# Matematika

Euklides, matematikawan Yunani, abad si-3 SM, simane si no ihaogö wamatunö ma igambaraini ba wamatunö Raffaello Sanzio moroi ba da'a izaraini ya'ia da'ö moroi ba *Sekolah Athena*.
**Matematika** moroi ba bahasa Yunani: *μαθημα* - *mathēma, "pengetahuan, pemikiran,* pembelajaran") ma fatua lö lafo'eluaha ia simane da'ö lamane wanguma'ö **ilmu hisab** ya'ia da'ö sambua wamahaö ; hawa'ebua, hewisa wenaeta, hewisa wangerai nahia si lö ösi, ba tanöbö'önia. Ya'ira si no manöndra famahaö ba Matematika andre ma töira laŵa'ö ia para matematikawan no lafatohu ba wangoguna'ö ngawalö wenaeta ma lala, aefa da'ö la'oguna'ö ba wo *rumus* kö *konjektur* sibohou, ba lafangamöi hezo zatulö molo'ö *metode deduksi* si no mondrege wa'abua ma *ketat* nifadege moroi ba *aksioma* faoma eluaha-eluaha sifahatö.

Alua wabu'asa lamane hadia fefu zifakhai ba matematika simane numero ma *bilangan* ba niti ma *titik* (geometri) no so ba gulidanö andre, ma zui nisöndra ma nihaogö niha. Famahaö sangoguna'ö fangera-ngera sifakhai ba ngawalö zi so wetaro simane, owulo-wulo, ebolo-bolo, öfa sagi, btn, simanö göi zifakhai ba ha wa'ebua, ba ngawalö zifakhai khönia. Matematika andre, asese sibai la goligö ba zi tölu fenaeta : aijabar, analisis, ba geometri. Hewa'ae simanö, tebai sibai tobali gohe-gohe saro ba wogoligö ngawalö wamahaö ba matematika andre, me fefu wenaeta wamahaö ba matematika andre, arakhagö no oi faruka. Si no to'ölö simane **aijabar** no mangahatö ia sifakhai ba ngawalö numero ba si tebai la fatunö föna niha, nibabaya tanga ma ba li Indonesia lamane *melibatkan bilangan dan pengabstrakannya.* Ba wo'angeragö fa'atarö ngawalö zifakhai ba nifatohu ba si no tetatugöi ndregenia, ba na tafaigi hewisa **geometri** ya'ia da'ö sambua goli-goli moroi ba matematika sifakhai ba sains nifodane-dane moroi ba postulat si tola mame'e furugö ba zi sambua ni'erai ma ba wame'e sambua wamaedo si tola labali'ö dane-dane ba wame'e zinöndra.

Samösa matematikawan Benjamin Peirce manötöi matematika sitobali "famahaö same'e furugö-furugö soguna".

Molo'ö Max Tegmark, fangoguna'ö "Matematika lö tobali gohe-gohe ba ni'ila hörö" iŵa'ö wa nifa'ema matematika andre ba niha lö möi moroi ba nifatörö niha. Sitobali fa'afaehu moroi ba wamahaö tanöbö'ö, fa'efania ba ni'ila hörö ena'ö böi irege imane niha gulidanö, wa fe'aso gulidanö andre no moroi ba wenaeta matematika, möi fa'afasala wanema'ö ya'ia na irugi simanö da'ö.

Molo'ö fangoguna'ö fangera-ngera ma lamane mangoguna'ö uto, *logika* ba *abstraksi matematika*, matematika tefazaewe moroi ba *pencacahan*, fangerai ma *perhitungan*, fanu'a ma *pengukuran*, ba famareso molo'ö fenaeta ma *pengkajian sistematis* sifakhai ba *bangun geometri* faoma fa'atewu'a ngawalö mbotoŵa sifakhai ba wamahaö fisika. Matematika salio, tefaehagö ba ngawalö halöŵö niha i'otarai me no so waö-waö matematika andre. Fabu'asa ba matematika andre si'oföna sibai ba *Matematika Yunani*, si'oföna sibai ba *karya Euklides*.

