# Peanos aksiomer

**Peano-aksiomene** fra 1889, også kjent som **Dedekind-Peano-aksiomene** eller **Peano-postulatene**, er en liste av aksiomer for de naturlige tallene som ble utarbeidet av den italienske matematikeren Giuseppe Peano. De faller inn under feltet matematisk logikk. Disse aksiomene har blitt brukt i et antall metamatematiske undersøkelser, inkludert forskning i fundamentale spørsmål rundt konsistens og kompletthet av tallteori.

Behovet for en formalisert aritmetikk ble ikke verdsatt før arbeidet til Hermann Grassmann, som i 1860-årene viste at mange aritmetiske fakta kunne utledes fra mere grunnleggende kjennskap til etterfølger-operasjonen og matematisk induksjon. Charles Sanders Peirce gav en aksiomatisering av aritmetikk med naturlige tall i 1881. I 1888 foreslo Richard Dedekind en samling av aksiomer for tallene, og i 1889 publiserte Peano mer presist formulerte versjoner av disse aksiomene i boken «Aritmetikkens prinsipper ved en ny metode» (Latin: Arithmetices principia, nova methodo exposita).

Peanoaksiomene inneholder tre typer påstander. Det første aksiomet erklærer eksistensen av minst ett element i mengden «tall». De neste fire er generelle påstander om equality; I moderne fremstillinger blir disse ofte ikke tatt med som en del av Peanoaksiomene, men heller betraktet som aksiomer i den «underliggende logikken». De neste tre aksiomene er first-order er påstander om naturlige tall som uttrykker fundamentale egenskaper ved etterfølgeroperasjonen. Det niende og siste aksiomet er en second order påstand som uttrykker prinsippet for matematisk induksjon over de naturlige tallene. Et svakere første-ordenssystem som kalles **Peanoaritmetikk** fås ved å eksplisitt legge til symboler for addisjon og multiplikasjon, og erstatte det niende aksiomet med et førsteordens aksiomskjema.

## Aksiomene

Mengden av naturlige tall kan illustreres ved den uendelige kjeden av dominobrikker av lyst tre, hvor den første svarer til null, og hver brikke har oversiden vendt mot etterfølgeren. Men, aksiomene 1-8 er også oppfylt av den usammenhengende strukturen som består av brikker av både lyst og mørkt tre. Aksiom 9, induksjonsaksiomet svarer til kravet at hvis den første brikken av lyst tre faller, så vil til slutt hver eneste brikke falle («dominoeffekt»); dette er tilfredsstilt bare i fravær av de mørke brikkene.
Da Peano formulerte sine aksiomer, var språket til matematisk logikk i sin barndom. Systemet for logisk notasjon som han skapte for å presentere aksiomene ble ikke populært, selv om det underligger den moderne notasjonen for elementrelasjonen (∈, som kommer fra Peanos ε) og logisk implikasjn (⊃, som kommer fra Peanos omvendte 'C'.) Peano var nøyaktig med å trekke et skarpt skille mellom matematiske og logiske symboler, noe som da var uvanlig i matematikk; et slikt skille ble først innført i Begriffsschrift av Gottlob Frege, publisert i 1879. Peano kjente ikke til Freges arbeider, og gjenskapte sitt logiske apparat helt uavhengig. Han baserte dette på arbeidene til Boole og Schröder.

Peanoaksiomene definerer de aritmetiske egenskapene til *naturlige tall*, vanligvis representert som en mengde mengde *N* eller WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 signatur (et formelt språks ikke-logisk symboler) for aksiomene inkluderer et konstant symbol 0 og et unært funksjonssymbol *S*.

Konstanten 0 blir antatt å være et naturlig tall:

1. 0 er et naturlig tall.

De neste fire aksiomene beskriver likhet og relasjoner. Siden de er logisk gyldige i førsteordenslogikk med likhet, blir de ikke betraktet som en del av peanoaksiomene i moderne fremstillinger.

