# Koordinatsystem

Eit **koordinatsystem** er eit system der kvart punkt i eit *n*-dimensjonalt rom vert tilvist eit tal eller ein skalar. Dette omgrepet er ein del av teorien kring mangfald. «Skalarar» tyder i mange tilfelle reelle tal, men ut i frå samanhengen kan dei òg vere komplekse tal eller element i ein annan kommutativ ring. For kompliserte rom er det ofte ikkje mogeleg å nytte eit konsistent praktisk koordinatsystem for heile rommet. I slike tilfelle må ein nytte forskjellige koordinatsystem, kalla **grafar**, i lag for å danna eit atlas som dekkjer heile rommet. Eit enkelt døme (som dominerer terminologien) er jordoverflata).

Sjølv eit spesifikt koordinatsystem er nyttig for numeriske utrekningar, eksisterer *rommet* i seg sjølv uavhengig av kva koordinatsystem ein vel å nytte. Slik sett er ein koordinat i eit rom berre ein funksjon frå rommet (eller ein del av rommet) til skalarane. Når eit rom har kompliserte strukturarar, vel ein (som regel) å sjå på funksjonane som høver med denne strukturen. Døme på slik er:

* Kontinuerlege funksjonar i toplogiske rom
* Glatte funksjonar i glatte mangfald;
* Målbare funksjonar i målrom;
* Rasjonale funksjonar i algebraiske varietetar;
* Lineære funksjonar i vektorrom.

Koordinatar i eit rom kan transformerast naturleg under grupper av automorfiar i rommet, og settet med alle koordinatar er ein kommutativ ring kalla koordinatringen i rommet.

I uformell bruk kan koordinatsystem ha **singularitetar**: desse er punkt der ein eller fleire koordinatar ikkje er definerte. Til dømes er origo i planet i polarkoordinatsystemet (*r*,*θ*) ein singularitet, fordi at sjølv om den radielle koordinaten har ein definert verdi (*r* = 0) i origio, kan *θ* vere kva vinkel som helst, så funksjonen er ikkje definert her.

## Døme

Kartesisk koordinatsystem i planet.
Det vanlegaste dømet på eit koordinatsystem er det kartesiske koordinatsystemet som skildrar posisjonen til eit punkt *P* i det euklidske rommet **R**n

*P* = (*r*1, ..., *rn*)
av reelle tal

*r*1, ..., *rn*.
Desse tala *r*1, ..., *rn* vert kalla dei lineære polynoma til koordinatane i punktet *P*.

Om ein ser på ein del av eit euklidsk rom som er lagt kontinuerleg på eit anna topologisk rom, så definerer denne koordinaten eit bilete av S. Dette vert stundom kalla ei **parameterisering** av biletet, sidan han gjev tal til punkta.

Systemet der ein gjev ein lengdegrad og ei breiddegrad til geografiske stader er eit koordinatsystem. I dette tilfellet er ikkje *paramteriseringa* unik for Nord- og Sørpolen.

### Definere eit koordinatsystem basert på eit anna

I geometri og kinematikk vert ikkje koordinatsystem berre nytta for å skildre (den lineære) posisjonen til punkt, men òg for å skildre vinkelposisjonen til aksar, plan og faste lekamar. I det sistnemnde tilfellet er orienteringa til eit koordinatsystem nummer to (ofte kalla det «lokale» systemet) fastsett til ein node som er definert ut frå det første (ofte kalla det «globale» koordinatsystemet). Til dømes kan ein fastsette orienteringa til ein fast lekam ved hjelp av ei orienteringsmatrise der dei tre første kolonnane er dei kartesiske koordinatane til tre punkt. Desse punkta vert så nytta til å definere orienteringa til aksane i det lokale systemet. Dei er dei tre einingsvektorane som går langs desse aksane.

## Transformasjonar

Ein **koordinattransformasjon** er ei omforming frå eit system til eit anna, for å skildre det same rommet.

