# Flatevidd

Det samle arealet til desse tre formene er mellom 15 og 16 kvadrat.
**Flatevidd** eller **areal** er ord som vert brukte for å uttrykka utstrekkinga av eit område.

Einingane ein bruker til å måle flatevidd har to dimensjonar, lengde og breidde. Ein *kvadratmeter* er til dømes ein meter lang og ein meter brei, medan ein *kvadratkilometer* er ein kilometer i kvar retning. Andre einingar ein ofte brukar for å snakka om flatevidd er *mål* og *dekar*, som begge er definert som 1000 kvadratmeter.

Det er fleire kjende formlar for enkle former som trekantar, rektangel og sirklar. Ved å nytte desse formlane kan ein finne arealet til alle polygon ved å dele dei inn i trekantar. For former som består av kurver, må ein som regel nytte differensialrekning for å finne arealet. Faktisk var problemet med å finne arealet til forskjellige figurar ein stor motivasjonsfaktor for utviklinga av differensialrekning.

For former som kuler, kjegler og sylindrar, vert arealet av overflata kalla overflatearealet. Formlar for overflateareal av enkle former vart rekna ut av greske matematikarar i antikken.

## Formell definisjon

Ei tilnærming til å definere kva ein meiner med areal finn ein gjennom aksioma. Til dømes kan ein definere eit areal som ein funksjon *a* frå ei samlnig *M* av ei særskild plan figur i ei mengd reelle tal som tilfredsstiller følgjande eigenskapar:

* For alle *S* i *M*, WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 .
* Om *S* og *T* er i *M* så er òg WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 og WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 det, WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 .
* Om *S* og *T* er i *M* med WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 så er *T* − *S* i *M* og *a*(*T* − *S*) = *a*(*T*) − *a*(*S*).
* Om ei mengd *S* er i *M* og *S* er kongruent til *T* så er *T* òg i *M* og *a*(*S*) = *a*(*T*).
* Alle rektangel *R* er i *M*. Om rektangelet har lengda *h* og breidda *k* så er *a*(*R*) = *hk*.
* La *Q* vere ei mengd lukka mellom to stegvise regionar *S* go *T*. Ein stegregion er danna av ein endeleg union av tilstøytande rekangel som kviler på same grunnlinje, til dømes WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 . Om det finst eit unikt tal *c* slik at WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 for alle slike stegregionar *S* og *T*, så er *a*(*Q*) = *c*.

## Einingar

Ein kvadratmeter.
Kvar lengdeeining har ein tilsvarande eining for areal, nemleg arealet til eit kvadrat med den lengda ein har nytta. Areal kan derfor målast i kvadratmeter (m2), kvadratcentimeter (cm2), kvadratmillimeter (mm2), kvadratkilometer (km2), kvadratfot (ft2), kvadratyard (yd2), kvadratmile (mi2), og så vidare. Algebraisk kan ein tenkje på desse einingane som kvadrat av dei samsvarande lengdeeiningane.

SI-eininga for areal er kvadratmeter.

### Omrekningar

Sjølv om det er 10 mm i 1 cm, er der 100 mm2 i 1 cm2.
Omrekninga mellom to arealeiningar er kvadratet av omrekninga mellom dei tilsvarande lengdeeiningane. Til dømes sidan

1 fot = 12 tommer,
så er forholdet mellom kvadratfot og kvadrattomme

1 kvadratfot = 144 kvadrattommar
der 144 = 122 = 12 × 12. På liknande vis:

* 1 kvadratkilometer = 1 000 000 kvadratmeter
* 1 kvadratmeter = 10 000 kvadratcentimeter = 1 000 000 kvadratmillimeter
* 1 kvadratcentimeter = 100 kvadratmillimeter
* 1 kvadratyard = 9 kvadratfot
* 1 kvadratmile = 3 097 600 kvadratyard = 27 878 400 kvadratfot

I tillegg,

* 1 kvadrattomme = 6,4516 kvadratcentimeter
* 1 kvadratfot = 0.09290304 kvadratmeter
* 1 kvadratyard = 0.83612736 kvadratmeter
* 1 kvadratmile = 2.589988110336 kvadratkilometer

### Andre einingar

Det finst òg fleire andre einingar for areal.

Hektar eller mål vert ofte framleis nytta for å måle landområde

* 1 hektar = 10 000 kvadratmeter = 0.01 kvadratkilometer

I somme land nyttar ein òg acre der

* 1 acre = 4 840 kvadratyard = 43 560 kvadratfot

Ein acre er om lag 40 % av ein hektar.