 2. For ethvert naturlig tall *x*, *x* = *x*. Det vil si at likhet er refleksiv.
3. For alle naturlige tall *x* og *y*, hvis *x* = *y*, så er *y* = *x*. Det vil si at likhet er symmetrisk.
4. For alle naturlige tall *x*, *y* og *z*, hvis *x* = *y* og *y* = *z*, så er *x* = *z*. Det vil si at likhet er transitiv.
5. For alle *a* og *b*, hvis *a* er et naturlig tall og *a* = *b*, så er *b* også et naturlig tall. Med andre ord, de naturlige tallene er lukket under likhet.

Resten av aksiomene definerer aritmetiske egenskaper ved de naturlige tallene. Mengden av naturlige tall antas å være lukket under en envaluert (eller unær) «etterfølger» funksjon *S*.

6. For ethvert naturlig tall *n*, så er *S*(*n*) et naturlig tall.

Peanos opprinnelige formulering av aksiomene brukte 1 istedenfor 0 som det «første» naturlige tallet. Dette valget er vilkårlig, ettersom aksiom 1 ikke tillegger konstanten 0 noen spesielle egenskaper. Men, siden 0 er (det additive) identitetselementet i aritmetikk, så starter de fleste moderne formuleringene av peanoaksiomene fra 0. Aksiom 1 og 6 definerer en unær representasjon av de naturlige tallene: tallet 1 kan representeres som *S*(0), 2 as *S*(*S*(0)) (som også er *S*(1)), og, generelt, ethvert naturlig tall *n* som et resultat av n gangers repetert anvendelse av funksjonen *S* til 0, skrevet som *S**n*(0). De neste to aksiomene definerer egenskapene til denne representasjonen.

7. For ethvert naturlig tall *n* er *S*(*n*) = 0 usann . Det betyr at det ikke finnes noe naturlig tall som etterfølges av 0.
8. For alle naturlige tall *m* og *n*, hvis *S*(*m*) = *S*(*n*), så er *m* = *n*. Det betyr at *S* er en injection.

Aksiomene 1, 6 , 7 og 8 impliserer at mengden av naturlige tall inneholder de ulike elementene 0, *S*(0), *S*(*S*(0)), og videre at {0, *S*(0), *S*(*S*(0)), …} ⊆ *N*. Dette viser at mengden av de naturlige tallene er en uendelig mengde. Men, for å kunne vise at *N* = {0, *S*(0), *S*(*S*(0)), …}, så må det vises at *N* ⊆ {0, *S*(0), *S*(*S*(0)), …}; dvs, det må vises at alle naturlige tall er inkludert i {0, *S*(0), *S*(*S*(0)), …}. For å kunne gjøre dette trengs det et tilleggsaksiom, som enkelte ganger kalles *induksjonsaksiomet*. Dette aksiomet gir oss en metode for å kunne tenke om mengden av alle de naturlige tallene.

9. Hvis *K* er en mengde slik at:
	* *0* er element i *K*, og
	* for ethvert naturlig tall *n*, hvis *n* er i *K*, så er*S*(*n*) i *K*,
så vil *K* inneholde ethvert naturlig tall.

Induksjonsaksiomet kan formuleres slik:

9. Hvis φ er et unært predikat slik at:
	* φ(0) er sann, og
	* for ethvert naturlig tall *n*, hvis φ(*n*) er sann, så er φ(*S*(*n*)) sann,
da er φ(*n*) sann for ethvert naturlig tall *n*.

I Peanos opprinnelige formulering er induksjonsaksiomet et second-order axiom. Det er nå vanlig å erstatte dette annenordensprinsippet med et svakere first-order induksjonsskjema. Det er viktige forskjeller mellom førsteordens og andreordens-formuleringene, som diskutert i avsnittet Modeller under.

## Aritmetikk

Peanoaksiomene kan utvides med operasjonene addisjon og multiplikasjon og den vanlige lineære ordningen på de naturlige tallene *N*. De respektive funksjonene og relasjonene konstrueres i annenordens-logikk, og kan vises å være entydig bestemte ved å bruke peanoaksiomene.

### Addisjon

Addisjon er en funksjon som tilordner to naturlige tall (to elementer i *N*) til et annet naturlig tall. Den er definert rekursivt som:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
For eksempel,

*a* + 1 = *a* + *S*(0) = *S*(*a* + 0) = *S*(*a*).
structure (*N*, +) er en kommutativ semigruppe med identitetselement 0. (*N*, +) er også en cancellative magma, og derfor embeddable i en gruppe. Den minste gruppen som inneholder *N* er de hele tallene.

