# Kjeglesnitt

Ulike kjeglesnitt oppstår avhengig av snittplanets retning, parabel når det er parallelt med siden i dobbeltkjeglen (1), ellipse eller sirkel når det skjærer gjennom kjeglen (2) og hyperbel når snittplanet skjærer gjennom begge kjeglene (3).
Et snitt mellom en kjegleflate og et plan kan gi ulike typer kjeglesnitt
Et **kjeglesnitt** er en kurve, laget som en skjæringslinje mellom et plan og en kjegleflate.
Avhengig av retningen til planet i forhold til kjeglen vil kjeglesnittet være en ellipse, parabel eller hyperbel. En sirkel er et spesialtilfelle av en ellipse.
For noen plasseringer av planet kan kjeglesnittet degenere til et punkt, en linje eller to linjer.

Kjeglesnitt kan defineres på mange forskjellige måter. Geometrisk kan
kjeglesnitt defineres som det geometrisk sted for punkter i planet hvis avstand til et gitt punkt er proporsjonal med avstanden og til en gitt linje.
Punktet kalles *fokus* eller *brennpunkt*, og linjen kalles *direktrise* eller *styrelinje*. Proporsjonalitetskonstanten kalles
eksentrisiteten *e*, og denne karakteriserer formen til kjeglesnittet. En hyperbel er en åpen kurve med *e > 1* og to adskilte grener.
En parabel har eksentrisitet *e = 1* og er også en åpen kurve. Ellipsen er en lukket kurve med *e < 1*.
En sirkel kan betraktes som et spesialtilfelle med eksentrisitet *e = 0*.
I analytisk geometri er et kjeglesnitt definert som en kurve av andre orden i to variable, og omvendt vil en algebraisk kvadratisk ligning i to variable alltid framstille et kjeglesnitt.

Egenskapene til kjeglesnitt ble utforsket av greske matematikere for over to tusen år siden, etter først å ha blitt beskrevet av Menaikhmos på 300-tallet f.Kr.
Spesielt viktig var bidraget til Apollonios fra Perge, og læreverket *Kjeglesnitt* ble et av de mest studerte i fra antikkens Hellas. Apollonios
innførte navnene ellipse, parabel og hyperbel. Studiet av kjeglesnitt fortsatte med stor intensitet også i nyere europeisk matematikk.

## Historie

Sirkelen er en av de eldste studerte geometriske formene. Også ellipsen har sannsynligvis vært kjent i svært lang tid, da formen oppstår i mange daglige situasjoner.
For eksempel opptrer en ellipse når en sirkel sees fra siden og når en sylindrisk trestamme blir kuttet skjevt i to stykker.
Lys som går gjennom et lite sirkulært hull og treffer skjevt på en vegg vil også synes som en ellipse: Lyset danner en kjegle som blir kuttet over av veggen.

### Menaikhmos og tidlige arbeid

Kjeglesnitt ble sannsynligvis introdusert av den greske matematikeren Menaikhmos på 300-tallet f.Kr. Ingen arbeid etter Menaikhmos er bevart, men noen av resultatene hans er omtalt
av andre greske matematikere. Fra disse vet vi at Menaikhmos oppdaget kjeglesnittene i arbeid med å løse det deliske problem, knyttet til fordobling av volumet av en kube.
Hippokrates hadde vist at dette problemet er ekvivalent med å finne to størrelser WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 og WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 , slik at

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
når WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 og WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 er to kjente størrelser. Fra dette følger det at WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 , slik at volumet av kuben med sidelengde WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 kan dobles ved å velge
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 og så bestemme WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 . Det var på denne formen Menaikhmos prøvde å løse problemet. Grekerne hadde imidlertid ikke algebra, men uttrykte forholdene geometrisk.
Med dagens algebra ser en umiddelbart at problemet kan løses ved å finne verdien av WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 som gir skjæring mellom to parabler WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 og WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 , alternativt
mellom en av parablene og hyperbelen WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 .

Etter omtalen fant Menaikhmos disse kurvene som snitt mellom en kjegle og et plan. Selv om parabelen og hyperbelen var av primær interesse, har han også oppdaget at ellipsen kunne genereres på denne måten.
Det er ikke kjent hva som motiverte Menaikhmos til å studere kjeglen. I tidlig gresk matematikk var en kjegle alltid rett, med en sirkulær grunnflate, dannet ved å rotere en rettvinklet trekant omkring den
ene kateten. Basert på toppvinkelen kunne kjegler karakteriseres som *spiss*, *rett* eller *stump*. De tidlige arbeidene brukte ikke navn som hyperbel, parabel og ellipse, men beskrev kurvene
som «snitt gjennom en spiss/rett/stump kjegle». Navnene viser at en har definert kjeglesnittene ved å snitte kjeglen med et plan som står normalt på hypotenusen i den roterte trekanten,
det vil si normalt på en *generatrise* i kjegleflaten.

Ifølge Pappos skal Aristaios den eldre omkring 350 f.Kr. ha laget «fem bøker om romlige geometriske steder, knyttet til kjeglesnitt».
Pappos omtaler også «kjeglesnittene til Aristaios den eldre». Et geometrisk sted ble i gresk matematikk omtalt som «romlig» dersom en trengte et romlig objekt for å definere
dette, og i praksis var i senere gresk matematikk et romlig geometrisk sted det samme som et kjeglesnitt. I motsetning til dette ble linjer og sirkler kalt «plane geometriske steder».
Thomas Heath argumenterer for at Aristaios må ha kjent til definisjonen av et kjeglesnitt basert på et brennpunkt og en styrelinje.

Også Evklid (født ca 300 f.Kr.) skal ha skrevet fire bøker om kjeglesnitt, men ingenting av dette er bevart. Det er sannsynlig at Aristaios verk om kjeglesnittene var eldre enn Evklids boks om samme emne og
at Evklid har basert sin bok på resultater fra Aristaios. Evklid sitt berømte verk Elementer inneholder materiale om sirkelen, men ikke om kjeglesnitt.
I verket *Phenomena* viser Evklid at han er kjent med at en ellipse kan dannes når et plan skjærer en kjegle eller en sylinder skrått.

