# Kvantetunnelering

Når partikkelen ikke har nok energi til å gå over potensialbarrieren, tillater kvantemekanikken at den kan tunnelere gjennom.
**Tunnelering** er et kvantemekanisk fenomen som medfører at partikler synes å trenge gjennom barrierer som er
klassisk ugjennomtrengelige. Det skyldes at en kvantemekanisk partikkel beskrives ved en kontinuerlig bølgefunksjon som kan gi en viss sannsynlighet for å finne den i klassisk forbudte områder. Alternativt kan fenomenet forklares ved Heisenbergs uskarphetsrelasjon.

Selv om kvantetunnelering ikke kan gis én enkel, intuitiv forklaring, kan effekten beregnes på en éntydig måte. Den har mange direkte konsekvenser med praktiske anvendelser samtidig som den opptrer indirekte i mange andre sammenhenger av kvantemekanisk natur. Dens betydning ble først innsett i 1928 i forbindelse med radioaktivitet som skyldes alfahenfall. Omtrent samtidig ga den en forklaring av emisjon av elektroner fra metaller når de utsettes for tilstrekkelig sterke, elektriske felt. Akkurat denne prosessen benyttes i dag ved utviklingen av felteffekttransistorer og flashminnebrikker i moderne elektronikk.

Et sentralt spørsmål i fysikken har i lengre tid vært å finne et skille mellom den mikroskopiske verden hvor kvantemekanikken gjelder, og den makroskopiske verden hvor klassisk mekanikk gjelder. Det betyr i denne sammenhengen å undersøke hvor stor kan en partikkel være for å kunne bevege seg ved tunnelering. Nobelprisen i fysikk for 2025 ble gitt til tre eksperimentalfysikere som har vist at et makroskopisk stort antall med superledende elektroner er i stand til å tunnelere samtidig gjennom et forbudt område i en Josephson-kontakt. Akkurat dette fenomenet kan ligge til grunn for fremtidens kvantedatamaskiner.

## Generell bakgrunn

En partikkel med masse *m* som beveger seg langs *x*-aksen med en hastighet *v*, har en kinetisk energi *T* = (1/2)*mv*2 når man kan se bort fra relativistiske effekter. Den er derfor alltid positiv. Hvis partikkelen samtidig er påvirket av en kraft som gir den en potensiell energi *V*(*x*), vil dens hastighet generelt variere med posisjonen. Men da dens totale energi

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
er bevart under bevegelsen, kan den beregnes når totalenergien er kjent. Men det er bare mulig i posisjoner som oppfyller *E* ≥ *V*(*x*). Hvis denne betingelsen ikke er oppfylt, vil den kinetiske energien bli negativ, og partikkelen vil ha en imaginær hastighet. Det er ikke mulig i klassisk mekanikk. Et slikt område langs *x*-aksen ville i så fall utgjøre en «potensialbarriere» hvor partikkelen ikke kan befinne seg.

### Potensialstepp

Potensialstepp langs *x*-aksen med høyde *V*0.
I det enkleste tilfelle kan man tenke seg at potensialet *V* er null til venstre for origo og har en konstant verdi *V*0 til høyre for dette. Det utgjør dermed et potensialstepp med den matematiske formen

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
Hvis nå en klassisk partikkel har totalenergien *E*, vil den derfor ha en impuls *p* = *mv* som er √(2*mE*) for negative *x* når den beveger seg mot høyre i dette området. Under forutsetning av at *E* > *V*0 vil den så fortsette mot høyre når den kommer inn i potensialet. Men her er hastigheten mindre da den tilsvarerende impulsen er

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
Denne er blitt redusert av kraften som virker på partikkelen i punktet *x* = 0. Når *E* ≤ *V*0, er denne blitt så stor at partikkelen stoppes i dette punktet og blir slått tilbake slik at den beveger seg i negativ retning til venstre for origo. Ingen partikler klarer i dette tilfellet å trenge inn i potensialbarrieren.

### Bølgemekanikk

For en kvantemekanisk beskrivelse av den samme bevegelsen kan man benytte Schrödinger-ligningen. I dette tilfellet tar den formen

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
hvor *ħ* = *h*/2*π* er den reduserte Planck-konstanten. Denne kan nå løses eksakt i hvert område hvor potensialet *V*(*x*) er konstant.

