hva som blir brukt i normalt hverdagsliv. Koordinatene *y* og *z* normalt til *x*-aksen vil være de samme i de to referansesystemene da de ikke påvirkes av bevegelsen til toget.

### Transformasjon av hastighet

Hvis et barn løper fremover i toget med en hastighet *u'* relativt til toget, vil det ved et tidspunkt *t* være i posisjon *x' = u' t* på toget målt fra der hvor mannen sitter. En person på bakken som ser barnet i toget, vil si at det har hastigheten

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
relativt til seg. Dette er loven for galileisk transformasjon av hastigheter mellom to slike referansesystemer. Hvis barnet løper *mot* fartsretningen med togets hastighet slik at *u' = - v*, blir *u = 0*. For personen på bakken ser barnet derfor ut til å ikke bevege seg i det hele tatt.

## Lysbølger i eteren

Før Einstein kom med sin nye teori, var det generelt akseptert at man kunne beskrive lys som en bølgebevegelse styrt av Maxwells ligninger. Men man hadde på den tiden et mekanistisk verdensbilde hvor disse svingningene måtte foregå i et medium. Dette ble kalt for eteren som ble antatt å ligge i ro i forhold til det absolutte rom. Selv om vanlig materie vekselvirker med lys, så måtte materielle legemer tilsynelatende bevege seg uten friksjon gjennom dette mediet. Det var derfor uklart hva eteren besto av.

Hvis eteren kunne beskrives ved de vanlige, mekaniske lover, ville man forvente at lyshastigeten ville ha ulik verdi i forskjellige inertialsystem gitt ved Galileis hastighetstransformasjon. Men målinger viste ingen avhengighet av hastigheten som hverken kilden eller observatøren måtte ha relativt til eteren. Dette ble spesielt et problem etter det mer presise Michelson-Morley-eksperimentet hvor hastigheten til Jorden i sin årlige bevegelse rundt Solen ikke hadde noen observerbar effekt på lyshastigheten. En eventuell forklaring kunne være at vår planet drar eteren med seg slik at den ikke beveger seg relativt til oss.

## Einsteins relativitetsprinsipp

Problemene rundt eteren og utbredelse av lys hadde opptatt mange fysikere før Einstein kom med sin teori. De viktigste bidragene kom fra den nederlandske fysiker Hendrik Lorentz og den franske matematiker og fysiker Henri Poincaré. Lorentz hadde vist at Maxwells ligninger var invariante under en mer komplisert koordinattransformasjon enn den som kommer fra Galileis relativitetsprinsipp. Dette matematiske resultatet kalles for Lorentz-transformasjonen. Poincaré hadde kommet frem til tilsvarende resultater. Han stilte også spørsmål om hvordan begrepet tid defineres og benyttes i fysikken.

Disse ideene lå tett opp til hva Einstein nesten samtidig la frem i 1905. Men Einstein ville ha en enda større forandring av den klassiske fysikken og baserte sin nye relativitetsteori på disse to postulatene:

1. **Fysikkens lover er de samme i alle inertialsystem.**
2. **Lyshastigheten er den samme i alle inertialsystem og er uavhengig av observatørens bevegelse.**

Her er det første postulatet en utvidelse av Galileis relativitetsprinsipp til å gjelde ikke bare for de mekaniske lovene, men også for de elektromagnetiske. Og skulle nye naturlover i fremtiden dukke opp, må de også oppfylle dette prinsippet. Det andre postulatet dreier seg om lysets hastighet i vakuum og betyr at man ikke lenger har en eter å ta hensyn til. Hvis elektromagnetiske fenomen er styrt av Maxwells ligninger, vil dette postulatet følge fra det første.

Det andre postulatet er i direkte motstrid med Galileis lov for addisjon av hastigheter. Spørsmålet blir da hvordan de mekaniske lovene kan passe inn i den nye teorien. Einstein viste at svaret ligger i hvordan man gjør logisk entydige observasjoner av hendelser som finner sted i tid og rom.

### Synkronisering av klokker

Avstander og romlige koordinater i et inertialsystem måles på vanlig vis med en meterstokk eller målebånd som legges ut i ro mellom forskjellige punkt eller hendelser. At de må ligge i ro, ble understreket av Einstein. Hver observatør i dette systemet er utstyrt med en meterstokk og en klokke for å måle hva som skjer i nærheten. Man kan anta at i hvert punkt hvor det skjer et eller annet, vil det være en observatør til stede.

