# Roterende referansesystem

Et **roterende referansesystem** er et referansesystem som roterer relativt til et treghetssystem. Et dagligdags eksempel er overflaten på jorden.

## Fiktive krefter

Alle ikke-treghetssystemer innehar fiktive krefter. Roterende referansesystemer karakteriseres av tre fiktive krefter:

* sentrifugalkraft
* corioliskraft

og for ikke-uniforme roterende referansesystem

* eulerkraft

Forskere på et slikt roterende referansesystem kan måle farten og retningen til rotasjonen sin ved å måle disse fiktive kreftene. For eksempel kunne Léon Foucault vise corioliskraften som kommer av jordrotasjonen ved å bruke Foucaults pendel. Dersom jorden plutselig begynte å rotere tusen ganger raskere (slik at hver dag bare ble ca. 86 sekunder lang), ville folk lett ha merket de fiktive kreftene som drar i dem, akkurat som på en roterende karusell.

## Forhold mellom posisjoner i to referansesystem

For å utlede disse fiktive kreftene er det lurt å kunne transformere ligningene mellom koordinatene WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 i det roterende referansesystemet og koordinatene WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 i et treghetssystem med samme opphav. Dersom rotasjonen er om WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 -aksen med vinkelfarten WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 og de to referansesystemene samsvarer ved tiden WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 , så kan transformasjonen fra de roterende koordinatene til treghetskoordinatene skrives:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
og den reverse transformasjonen er

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
Dette resultatet får man ved å bruke en rotasjonsmatrise.

## Generell utledning i et roterende referansesystem

Dersom man har enhetsvektorene WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 til å representere de tredimensjonale vektorene, kan vi la disse rotere fordi de vil bli værende normalisert. Dersom vi lar de rotere med farten WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 så blir hver enhetsvektor styrt av ligningen:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 ,
der WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 . Så om vi da har en funksjon , WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 og vi vil utforske den førstederiverte, har vi:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32
Der WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 er endringsraten med hensyn på det roterende koordinatsystemet. Det vil si at dersom WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 roterer med samme fart som enhetsvektorene ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 ) så er WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 .

## Forhold mellom raskhet i de to referansesystemene

Raskheten til et legeme er den tidsderiverte av posisjonen til lekamet eller

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42
Den tidsderiverte til posisjonen i et roterende referansesystem har to komponenter, en fra den tidsderiverte i treghetssystemet, og en annen fra sin egen rotasjon. Forholdet mellom disse har mani ligningen

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44
der vektoren WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 peker i samme retning som rotasjonsaksen med samme størrelse som vinkelfarten. Derfor er forholdet mellom raskheten i de to referansesystema:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48
### Bevis for ligningen

La oss tenke oss en vektor **a**treghet i treghetssystemet, og **a**roterende er den samme vektoren i det roterende referansesystemet. *P*t er posisjonen til vektoren **a** ved tiden *t* i treghetssystemet, *Q* er et punkt som har samme startposisjon som *P*0 (*Q*0 = *P*0) og roterer i forhold til treghetssystemet som om det var stasjonært på det roterende systemet. .

Etter svært kort tid *δ* *t*, har vi at vektoren *Q*0 *Q*δ t er

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50
ved å bruke noen enkle vektoroperasjoner har vi

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52
deriverer vi på tid får vi

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54
og ser at

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56
## Forhold mellom akselerasjon i de to systemene

Akselerasjon er den andre tidsderiverte av posisjon, eller den første tidsderiverte av raskhet

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58
Ved å utføre deriveringen og omarrangere noen av leddene får man akselerasjonen i det roterende referansesystemet

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60
der WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 er den tilsynelatende akselerasjonen i det roterende referansesystemet.

De tre leddene på høyre side kommer av de fiktive kreftene i et roterende referansesystem. Ved å bruke Newton sin andre bevegelseslov WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 , får vi

* corioliskraft en

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66
* sentrifugalkraften

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68
* eulerkraften

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70
der WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 er massen til legemet disse tre fiktive kreftene virker på.

Treghetsakslerasjonen WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 kan man finne ut fra den totale fysiske kraften WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 (for eksempel den totale kraften fra fysiske vekselvirkninger som elektromagnetisme) og bruke Newton sin andre bevegelseslov.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78
Autoritetsdata