Flere at verkene til Arkimedes (født ca 287 f.Kr.) behandler kjeglesnitt, og han viser at han må ha kjent til resultatene til Menaikhmos og Euklid.
Ved å bruke ekshausjonsbevis kunne Arkimedes beregne arealet under et segment av en parabel, og også volumet under
det tilsvarende rotasjonslegemet. Arkimedes fant også uttrykk for arealet av en ellipse. Tittelen på verket *Kvadrering av parabelen* kan være gitt i ettertid, og det er usikkert om Arkimedes
selv brukte navnet «parabel».

### Apollonios fra Perge

Utsnitt av en arabisk oversettelse fra 800-tallet av Apollonios' verk om kjeglesnitt.
Navnene hyperbel, parabel og ellipse er først kjent fra det viktige verket *Kjeglesnitt*, skrevet av Apollonios på 200-tallet f.Kr. I dette samler han og videreutvikler
tidligere kunnskap om kjeglesnittene. Sammen med *Elementer* av Evklid er dette kanskje det viktigste vitenskapelig arbeidet fra antikken, ofte studert og beundret av
senere matematikere. Apollonios viste at alle kjeglesnittene kan dannes ved å snitte en og samme kjegle med et plan i forskjellige vinkler relativt til kjegleaksen. Kjeglen kan også være *skrå*.
I tillegg utvidet Apollonios definisjonen av en kjegle til å omfatte to *kapper*, det vil si to deler med et felles toppunkt. På den måten kan en få dannet to sammenhørende hyperbel- og parabelgrener
fra ett og samme snitt.

I studiet av kvadratiske ligninger hadde pytagoreerne innført begrepene hyperbel, parabel og ellipse for å karakterisere arealet av et rektangel sammenlignet med et kvadrat.
Et tilfelle der arealene var like ble kalt «parabel» (para = nær opp til, ballein = å kaste), et tilfelle der rektangelet var mindre enn kvadratet ble omtalt som «ellipse» (en =i, leipein=å utelate),
mens det siste alternativet ble kalt «hyperbel» (hyper=over, ballein = å kaste). Ligningen for en parabel WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 kan tolkes som at arealet av et rektangel med sidekant WIKINIUM\_MATH\_PH\_28
har samme areal som et rektangel med sidekanter WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 og WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 . I en ellipse er produktet WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 mindre enn kvadratet WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 og i en hyperbel større.
I geometriske betraktninger var størrelsen WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 så viktig at den ble gitt et eget navn, på latin latus rectum («rett korde»).

*Kjeglesnitt* inneholder syv kjente og bevarte bøker, de fire første fra gresk og de tre siste fra arabisk. En vet også at et åttende bind har eksistert, men dette har gått tapt.
De tre første bindene er antatt å være oppsummering og presentasjon av resultatene fra Menaikhmos og Evklid, men også med egne bidrag fra Apollonios.

Litt overraskende omtaler Apollonius ikke kjeglesnitt som det geometriske sted for et punkt som har en avstand til et gitt punkt proporsjonal med avstanden og til en gitt linje. Denne egenskapene
ble først beskrevet av den greske matematikeren Pappos som arbeidet hundre år senere i Alexandria.
Pappos brukte kjeglesnitt til å løse problemet med vinkelens tredeling, et klassisk problem i gresk matematikk.

### Arven etter Apollonius

*Kjeglesnitt* av Apollonios ble stående som det autoritative verket om emnet. I ettertiden ble det ble skrevet flere kommentarer til verket og det ble hyppig referert,
uten at det ble tilført vesentlig nytt. Et viktig verk ble likevel *Om brennende speil*, skrevet av Anthemios fra Tralles (født ca 474). Tralles var det greske navnet på den tyrkiske byen Aydın.
I dette arbeidet beskriver Anthemios hvordan kjeglesnitt kan brukes til å samle solstråler i et fast punkt, også når solen flytter seg på himmelen.

al-Kuhis instrument for å tegne kjeglesnitt
Da interessen for matematikk gradvis forsvant i det antikke Hellas, ble mye av kunnskapen tatt vare på og videreutviklet i Midtøsten. Apollonius *Kjeglesnitt* ble oversatt til arabisk av
Thābit ibn Qurra, født 826. Den arabiske astronomen Ibn al-Haitham (født 965) var en pioner i optikk og fortsatte arbeidet med koniske speil.
Han baserte seg tungt på Apollonius og etterlot seg en hånskrevet kopi av *Kjeglesnitt*.

Et instrument for å tegne kjeglesnitt ble beskrevet i 1000 e.Kr. av den muslimske matematikeren Al-Kuhi.
Muslimske matematikere var opptatt av algebraiske ligninger, og perseren Omar Khayyám (født 1048) oppdaget at løsningen av visse kubiske ligninger kunne finnes som skjæringspunkt mellom to kjeglesnitt:
Gitt ligningen

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40
Ved å substituere WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 , så kan denne ligningen skrives som

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44
Den første ligningen er en parabel og den siste en hyperbel, og løsningen av tredjegradsligningen er gitt ved skjæringen mellom disse. Khayyám kunne ikke håndtere negative koeffisienter, og problemet ble
delt opp i en rekke delproblem, avhengig av verdiene til koeffisientene *a*, *b* og *c*.

### Kjeglesnitt i tidlig europeisk matematikk

Apollonios *Kjeglesnitt* var lenge lite kjent i Europa, men en oversetting til latin av de fire første bøkene ble gitt ut i Venezia i 1537. Det tok også lang tid før arbeidet til Pappos ble gjenoppdaget.
Johannes Werner (1468-1522) kjente antageleig ikke til Apollonius' arbeid da han i 1522 i Nürnberg fikk trykket 22 bøker med tittel *Elementer av kjeglesnitt*. Bøkene inneholder lite nytt ut over
det Apollonius hadde vært i stand til å finne. Imidlertid vekket bøkene opp igjen interessen for kjeglesnitt og stimulere interessen for å rekonstruere arbeidet
til de tidlige greske matematikerne.