Måling av tid gjøres med identiske ur som plasseres i hvert punkt i inertialsystemet hvor en observatør er lokalisert. Men før disse klokkene kan benyttes, må de synkroniseres med tanke på at lyset beveger seg med endelig hastighet *c* mellom dem. Igjen kan man ikke bruke en bevegelig mesterklokke som blir brakt omkring til hver observatør for avlesning slik at han kan stille sin egen klokke etter den. I stedet kan man tenke seg at mesterklokken ligger i ro i et punkt hvor den ved tiden *t = 0* sender ut et lyssignal med hastighet *c*. Når en observatør i avstand *L* mottar lyssignalet, starter han klokken sin med *t = L/c*. Når en vilkårlig observatør etter denne synkroniseringen betrakter andre observatører med sine klokker, vil han ikke se at disse klokkene viser samme tid. Men hvis han korrigerer for at de befinner seg i forskjellig avstand, kommer han frem til at de alle går i takt og indikerer samme tid, hver på sin måte. To klokker er synkroniserte hvis en observatør midt i mellom dem ser at de to klokkene viser samme tid.

### Lorentz-transformasjonen

Hvis man igjen tenker seg situasjonen med toget som går med konstant hastighet *v* langs *x*-aksen, kan man nå tenke seg den situasjon at ved tiden *t = 0* slår stasjonsmesteren på et utelys. Han ser at det beveger seg likt utover i alle retninger med hastigheten *c*. Dette er akkurat tidspunktet da toget passerer stasjonen. Ved et senere tidspunkt *t* beskriver derfor lysfronten en kuleflate med radius *ct*. Dette beskrives ved ligningen

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
Mannen på toget ser at lyset på stasjonen blir slått på ved tiden *t'* = 0. Ifølge Einsteins to postulater vil han også se at lysfronten danner en kuleflate som beveger seg utover med hastigheten *c*. Denne beskriver han ved ligningen

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
uttrykt i sine koordinater *(t',x',y',z')*. De to observatørene befinner seg i hvert sitt inertialsystem og beskriver derfor hendelsen på samme måte.

Ut fra symmetry kan man nå lett overbevise seg om at de to koordinatene vinkelrett på bevegelsesretningen er de samme i de to systemene, det vil si *y' = y* og *z' = z*. Ligningene for lysfronten kan dermed kombineres til *x2 - c2t2 = x'2 - c2t'2*. Dette er det nye kravet som må oppfylles av koordinatene som de to observatørene benytter. Er den nye transformasjonen som forbinder dem også lineær, finner man at den må være

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
Den omvendte transformasjonen, fra *(t,x)* til *(t',x')*, finnes ved å la *v → - v*. Dette er Lorentz-transformasjonen som erstatter transformasjonen til Galilei. Men man ser at for lave hastigheter *v << c*, stemmer de overens. Hendrik Lorentz hadde funnet transformasjonen før Einstein. Men han benyttet den kun som en transformasjon fra det spesielle systemet hvor eteren ligger i ro, til et system som beveger seg i forhold til eteren. Einstein viste at transformasjonen forbinder alle inertialsystem.

### Minkowski-rom

En hendelse *E* med koordinatene *(ct,x)* får etter transformasjonen de nye koordinatene *(ct',x')* i et Minkowski-diagram.
Et par år etter at Einstein presenterte sin teori, fant den tyske matematiker Hermann Minkowski at Lorentz-transformasjonen kunne gis et mer geometrisk innhold. Han viste at man kunne betrakte både tiden *t* og den romlige koordinat *x* for en hendelse som koordinatene til et punkt i et firedimensjonalt tidrom. Dette er ikke noe rom med vanlig geometri, men kalles i stedet et «Minkowski-rom» med sin egen geometri. Denne formuleringen kalles kovariant relativitetsteori og er den som i dag brukes i moderne fysikk.

I et todimensjonalt, euklidisk rom kan et punkt *P* bli gitt kartesiske koordinater *(x,y)*. Den kvadrerte avstanden fra origo *O* er dermed *x2 + y2*. Denne lengden er invariant under en rotasjon av koordinatsystemet. På samme måte kan en hendelse *E* i Minkowski-rommet bli gitt koordinater *(ct,x)* slik at *(ct)2 - x2* er invariant under en Lorentz-transformasjon langs *x*-aksen. I det transformerte systemet har den samme hendelsen koordinatene *(ct',x')* som kan leses av på de nye koordinataksene. Dette er vist i figuren til høyre.