Matematika sidugu tedou, simane ba Tiongkok ba ndröfi si 300 SM ma *fatua lö masehi*, ba India ba ndröfi si 100 M, ba ba danö Arab ba ndröfi si 800 M, ofeta ginötö Renaisans, me inötö tesöndra wamahaö sibohou ba matematika no tola fakhai ba ngawalö wangalui fa'atua-tua tanöbö'ö, ba hiza tenga ha meluo da'ö, ofeta ma'ökhö, matematika andre no oya ma me'e fanolo ba wamahaö tanöbö'ö.

Iada'a, matematika no la'oguna'ö niha ba zi sagörö ulidanö sitobali fakake ba wanolo famahaö sifakhai ba wamahaö ulidanö ma ilmu alam, *teknik, kedokteran/medis,* faoma ilmu sosial simane; *ekonomi*, faoma *psikologi*. Na Matematika terapan, no fenaeta moroi ba matematika si fakhai ba wamahaö tanöbö'ö , da'a zo lulugö fangalui ngawalö wamahaö sibohou ba matematika andre, simane **statistika** faoma teori permainan.

Ya'ira niha sangodödögö halöŵö ba matematika andre oi mangalui hewisa nifotöi **matematika murni**, ma sambua wamahaö ba matematika ba wodou'ö ngawalö zifakhai ba matematika andrö. Lö la tehegö so wanofu ba högöra si tebai mufosinöndra, la'odödögö ba wangalui ngawalö hadia lala ba wamosinöndra fanofu andrö. Da'ö zi tobali fondrou wanga'asogö ba fangoguna'ö nifotöi *matematika murni*.

## Böröta Wehede *(Etimologi)*

Ngawua wehede "matematika" tefa'aso moroi ba wehede ma *bahasa Yunani Kuno* ya'ia da'ö μάθημα (*máthēma*), si tola la fo'eluaha *pengkajian*, *pembelajaran*, *ilmu* ma famahaö si so ba mbate'e si lö ebua sibai ma bate'e side-ide, ba eluaha molo'ö *teknis* tobali "pengkajian matematika", da'a tenga ha alua ba ginötö iada'a no moroi ba ginötö *zaman kuno.* Fehede na molo'ö *kata sifat* ya'ia da'ö μαθηματικός (*mathēmatikós*), *berkaitan dengan pengkajian*, ma *tekun belajar*, na lafo'eluaha sibai wa no tola lamane *matematis*. Na molo'ö famahaö si tefaudu ba matematika, ya'ia da'ö *mathēmatikḗ tékhnē*, ba wehede *bahasa Latin* ya'ia da'ö *ars mathematica*, nifo'eluaha ya'ia da'ö *seni matematika*.

Na molo'ö fehede si töra moroi ba zi sambua ma *bentuk jamak* asese la'oguna'ö ba *bahasa Inggris*, simanö göi ba wehede *bahasa Prancis* latötöi; les mathématiques da'a lö asese la'oguna'ö ba wanguma'ö zi ha sambua ma *bentuk tunggal*, ya'ia da'ö lamane ; *la mathématique*, sanandrösa ba *bentuk jamak bahasa Latin* ngawua sitola lö abua dambai geluahania la'oguna'ö wehede *mathematica Cicero*, na ba wehede *bentuk jamak bahasa Yunani* lamane; τα μαθηματικά (*ta mathēmatiká*), da'a wehede ni'oguna'ö Aristoteles, ma na lafo'eluaha ia ba wehede salio manö ya'ia da'ö ; *fefu zifakhai ba wangerai* ma ba wehede Indonesia tola laŵa'ö ia; *"segala hal yang matematis"*. Hiza, ba *bahasa Inggris*, fehede sifakhai ba mbotoŵa ma *kata benda* ya'ia da'ö; *mathematics* manga'i *bentuk tunggal* na la'oguna'ö ba wehede halöŵöa ma *kata kerja.* Ba ngawalö wamatunö ma wahuhuosa sifakhai ba matematika, asese la'adogo-dogo'ö wanötöi lamane; *math* da'a ba *Amerika Utara* na ba nahia tanöbö'ö misa lamane; *maths*.