Våpenkappløpet hadde ført til utvikling av kanoner som kynne skyte lenger enn synsfeltet, og dette gjorde det viktig å kunne forutsi hvor en kanonkulen ville lande. De første tilløpene til beskrivelse brukte
trekanter og sirkler for å beskrive kulebanen. Galileo Galilei (1564-1642) var den første til å vise at kulebanen kan beskrives med en parabel.

Arkimedes hadde vært i stand til å finne volumet i en omdreiningsparaboloide, men hadde ikke vært i stand til å behandle hyperbelen tilsvarende, da dette krever transcendente funksjoner.
Dersom en roterer den positive grenen av hyperbelen WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 , så dannes i intervallet WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 et romlig legeme kalt «Torricellis vinglass», «Torricellis trompet» og også «Gabriels horn».
Den italienske matematikeren Evangelista Torricelli (1608-1647) var den første som påpekte «malerparadokset»: volumet av dette rotasjonslegement er endelig, mens arealet er uendelig.

### Kjeglesnitt i optikk og astronomi

Kepler fant at hver planet går i en ellipsebane med solen i det ene brennpunktet.
Optikk var vikitg både for skipsfart og for astronomi.
Interessen til Johannes Kepler (1571-1630) for kjeglesnitt var først motivert av studier i optikk og egenskaper til parabolske speil. I 1604 ga han ut *Ad Vitellionem paralipomenaa* («Om Vitellos optikk»),
der han definerer kjeglesnitene ut fra *to* punkt, som Kepler kaller «foci» eller «brennpunkt». Det latinske ordet «focus» betyr «ovn, ildsted», og ordet kunne betegne både et varmesenter og et samlingspunkt.
Kepler så på kjeglesnitt som kurver i én og samme familie: Fra degenererte kjeglesnitt i form av rette linjer gjennom et felles brennpunkt, får en dannet hyperbler når brennpunktene fjerner seg fra hverandre. Når
ett av brennpunktene er i uendelig har man en parabel. Dersom dette brennpunktet passerer gjennom uendelig og dukker opp på motsatt side, så dannes ellipser. Til slutt ender en opp med en sirkel, når brennpunktene
igjen faller sammen. Med denne behandlingen av et punkt i uendelig legger Kepler også grunnen for projektiv geometri.

Kjeglesnittene skulle også spille en viktig rolle i Keplers lover for planetenes bevegelser. Planetene beveger seg i elliptiske baner med solen i det ene brennpunktet.
I ettertiden er det vist at ikke-periodiske kometer vil kunne følge ubundne parabel- eller hyperbelbaner.

Det første teleskopet som utnyttet *speil* ble konstruert av James Gregory (1638-1675). Det hadde et primært speil som var parabolsk og et sekundært som var ellipseformet.
Speilteleskop basert på former av kjeglesnitt ble konstruert også av Isaac Newton (1642-1726) og av Guillaume Cassegrain (1629-1693).

### Projektiv og analytisk geometri

René Descasrtes malt av Frans Hals
På 1600-tallet var det stor interesse for bruk av sentralperspektiv i malerkunsten. Sammen med *Kjeglesnitt* av Apollonius inspirerte dette franskmannen Girard Desargues (1591-1661) til i 1639 å gi ut
boken med den omstendelige tittelen *Brouillon projet d'une atteinte aux évenement des recontres d'une cone avec un plan* («Et grovt utkast på et forsøk på å behandle et møte mellom en kjegle og et plan»).
Her legger Desargues grunnen for projektiv geometri, ved å behandle egenskaper ved kjeglesnitt som er uendret når kjeglesnittet blir projisert mot et punkt. Når en sirkel projiseres dannes det nettopp en kjegle.

Blaise Pascal (1623-1662) var elev av Desargues og var bare 16 år gammel da han ga ut *Essay pour les coniques* («Essay om kjeglesnittene»). Denne artikkelen var bare på én enkelt side og inneholdt det
forfatteren selv kalte *hexagrammum mysticum*, senere kalt *Pascals teorem*. Det omtaler egenskaper til et heksagon innskrevet i en ellipse. Pascal skal også ha gitt ut et senere verk om kjeglesnitt,
men dette har gått tapt. Også en annen elev av Desargues, Philippe de La Hire (1640-1718), ga i 1685 ut et verk om kjeglesnitt. *La Hires teorem* omhandler tangenter til kjeglesnitt.
Charles Brianchon (1783-1864) ga Pascals teorem en modernisert form og beviste det som nå kalles *Brianchons teorem* for et heksagon omskrevet
om en ellipse. Pascals teroem og Brianchons teorem er begge grunnleggende for studiet av kjeglesnitt i projektiv geometri og sammen et eksempel på «duale» teorem i geometri - teorem som er gyldige dersom ordene
«linje» og «punkt» bytter plass.

Arbeid med projektiv geometri ble videreført og systematisert av Jean-Victor Poncelet (1788-1867). *Poncelets tillukningsteorem* omhandler et polygon som er
innskrevet i ett kjeglesnitt og omskrevet i et annet.