De nye koordinataksene kan finnes fra den inverse Lorentz-transformasjonen. Langs den romlige *x'* -aksen er *t' = 0* slik at ligningen for den er *ct = (v/c)x*. På samme måte langs den nye *ct'* -aksen er *x' = 0* slik at den har ligningen *x = (v/c)ct* . En partikkel som beveger seg med hastighet *v*, vil beskrive denne linjen. Den ligger i ro i det transformerte systemet med *x' = 0*. Et foton beveger seg med lyshastigheten og vil derfor beskrive en linje som danner 45° med aksene i Minkowski-diagrammet. I det transformerte aksekorset er ikke enhetene langs de to nye aksene de samme som langs de opprinnelige aksene.

### Addisjon av hastigheter

Hvis et barn på toget løper med hastighet *u'*, vil det etter en tid *t'*  være kommet til *x' = u' t'.* Fra stasjonsplattformen vil man si at barnet løper med en hastighet *u* og kommer frem til *x = ut* etter tiden *t*. Disse to observasjonene begynner begge ved tiden *t = t' = 0* da toget passerer stasjonen. I den siste ligningen setter vi inn for *x* og *t* fra Lorentz-transformasjonen. Det gir *x' + vt' = u(t' + vx'/c2*). Ved her å benytte at *x' = u' t',* finner man at

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10
Dette resultatet gir loven for addisjon av hastigheter i den spesielle relativitetsteorien. Den stemmer med Galilei-transformasjonen i når *v << c*. Hvis barnet på toget kunne bevege seg med lysets hastighet, det vil si at *u' = c*, ser man at hastigheten i det stasjonære systemet ville bli *u = c*. Man kan ikke overstige lyshastigheten. Dette er ikke noe annet enn et uttrykk for at lyshastigheten er den samme i alle inertialsystem.

## Tidsdilatasjon

Illustrasjon av en lysklokke hvor avstanden mellom speilene er *d* i dens hvilesystem.
En såkalt *lysklokke* er oppstilt på toget som beveger seg med jevn hastighet *v* langs *x*-aksen. Den består av to speil. Det ene ligger på gulvet i toget, og det andre er montert under taket direkte over. Avstanden mellom speilene er *d*. En lyspuls blir sendt opp fra gulvet og reflektert tilbake. Dette er et tikk av klokken som derfor markerer en økning av tiden på toget med *Δt' = 2d/c*.

Når klokken blir observert fra stasjonen, er den i bevegelse. Etter et tikk *Δt'* på klokken i toget er lyspulsen tilbake igjen på gulvet. Men dette skjer et annet sted i det stasjonære referansesystemet på stasjonen da toget i mellomtiden har forflyttet seg med *vΔt* hvor *Δt = 2D/c*. Her er *D* halve strekningen lyset har tilbakelagt i dette tidsrommet. Den er hypotenusen i en rettvinklet trekant hvor de to andre sidene er *d* og *vΔt/2* som vist i figuren til høyre,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
Ved å innsette dette i uttrykket for *Δt*, får man en implisit ligning for dette tikket. Den kan lett løses med resultatet

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14
De observerte tikkene på bakken er derfor lengre enn de på toget, *Δt > Δt'* . Klokken på toget som beveger seg, ser ut til å gå saktere enn den stasjonære klokken. Dette er tidsdilatasjon som er et generelt og meget viktig resultat. En observatør på toget som hadde betraktet stasjonsuret, ville også på samme måte ha observert at det gikk langsommere enn hans eget.

### Konsekvens av Lorentz-transformasjonen

For den stasjonære observatøren med den blå klokken, ser den røde klokken ut til å gå langsommere enn hans egen klokke.
Dette resultatet kan også leses direkte ut av Lorentz-transformasjonen for tiden i de to inertialsystemene. Lysklokken er hele tiden på samme sted *x'*  i toget slik at etter et tikk *Δt'*  vil tiden i det stasjonsbaserte systemet være

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
Skriver man her til venstre i ligningen *t* uttrykt ved *t'*  og *x'* , følger resultatet for tidsdilatasjonen med en gang.