## Arealformlar

### Rektangel

Arealet til dette rektangelet er   WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 .
Den mest grunnleggande arealformelen er formelen for arealet til eit rektangel. Eit rektangel med lengda WIKINIUM\_MATH\_PH\_15 og breidda WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 , har arealformelen:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_17  (rektangel).
Altså arealet er lengda multiplisert med breidda. Eit spesialtilfelle er eit kvadrat med lengda WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 som er gjeven av formelen

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_19  (kvadrat).
Like arealfigurar.
### Oppdelingsformlar

Dei fleste andre enkle formlar for areal går ut på å dele opp problemet. Dette vil sei å dele formene inn i bitar som ein kan rekne ut arealet for, og så summere arealet for å få arealet til den originale forma.

Til dømes kan eit parallellogram delast inn i eit trapes og ein rettvinkla trekant, som vist i figuren til venstre. Om trekanten vert flytta til den andre sida av trapeset får ein eit rektangel. Dermed vil arealet til parallellogrammet vere det same som arealet til rektangelet:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20  (parallellogram).
To like trekantar.
Det same parallellogrammet kan kuttast inn i ein diagonal og delast inn i to kongruente triangel, som synt i figuren til høgre. Det følgjer at arealet kvart triangel er halvparten av arealet til parallellogrammet:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_21  (trekant).
Liknande argument kan nyttast til å finne arealformlar for trapes og rombe, samt meir kompliserte polygon.

### Sirklar

Ein sirkel kan delast inn i sektorar som kan omarrangerast slik at dei tilnærma formar eit parallellogram.
Formelen for arealet til ein sirkel er basert på ein liknande metode. Om ein har ein sirkel med radius WIKINIUM\_MATH\_PH\_23 , er det mogeleg å dele sirkelen inn i sektorar, som vist i figuren til høgre. Kvar sektor er tilnærma trekantforma og kan omarrangerast og forme eit tilnræma parallellogram. Høgda på dette parallellogrammet er WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 , og breidda er halve omkrinssen til sirkelen eller WIKINIUM\_MATH\_PH\_25 . Dermed er det totale arealet til sirkelen WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 , eller WIKINIUM\_MATH\_PH\_27 :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28  (sirkel).
Sjølv om oppdelinga nytta i denne formelen berre er ei tilnærming, vert feilen mindre og mindre etter fleire og fleire sektorar ein deler sirkelen inn i. Grensa til arealet for det tilnærma parallellogrammet er nøyaktig WIKINIUM\_MATH\_PH\_29 , som er arealet for ein sirkel.

Denne metoden er faktisk eit enkelt døme på ideane i differensialrekning.

### Overflateareal

Arkimedes synte at overflatearealet og volumet til ei kule er nøyaktig 2/3 av arealet og volumet til ei omliggande sylinderflate.
Dei mest grunnleggande formlane for overflateareal kan ein få ved å kutte overflata opp og flate dei ut. Til dømes om overflata til ein sylinder (eller eit prisme) vert kutta på langs, så kan ein brette ut overflata til eit rektangel. På liknande vis kan ein kutte langs sida på ei kjegle og få ein sektor av ein sirkel, som så kan reknast ut.

Formelen for overflatearealet til ei kule er vanskelegare, fordi overflate har ei ei gaussisk krumming som ikkje er lik null, og dermed ikkje kan flatast ut. Formelen for overflate arealet til ei kule var det Arkimedes som først kom fram til i verket *On the Sphere and Cylinder*. Formelen er

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30  (kule).
der WIKINIUM\_MATH\_PH\_31 er radiusen til kula. Som med formelen for arealet til ein sirkel kan ein kome fram til denne formelen med liknande metodar som vert nytta i differensialrekning.