Ved å legge grunnen for analytisk geometri gjorde René Descartes (1596-1650) og Pierre de Fermat (1601-1665) det mulig å behandle kjeglesnittene algebraisk.
For begge disse matematikerne var *Kjeglesnitt* av Apollonios en viktig inspirasjon.
I bok III presenterer Apollonios kjeglesnitt
som det geometriske sted for et punkt der avstanden til tre eller fire linjer har et bestemt forhold. Med tre linjer skal produktet av avstandene til to av linjene være lik kvadratet av avstanden
til den tredje linjen. Med fire linjer skal produktet av avstandene til to av linjene være lik produktet av avstandene til de to andre linjene. Det var en generalisert form for dette resultatet
Descartes brukte til å utforske bruken av koordinater, etter forslag fra Jacob Golius (1596-1667). Fermat viste at andregradsuttrykk kunne brukes til å definere hyperbler, parabler og ellipser,
og også at transformasjoner kunne brukes til å omforme generelle andregradsuttrykk til standardformer for kjeglesnittene.

Descartes *La géométrie* var ikke lett tilgjengelig i formen, og det ble gitt ut flere kommentarer til verket. Johan de Witt (1629-1672) brukte Descartes koordinatdefinisjoner til å studere kjeglesnitt
i kommentarverket *Elementa curvarum*, som ble utgitt omkring 1660. Her reduserer han alle andregradsligninger i to variable til kanoniske former, ved en translasjon og rotasjon av aksene.
Han bruker også diskriminanten for å skille tilfeller der ligningen gir hyperbler, parabler og ellipser. Betegnelsen «direktrise» kommer fra de Witt. Det latinske «directrix» betyr «hun som styrer», der
hunkjønnsformen ble brukt fordi ordet «linje» på latin (*linea*) er hunkjønn. Samtidig med de Witt publiserte John Wallis (1616-1703) i England et verk med omtrent tilsvarende innhold.

Giulio di Fagnano (1682-1766) forsøkte å beregne buelengde av en ellipse, men støtte på problemer med å utføre det nødvendige integrasjonen. Integralet er
et elliptisk integral, som dermed har et opphav knyttet til kjeglesnitt.

### Nyere tid

Lazare Carnot (1753-1823) viste at kjeglesnittene kunne relaterte seg til hverandre, dersom en tillot komplekse koeffisienter i andregradsligningene. *Carnots teorem* beskriver en sammenheng mellom
skjæringspunktene som kan opptre mellom en trekant og et kjeglesnitt.

De engelske matematikerne James Joseph Sylvester (1814-1897) og Arthur Cayley (1821-1895) brukte matriser og determinanter til å studere polynomuttrykk i både to og flere variable, og
kartla også størrelser for kjeglesnitt som er invariante under transformasjoner. Sylvester er opphavsmannen til begrepet «diskriminant».

Arbeid med projektiv geometri ble videreført av Jakob Steiner (1796-1863), og han innførte en alternativ metode for å definere kjeglesnitt i projektiv geometri.
I enumerativ geometri gjelder det å telle
antall geometriske objekter av en viss type, og dette er også utfordringen i *Steiners problem*: Gitt fem vilkårlige kjeglesnitt i det komplekse planet. Finn et nytt kjeglesnitt som tangerer de andre fem.
Steiner selv ga eit feilaktig svar på problemet, som først fant sin rette løsning (3264) etter Steiners død.

Nullpunkt i multivariate polynomer blir i dag studert i algebraisk geometri.

## Geometriske definisjoner

### Ved snitt gjennom en kjegle

Definisjon av vinkler ved snitt mellom et plan og en kjegle
Gitt en rett kjegleflate *A* med sirkulær basis, der toppvinkelen er lik WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 . La *B* være et plan som skjærer kjegleflaten, med en vinkel WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 relativt til aksen
i kjegleflaten. Skjæringslinjen mellom de to flatene *A* og *B* er et kjeglesnitt, og formen på kjeglesnittet avhenger av forholdet mellom de to vinklene:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54
Eksentrisiteten til kjeglesnittet er gitt ved

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56
Kjeglesnittene vil være degenererte dersom planet går gjennom toppunktet til kjegleflaten.

Skjæringslinjen vil også være et kjeglesnitt dersom kjegleflaten er skrå eller har en ellipseformet basis.

### Ved brennpunkt og styrelinje

For hvert punkt *P* på et kjeglesnitt (rødt) er avstanden til brennpunktet *F* proporsjonalt med avstanden til direktrisen.
Gitt en rett linje og et punkt som ikke ligger på linjen. Et kjeglesnitt er det geometriske sted for et punkt der avstanden til det valgte punktet er proporsjonal med avstanden til linjen. Linjen er kalt
*direktrisen* eller *styrelinjen*, og punktet er kalt *fokus* eller *brennpunktet*.

Proporsjonalitetsfaktoren er kalt *eksentrisiteten* WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 til kjeglesnittet. Et punkt på en parabel ligger like langt fra styrelinjen som fra brennpunktet, og WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 . Et punkt på en ellipse
ligger nærmere brennpunktet enn styrelinjen, og WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 . For en hyperbel er WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 , slik at et punkt på kurva ligger lenger fra brennpunktet enn fra styrelinjen.

En linje gjennom brennpunktet og normalt på styrelinjen er en *akse* i kjeglesnittet, og dette vil være symmetrisk om denne aksen.

En ellipse er symmetrisk om et senterpunkt, og det følger dermed at to sett av brennpunkter/styrelinjer vil gi samme ellipse. En ellipse har derfor to brennpunkter. En hyperbel består av to grener, hver med
sin styrelinje og brennpunkt. En parabel kan også betraktes som å ha to brennpunkt, der det ene ligger i uendelig.

Definisjonen med bruk av styrelinje og brennpunkt vil ikke inkludere en sirkel som kjeglesnitt, men sirkelen kan betraktes som et grensetilfelle av en ellipse, når eksentrisiteten går mot null.

Når et plan *A* skjærer en rett kjegleflate *K* med sirkulær basis, så kan en plassere en kule inne i kjeglen, slik at denne tangerer både kjeglen og planet *A*. Legger en i tillegg et plan *B* gjennom den sirkelen der
kulen tangerer kjegleflaten, så kan en vise at de to planene *A* og *B* skjærer hverandre langs direktrisen. Tangeringspunktet mellom kuleflaten og planet *A* vil være brennpunktet, og dette
gir en sammenheng mellom to geometriske definisjoner av kjeglesnitt.