En observatør på toget som betrakter stasjonsuret, vil også se at det går langsommere med samme faktor. For å vise det, kan man bruke den inverse transformasjonen

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18
og så benytte at for stasjonsuret er dets posisjon *x* den samme hele tiden. Alle klokker som beveger seg relativt til en observatør, vil for denne observatøren se ut til å gå langsommere. Denne effekten er illustrert i animasjonen her.

### Egentid

En observatør har alltid med seg sin egen klokke. Når den er riktig synkronisert, kan han på den avlese sin **egentid** som vanligvis betegnes med *τ*. En klokke på toget viser tiden *t'*  for en observatør som sitter i ro ved den. Han kan med den avlese sin egentid. Den tikker med intervall *Δt'*  som kan relateres til det tilsvarende intervallet *Δt* som stasjonsuret behøver for ett tikk. Nå er *Δt'2 = Δt2( 1 - v2/c2)* slik at man kan skrive forandringen i egentiden *Δτ = Δt'* for observatøren på toget som

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20
uttrykt ved den tilsvarende tiden *t* brukt i det stasjonære referansesystemet. For en partikkel som fotonet som beveger seg med lyshastigheten, gir dette null. Et foton har derfor ikke noen egentid. Det skyldes at det ikke har noe hvilesystem hvor den kan måles.

Dette fundamentale resultatet har en overraskende konsekvens. Hvis man i stedet for et tog tenker seg en rakett som beveger seg med en hastighet
*v = (3/5)c* fra Jorden ut til en stjerne i *Δt = 5* år og tilbake til igjen, så vil alt ha blitt *10* år eldre her på jorden. Men en klokke ombord i raketten vil ved hjemkomsten bare vise at *8* år var forløpt. Man antar da at oppstart av raketten og senere nedbremsning tar såpass kort tid at det kan sees bort fra. Dette betyr at observatørene på raketten er blitt to år yngre enn de som ble igjen på Jorden. Dette er det såkalte tvillingparadokset som også Einstein kommenterte i sitt første arbeid. Men han kalte det ikke noe paradoks, bare en interessant konsekvens av den spesielle relativitetsteorien.

Hastigheten til den bevegelige klokken er *v = Δx/Δt* hvor *Δx* er den strekningen den tilbakelegger i det stasjonære systemet
i tiden *Δt*. Derfor kan man skrive at forandringen i egentid er *Δτ = Δs/c* hvor

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22
kalles et "romtidsintervall" eller **linjeelement**. Det er nå lett å vise at størrelsen av linjeelementet er det samme hvis det blir målt i et annet inertialsystem. Man sier at det er **invariant** under Lorentz-transformasjoner. Og det er ikke så overraskende da det jo gir forandringen av egentiden til en og samme observatør, noe som er uavhengig av hva andre observatører måler.

## Lengdekontraksjon

På samme måte som ved tidsdilatasjon, er det å forvente at målinger av lengder vil gi forskjellige resultat i forskjellige inertialsystem. Hvis stasjonsplattformen har en lengde *L*, vil den da observert fra toget ha en annen lengde *L'* . En observatør på bakken vil si at et punkt på toget behøver en tid *Δt = L/v* for å passere plattformen. Men dette er ikke noen egentid da det involverer to hendelser som skjer på forskjellige steder, nemlig begynnelsen og slutten av plattformen. Tilsvarende vil en observatør på toget si at det tar en tid *Δt' = L'/v* å gå fra begynnelsen til slutten av plattformen. Og dette er virkelig hans egentid da den er målt på samme sted i hans referansesystem. Men nå er *Δt* og *Δt'*  relaterte ved uttrykket for tidsdilatasjon som dermed gir

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24
Observatøren på toget vil derfor måle en kortere lengde, *L' < L*. Dette er den berømte Lorentz-Fitzgerald-kontraksjonen som ble fremsatt for å forklare Michelson-Morley-eksperimentet mens man enda trodde på eksistensen av eteren.

Denne sammenhengen mellom tidsdilatasjon og lengdekontraksjon kan observeres i henfall av μ-partikkelen som blir dannet 20 - 30 km oppe i atmosfæren av kosmisk stråling. Den har en levetid i sitt eget hvilesystem på *τ* = 2,2×10-6 s, men beveger seg med nesten lyshastigheten etter at den blir skapt på denne måten. Uten tidsdilatasjon skulle den da bevege seg knapt en kilometer. Men observert fra Jorden, vil den i virkeligheten ha en mye lengre levetid og kunne trenge gjennom hele atmosfæren før den henfaller.