Til venstre for origo er den komplekse bølgefunksjonen en superposisjon av to termer

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
Den første beskriver den innkommende partikkelen som beveger seg mot høyre med bølgetallet *k*. Dette er relatert til impulsen ved *p* = *ħk*  som har den klassiske verdien *p* = √(2*mE*). Amplituden *A* bestemmer intensiteten til disse partiklene. På tilsvarende måte beskriver det andre leddet partikler som beveger seg mot venstre med samme impuls i dette området. De er nå reflektert fra potensialsteppet med amplitude *B* og er en direkte, kvantemekanisk effekt. Den skyldes at på høyre side av steppet må det bare finnes partikler som beveger seg mot høyre. Derfor må de ha et positivt bølgetall med størrelse

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10
som igjen følger fra Schrödinger-ligningen. Da bølgefunksjonen generelt må være glatt og kontinuerlig overalt, medfører dette kravet i punktet *x* = 0 at det må eksistere en reflektert bølge for *x* ≤ 0. På denne måten kan man nå beregne sannsynligheten for at en innkommende partikkel skal fortsette videre mot høyre eller bli reflektert tilbake mot venstre.

### Inntrengning og tunnelering

For det viktige tilfellet at *E* ≤ *V*0, har Schrödinger-ligningen fremdeles en løsning i det klassisk forbudte området. Den er da på formen

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
hvor nå

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14
Det eksisterer derfor en endelig sannsynlighet for å finne partikkelen til høyre for steppet, men denne avtar eksponensielt med avstanden til origo. Man sier derfor at den kan kvantemekanisk «trenge inn» i det forbudte området. Likevel kan ikke dette tas for bokstavelig da bølgefunksjonen i dette området er reel slik at den tilsvarende sannsynlighetsstrømmen er null. Så derfor kan ikke partikkelen sies å bevege seg her selv om den har en endelig sannsynlighet for å befinne seg der.

Skjematisk fremstilling av bølgefunksjonen til en partikkel som tunnelerer gjennom et endelig potensialstepp.
Sannsynlighetsamplituden for å trenge inn er gitt ved forholdet *C* /*A*. Utregnet blir det

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
slik at sannsynligheten for at dette skal skje, er

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18
Samme beregning gir også amplituden for å bli reflektert,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20
Brøkdelen av antall partikler som møter potensialsteppet og blir støtt tilbake, er nå gitt ved refleksjonskoeffisienten *R* = |*B* /*A*|2 = 1. Alle blir derfor reflektert. Ingen partikler klarer å fortsette sin ferd videre inn i det forbudte område selv om de trenger et lite stykke inn.

Derimot kan en inntrengende partikkel komme ut som en fri partikkel på høyre side hvis potensialsteppet har en endelig lengde *L*. Da blir bølgefunksjonen i det forbudte området redusert med en faktor *e*-*κL* som nå er en endelig størrelse. Denne resten av bølgefunksjonen kan så fortsette som en plan bølge for en fri partikkel som beveger seg mot høyre. Brøkdelen som reflekteres vil i dette tilfellet være *R* < 1. De resterende partiklene sies å ha «tunnelert» gjennom den endelige potensialbarrieren.

## Kvantemekanisk usikkerhet

Når partikkelen kvantemekanisk ser ut til å kunne trenge gjennom en potensialbarriere, ser det formelt ut til at den da må ha imaginær hastighet eller impuls i dette forbudte området. Det er vanskelig å skjønne hvordan dette fenomenet skal forstås. En mulig forklaring kan man finne i Heisenbergs usikkerhetsrelasjon

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22
for bevegelse langs *x*-aksen. Hvis barrieren har en utstrekning av størrelsesorden *L*, vil derfor partikkelens impuls ha en usikkerhet Δ*p* ≥ *ħ*/*L* i impulsen. Det følger fra sannsynligheten for å befinne seg i det forbudte området som har en endelig verdi når *κL* ≤ 1, det vil si for

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24
Dermed vil det eksistere en usikkerhet i den kinetiske energien

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26
som er stor nok til å føre partikkelen over barrieren. Desto mindre massen til partikkelen er, desto større er denne effekten.

### Tunneleringstid

Ord som *inntrengning* og *tunnelering* forbindes lett med egenskaper til en klassisk partikkel uten utstrekning. Ved bruk av slike begrep er det naturlig å spørre seg hvor lang tid det tar for en partikkel å bevege seg gjennom det forbudte området. Men den kvantemekaniske beskrivelsen gjør bruk av bølger som her gir ingen lokalisasjon av partikkelen. Derfor er det ikke overraskende at det har vist seg vanskelig å definere en slik tunneleringstid på en éntydig måte. Heller ikke eksperimentelle undersøkelser har klart å påvise en slik tid. Den kan uansett være avhengig av hvordan eksperimentet utføres.