### Ved to brennpunkt

Gartnermetoden for å tegne en ellipse
En ellipse kan defineres som det geometriske sted for et punkt der *summen* av avstandene til to gitte brennpunkter er konstant. Dette har gitt opphavet til navnet *gartnermetoden* for å tegne en ellipse:
Mellom to påler i jorda kan en knytte et tau som er lenger enn avtanden mellom pålene. Ved å føre en pinne innenfor tauet, som hele tiden holdes stramt, så vil pinnen tegne en ellipse.

En sirkel kan defineres som det geometriske sted for et punkt som ligger like langt fra et gitt senterpunkt.

En hyperbel kan defineres som det geometriske sted for et punkt der *differensen* av avstandene til to gitte brennpunkter er konstant.

### Andre geometriske steder

Det fines mange geometriske vilkår som leder fram til kjeglesnitt som geometrisk sted. Klassisk var *Pappos problem* for et gitt vilkårlig sett av rette linjer: Finn det geometriske sted slik at produktet av avstandene
fra punktet til halvparten av linjene er lik produktet av avstandene til den andre halvparten. Med et odde antall rette linjer må avstanden til én av de rette linjene inngå med kvadratet i det tilhørende produktet.
Det geometriske stedet vil være et kjeglesnitt.

## Analytisk definisjon og standardformer

Kjeglesnitt kan defineres analytisk ved hjelp av flere ulike typer koordinater, og definisjonen kan gjøres helt frigjort fra geometriske definisjoner av kjeglesnitt.
Formen på ligningen vil avhenge av typen koordinater og det valgte koordinatsystemet.

For hver type kjeglesnitt eksisterer det *standardformer* eller *kanoniske former* som presenterer kurvene på en enklest mulig form, definert ved et spesielt valg av koordinatsystem. Standardformene for
nært knyttet til en geometrisk definisjon med bruk av brennpunkt og styrelinje: De fleste standardformene bruker en akse definert langs aksen i kjeglesnittet. For et kartesisk legges den andre aksen
da parallelt med styrelinjen. Definisjon av origo kan imidlertid variere for ulike standardformer.

Et kvadratiske algebraisk uttrykk i to variabler WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 og WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 vil alltid framstille et kjeglesnitt, degenerert eller ekte, og ved en translasjon og en rotasjon vil ligningen alltid kunne
overføres til en av standardformene.

### Polarkoordinater

I figuren over til høyre er brennpunktet markert med bokstaven WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 , og styrelinjen er definert i avstanden WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 i fra brennpunktet.
Det er naturlig å definere et polarkoordinatsystem med pol i brennpunktet og koordinatakse langs aksen til kjeglesnittet. Et punkt WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 på kjeglesnittet er da definert ved polarkoordinatene
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 . Etter den geometriske definisjonen med styrelinje og brennpunkt skal radiusen WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 da være proporsjonal med avstanden fra styrelinjen til punktet WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82
Dette er ligningen for et kjeglesnitt i polarkoordinater. Lengden WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 erstattes ofte med lengden av korden WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 mellom to punkt på kjeglesnittet, gjennom brennpunktet vinkelrett på aksen.
Denne størrelsen blir kalt *latus rectum*, og halve denne lengden WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 blir kalt *semi-latus rectum*.
Ved å sette WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 følger det fra ligningen over at

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92
Polarformen for kjeglesnittet kan dermed skrives på formen

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94
*Toppunktet* (vertex) i kjeglesnittet er skjæringspunktet mellom kjeglesnittet og aksen. Avstanden mellom brennpunktet og toppunktet er gitt ved lengden WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98
### Skilleligningen

Kjeglesnitt med gitt verdi for *p* blir sirkel for eksentrisitet *ε* = 0, ellipse med *ε* = 0,8, parabel for *ε* = 1 og gren av hyperbel når *ε* = 1,2.
*Skilleligningen* er en standardform for ligningen for kjeglesnitt i kartesiske koordinater.
Ligningen fremkommer ved å legge WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 -aksen langs aksen i kjeglesnittet, WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 -aksen parallelt med styrelinjen og origo i toppunktet til kjeglesnittet:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104
Navnet reflekterer at ligningen skiller klart mellom de forskjellige typer kjeglesnitt, avhengig av størrelsen til eksentrisiteten WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 .

Ligningen kan utledes fra polarkoordinat-formen for kjeglesnitt, på kvadrert form:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108
og ved å bruke sammenhengen mellom polarkoordinatene og de kartesiske koordinatene:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_110
### Kanonisk form for parabelen

Parametre for en parabel
En standardform for en parabel med toppunkt i origo og akse langs den positive WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 -aksen er gitt fra skilleligningen når eksentrisiteten er lik 1:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114
Siden WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 følger det at WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 , og standardformen kan presenteres ved hjelp av både latus rectum WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 , semi-latus rectum WIKINIUM\_MATH\_PH\_122
og abscissen til brennpunktet WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 .

For parabelen brukes i det videre WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 , i analogi med de andre to kjeglesnitt-typene. Merk imidlertid at WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 er en geometrisk lengde med lik definisjon for alle kjeglesnittene,
mens definisjonen av WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 varierer mellom kurvetypene.

Direktrisen er for parabelen definert ved WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 .

En alternativ standardform bruker et aksesystem med brennpunktet som origo:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_134
Her er WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 som før definert som avstanden mellom brennpunktet og toppunktet. Direktrisen er nå definert som WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 .

### Kanonisk form for ellipsen

Parametre for en ellipse
Det eksisterer to alternative standardformer for en ellipse, definert enten med origo i det ene brennpunktet eller med origo i *sentrum* av ellipsen. Sentrum er definert som midtpunktet mellom
de to brennpunktene.