Beskrives samme prosessen fra myonets hvilesystem, vil utstrekningen av atmosfæren se kortere ut med samme faktor og partikkelen kan lett gå gjennom den i løpet av den korte levetiden på *τ* = 2,2 μs.

Dette resultatet er også direkte innebygd i Lorentz-transformasjonen.
Hvis man kaller endepunktene av plattformen ved stasjonen i det stasjonære systemet for *x1* og *x2*, vil lengden av den være *L = x2 - x1*. Benytter man uttrykket for hvordan disse romlige koordinatene er relaterte til de tilsvarende i toget, har man da

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26
Men målingen på toget må skje ved samme tidspunkt slik at *t1' = t2' .* Da avleses *L' = x2' - x1'*  som lengden til plattformen målt der. Det gir samme resultat for lengdekontraksjonen som over.

### Utledning av Lorentz-transformasjonen

På samme måte som lengdekontraksjonen kan utledes fra Lorentz-transformasjonen, kan også Lorentz-transformasjonen utledes fra lengdekontraksjonen. Hvis man går ut fra den Galileiske transformasjonen *x = x' + vt*, så skal den gjelde i det stasjonære systemet. Men her observeres lengden *x'*, som befinner seg i ro i systemet som beveger seg, kortere med størrelse *x'/γ* da **Lorentz-faktoren**

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28
er større enn en. Man har derfor at *x = x'/γ + vt* som betyr at

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30
Og dette er akkurat hvordan den romlige koordinaten transformerer. Den inverse transformasjonen finner man ved å la *v → - v* som resulterer i
*x = γ(x' + vt')*. Setter man inn her uttrykket for *x' ,* kan man løse ut *t' .* Det gir

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32
som er akkurat Lorentz-transformasjonen for tid.

## Samtidighet

Midt i en vogn med lengde *L* på toget, blir et lys slått på. For en observator på toget når det fremre og bakre vegg i vognen samtidig. Dette representerer to hendelser som man kan kalle *A* og *B*.

For en observatør på bakken sees dette litt annerledes ut. Han vil si at lyset bruker en tid *tA* for å nå den fremre veggen. I denne tiden må lyset bevege seg den kontrakterte lengden *L'/2* pluss veilengden *vtA* som toget i mellomtiden har beveget seg. Fra *ctA = L'/2 + vtA* finner man da at *tA = (L'/2)/(c - v)*. Tiden *tB* er gitt ved samme formel med *v → - v*. Dermed blir

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34
etter å ha brukt *L' = L/γ* på grunn av lengdekontraksjonen. Dette resultatet kunne man ha skrevet ned direkte fra Lorentz-transformsjonen for de to tidene da hendelsene *A* og *B* finner sted samtidig på toget slik at *tA' = tB'* sammen med at *xA' - xB' = L*.

En observatør på bakken vil derfor si at disse to hendelsene ikke er samtidige. Den ene skjer før den andre. Andre observatører vil kanskje si at de skjer i motsatt rekkefølge. Samtidighet er ikke lenger noe man kan bli universelt enige om. Den er alltid relativ til det inertialsystemet hvor observasjonen blir gjort.

Klokkene ombord på toget synes å gå saktere for observatøren på bakken. Han vil derfor si at de er usynkroniserte med *Δt' = Δt/γ = vL/c2*. Denne effekten er totalt neglisjerbar for alle hastigheter *v* vi møter i det normale liv.

## Rapiditet

I stedet for Lorentz-faktoren er det ofte nyttig å innføre de to størrelsene

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
som er forbundet ved relasjonen cosh2*θ* - sinh2*θ* = 1. De er derfor begge hyperbolske funksjoner av den variable *θ* som i fysikken kalles for **rapiditet**. Den er et annet uttrykk for den vanlige hastigheten. Fra definisjonen følger at

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38
og de er derfor forbundet ved en hyperbolsk tangens-funksjon. Mens den fysiske hastigheten *v* til en partikkel aldri kan bli større en lyshastigheten, kan dens rapiditet *θ* bli vilkårlig stor. Derfor brukes rapiditet ofte for å skille mellom hastighetene til ekstremt relativistiske partikler.

Denne nye variable gjør det mulig å skrive Lorentz-transformasjonen på den alternative formen

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40
Dette minner om en rotasjon i et 2-dimensjonalt, Euklidisk rom. Man kan utnytte dette til å innføre en ny tidskoordinat i*t* hvor i = √(-1) er den imaginære enhet slik at Minkowski-rommet matematisk sett kan beskrives som et Euklidisk rom.