## Waö-waö *(Sejarah)*

Sebuah quipu, ni'oguna'ö ba Inca ba wanura ngawalö numero ma *bilangan.*
Evolusi matematika tola la faigi salere *abstraksi matematika* sidugu monönö. *Abstraksi* ba mböröta, da'a alua oya ba gurifö, ya'ia da'ö sofakhai ba *bilangan*: famatunö ma fangerai dombua *apel* faoma dombua ndrima (ha duma-duma, da'a), fa'oya nia no fagölö, ma ba wehede matematika lamane; *pernyataan bahwa dua apel dan dua jeruk (sebagai contoh) memiliki jumlah yang sama.*

Matematikawan Yunani Pythagoras (c. 570 BC – c. 495 BC), da'a no la'ila sambua ni söndra Pythagoras irege laŵa'ö ia ya'ia da'ö Teorema Pythagoras
Baero da'ö meno sa'ae mozawili wamahaö matematika andre ba no oi la'ila lala *pencacahan* zifakhai ba *fisika*, niha *prasejarah* no göi la'ila lala ba wo *cacah* ha wa'ebua ngawalö mbotoŵa si lö oroma ma *abstrak*, simane Inötö — Ngaluo, *Musim*, Döfi. *Aritmetika dasar* (Famonönö, Fangeheta, Fokalikö, faoma Fombagi) alua hulö sito'ölö.

Lala amatohula, moguna so wanura ma lala hewisa ba wanura numero, hulö sinali ma dawai nifelu ni tötöi faoma quipu ni oguna'ö soi **bangsa Inca** ba wangirö'ö hadia zifakhai ba numero. Numero oya ngawalö, numero sitesura siföföna sibai ya'ia da'ö si so ba naskah warisan Mesir Kuno ba *Kerajaan Pertengahan Mesir*, Lembaran Matematika Rhind.

lala numero ba Maya, ma *Sistem bilangan Maya*
Fangoguna'ö fondrege sara matematika andre ya'ia da'ö ba halöŵö famawa, fanu'a tanö, ba wogambaraini, ba wangahaogö nukha, ba simanö göi ba wangerai inötö ba hiza lö irai tefazawili ba niha sato irugi döfi si 3000 SM ofeta miföna ba ginötö niha Babilonia faoma *Mesir Kuno* tebörögö mangoguna'ö Aritmetika, Aljabar, faoma Geometri ba wangerai Pajak ba sifakhai ba wangerai kefe tanöbö'ö simane ba wangahaogö ngawalö nahia, ma fatukasa faoma ba Astronomi. Famahaö matematika si tefa'anö molo'ö fenaetanua tebörögö moroi ba zaman Yunani Kuno ba gotalua ndröfi si 600 faoma döfi si 300 SM.

Matematikawan Persia Al-Khwarizmi (780 M – 850 M), sanöndra ma samörötaigö goli-goli matematika ya'ia da'ö aljabar.
Ba ginötö *keemasan Islam*, ya'ia da'ö ba abad si-9 faoma abad si-10, matematika no oya ni'ehaogö samodane-dane moroi ba matematika Yunani: da'a oya moroi ba matematikawan Persia simane Al-Khwarizmi, Omar Khayyam dan Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī.

Matematika i'otarai ba ginötö andrö, ba no so khönia wa'atedou, mozawili ba zi sagörö ulidanö, no so wa'ahatöra matematika faoma Sains, si mohare faoma fatambai. Fanöndra ma *penemuan-penemuan matematika* tefalua ba zi sagötö waö-waö ba tefatohu ofeta mane ma'ökhö. Molo'ö **Mikhail B. Sevryuk,' *ba mbaŵa Januari 2006 ni fatumbu'ö ma* terbitan *Bulletin of the American Mathematical Society, "Oya sibai zinura* makalah** faoma buku ni fakhai ba *basis data* ma *Mathematical Reviews* i'otarai döfi si 1940 ma böröta te'oguna'ö MR *(tahun pertama beroperasinya MR)* iada'a no töra moroi ba zi 1,9 juta, ba töra moroi ba zi 75 ribu artikel ma sinura ba *basis data* andrö ero döfi. Sabölö oya *karya* ba *samudera* da'a tefa'anö faoma *teorema* matematika sibohou faoma *Pembuktian Matematika*."

.

