# Roterande referansesystem

Eit **roterande referansesystem** er eit koordinatsystem som roterer relativt til eit tregleikssystem. Eit daglegdags døme på eit roterande referansesystem er overflata på Jorda.

## Fiktive krefter

Alle ikkje-tregleikssystem innehar fiktive krefter. Roterande referansesystem er karakterisert av tre fiktive krefter:

* sentrifugalkrafta
* corioliskrafta

og for ikkje-uniforme roterande referansesystem

* eulerkrafta.

Forskarar på eit slikt roterande referansesystem kan måle farten og retninga til rotasjonen sin ved å måle desse fiktive kreftene. T.d kunne Léon Foucault vise corioliskrafta som kjem av jordrotasjonen ved å bruke Foucaultpendelen. Viss Jorda plutseleg byrja å rotere tusen gangar raskare (slik at kvar dag berre var om lag 86 sekund lang), ville folk lette ha merka dei fiktive kreftene som dreg i dei, akkurat som på ein spinnande karusell.

## Forhold mellom posisjonar i to referansesystem

For å utleie desse fiktive kreftene er det lurt å kunne transformere likningane mellom koordinatane WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 i det roterande referansesystemet og koordinatane WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 i eit tregleikssystem med same opphav. Viss rotasjonen er om WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 -aksen med vinkelfarten WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 og dei to referansesystema samsvarar ved tida WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 , så kan transformasjonen frå dei roterande koordinatane til tregleikskoordinatane skrivast:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
og den reverse transformasjonen er

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
Dette resultatet får ein ved å bruke ei roasjonsmatrise.

## Generell utleiing i eit roterande referansesystem

Visst vi har einingsvektorane WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 til å representere dei tredimensjonale vektorane, kan vi la desse rotere fordi dei vil bli verande normalisert. Viss vi lèt dei rotere med farten WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 så vert kvar einingsvektor styrt av likninga:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 ,
der WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 . Så viss vi då har ein funksjon , WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 og vi vil utforske den førstederiverte, har vi:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32
Der WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 er endringsraten med omsyn på det roterande koordinatsystemet. Det vil sei at viss WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 roterer med same fart som einingsvektorane ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 ) så er WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 .

## Forhold mellom snøggleik i dei to referansesystema

Snøggleiken til ein lekam er den tidsderiverte av posisjonen til lekamen eller

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42
Den tidsderiverte til posisjonen i eit roterande referansesystem har to komponentar, ein frå den tidsderiverte i tregleikssystemet, og ein anna frå sin eigen rotasjon. Forholdet mellom desse har ein i likninga

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44
der vektoren WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 peikar i same retning som rotasjonsaksen med same storleik som vinkelfarten. Derfor er forholdet mellom snøggleiken i dei to referansesystema:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48
### Prov av likninga

La oss tenkje oss ein vektor **a**tregleik i tregleikssystemet, og **a**roterande er den same vektoren i det roterande referansesystemet. *P*t er posisjonen til vektoren **a** ved tida *t* i tregleikssystemet, *Q* ere it punkt som har same startposisjon som *P*0 (*Q*0 = *P*0) og roterer i forhold til tregleikssystemet som om det var stasjonært på det roterande systemet. .

Etter ei svært kort tid *δ* *t*, har vi at vektoren *Q*0 *Q*δ t er

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50
ved å bruke nokre enkle vektoroperasjonar har vi

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52
deriverar vi på tid får vi

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54
og ser at

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56
## Forhold mellom akselerasjon i dei to systema

Akselerasjon er den andre tidsderiverte av posisjon, eller den første tidsderiverte av snøggleik

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58
Ved å utføre deriveringa og omarrangere nokre av ledda får ein akselerasjonen i det roterande referansesystemet

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60
der WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 er den tilsynelatande akselerasjonen i det roterande referansesystemet.

Dei tre ledda på høgre side kjem av dei fiktive kreftene i eit roterande referansesystem. Ved å bruke Newton si andre rørslelov WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 , får vi

* corioliskrafta

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66
* sentrifugalkrafta

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68
* eulerkrafta

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70
der WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 er massen til lekamen desse tre fiktive kreftene virkar på.

Tregleiksakslerasjonen WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 kan ein finne ut frå den totale fysiske krafta WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 (t.d. den totale krafta frå fysiske vekselverknadar som elektromagnetisme) og bruke Newton si andre rørslelov

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78