Ved bruk av rapiditet får nå formelen for addisjon av hastigheter nytt innhold. Skriver man *u = c*tanh*φ* og *u' = c*tanh*φ'* for hastigheten til partikkelen i de to inertialsystemene, vil de nå være forbundet ved den lineære relasjonen *u = u' + v*.
Det følger fra den geometriske formelen

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42
som gir verdien til en hyperbolsk tangens-funksjon for en sum av to variable. Det er spesielt denne egenskapen som gjør rapiditet så anvendelig i elementærpartikkelfysikken hvor man behøver å beregne hastighetene til partikler observert i forskjellige inertialsystem.

## Energi-masse ekvivalens

Noen få måneder etter at Einstein publiserte sitt arbeid sin nye relativitetsteori, kom han med et mye kortere bidrag hvor han utledet den berømte formelen *E = mc*2. Denne blir noen ganger kalt for masseenergiloven, men bør heller betraktes som en relasjon som uttrykker ekvivalens mellom energi og masse.

Einstein betraktet en masse *M* som ligger i ro. Så sender den ut to fotoner med total energi *E*. De beveger seg bort fra hverandre, hver med en impuls med størrelse *p = E*/2*c*  og med motsatt retning. Etter utsendelsen ligger massen derfor fremdeleles i ro. Denne prosessen beskrives nå i et annet inertialsystem som beveger seg med hastigheten *v << c* langs retningen til fotonene. Sett fra dette systemet har det ene fotonet fått en blåforskyvning. Denne er gitt ved den ikke-relativistiske Doppler-faktoren 1 + *v*/*c* som gir en økning av dets impuls med (*E*/2*c*)(*v*/*c*). Det andre fotonet er rødforskjøvet med en tilsvarende reduksjon av impulsen. Derfor har de to fotonene i dette systemet tilsammen en impuls Δ*p* = *Ev*/*c*2.

Impulsen til partikkelen i dette bevegelige referansesystemet var *Mv* før utsendelsen. Den forsetter med samme hastighet etter utsendelsen siden den ble liggende i ro i det stasjonære systemet. Dens masse må derfor ha avtatt med Δ*M* = *E*/*c*2  for at den totale impulsen skal være bevart. Partikkelen har ved utsendelse av stråling altså mistet noe masse som er blitt konvertert til energi.

I årene som fulgte kom Einstein med flere utledninger og begrunnelser for denne ekvivalensen. Mest naturlig fremkommer den ved å forstå Lorentz-transformasjonen som en geometrisk sammenheng i et firedimensjonalt tidrom. Dette ble vist av den tyske matematiker Hermann Minkowski i 1908. Etter han blir tidsrommet i den spesielle relativitetsteorien omtalt som «Minkowski-rommet». Denne geometriske formuleringen av teorien til Einstein kalles kovariant relativitetsteori og er den som lar seg generalisere til generell relativitetsteori.

### Relativistisk impuls

Relativitetsteorien gjør det mulig å relatere fenomen som beskrives av observatører som befinner seg i forskjellige inertialsystem. En masse *m* som befinner seg i ro i et slikt system som selv er i bevegelse med hastigheten **v** relativt til et annet system, vil i dette siste systemet sies å ha en impouls *m* **v** når man benytter newtonsk mekanikk. På samme måte vil den ha den kinetiske energien *m* **v**2/2. I denne ikke-relativistiske beskrivelsen er både energi og impuls av fundamental betydning da det er størrelser som er bevarte i alle mekaniske prosesser, uansett hvilket inertialsystem som benyttes. Det er derfor å forvente at energi og impuls kan defineres i spesiell relativitetsteori.

At en fysisk lov, som bevarelse av energi og impuls, har samme form i alle inertialsystem, sies å være en «kovariant» egenskap. Ved å benytte det firedimensjonale Minkowski-rommet til å lage en kovariant relativitetsteori, fremkommer de relativistiske uttrykkene for energi og impuls på en enkel måte. Har partikkelen masse *m* og hastighet **v**, vil den ha en energi

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44
hvor Taylor-utviklingen på høyre side følger fra binomialformelen for ikke-relativistisk bevegelse *v* << *c*. Mens det andre leddet på høyre side er den kinetiske energien i denne grensen, er det første leddet «hvileenergien» *E0 = mc*2. Den kommer her automatisk frem fra den relativistiske energien i det inertialsystemet hvor partikkelen er i ro.