## Ilham, matematika murni, terapan, faoma estetika

Sir Isaac Newton (1643-1727), samösa *penemu* kalkulus infinitesimal.
Matematika tefatumbu'ö ba ginötö so ngawalö zalua si tebai te'asiwai sifakhai ba ha wa'oya ma *kuantitas, struktur, ruang,* faoma *perubahan.* Ba mböröta da'a tesöndra ba ginötö alua halöŵö wamawa ma *perdagangan*, fosu'a tanö ma *pengukuran tanah*, ba aefa da'ö ba Astronomi; iada'a, arakhagö fefu wamahaö ma *ilmu pengetahuan* ena'ö te fangamöi ba wangosisi'ö ndra matematikawan, ba wangalui lala wamosinöndra na so zi tebai lafosinöndra. Hulö simane, samösa *fisikawan* sotöi Richard Feynman manöndra rumus integral lintasan *mekanika kuantum* mangoguna'ö fangi'ila ba matematika faoma *wawasan fisika*, faoma *teori dawai* iada'a, *teori ilmiah* si hino wa'atedou mangodödögö hewisa wa tola tefurugö ngawalö wangi'ila andrö, *Interaksi dasar*, ba tetohugö ba wanöndra fangil'ila sibohou ba matematika.

Ba so göi matematika ifaogö ia ba wo'angeragö ya'ia, ba labali'ö sitobali lala ba wame'e söndra ba ngawalö daha-taha. Ba hiza asese sibai matematika andre tefangamöi ma moguna ba lala wamahaö tanöbö'ö. Si no tehöngö wa matematika fondrege sara ma "paling murni" asese tobali famahaö *terapan praktis* ya'ia simane ni fa'ema Eugene Wigner ya'ia da'ö " Fa'amoguna si no sökhi sibai moroi ba matematika andre, ofeta ba zi lö ikhamö aka niha sito'ölö ba wamahaö Ilmu Pengetahuan Alam moguna monönö wamatunö.".

Ba nahia samalua *pengkajian,* fangi'ila andre no la faolo ira ba wamahaö matematika. Sambua wa'afabö'ö moroi ba Matematika murni faoma Matematika terapan: ato ndra matematikawan la'odödögö wamareso fangi'ila ba gotalua zi dombua wenaeta andrö, ba asese da'a tobali sambua famahaö ba *program studi* ba wanöndra *gelar sarjana* . Matematika terapan no oya la'osambuai'ö faoma *tradisi-tradisi* baero matematika ba tobali sambua lala wamahaö simane Statistika, Riset operasi, ba Ilmu komputer.

Dozi ya'ira si terou tödö ba matematika asese sibai la söndra zifakhai ba *estetika* ba wamahaö matematika. Ato matematikawan zanguma'ö wa fa'asökhi ma *keanggunan* matematika, *estetika* si teforoma'ö, faoma fa'asökhi ma *keindahan* moroi ba matematika da'ö samösa. Ba matematika andre, fangaröu ba dödö ma fangide-ngide'ö teharagoi. Tesöndra wa'asökhi ba wangide-ngide'ö sitobali lohe-lohe nibe'e, sitobali dane-dane ma *bukti Euclid* wa tesöndra zi tebai mu'erai ha wa'oya *bilangan prima*, ba hiza bakha ba wangerai numero ma *metode numerik* si sökhi fangerai fa'abölö-bölö ya'ia da'ö ba *transformasi Fourier cepat.* G. H. Hardy bakha ba *A Mathematician's Apology* manguma'ö wa fa'afaduhu dödö ba wa'asökhi andre, khönia samösa, no tobönö ba wanuheni *pengkajian matematika murni*.

Ya'ira sangodödögö famahaö matematika andre ma asese lakaoni ira ya'ia da'ö *matematikawan* asese erege dödö ba wangalui dane-dane ma *bukti teorema* nifaudugö si sökhi, fangalui Paul Erdős asese tefuta ba wangalui wa'a moroi ba zoera ni'amoni'ö ma "Alkitab" wa no isura Lowalangi ngawalö hadia ia zi so ba gulidanö andre. Fa'amohöngö matematika andre ma *matematika rekreasi* ya'ia da'ö wa no oi oya wa'omuso dödö na inötö te fosinöndra ngawalö wanofu ba matematika.