## Formlar

Vanleg formel for areal:| Form | Formel | Variablar |
| --- | --- | --- |
| Likesida trekant |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_32  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 er lengda til ei side i trekanten. |
| Trekant |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_36  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 er halve omkrinsen, WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 og WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 er lengda på kvar side. |
| Trekant |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_46  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 og WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 er to vilkårlege sider og WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 er vinkelen mellom dei. |
| Trekant |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_54  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 og WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 er høvesvis grunnlinja og høgda (målt vinkelrett på grunnlinja). |
| Kvadrat |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_60  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 er lengda til ei side av kvadratet. |
| Rektangel |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_64  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 og WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 er lengdene til sidene i rektangelet (lengda og breidda). |
| Rombe |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_70  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 og WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 er lengda til dei to diagonalane i romben. |
| Parallellogram |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_76  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 er lengda til grunnlinja og WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 er høgda som står vinkelrett på grunnlinja. |
| Trapes |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_82  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 og WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 er lengda til dei parallelle sidene og WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 er avstanden (høgda) mellom parallellane. |
| Likesida sekskant |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_90  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 er lengda til ei av sidene i sekskanten. |
| Likesida åttekant |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_94  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 er lengda til ei av sidene i åttekanten. |
| Likesida polygon |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_98  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 er lengda til ei side og WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 er mengda sider. |
| Likesida polygon |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_104  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 er omkrinsen og WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 er mengda sider |
| Likesida polygon |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_110  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 er radiusen til ein omskriven sirkel, WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 er radiusen til ein innskriven sirkel og WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 mengda sider. |
| Likesida polygon |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_118  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 er radiusen til ein innskriven sirkel og WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 er omkrinsen til polygonet. |
| Sirkel |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_124  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 er radiusen og WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 er diameteren. |
| Sirkelsektor |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_130  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 og WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 er høvesvis radiusen og vinkelen (i radianar). |
| Ellipse |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_136  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 og WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 er høvesvis lengda på den vesle og den store aksen. |
| Totalt overflatearealet av ein sylinder |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_142  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 og WIKINIUM\_MATH\_PH\_146 er høvesvis radius og høgd. |
| Overflatearealet til ei sylinderside. |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_148  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 og WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 er høvesvis radius og høgd. |
| Det totale overflatearealet til ei kjegle |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_154  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 og WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 er høvesvis radius og skråhøgda. |
| Overflate til ei kjegleside |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_160  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_162 og WIKINIUM\_MATH\_PH\_164 er høvesvis radius og skråhøgda. |
| Overflatearealet til ei kule |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_166  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_168 og WIKINIUM\_MATH\_PH\_170 er høvesvis radius og diameter. |
| Det totale overflatearealet til ein ellipsoide |   | Sjå artikkelen. |
| Det totale overflatearealet til ein pyramide |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_172  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_174 er grunnarealet, WIKINIUM\_MATH\_PH\_176 er omkrinsen til grunnflata og WIKINIUM\_MATH\_PH\_178 er skråhøgda. |
| Omforming frå kvadratisk til sirkulært areal. |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_180  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_182 er arealet til kvadratet i kvadrateiningar. |
| Omforming frå sirkel til kvadratareal |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_184  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_186 er arealet til sirkelen i sirkeleiningar. |

## Andre formlar

### Areal i differensialrekning

Arealet mellom to grafar kan reknast ut ved skilnaden mellom integrala til dei to funksjonane som dannar grafane.
* arealet mellom grafane til to funksjonar er lik integralet til den eine funksjonen, *f*(*x*), minus integralet til den andre funksjonen, *g*(*x*).
* eit areal avgrensa av ein funksjon *r* = *r*(θ) uttrykt i polarkoordinatar er WIKINIUM\_MATH\_PH\_188 .
* arealet lukka av ei parametrisk kurve WIKINIUM\_MATH\_PH\_190 med endepunkt WIKINIUM\_MATH\_PH\_192 er gjeven av linjeintegrala

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_194
eller *z*-komponenten av
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_196
### Generell formel for overflateareal

Den generelle formelen for overflatearealet av grafen til ein kontinuerleg differensierbar funksjon WIKINIUM\_MATH\_PH\_198 der WIKINIUM\_MATH\_PH\_200 og WIKINIUM\_MATH\_PH\_202 er ein region i xy-planet med glatte grenser:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_204
Ein enno meir generell formel for arealet til ein graf av ei parametrisk flate på vektorforma WIKINIUM\_MATH\_PH\_206 der WIKINIUM\_MATH\_PH\_208 er ein kontinuerleg differensierbar vektorfunksjon av WIKINIUM\_MATH\_PH\_210 :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_212
## Kjelder

* *Denne artikkelen bygger på «Area» frå Wikipedia på engelsk, den 29. oktober 2011.*
	+ *Wikipedia på engelsk oppgav desse kjeldene:*

## Bakgrunnsstoff

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_214
* Arealformlar