En nedre grense for en slik tunneleringstid Δ*t* er forbundet med usikkerheten Δ*E* = (Δ*p*)2/2*m* i det forbudte området gjennom Heisenbergs andre usikkerhetsrelasjon,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28
Uavhengig av hvordan tunneleringstiden er definert, må denne betingelsen være oppfylt.

## Rektangulær potensialbarriere

Firkantet potensialbarriere med høyde *V*0  og lengde *L* = 2*a*.
Sannsynligheten for å tunnelere gjennom et forbudt område kan bare beregnes eksakt for noen få spesialtilfeller. Ett av dem er et endelig potensialstepp med høyde *V*0  og utstrekning *L* = 2*a*  slik at potensialet *V*(*x*) er null for *x* < -*a* og *x* > *a*. Med en innkommende bølge fra venstre, vil da den totale bølgefunksjonen for *x* < -*a* være

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30
hvor bølgetallet *k* avhenger av energien *E* på samme måte som for et uendelig langt stepp. På samme måte må bølgefunksjonen i det forbudte området ha formen

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32
når *E* ≤ *V*0 slik at også *κ* har samme verdi som tidligere. Til høyre for barrieren der *x* > *a*, vil det nå bare eksistere en utgående bølge *ψ*(*x*) = *F* *e**ikx*  hvor amplituden *F* vil gi sannsynligheten for at partikkelen tunnelerer gjennom barrieren.

De ukjente amplitudene *B*, *C*, *D* og *F* kan beregnes i forhold til den innkommende amplituden *A* ved å benytte kravet om at bølgefunksjonen overalt må være kontinuerlig og glatt, også i punktene *x* = ± *a*. Sannsynlighetsamplituden for tunnelering finnes da som

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34
hvor igjen *L* = 2*a* . Dermed kan selve sannsynligheten for at dette skal skje, skrives som

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
Dette resultatet gir den eksakte verdien avhengig av potensialbarrierens lengde og høyde samt partikkelens energi og har hovedsaklig mest teoretisk interesse.

### Generalisering

For de fleste praktiske anvendelser er denne sannsynligheten et lite tall *P* << 1 som skyldes at argumentet i nevneren *κL* >> 1. Da forenkles resultatet til

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38
hvor den eksponensielle faktoren er den dominerende og bestemmer størrelsen til tunneleringssannsynligheten. Derimot er prefaktoren uavhengig av lengden *L* og involverer kun sannsynlighetene for å trenge inn i barrieren og kom ut av denne igjen. Denne avhenger bare av partikkelenergien *E* og potensialhøyden *V*0 . Man kan derfor benytte approksimasjonen

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40
som gir god nok nøyaktighet i de fleste tilfeller der *P* << 1.

Denne kompakte formelen tillater nå en generalisering til en vilkårlig potensialbarriere *V*(*x*) i intervallet - *a* < *x* < *a*. Man kan nå delle dette opp i et stort antall mindre, rektangulære barrierer med samme bredde Δ*x* og variable høyder *Vi* = *V*(*xi*). Sannsynligheten for å trenge gjennom en slik smal barriere er nå *Pi* = *e* -2*κi*Δ*x*. Den totale sannsynlighet for å trenge gjennom hele barrieren blir dermed

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42
i grensen der Δ*x* → 0. Dette er i overensstemmelse med den mer systematiske utledningen basert på WKB-approksimasjonen. Det er også på denne formen at tunneleringssannsynlighten blir vanligvis beregnet for vilkårlige potensialbarrierer.

## Triangulær potensialbarriere

Tunnelering gjennom en triangulær barriere.
En typisk anvendelse av WKB-approksimasjonen til sannsynligheten for kvantetunnelering, er når denne skjer gjennom en lineært avtagende potensialbarriere

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44
Resultatet er da avhengig av integralet gjennom det forbudte området som strekker seg fra hvor partikkelen trenger inn i dette ved *x* = 0 til den slipper ut igjen ved *x*1. Da blir

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46
hvor *A* = 2*m*(*a* - *E*) og *B* = 2*mb* slik at man har *x*1 = *A* /*B*.
Ved her å innføre den nye variable *y* = *A* - *Bx*, forenkles integralet til

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48
Sannsynligheten for å trenge gjennom denne triangulære barrieren blir dermed

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50
og viser hvordan den varierer med partikkelens energi *E* i eksponenten.

Dette resultatet ble benyttet første gang i 1928 av Ralph Fowler og Lothar Nordheim til å forklare emisjon av elektroner fra metaller når de blir utsatt for sterke, elektriske felt. Siden den gang har kvantetunnelring forblitt et av de mest markante brudd med klassisk fysikk og i tillegg fått stor, praktisk bruk i mange forskjellige sammenhenger.