Med origo i den ene brennpunktet er den kanoniske formen gitt som

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_140
I denne formen brukes lengden av *halvaksene* som parametre. Den store halvaksen WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 er halve korden som går gjennom de to brennpunktene, og den lille havlvaksen WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 står
normalt på denne. Brennpunktene ligger i WIKINIUM\_MATH\_PH\_146 og WIKINIUM\_MATH\_PH\_148 . Direktrisen svarende til det første brennpunktet skjærer WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 -aksen i WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 , forutsatt
at WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 er større enn null.

Sammenhengen med skilleligningen og med de geometriske lengdene kan en finne ved å bruke skjæringspunktene mellom ellipsen og aksene, samt definisjonen av semi-latus rectum.
Toppunktene der ellipsen skjærer WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 -aksen er gitt ved
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 , og ved å bruke lengden WIKINIUM\_MATH\_PH\_160 mellom brennpunktet og toppunktet får en

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_162
Fra definisjonen er semi-latus rectum WIKINIUM\_MATH\_PH\_164 den positive ordinaten for WIKINIUM\_MATH\_PH\_166 :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_168
Ved isteden å bruke sentrum som origo, blir den kanoniske formen

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_170
I dette koordinatsystemet ligger brennpunktene i WIKINIUM\_MATH\_PH\_172 og i WIKINIUM\_MATH\_PH\_174 . Avstanden WIKINIUM\_MATH\_PH\_176 mellom sentrum og det ene brennpunktet blir kalt *lineær eksentrisitet*.[*trenger referanse*]

### Kanonisk form for hyperbelen

Parametre for en hyperbel
For hyperbelen eksisterer det tre kanoniske former, én med origo i det ene brennpunktet og to med origo i sentrum.
Som for en ellipse er sentrum definert som midtpunktet mellom de to brennpunktene.

Med origo i det ene brennpunktet er standardformen gitt som

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_178
I analogi med ellipsen definerer en også for hyperbelen to halvakser, der den største halvaksen er halve korden gjennom sentrum som forbinder to punkt på de to hyperbelgrenene.
Parameteren WIKINIUM\_MATH\_PH\_180 er lengden av denne halvaksen. Toppunktene på de to grenene er gitt ved WIKINIUM\_MATH\_PH\_182 . Helt tilsvarende som for ellipsen har en sammenhengen

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_184
Brennpunktene ligger i WIKINIUM\_MATH\_PH\_186 og WIKINIUM\_MATH\_PH\_188 . Direktrisen svarende til det første brennpunktet skjærer WIKINIUM\_MATH\_PH\_190 -aksen i WIKINIUM\_MATH\_PH\_192 , forutsatt
at WIKINIUM\_MATH\_PH\_194 er større enn null.

Med origo i sentrum mellom brennpunktene er standardformen gitt som

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_196
Brennpunktene ligger nå i WIKINIUM\_MATH\_PH\_198 og i WIKINIUM\_MATH\_PH\_200 . Hyperbelen har asymptotene WIKINIUM\_MATH\_PH\_202 . Toppunktet til hyperbelen på den positive WIKINIUM\_MATH\_PH\_204 -aksen
ligger på WIKINIUM\_MATH\_PH\_206 , og det følger at parameteren WIKINIUM\_MATH\_PH\_208 er lik lengden av halve den korden mellom asymptotene som tangerer hyperbelen i toppunktet.

En hyperbel kalles *ekvilateral* eller *likesidet* dersom WIKINIUM\_MATH\_PH\_210 . Siden asymptotene i dette tilfellet står vinkelrett på hverandre, kalles hyperbelen i dette tilfelle også *rektangulær*.
For en likesidet hyperbel brukes også en standardform som en får ved å rotere aksesystemet 45 grader:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_212
Her er WIKINIUM\_MATH\_PH\_214 .

### Kjeglesnittparametre fra standardformer

Tabellen under gir en oppsummering av kjeglesnittparametre fra vanlige standardformer. Som før er

* *a* og *b* lengder av store og lille halvakse
* *c* lineær eksentrisitet
* *e* eksentrisiteten
* *h* avstanden mellom brennpunkt og direktrise
* *p* semi-latus rectum

| Kjeglesnitt | Ligning | *e* | *c* | *p* | *h* | *Brennpunkter* | *Direktriser* |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Sirkel |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_216  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_218  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_220  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_222  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_224  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_226  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_228  |
| Ellipse |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_230  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_232  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_234  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_236  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_238  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_240  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_242  |
| Parabel |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_244  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_246  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_248  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_250  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_252  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_254  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_256  |
| Hyperbel |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_258  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_260  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_262  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_264  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_266  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_268  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_270  |

### Standardligninger på parametrisk form

Samtlige av kurvene på standardform kan uttrykkes som en parameterfremstilling. Parabelen med toppunkt i origo er gitt ved

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_272
Ellipsen med sentrum i origo er gitt ved

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_274
Hyperbelgrenen med positive WIKINIUM\_MATH\_PH\_276 -verdier er definert ved

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_278
## Ordliste for kjeglesnitt

Konjugerte diametre i en ellipse. Hver sidekant i det omskrevne parallellogrammet er parallell med en diameter
Det følgende er en liten oversikt over den rik terminologien knyttet til kjeglesnitt:

* *Brennpunkt* eller *fokus*: Punkt brukt sammen med en styrelinje til å definere et kjeglesnitt som et geometriske sted.
* *Degenerert kjeglesnitt*: Skjæringslinjen mellom en kjegleflate og et plan når planet går gjennom toppunktet i kjeglen; et punkt, én linje eller to linjer.
* *Diameter*: Korde mellom to punkt på kjeglesnittet, gjennom sentrum (for ellipsen og hyperbelen)
* *Diskriminant*: Algebraisk kombinasjon av koeffisientene i en kvadratisk ligning, brukt til å skille om ligningen framstiller en hyperbel, parabel eller ellipse
* *Eksentrisitet*: Mål for hvor langt et kjeglesnitt avviker fra en sirkel.
* *Gren*: Hver av de to delene i en hyperbel.
* *Homofokal* eller *konfokal*: To kjeglesnitt er homofokale eller konfokale dersom de har samme brennpunkt.
* *Kanonisk form* eller *standardform*: Form for ligningen til et kjeglesnitt som presenterer kurven på en enkel måte.
* *Konjugerte diametre*: To diametre er konjugerte dersom enhver korde parallell med den ene diameteren blir delt i to like deler av den andre. De to aksene i en ellipse og en hyperbel er også konjugerte.
* *Latus rectum*: Korden mellom to punkt i et kjeglesnitt, gjennom brennpunktet.
* *Likesidet*, *ekvilateral* eller *rektangulær hyperbel*: Hyperbel der WIKINIUM\_MATH\_PH\_280 .
* *Lille akse*: I en ellipse og hyperbel, en akse konjugert til den store aksen.
* *Semi-latus rectum*: Halve korden mellom to punkt i et kjeglesnitt, gjennom brennpunktet.
* *Sentrum*: Midtpunktet mellom brennpunktene i en ellipse og en hyperbel.
* *Sentralt kjeglesnitt*: Kjeglesnitt som er symmetrisk om et sentrum, det vil si ellipse eller hyperbel.
* *Store akse*: I en ellipse og hyperbel, korden gjennom brennpunktene og normal til styrelinjen.
* *Styrelinje* eller *direktrise*: Rett linje brukt sammen med et brennpunkt til å definere et kjeglesnitt som et geometriske sted.
* *Toppunkt* eller *vertex*: Ekstremalpunkt i et kjeglesnitt, i standardformer skjæringspunkt mellom en akse og kjeglesnittet.
* *Transvers akse*: I en hyperbel aksen gjennom brennpunktene, altså den store aksen.

## Kjeglesnitt som kvadratisk form

Alternative kartesiske koordinatsystem for en ellipse.
En generell kvadratisk ligning i to variable med reelle koeffisienter vil alltid fremstille et kjeglesnitt, degenerert eller ikke-degenerert:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_282
Funksjonen WIKINIUM\_MATH\_PH\_284 er en kvadratisk form, et polynom i to variable av grad to. Kjeglesnittet er en nivåkurve og også en *nullmengde* for funksjonen.

*Diskriminanten* til ligningen brukes til å bestemme typen av kjeglesnitt og er definert ved

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_286
Ligningen kan overføres til en av standardformene ved en passende koordinattransformasjon, svarende til en translasjon og en rotasjon.

### Ligningen på matriseform

Ved hjelp av matriser kan ligningen skrives på formen

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_288
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_290
Determinanten WIKINIUM\_MATH\_PH\_292 til matrisen WIKINIUM\_MATH\_PH\_294 er proporsjonal med diskriminanten:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_296
Begge disse størrelsene er *invariante* under vilkårlige rotasjoner og translasjoner. Det samme gjelder sporet til matrisen WIKINIUM\_MATH\_PH\_298 .
som er lik WIKINIUM\_MATH\_PH\_300 .

Ved hjelp av en 3 WIKINIUM\_MATH\_PH\_302 3-matrise kan ligningen også skrives som

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_304
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_306
Determinanten WIKINIUM\_MATH\_PH\_308 til matrisen WIKINIUM\_MATH\_PH\_310 er viktig når en skal bestemme typen kjeglesnitt:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_312
Også denne determinanten er invariant under vilkårlige rotasjoner og translasjoner.

### Kurveklassifikasjon

Typen kjeglesnitt kan bestemmes ved hjelp av diskriminanten WIKINIUM\_MATH\_PH\_314 til andregradsligningen:

* En ellipse når WIKINIUM\_MATH\_PH\_316 .
* En parabel når WIKINIUM\_MATH\_PH\_318 .
* En hyperbel når WIKINIUM\_MATH\_PH\_320 .

Siden determinanten til en matrise alltid er lik produktet av egenverdiene, og WIKINIUM\_MATH\_PH\_322 , så kan også fortegnet til egenverdiene til matrisen WIKINIUM\_MATH\_PH\_324
brukes tilsvarende som diskrimnanten:

* En ellipse når egenverdiene har samme fortegn.
* En parabel når en av egenverdiene er lik null.
* En hyperbel når egenverdiene har ulike fortegn.

Kjeglesnittet vil være degenerert når determinanten WIKINIUM\_MATH\_PH\_326 er lik null. En fullstendig klassifikasjon er gitt ved følgende skjema:

| Diskriminant WIKINIUM\_MATH\_PH\_328  | Determinant WIKINIUM\_MATH\_PH\_330  |  |  | Kjeglesnitt |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_332  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_334  |  |  | Parabel |
|  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_336  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_338  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_340  | To parallelle reelle linjer |
|  |  |  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_342  | To parallelle sammenfallende linjer |
|  |  |  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_344  | To parallelle imaginære linjer |
|  |  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_346  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_348  | To parallelle reelle linjer |
|  |  |  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_350  | To parallelle sammenfallende linjer |
|  |  |  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_352  | To parallelle imaginære linjer |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_354  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_356  |  |  | Ellipse |
|  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_358  |  |  | Punkt-ellipse |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_360  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_362  |  |  | Hyperbel |
|  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_364  |  |  | To kryssende linjer |

### Overføring til standardform

For ikke-degenerert ellipser og hyperbler, der WIKINIUM\_MATH\_PH\_366 er ulik null, kan en overføre den generelle ligningen til standardform ved hjelp av egenverdiene til matrisen WIKINIUM\_MATH\_PH\_368 :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_370
Denne ligningen er ekvivalent med formen

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_372
De to egenverdiene er WIKINIUM\_MATH\_PH\_374 og WIKINIUM\_MATH\_PH\_376 . Ligningen fremstiller en ellipse når de to egenverdiene har samme fortegn og en hyperbel ellers.