På samme måte blir impulsen til partikkelen i den kovariant formuleringen

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46
som gir direkte *m* **v** i den ikke-relativistiske grensen. Generelt har man derfor sammenhengen *p* = *Ev*/*c*2  mellom energi og impuls. Den kinetiske energien til partikkelen kan nå uttrykkes ved impulsen og blir

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48
når *p* << *mc*. Det tredje leddet på høyre side er en korreksjon til den vanlige, kinetiske energien *p*2/2*m* som må tas med når man beskriver elektronene i et atom og som gir opphav til finstruktur i deres spektrum.

Hvis hastigheten til partikkelen varierer med tiden slik at den får en akselerasjon, må det skyldes at den er utsatt for en kraft. Den vil medføre at energien *E* også varierer med tiden. Ved direkte derivasjon finnes nå

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50
Ut fra den klassiske sammenhengen *dE*/*dt* = **F**⋅**v** mellom utført arbeid og tilsvarende forandring av energi, betyr det at kraften som virker på partikkelen er gitt som **F** = *d* **p**/*dt*. Dette er Newtons andre lov som dermed også gjelder for en relativistisk partikkel når definisjonen av dens impuls blir gitt et nytt innhold i overensstemmelse med relativitetsteorien.

## Elektromagnetisme

Elektromagnetisk teori basert på Maxwells ligninger var et av grunnelementene i Einsteins spesielle relativitetsteori som ble presentert i arbeidet med tittel «Zur Elektrodynamik bewegter Körper» eller *Elektrodynamikk for legemer i bevegelse*. Som alle mekaniske lover skulle også de elektromagnetiske ligningene til Maxwell være de samme i alle inertialsystem. Derav følger direkte at lyshastigheten må være den samme og uavhengig av lyskildens eventuelle hastighet. På samme måte som Lorentz-transformasjonen skaper en sammenheng mellom energi og impuls i forskjellige inertialsystem, vil den på tilsvarende måte forbinde elektriske og magnetiske fenomen avhengig av observatørens hastighet.

### Lorentz-transformasjon av elektromagnetiske felt

Faradays lov forbinder det elektriske feltet **E**(**x**,*t*) med det magnetiske feltet **B**(**x**,*t*) som kan uttrykkes ved Maxwell-ligningen

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52
Hvis man benytter et annet, inertielt referansesystem, må loven der ha samme form uttrykt ved koordinatene som benyttes i det systemet. Beveger det seg langs *x*-aksen med hastighet *v*, er sammenhengen mellom koordinatene i de to systemene gitt ved Lorentz-transformasjonen

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54
og som lar de transverse koordinatene *y* og *z* forbli uforandret. For at Maxwell-ligningen i det merkete systemet skal ha samme form, må de tilsvarende feltene **E'**(**x'**,*t'*) og **B'**(**x'**,*t'*) som observeres der, kunne relateres på en lignende måte til feltene i det stasjonære systemet. Det kan man finne ut ved å uttrykke Maxwell-ligningen ved koordinatene i det merkete systemet. Ved bruk av kjerneregelen finner man da de to partialderiverte blir

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58
mens de deriverte i *y*- og *z*-retningene forblir uforandret. Hvis man så betrakter *z*-komponenten av Maxwell-ligningen som er

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60
så forandres den til

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62
Sammenligner man dette uttrykket med den formen den opprinnelige ligningen må ha i det merkete systemet, kan man lese ut de transformerte komponentene *E'x*, *E'y* og *B'z*. På samme måte finnes transformasjonen for noen av de andre feltkomponentene fra *x*- og *y*-komponentene av Maxwell-ligningen.

En tilsvarende omskriving kan så gjennomføres for den andre Maxwell-ligningen **∇** × **H** = ∂**D**/∂*t* der **B** = *μ*0**H**  og **D** = *ε*0**E** i vakum. Her er den kvadrerte lyshastigheten nå gitt som *c*2 = 1/*ε*0*μ*0. Dermed finner man for alle seks feltkomponenter resultatet

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64
De tilsvarende ligningene for den inverse transformasjonen finnes herfra ganske enkelt ved å la hastigheten *v* skifte fortegn. Elektriske og magnetiske felt blandes derfor sammen ved en slik transformasjon. Hva som er et elektrisk felt i et inertialsystem, kan gi opphav til et magnetisk felt i et annet system.