Med kvar bijeksjon frå rommet kan ein knyte to koordinattransformasjonar:

* slik at dei nye koordinatane av biletet til kvart punkt er dei same som dei gamle koordinatane i det opphavlege punktet
* slik at dei gamle koordinatane i biletet for kvart punkt er dei same som dei nye koordinatane i det opphavlege punktet

Til dømes om transformasjon i 1D er 3 til høgre, så flyttar ein først origo frå 0 til 3, slik at koordinatane til kvart punkt vert tre mindre, medan det andre flyttar origo frå 0 til -3 slik at koordinatane i kvart punkt vert 3 meir.

## Vanlege system

Nokre av dei mest nytta koordinatsystema er

* Kartesisk koordinatsystem, som for eit tredimensjonalt flatt rom nyttar tre tal for å representere avstandar
* Krummande koordinatsystem er ei generalisering av koordinatsystem generelt; systemet er basert på kryssinga av kurver
* Polare koordinatsystem:
	+ Sirkulært koordinatsystem (ofte berre kalla polart koordinatsystem) representerer eit punkt i planet med ein vinkel og avstanden frå origo.
	+ Sylindrisk koordinatsystem representerer eit punkt i rommet med ein vinkel, avstanden frå origo og høgda
	+ Sfærisk koordinatsystem representerer eit punkt i rommet med to vinklar og avstanden frå origo.
* Plückerkoordinatar er ein måte å representere linjer i eit tredimensjonalt euklidsk rom som nyttar seksdoble tal som homogene koordinatar.
* Generaliserte koordinatar vert nytta i lagransk handsaming i mekanikk
* Kanoniske koordinatar vert nytta i hamiltonsk handsaming i mekanikk
* Parallelle koordinatar visualiserer eit punkt i eit n-dimensjonalt rom som ei polylinje som knyter punkta på *n* vertikale linjer.

## Ortogonale koordinatsystem

Dei følgjande koordinatsystema har alle til felles at dei består av ortogonale koordinatar, det vil sei at koordinatflatene står vinkelrett på kvarandre.

* Ortogonale koordinatar

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| * Todimensjonale ortogonale koordinatsystem

* Kartesisk koordinatsystem
* Polart koordinatsystem
* Parabolsk koordinatsystem
* Bipolare koordinatar
* Hyperbolske koordinatar
* Elliptiske koordinatar
 |  | * Tredimensjonale ortogonale koordinatsystem

* Kartesisk koordinatsystem
* Sylindrisk koordinatsystem
* Sfærisk koordinatsystem
* Parabolsk koordinatsystem
* Parabolsk-sylindriske koordinatar
* Paraboloidale koordinatar
* Flattrykte sfæriske koordinatar
* Prolat sfæriske koordinatar
* Ellipsoidekoordinatar
 |  | * Elliptisk-sylindriske koordinatar
* Toroidale koordinatar
* Bisfæriske koordinatar
* Bipolare sylindriske koordinatar
* Koniske koordinatar
* Flat-ring-syklidske koordinatar
* Flat-disk-syklidske koordinatar
* Bi-syklidske koordinatar
 |  |

## Geografiske system

I geografi og kartografi nyttar ein forskjellige geografiske koordinatsystem for å syne posisjonar frå den tredimensjonale globen todimensjonalt.

Global Positioning System nyttar WGS84-systemet.

Universal Transverse Mercator (UTM) og Universal Polar Stereographic (UPS) systema nyttar begge metriskbaserte kartesiske nettverk lagt ut på eit konform projekterte flater til lokale område av jordoverflata. UTM-systemet er ikkje ein enkel kartprojeksjon, men ein serie av kartprojeksjonar, ein for kvar av seksti soner. UPS-systemet vert nytta i polområda, som ikkje er dekte av UTM-systemet.

I mellomalderen vart det stereografiske koordinatsystem nytta innan navigasjon. Det stereografiske koordinatsystemet vart overteken av breiddegrad-lengdegrad-systemet og i nyare tid av GPS.

## Bakgrunnsstoff

* Heksagonalt koordinatsystem
* Koordinatar i eit punkt - interaktiv reiskap

## Kjelder

* *Denne artikkelen bygger på «Coordinate system» frå Wikipedia på engelsk, den 23. juli 2009.*
	+ *Wikipedia på engelsk oppgav desse kjeldene:*