# Spesifikk relativ drivmoment

Det **spesifikke relative drivmomentet** WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 spiller en viktig rolle i himmelmekanikk for å løse tolegemeproblemet. Man kan vise at vektoren er konstant for en gitt bane under ideale forhold, noe som beviser Keplers andre lov.

Navnet *spesifikk* drivmoment kommer fra at man ikke ser på det egentlige drivmomentet WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 , men på drivmomentet per masse

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
Det betyr at SI-enhet er: m2·s−1. WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 betegner her den reduserte massen WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 .

## Kraver

Det som følger trenger noen forenklende kraver som også gjelder for Newtons gravitasjonsteori.

Man ser på to punktformede masser WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 og WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 som er i avstand WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 fra hverandre. Tyngdekraften WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 virker uten forsinkelse og over hvilken som helst distanse og er den eneste kraften. Koordinatsystemet er inersial.

Nå antar man at WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 . Det betyr at WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 er sentrallegemet i origo, og at WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 er satellitten som går rundt den. Den reduserte massen er nå lik WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 og tolegemeproblemets ligning er

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26
med gravitasjonsparameteren WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 og avstandsvektor WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 (lengden er WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 ) som peker fra origo (sentrallegemet) til satellitten fordi WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 .

Det er viktig å ikke forveksle gravitasjonsparameteren WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 med den reduserte massen som blir ofte betegnet med den samme bokstaven WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 .

## Spesifikk relativ drivmoment

Avstandsvektoren WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 , hastighetsvektoren WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 , sann anomali WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 og flyvinkelen WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 av WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 i omløpet rundt WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 . De viktigste størrelsene til ellipsen er også merket.
Man får det spesifikke drivmomentet når man multipliserer (kryssprodukt) tolegemeproblemets ligning med avstandsvektoren WIKINIUM\_MATH\_PH\_52

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54
Kryssproduktet av en vektor med seg selv (høyre side) er 0. Den venstre siden forenkler seg slik

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56
ifølge produktregelen i derivasjon.

Der betyr at WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 er konstant (blir bevart). Og dette er akkurat satellittens drivmoment per masse

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60
Vektoren står vinkelrett på banen. Den forblir pa det samme plan fordi drivmomentet er konstant.

Med definisjonen av "Flight Path Angle" WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 og de transversale og radiale komponentene til hastighetsvektoren (se på bildet til høyre) får man noen viktig kunnskap om tolegemetproblemet. De neste tre ligningene er alle mulige former for å angi lengden til drivmomentvektoren

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_64
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_66
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_68

## Keplers lover

Utdypende artikkel: Keplers lover

Med dem som ble funnet ut i det forrige avsnittet kan man bevise Keplers lover nesten direkte.

### Keplers første lov

Beviseet begynner igjen med tolegemetproblemets ligning. Denne gangen multipliserer (kryssprodukt) man med det spesifikke relative drivmomentet

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70
Den venstre siden er lik derivasjonen WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 fordi drivmomentet er konstant.

Den høyre siden kan omskrives slik etter flere trinn WIKINIUM\_MATH\_PH\_74

Hvis man setter begge lik og integrerer over tiden får man med integrasjonskonstanten WIKINIUM\_MATH\_PH\_76

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78
Nå multipliserer man dette (skalarprodukt) med WIKINIUM\_MATH\_PH\_80

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84
Til slutt følger ligningen til Omløpsbanen
Schließlich erhält man die Bahngleichung

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86
som beskriver et kjeglesnitt i polare koordinater med semi latus rectum WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 og eksentrisiteten WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 . Derved er Keplers første lov beviset som er i ord:

> « Planetene beveger seg i ellipser med Solen i det ene brennpunktet.
>
>
> »
>
>
>  Johannes Kepler
>
>

### Keplers andre lov

Den andre av de tre ligningene for å angi lengden til drivmomentvektoren fører direkte til Keplers andre lov.

Forbinder man nemlig denne formen av ligningen WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 med arealet WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 av en sektor med en infinitesimal liten vinkel WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 (altså arealet til en trekant med en veldig liten side), følger

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98
som er ligningen til loven:

> « En rett linje fra Solen til planeten, radiusvektor, beskriver like store flater i like lange tidsrom.
>
>
> »
>
>
>  Johannes Kepler
>
>

### Keplers tredje lov

Den tredje loven får man ut av den andre loven. Integrasjon over et omløp gir omløpstiden

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100
for arealet WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 til en ellipse. Hvis man skriver WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 for den liten halvaksen og WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 for det spesifikke relative drivmomentet blir ligningen til

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108
Det er altså en sammenheng mellom den store halvaksen og omløpstiden til en satellitt som er bare avhengig av en konstant til sentrallegemet. Det er det samme som Keplers formulering av loven:

> « Kvadratet av den sideriske omløpstid for en planet er proporsjonalt med 3. potens av dens midlere avstand fra Solen.
>
>
> »
>
>
>  Johannes Kepler
>
>

## Se også

* Spesifikk baneenergi, en annen størrelse som bevares i tolegemeproblemet.

## Fotnoter

## Referanser