# Geometri

Eit kvadrat med diagonalar teikna inn
**Geometri** (gresk γεωμετρία; *geo* = «jord», *metria* = «mål», «måling») er ei grein av matematikk som opphavleg omhandla romstorleikar som punkt, linjer, kurver, flater og lekamar og plasseringa, forma og storleiken deira. Etter kvart har geometrien utvikla seg utover dette og omfattar i dag mange teoriar som ein ikkje direkte kan vise ved hjelp av vanlege romstorleikar, men som anten på grunn av den historiske utviklinga eller på grunn av den logiske slektskapen med reint geometriske teoriar likevel tradisjonsmessig vert rekna til geometrien.

## Historie

Både dei gamle egyptarane og babylonarane hadde omfattande kunnskap om flate- og rommmåling. Det var derimot hovudsakleg i den greske antikken at dei geometriske kunnskapane vart bygd opp i eit logisk system. Dei viktigaste matematikarane for utviklinga av geometrien var Evdoxos (død ca. 350 f.Kr.) og særskild Evklid (ca. 300 f.Kr.). Verket til Evklid, *Element*, der han systematiserte idear heilt tilbake til Pythagoras, hansdamar både plangeometri, som er læra om figurar i eit plan, og stereometri eller romgeometri. Han prøvde å gje eit deduktivt system som grunnlag for geometrien. *Element* vart nytta som lærebok i matematikk i over 2000 år, og fram til slutten av 1800-talet vart euklidsk geometri rekna som den einaste forma for geometri.

Av greske matematikarar på 200-talet f.Kr. finn ein Arkhimedes som gjorde areal og volumutrekningar og Apollonios som arbeidde med kjeglesnitt. Kring 130 e.Kr. danna Ptolemaios i hovudsak grunnlaget for trigonometrien, før arabiske astronomar og matematikarar kom med viktige bidrag til det feltet. Arabarane og indarane medverka eller forholdsvis lite til den vidare utviklinga av geometrien.

I Vest-Europa vart det først teke store skritt vidare gjennom Johannes Kepler (død 1630), Bonaventura Cavalieri (død 1647) og Pierre de Fermat (død 1665). Dei skapte ei ny retning innan geometrien, som kan førast attende til metodane til Arkhimedes og som etter kvart fører over til infinitesimalrekninga. I lag med koordinatgeometrien eller den analytiske geometrien til René Descartes i 1637, vart det danna eit grunnlag for ein stadig utvikling av geometrien som fører fram til moderne algebraisk geometri og differensialgeometri. Den analytiske formuleringa gjer et naturleg å utvide teorien innan desse geometrigreinene til å gjelde vilkårlege n-dimensjonale rom, og ein teori som den generelle relativitetsteorien kan reknast ei spesialutgåve av differensialgeometrien.

Nært knytt til differensialgeometri finn ein vektorrekning, som i hovudsak vart utvikla av William Rowan Hamilton, Herman Günther Grassmann og Josiah Willard Gibbs, og som har utvikla seg vidare til den nyare greina tensorrekning. Tensorrekning er særleg utvikla gjennom arbeida til dei italienske matematikarane Curbastro Gregorio Ricci og Tullio Levi-Cività. I tillegg finn ein integralgeometri som vart utvikla av den austerrikske matematikaren Wilhelm Blaschkes (1885–1962).

Seinare er det utvikla alternative geometriar som for eksempel projektiv geometri eller affin geometri.

## Moderne geometri

Euklid prøvde å gje eit reint aksiomatisk grunnlag for geometrien, men systemet hans tilfredsstiller ikkje dei moderne logiske krava. Mellom anna har David Hilbert, Henri Poincaré og Oswald Veblen gjeve meir stringente system, og særleg kjend er *Grundlagen der Geometrie* av Hilbert frå 1899, der han prøver å stiler opp eit meir rigorøst og konsistent system.

Det femte postulatet til Evkild, eller parallellaksiomet, som seier at ein gjennom eit punkt utanfor ei linje berre kan trekke éin parallell med linja, er ikkje like intuitivt innlysande som dei andre aksioma hans. Johann Carl Friedrich Gauss var av dei første som var klar ovr at ein kan konstruere geometriar der dette aksiomet ikkje er oppfylt, men det var først Johann Bolyai i 1832 og Nikolaj Lobatsjevskij i 1836 som gav ut teoriar for ikkje-euklidske geometriar. Dei studerte begge såkalla hyperbolske geometriar, der parallellaksiomet ikkje gjeld, sidan det finst uendeleg mange parallellar gjennom eit punkt. I 1868 viste italienaren Eugenio Beltrami at desse geometriane er like logisk konsistente som den euklidske geometrien. Seinare viste Bernhard Riemann at elliptiske geometriar finst, der det andre aksiomet til Euklid heller ikkje gjeld, og der det ikkje finst nokon parallellar.

Riemann viste i den kjende artikkelen *Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen* i 1854 korleis ein kan kome fram til ein meir generell geometri ved ein metrikk eller avstandsdefinisjon. Felix Klein gav i 1872 ut Erlangen-programmet der han påviste at dei geometriske eigenskapane er invariantar for ei gruppe som geometrien definerer. Denne klassifiseringa har danna grunnlaget for det meste av geometrien ein nyttar i dag.

På 1900-talet skjedde det ei revolusjonerande utvikling i geometrien, særleg på grunn av framkomsten av algebraisk topologi. Det vert då trekt inn eit særs avansert algebraisk apparat som eit dominerande hjelpemiddel i fleire geometriske studiar og teoriar.

Dei siste tiåra har dette gjort at ein har fått eit tettare samspel mellom geometri og andre vitskaplege velt. Eit døme er at teknikkar frå algebraisk geometri spelte ei avgjerande rolle då Andrew John Wiles beviste Fermats sats, som i utgangspunktet var eit reint talteoretisk problem. Eit anna døme er arbeida til Edward Witten om fysisk superstrengteori som har opna heilt nye perspektiv i differensialgeometri og algebraisk geometri. Alain Connes er eit anna døme der han arbeider med ikkje-kommutativ geometri.

## Geometriske former

Nokre av dei vanlegaste geometriske objekta er:

* Kvadrat – har fire hjørne på 90 grader, alle sidene er like lange. Areal = side\*side (A=s²)
* Rektangel – har fire hjørne på 90 grader. Areal=lengd\*høgd. Omkrins=2\*(lengd + høgd) eller O=2\*lengd+2\*høgd
* Sirkel – ei uendeleg mengd punkt med same avstand frå eit senterpunkt. Areal=π\*r² (A=πr²). Omkrins=diameter\*π (O=D\*π eller O=2πr)

## Matematiske animasjoner

 Kube
 Oktaeder
 Dodekaeder
 Ikosaeder
 Kuboktaeder

 Konstruksjon av et heksagon

## Kjelder

* *Denne artikkelen bygger på «Geometri» frå Wikipedia på bokmål, den 13. november 2011.*

* geometri. (2011-11-13) I *Store norske leksikon*. Henta frå