### Eksentrisitet

For en parabel er eksentrisiteten WIKINIUM\_MATH\_PH\_378 lik 1. For en ellipse og en hyperbel kan eksentrisiteten uttrykkes ved koeffisientene:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_380
Her er koeffisienten WIKINIUM\_MATH\_PH\_382 lik 1 dersom determinanten WIKINIUM\_MATH\_PH\_384 er negativ og lik -1 når determinanten er positiv.

### Hovedakser og sentrum

For en vilkårlig ikke-degenerert ellipse eller hyperbel kan en uttrykke hovedakser og sentrum ved hjelp av ligningskoeffisientene. Senteret har koordinater gitt ved[*trenger referanse*]

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_386
Vinkelen mellom den store aksen og den positive WIKINIUM\_MATH\_PH\_388 -aksen er gitt ved[*trenger referanse*]:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_390
Overføringen til standardform utført i foregående avsnitt viser også at halvaksene er gitt ved

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_392
### Tangentlinjer

Ligningen for en tangentlinje til en nivåkurve for funksjonen WIKINIUM\_MATH\_PH\_394 i punktet WIKINIUM\_MATH\_PH\_396 er generelt gitt ved

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_398
Her er WIKINIUM\_MATH\_PH\_400 og WIKINIUM\_MATH\_PH\_402 partiell deriverte med hensyn på henholdsvis WIKINIUM\_MATH\_PH\_404 og WIKINIUM\_MATH\_PH\_406 . For et kjeglesnitt på formen WIKINIUM\_MATH\_PH\_408 gir dette tangentligningen

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_410
Tangentligningen knyttet til standardformen for ellipser og hyperbler med origo i sentrum er dermed

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_412
For en parabel på standardformen med sentrum i toppunktet er tangentligningen

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_414
## Kjeglesnitt i projektiv geometri

I projektiv geometri blir beskrivelsen av kjeglesnitt enklere og mer systematisk. En ellipse kan da beskrives som et kjeglesnitt som ikke skjærer linjen i det uendelig fjerne.
Parabelen vil også være en lukket kurve som tangerer denne linjen i ett dobbeltpunkt, mens en hyperbel skjærer den i to forskjellige punkt gitt ved retningene til de to asymptotene.
Ved projektive transformasjoner kan disse kjeglesnittene omformes i hverandre ved at de flyttes i forhold til linjen i det uendelige fjerne.

I denne beskrivelsen blir også hyperbelen en lukket kurve. Beveger man seg mot uendelig langs en gren, vil man passere linjen i det uendelige langs en asymptote, dukke opp igjen på motsatt side av samme
asymptote slik at man kommer tilbake på den andre grenen av hyperbelen. Følger man denne grenen videre, forsvinner man igjen langs den andre asymptoten og dukker så opp igjen på den grenen hvor
man startet etter å ha passert linjen i det uendelige enda en gang. Slik kan hyperbler ses som ellipser som har blitt trukket gjennom uendelig og gjenoppstår på den andre siden.

### Pol og polare

En pol og en polare for et kjeglesnitt er i projektiv geometri henholdsvis et punkt og en linje som har et gjensidig forhold til hverandre, relativt til kjeglesnittet.
For et gitt punkt (polen) kan en beregne posisjonen til den rette linjen (polaren). Har en omvendt gitt en rett linje (polaren), så er posisjonen til punktet (polen) gitt.

### Komplekse koordinater

I den projektive beskrivelsen kan koordinatene ha komplekse verdier. Dette er en naturlig generalisering i moderne matematikk.
Det vil da ikke lenger være noen forskjeller mellom ellipser og hyperbler. For eksempel,
så vil sirkelen *x2 + y2 = 1* gå over til hyperbelen *x2 - y2 = 1* ved å la *y → iy* hvor *i* er den
imaginære enheten. Ellipsen og hyperbelen vil da kunne klassifiseres som tilhørende samme type kjeglesnitt. Mens hyperbelen har to reelle skjæringspunkt med linjen i det uendelige, vil ellipsen ha to
komplekse skjæringspunkt. En parabel tilsvarer da spesialtilfellet hvor disse to skjæringspunktene faller sammen til ett, og man har en tangering i stedet.

## Referanser

## Litteratur

* T. M. Apostol, *A First Course with Applications to Differential Equations*, John Wiley & Sons, New York (1997). ISBN 0-471-17421-1.
* Carl B. Boyer (1968). *A history of mathematics*. Princeton, USA: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-691-02391-3.
* Thomas Heath (1981). *A History of Greek Mathematics*. I. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-24073-8.

* Thomas Heath (1981). *A History of Greek Mathematics*. II. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-24074-6.

* J.Dennis Lawrence (1972). *A Catalog of Special Plane Curves*. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-60288-2.

* Steven Schwartzman (1994). *The words of mathematics. An etymological dictionary of mathematical terms used in English.*. Washington, DC: The Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-511-9.

* Frank J. Swetz, red. (2013). *The European Mathematical Awakening*. Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 0-486-49805-0.

* A. Søgaard og R. Tambs Lyche, *Matematikk for den høgre skolen*, vol III, Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1955).
* George B. Thomas, Ross L. Finney (1995). *Calculus and Analytic Geometry* (9th edition utg.). Reading, USA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-53174-7. CS1-vedlikehold: Ekstra tekst (link)

## Galleri

* Ilustrasjon av kjeglesnitt fra det leksikalske verket *Cyclopaedia* (1728)
* Kjeglesnitt med felles brennpunkt, styrelinje og latus rectum
* Ellipseterminologi
* Hyperbelterminologi
* Parabelterminologi

## Eksterne lenker

* J. Gut, Kegelschnitte, myk innføring på tysk.
* J.A. Christophersen og K. Ranestad, *Geometri - MAT 2500* Arkivert 31. januar 2020 hos Wayback Machine., forelesninger ved Universitetet i Oslo (2014).