### Multiplikasjon

På tilsvarende måte er multiplikasjon en funksjon som sender to naturlige tall til et annet. Gitt addisjon, så kan den defineres rekursivt som:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
Det er lett å se at å sette b lik 0 gir det multiplikative enhetselemenet:

*a* · 1 = *a* · *S*(0) = *a* + (*a* · 0) = *a* + 0 = *a*
Videre, multiplikasjon distribuerer over addisjon:

*a* · (*b* + *c*) = (*a* · *b*) + (*a* · *c*).
Så, (*N*, +, 0, ·, 1) er en kommutativ semiring.

### Ulikheter

Den vanlige total order relasjonen ≤ på de naturlige tallene kan defineres som følger, idet vi antar at 0 er et naturlig tall:

For alle *a*, *b* ∈ *N*, *a* ≤ *b* hvis og bare hvis det finnes en *c* ∈ *N* slik at *a* + *c* = *b*.
Denne relasjonen er stabil under addisjon og multiplikasjon: for WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 , hvis *a* ≤ *b*, så:

* *a* + *c* ≤ *b* + *c*, and
* *a* · *c* ≤ *b* · *c*.

Følgelig er strukturen (*N*, +, ·, 1, 0, ≤) en ordered semiring; fordi det ikke finnes noe naturlig tall mellom 0 og 1, er den en diskret ordnet semiring. Induksjonsaksiomet formuleres noen ganger på den følgende *sterke* måten, som gjør bruk av ordningen ≤:

For enhver predicate φ, hvis
* φ(0) er sann, og
* for enhver *n*, *k* ∈ *N*, if *k* ≤ *n* implies *φ*(*k*) er sann, så er φ(*S*(*n*)) sann,

da for enhver *n* ∈ *N*, så er φ(*n*) sann.
Denne formen på induksjonsaksiomet er en enkel konsekvens av standardformuleringen, men er ofte bedre egnet til å resonnere om ordenen ≤. For eksempel, for å vise at de naturlige tallene er velordnet—enhver ikketom delmengde av *N* har ett minste element—så kan en tenke som følger. La en ikketom *X* ⊆ *N* være gitt og anta at *X* ikke har noe minste element.

* Siden 0 er det minste elementet i *N*, så må vi ha at 0 ∉ *X*.
* For enhver *n* ∈ *N*, anta at for enhver *k* ≤ *n*, *k* ∉ *X*. Da *S*(*n*) ∉ *X*, for ellers ville det vær det minste elementet i *X*.

Så, ved det sterke induksjonsprinsippet, for enhver *n* ∈ *N*, *n* ∉ *X*. Thus, *X* ∩ *N* = ∅, som motsier at *X* er en ikketom delmengde av *N*. Derfor har *X* et minste element.

## Førsteordensaritmetikk

### Ekvivalente aksiomatiseringer

## Modeller

### Ikkestandardmodeller

### Mengdeteoretiske modeller

### Kategoriteoretiske tolkninger

## Konsistens

## Se også

* Foundations of mathematics
* Gentzen's consistency proof
* Goodstein's theorem
* Paris–Harrington theorem
* Presburger arithmetic
* Robinson arithmetic
* Second-order arithmetic
* Non-standard model of arithmetic
* Set-theoretic definition of natural numbers
* Frege's theorem