### Bevegelsesindusert spenning

Indusert, elektromotorisk spenning i en strømkrets skjer enten når den magnetiske fluksen gjennom kretsen forandrer seg ved at magnetfeltet varierer med tiden eller at kretsen beveger i feltet. I dette siste tilfellet kan magnetfeltet også være konstant og den induserte spenningen kan forklares som et resultat av relativitetsteorien.

Når en elektrisk leder beveger seg med konstant hastighet **v** gjennom et magnetfelt **B**, vil det i lederens hvilesystem måles et magnetfelt **B'** og et elektrisk felt **E'**.
Betegner man komponentene av feltene som er langs retningen til hastigheten med indeksen *L* for longitudinal og de som er vinkelrett med indeksen *T* for "transvers", sier transformasjonsligningene at magnetfeltet i lederens hvilesystem er gitt som **B'L* = **BL* og **B'T* = *γ* **BT*. Hvis dens hastighet er liten slik at *γ* = 1, er dette det samme feltet. Men i tillegg vil det i lederen også opptre et elektrisk felt med komponentene **E'L* = 0  og **E'T* = *γ* **v** × **BT*  som utgjør det induserte feltet

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66
da **v** × **BL* = 0. Når lederen beveger seg mye langsommere enn lyshastigheten, er *γ* = 1 slik at **B'** = **B**. Den induserte, elektromotoriske spenningen skyldes derfor det elektriske feltet **E'** = **v** × **B**  i lederen.

### Biot-Savarts lov

En elektrisk ladning som beveger seg, utgjør en elektrisk strøm. Den vil dermed skape et magnetisk felt som kan beregnes fra Biot-Savarts lov. Dette feltet kan forklares som et resultat av en Lorentz-transformasjon av det elektriske feltet i ladningens hvilesystem til det referansesystemet hvor ladningen observeres å bevege seg.

Anta at ladningen *q* ligger i ro i det merkete systemet slik at den der omgir seg med et elektrisk felt som i punktet **r'** = (*x'*, *y'*, *z'*) er gitt ved Coulombs lov

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68
Ladningen beveger seg med konstant hastighet **v** langs *x*-aksen når den observeres i en annet, stasjonært referansesystem. Antar man at denne hastigheten er mye mindre enn lyshastightene *c*, vil transformasjonen av det elektriske feltet til dette systemet gi at det er **E**(**r**) = **E'**  hvor nå **r** = (*x - vt*, *y*, *z*). Men i tillegg vil det i dette systemet også opptre et magnetfelt som med den samme transformasjonen er **B**(**r**) = (**v**/*c*2) × **E'**. Det kan skrives som

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70
som er Biot-Savarts lov etter å ha benyttet at 1/*c*2 = *ε*0*μ*0. Magnetfeltet står vinkelrett på hastigheten **v** og er derfor transversalt.

På samme måte vil feltene i en elektromagnetisk bølge beskrives forskjellig i forskjellige referansesystem. Her kommer i tillegg at en bølge har en variasjon i tid og rom beskrevet ved dens frekvens og bølgevektor som vil ha verdier avhengige av inertialsystemet hvor de blir målt. Dette resulterer i den relativistiske Doppler-effekten som har viktige anvendelser.

## Se også

* Lengdekontraksjon
* Tidsdilatasjon
* Rødforskyvning
* Kovariant relativitetsteori

## Referanser

## Litteratur

* A. Einstein, Zur Elektrodynamik bewegter Körper, Annalen der Physik **17**, 891 - 921 (1905).
* A. Einstein, Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energiegehalt abhängig? Annalen der Physik **18**, 639 - 641 (1905).
* A. Einstein, *The Meaning of Relativity*, Princeton University Press, Princeton (1922).
* G. Galilei, *Dialog over de to store verdenssystemer - det ptolemeiske og det kopernikanske*. Bokklubbens Kulturbibliotek (2009). ISBN 978-82-525-7104-2.
* W. G. V. Rosser, *Introduction to Special Relativity*, Taylor & Francis Ltd, London (1991). ISBN 0-85066-839-7.
* H. D. Young and R. A. Freedman, *University Physics*, Addison Wesley, New York (2004). ISBN 0-321-20469-7.

## Eksterne lenker

* «relativitetsteorien», fra *Store norske leksikon*
* «Spesiell relativitetsteori», openvideo fra NTNU