# Retningsderivert

Den retningsderivert beskriver hvordan en funksjon varierer i forskjellige retninger i rom med flere dimensjoner.
En **retningsderivert** angir hvordan en flervariabelfunksjon i et punkt på en mangfoldighet varierer i forskjellige retninger som bestemmes av en vektor i det samme punktet. Den er en utvidelse av den mer vanlige partiellderiverte og er direkte relatert til gradienten av funksjonen.

## Definisjon

Det eksisterer forskjellige notasjoner for den retningsderiverte.Ofte angis den ved bruk av nabla-symbolet. Den er definert på tilsvarende måte som derivasjon av funksjoner med en enkelt variabel. I et punkt **x** med koordinatene (*x*1, *x*2, .. , *x**n*) på en *n*-dimensjonal mangfoldighet og i en retning angitt ved tangentvektoren **v**, er den retningsderiverte av en funksjon *F*(**x**) gitt som

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
Ved å benytte gradientoperatoren som gjør det mulig å skrive WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 i grensen der parameteren *t* → 0, har man dermed den fundamentale sammenhengen

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
Hvis man har en annen funksjon *G*(**x**), vil det fra definisjonen følge at den retningsderivert har de viktige egenskapene

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
hvor *a* og *b* er konstanter. Likedan er produktregelen

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
oppfylt. Dette er også en direkte konsekvens av egenskapene til gradienten.

På en generell mangfoldighet vil tangentvektoren beskrive et vektorfelt **v**(**x**) med komponenter som i alminnelighet varierer med koordinatene til det gitte punktet. Den gitte definisjonen og egenskapene til den retningsderiverte vil likevel være gitt på samme måte som her når den virker på skalare funksjoner. Retningsderiverte av vektorer eller tensorer kan defineres ved kovariant derivasjon eller ved Lie-derivasjon.

### Annen notasjon

Den deriverte av en funksjon WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 skrives vanligvis som WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 , men skrivemåten WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 eller lignende benyttes også.

På samme vis finnes det flere notasjoner for den retningsderivert. I stedet for WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 , benyttes WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 eller WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 . Men alternative skrivemåter som WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 eller WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 kan også opptre. De tilsvarer notasjonen WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 som benyttes der gradienten beskrives som en differensialform.

### Eksempel

En funksjon WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 er gitt. Den deriverte i punktet WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 i retning WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 skal beregnes. Gradienten finnes ved direkte derivasjon og blir WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 . I det gitte punktet er den derfor WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 slik at

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 .
Da resultatet er positivt, vil funksjonen i dette punktet øke i retningen gitt ved **v**. Den deriverte i andre retninger følger på samme måte og vil generelt ta andre verdier.

## Tangentvektorer som retningsderiverte

Retningen i et punkt WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 på mangfoldigheten er gitt ved tangentvektoren WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 . Hvis WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 betegner dens komponenter og WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 er basisvektorene på mangfoldigheten, kan retningsvektoren skrives som WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 der man med Einsteins summekonvensjon summerer over de to like indeksene fra 1 til *n* som er mangfoldighetens dimensjon. På samme måte kan gradienten skrives som WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 når de duale basisvektorene er WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 . De gir opphav til et indreprodukt WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 når det uttrykkes ved Kronecker-deltaet.

### Lineæritet

Hvis nå WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 er en annen vektor i samme punkt som WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 , vil den deriverte i den nye retningen WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 være

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66
der *a* og *b* er konstanter. Den retningsderivert er derfor lineær i vektoren som angir retningen til derivasjonen. Det betyr igjen at for tangentvektoren WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 kan man skrive

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70
Derfor er den deriverte i en av koordinatretningene WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 gitt ved

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74
som er den vanlige partiellderiverte i denne retningen.

### Derivasjonsoperatorer

Denne direkte sammenhengen mellom den deriverte i en bestemt retning og vektoren som bestemmer denne, gjør det mulig å identifisere vektoren med en ekvivalent derivasjonsoperator. Det kan tydeliggjøres ved å innføre notasjonen

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76
for den retningsderiverte. I et vilkårlig punkt kan dermed vektoren betraktes som operatoren

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78
Dens virkning på en funksjon *F* i et vilkårlig punkt skrives da som **vF*. De karakteristiske egenskapene ved den retningsderiverte forblir de samme. For eksempel er **v**(*FG*) = (**vF*)*G* + *F*(**vG*) som følger direkte fra den vanlige produktregelen for derivasjon. Dette kommer også naturlig frem når man betrakter vektorer som tangenter til kurver lagt inn i mangfoldigheten.

Egenskapene til den tidligere gradienten vil på dette vis være en direkte konsekvens av at basisvektorene er derivasjonsoperatorer

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 ,
Når de er definert på denne måten, vil den duale basisen WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 være gitt ved differensialformer slik at WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 . Moderne differensialgeometri er formulert på denne måten.

## Se også

* Lie-derivert

## Referanser