## Fotnoter

## Litteratur

* Martin Davis, 1974. *Computability*. Notes by Barry Jacobs. Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University.
* Richard Dedekind (1888). *Was sind und was sollen die Zahlen? (What are and what should the numbers be?)* (PDF). Vieweg. Arkivert fra originalen (PDF) 14. mai 2016. Besøkt 31. oktober 2013.  Arkivert 14. mai 2016 hos Wayback Machine.. To oversettelser til engelsk:
	+ 1963 (1901). *Essays on the Theory of Numbers*. Beman, W. W., ed. and trans. Dover.
	+ 1996. In *From Kant to Hilbert: A Source Book in the Foundations of Mathematics*, 2 vols, Ewald, William B., ed. Oxford University Press: 787–832.
* Gentzen, G., 1936, *Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie.* *Mathematische Annalen* 112: 132–213. Trykket i Engelsk oversettelse i hans 1969 *Collected works*, M. E. Szabo, ed. Amsterdam: North-Holland.
* Kurt Gödel (1931). «Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme, I» (PDF). *Monatshefte für Mathematik*. 38: 173–198. . Se On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems for detaljer om oversettelser til Engelsk.
* --------, 1958, "Über eine bisher noch nicht benützte Erweiterung des finiten Standpunktes," *Dialectica* 12: 280–87. Utgitt i Engelsk oversettelse i 1990. Gödel's *Collected Works*, Vol II. Solomon Feferman et al., eds. Oxford University Press.
* Hermann Grassmann (1861). *Lehrbuch der Arithmetik (A tutorial in arithmetic)* (PDF). Enslin. Arkivert fra originalen (PDF) 3. november 2013. Besøkt 7. august 2014.
* Hatcher, William S., 1982. *The Logical Foundations of Mathematics*. Pergamon. Derives the Peano axioms (called **S**) from several axiomatic set theories and from category theory.
* David Hilbert,1901, "Mathematische Probleme". *Archiv der Mathematik und Physik* 3(1): 44–63, 213–37. English translation by Maby Winton, 1902, "Mathematical Problems," *Bulletin of the American Mathematical Society* 8: 437–79.

* Kaye, Richard, 1991. *Models of Peano arithmetic*. Oxford University Press. ISBN 0-19-853213-X.
* Mendelson, Elliott, 1997. *Introduction to Mathematical Logic*, 4th ed. Chapman & Hall.
* Peirce, C. S. (1881). «On the Logic of Number». *American Journal of Mathematics*. 4 (1–4). s. 85–95. JSTOR 2369151. MR 1507856. doi:10.2307/2369151.  Reprinted (CP 3.252-88), (W 4:299-309).
* Paul Shields. (1997), "Peirce's Axiomatization of Arithmetic", in Houser *et al.*, eds., *Studies in the Logic of Charles S. Peirce*.
* Patrick Suppes, 1972 (1960). *Axiomatic Set Theory*. Dover. ISBN 0-486-61630-4. Derives the Peano axioms from ZFC.
* Alfred Tarski, and Givant, Steven, 1987. *A Formalization of Set Theory without Variables*. AMS Colloquium Publications, vol. 41.
* Edmund Landau, 1965 *Grundlagen Der Analysis*. AMS Chelsea Publishing. Derives the basic number systems from the Peano axioms. English/German vocabulary included. ISBN 978-0-8284-0141-8
* Jean van Heijenoort, ed. (1976) [1967]. *From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931* (3. utg.). Cambridge, Mass: Harvard University Press. ISBN 0-674-32449-8. CS1-vedlikehold: Ekstra tekst: forfatterliste (link) Inneholder oversettelser av de følgende to artiklene, med verdifulle kommentarer:
	+ Richard Dedekind, 1890, "Letter to Keferstein." pp. 98–103. On p. 100, he restates and defends his axioms of 1888.
	+ Giuseppe Peano, 1889. *Arithmetices principia, nova methodo exposita* (The principles of arithmetic, presented by a new method), pp. 83–97. An excerpt of the treatise where Peano first presented his axioms, and recursively defined arithmetical operations.

Mal:PlanetMath attribution

## Eksterne lenker

* Internet Encyclopedia of Philosophy: "Henri Poincare" by Mauro Murzi. Includes a discussion of Poincaré's critique of the Peano's axioms.
* First-order arithmetic, a chapter of a book on the incompleteness theorems by Karl Podnieks.
* «Peano axioms», *Encyclopedia of Mathematics*, EMS Press, 2001,
* Mal:Planetmath reference
* (en) Eric W. Weisstein, *Peano's Axioms* i MathWorld.
* What are numbers, and what is their meaning?: Dedekind Arkivert 26. oktober 2022 hos Wayback Machine. commentary on Dedekind's work, Stanley N. Burris, 2001.