## Notasi, bahasa, dan kekakuan

Leonhard Euler. Amada da'a samösa matematikawan soya manöndra ngawalö fa'atua-tua ba zi sandrohu inötö
No oya *notasi matematika* ni'oguna'ö ba ginötö iada'a lö sa'ae tesöndra ofeta *abad* si-16. Ba *abad* si-18, Euler mo noro dödö ba wa'oya *notasi* ni'oguna'ö iada'a. *Notasi modern* no möi *matematika* aoha ba khö ndra sangodödögö ma *para profesional*, ba hiza ba zawena so wa'omasi ba wamahaö matematika asese so wa'ata'u ba wanohugö ngawalö wamahaö matematika. Alua wo hösö ngawalö wangi'ila ba wame'e fa'akayo ngawalö hadia ia zifakhai ba matematika. Simane *Notasi musik*, *notasi matematika modern* so khö lala wehede ma *tata kalimat' si* kaku *ba ifa'ema ngawalö* informasi *no lala sabua sibai na lasura faoma famahaö tanöbö'ö.*

Bahasa matematika tola göi möi börö walö omasi ba zawena fao ba wamahaö matematika andrö. Ngawalö wehede simane; *atau* faoma *hanya* so khönia geluaha tenga simane fahuhuosa niha ba zi'ero ma'ökhö. Baero da'ö, fehede simane; *himpunan terbuka* ba *lapangan matematika* mo'eluaha ba matematika. *Jargon matematika* fao ngawalö wogaoni ma *istilah-istilah teknis* simane *homeomorfisma* faoma *integral*. Ba hiza so mbörö ba *notasi khusus* faoma *jargon teknis* da'a: matematika mangoguna'ö *presisi* töra moroi ba wahuhuosa ero ma'ökhö. ya'ira ira matematikawan manötöi *presisi bahasa* faoma *logika* da'a ya'ia da'ö faoma fehede; "ketat" ma "kaku" (*rigor*). Ba hiza, na no so wehede si no labe'e khönia geluaha, ba bawangoguna'ö ya'ia la fo'eluaha simane si no la be'e eluaha khönia, tebai la fawu'a geluahania. Andrö wa laŵa'ö khönia "ketat" da'a sambua gamaehuta ba *bahasa matematika.*

Famaedo ma **Lambang** ketakhinggaan **∞** ba zi ha'uga wamaehagö hadia ia ma ba li Indonesia lamane; *di dalam beberapa gaya sajian.*
Fangoguna'ö *bahasa ketat* modane-dane si no amaedola sifania ba wo oroma *pembuktian matematika*. Ya'ira matematikawan so wa'omasi ena'ö fefu *teorema* si no lahaogö tefaogö ba *aksioma-aksioma* sitobali khamötö *penalaran sistematik* ma fangera-ngera si tefa'oli. Da'a ena'ö möi ba wanaha *"teorema"* sifasala fanga'i, nifodane-dane ba wanahö si lö alua ma *praduga kegagalan*, hiza no oya duma-dumania zalua simane da'a. Fenaeta wa lö tebulö ma *kekakuan* mutötöna ba matematika andre ena'ö so wa'atebulö ba zisagötö inötö: bangsa Yunani manötöna *dalil* si no tefa'oli, hiza meluo da'ö lala ni'oguna'ö ya'ia da'ö Isaac Newton no ambö möi nibulö'ö. Salua sifao ba wamo'eluaha ni'oguna'ö Newton möi fo fareso ma fo *analisis* sindruhu-ndruhu dödö ba sitobali dane-dane *formal* ba abad si-19. Iada'a, ya'ira matematikawan lö'aetu wabu'asara sifakhai ba bukti berbantuan-komputer. Börö me fangerai sebua abua ma'ifu wamareso, dane-dane da'ö tola manö ambö möi nibulö'ö.