## Kleins paradoks

Ved tunnelering gjennom det klassisk forbudte området (gult) opptrer en partikkel til venstre og en antipartikkel til høyre.
Fowler og Nordheims forklaring av feltemisjon av elektroner i sterke, elektriske felt, er basert på eksistensen av elektroner som alltid finnes inni metaller. og som dermed kan frigjøres ved tunnelering. En lignende mekanisme ligger til grunn for løsningen av Kleins paradoks som skyldes frigjøring av relativistiske elektroner ved enda kraftigere felt når det virker på det tomme rom, det vil si fra et vakuum.

Relativistiske partikler kan formelt ha både positive og negative energier. Mens de med postiv energi tilsvarer partikler man beskriver i ikke-relativistisk fysikk, vil de med negativ energi opptre som antipartikler.Tilsammen må begge typer beskrives ved bruk av kvantefeltteori. Dette ble først klarlagt ved etableringen av Dirac-ligningen for relativistiske elektroner. Løsninger med negativ energi gir der opphav til *hull* i et vakuum da de tilsvarer fraværet av en partikkel med positiv energi. For at et slikt hull skal kunne opptre som en antipartikkel, må det trenge gjennom en klassisk forbudt energiebarriere med størrelse 2*mc*2 der *m* er massen til partikkelen og *c* er lyshastigheten. Det er mulig når man utsetter dette vakuumet for et tilstrekkelig sterkt, elektrisk felt. Kleins paradoks er derfor løst når man tar hensyn til at denne form for pardannelse vil opptre under slike forhold.

## Senere anvendelser

Kort tid etter beregningen til Fowler og Nordheim, benyttet George Gamow samme beskrivelse til å forklare alfahenfall av radioaktive atomkjerner. Istedenfor en triangulær potensialbarriere involverer integralet i tunneleringssannsynligheten da Coulomb-potensialet som har en lignende form. Omtrent samtidig kom Edward Condon og Ronald Gurney frem til samme resultat. Dette var første gang at kvantemekanikk ble benyttet inne i atomkjernen da tidligere anvendelser angikk atomer og molekyler som er mer enn tusen ganger større.

Det teoretiske grunnlaget for masere ble lagt allerede i 1932 av George Uhlenbeck da han viste at grunntilstanden til ammoniakkmolekylet NH3 er splittet i to nærliggende tilstander med samme energi. Det skyldes at N-atomet kan ligge over eller under planet som de tre H-atomene danner. Da det ved kvantetunnelering kan trenge gjennom dette planet, vil de to tilstandene bli koblet sammen og splittes opp i to nye tilstander med en liten energiforskjell. Denne bestemmer så frekvensen til den tilsvarende mikrobølgestråling som kan utsendes eller absorberes.

Nye anvendelser ble oppdaget etter at halvledere ble tatt i bruk i moderne elektronikk. Leo Esaki i 1957 viste at tunnelering av elektroner kunne finne sted gjennom et tynt oksidlag mellom en P- og en N-dopet halvleder. Snart ble denne innretningen masseprodusert som en tunneldiode med mange nyttige egenskaper. Denne oppdagelsen inspirerte Ivar Giæver til å undersøke tilsvarende kvantetunnelering mellom superledere, noe som han eksperimentelt påviste i 1960. Dette fenomenet ledet så Brian Josephson et par år senere til å vise at til og med Cooper-par av elektroner vil kunne tunnelere i et slik sammenheng. Også denne teoretiske forutsigelsen ble raskt eksperimentelt verifisert og danner nå grunnlaget for Josephson-effekten. Den spiller i dag en viktig rolle i utviklingen av moderne kvantedatamaskiner.

Esaki, Josephson og Giæver delte nobelprisen i fysikk for 1973. Mens denne handlet om tunnelering av ett eller to elektron, ble den samme nobelprisen for 2025 gitt til John Clarke, Michel H. Devoret og John M. Martinis for å ha påvist at også et makroskopisk stort antall elektroner vil også kunne tunnelere under lignende, eksperimentelle forhold.

## Referanser

## Eksterne lenker

* D.D. Nolte, *A Short History of Quantum Tunneling*, Galileo Unbound blog (2022).
* PhysLibreTexts, *Quantum Tunneling of Particles through Potential Barriers*, detaljert fremstilling
* A. Walker, *The Triumph of Quantum Mechanics at the Heart of Solid State Data Storage*, Medium blogg (2016).