*Aksioma* molo'ö fangera-ngera *tradisional* ya'ia da'ö; "fa'atulö sitobali dane-dane" ma ba wehede Indonesia lamane; *"kebenaran yang menjadi bukti dengan sendirinya"*, ba hiza fangera-ngera da'a nomöi börö wabu'asa. Ba wenaeta *formal*, sambua *aksioma* ha sara bu ma *seutas dawai* ma laŵa'ö  *lambang logika simbolik*, si so eluaha ba *rumus* si no so nifetaro ba *sistem aksioma*. Da'a khamötö *program Hilbert* ba wametaro fefu matematika ba zisambua *basis aksioma* sabölö, ba hiza molo'ö *Teorema ketaklengkapan Gödel* ero-ero *sistem aksioma (yang cukup kuat)* mangokhögö *rumus-rumus* si tidak dapat ditentukan; ba börö da'ö sambua *sistem aksioma* ma *aksiomatisasi* safuria ba matematika lö möi ni'angeragö ma *mustahil*. Heŵa'ae no simanö, matematika asese la angeraigö *(di dalam konteks formal)* lö baero moroi ba *teori himpunan* ba zi ha'uga *aksiomatisasi*, ma nalafo'eluaha ya'ia da'ö wa ero-ero sambua wangombakha ma dane-dane matematika tola famaedonia ba *rumus-rumus teori himpunan*.

## Matematika sambua famahaö *(ilmu pengetahuan)*

Carl Friedrich Gauss, no ibali'ö ia samösa razo ma *"pangerannya para matematikawan"*, ba hiza imane wa matematika sitobali "Ratunya Ilmu Pengetahuan".
Carl Friedrich Gauss no iŵa'ö wa matematika sitobali "Ratunya Ilmu Pengetahuan". Ba wehede sindruhunia ya'ia da'ö, ba li Latin *Regina Scientiarum*, ba li Jerman *Königin der Wissenschaften*, sifagölö eluaha ba *ilmu pengetahuan* so'eluaha tanölafa ma *(lapangan)* ba wamahaö. Atulö sibai, ba geluaha ba li Inggris, lö fanendre dödö wa matematika ba da'a no sambua famahaö. Ni odödögö ba wamo'eluaha ya'ia ba *ilmu pengetahuan alam* alua ba ginötö aefa da'ö. Na so atö zamaigi *ilmu pengetahuan* ha ba Fisika, hiza matematika, tenga sambua famahaö.

Imane Albert Einstein wa *"ha wa'aröu huku sifakhai matematika no ahatö ba ni'ila hörö ni babaya danga, ba hiza tebai ni etu'ö wa da'a zatulö sibai, ba hiza no tefaudu atö ba no da'ö zahatö ba ni'ila hörö.*"

Ato zi no alaŵa fangi'ila ma laŵa'ö ia *filsuf* no farisayo sibai wa matematika tebai la tenaŵa moroi ba wo tandraigö ya'ia, andrö börö da'ö tenga famahaö ma fangi'ila ni fo'eluaha Karl Popper. Ba hiza, bakha ba zi no tefa'elegö ba zi no la söndra me döfi si 1930 sifakhai ba *logika matematika* no teforoma'ö wa matematika tebai la *reduksi* tobali *logika*, ba hiza Karl Popper mamurugö imane, wa "no oya *teori matematika*, simane fisika faoma biologi, ya'ia da'ö *hipotetis-deduktif*: andrö börö da'ö, matematika ahatö ba wamahaö *ilmu pengetahuan alam* si no la'ila niha wa *hipotesis-hipotesis*nia ya'ia da'ö *konjektur (dugaan)*, ba hiza töra moroi ba zawena la söndra niha sibohou." Ya'ira niha si *bijak bestari* tanöbö'ö, tötöi manö simane Imre Lakatos, no lafatötö sambua wenaeta galimosa ma *pemalsuan* ba matematika da'ö samösa.

Sambua wamaigi moroi ba wamahaö simane *fisika teoretis* ya'ia da'ö matematika sifao *aksioma-aksioma* ni faedogö sahatö ba ni'ila hörö. Saluania, samösa *fisikawan teoretis*, sotöi J. M. Ziman, mame'e söndra wa famahaö sifagölötö ma *pengetahuan umum* nofao khönia bakha wamahaö matematika. Ba zi ha'uga zi no alua, matematika no oya faoma mame'e fanuheni ba wamahaö tanöbö'ö ma famahaö fisika, simane fangalui hadia zalua ba zi no la börötaigö wamareso salua andrö, simanö göi ba *Intuisi* ma fanandraigö ba *perumusan-konjektur*, ba matematika, he göi ba wamahaö tanöbö'ö.

## Umbu