# Matemática

La **Matemática** (de l griego *máthēma* (μάθημα): ciéncia, conhecimiento, aprendizaige; *mathēmatikós* (μαθηματικός): apreciador de l conhecimiento) ye la ciéncia de l raciocínio lógico ou abstrato. Eilha ambuolbe ua permanente busca de la berdade. Ye rigorosa i precisa. Anque haba muita teorie çcubierta hai muito anho, inda hoije se manténen bálidas i úteles, i la Matemática cuntina permanentemente a demudar i a zambolbé-se.

## A la busca dua defeniçon

Ouclides: painel an mármole, Museu dell'Opera del Duomo
Hai muito tiempo que se percura un cunsenso subre la defeniçon de l que ye la Matemática. Assi i todo, nas redadeiras décadas de l seclo XX fui-se fazendo ua defeniçon que ten gran aceitaçon antre ls matemáticos: *matemática ye la ciéncia de las regularidades* (padrones). Segundo esta defeniçon, l trabalho de l matemático cunsiste an eisaminar padrones abstratos, tanto riales cumo eimaginários, bisuales ou mentales. Ou seia, ls matemáticos búscan padrones ne ls númaros, ne l spácio, na ciéncia i na eimaginaçon i las teories matemáticas fázen por splicar las relaçones antre eilhas.

Ua outra defeniçon serie que ye la ambestigaçon de struturas abstratas defenidas axiomaticamente, ousando la lógica formal cumo strutura quemum. Las struturas specíficas giralmente ténen la sue ourige nas ciéncias naturales, mais quemumente na Física, mas ls matemáticos tamien defínen i ambestígan struturas por rezones solamente anternas a la matemática (matemática pura), por eisemplo, al antendéren que las struturas dan ua generalizaçon ounificante de bários subcampos ou ua ferramienta útele an cálculos quemuns.

Storicamente las deciplinas básicas drento de la matemática stan associadas a la necidade de se fázeren cálculos ne l mercado, medir tierra i predezir feitos astronómicos. Essas trés necidades puoden ser relacionadas culas grandes subdebisones de la matemática: l cálculo básico (somar, subtrair, multeplicar i debedir), l studo de las struturas, l studo de ls spácios (cálculos de árias i ambelumes atrabeç de l cálculo básico) i l studo de las altaraçones.

## Stória

Papiro de Rhind de l Antigo Eigito, de arrimado a 1.650 a.C.
L purmeiro oubjeto conhecido que cumproba la alblidade de cálculo ye l uosso de Ishango (ua fábula de babuíno cun riscos qu'andícan ua cuntaige), i data de 20.000 anhos atrás. L zambolbimiento de la matemática dou ferramientas a las purmeiras cibelizaçones, i tornou possible l zambolbimiento d'aplicaçones cuncretas: l comércio, l labor de plantaçones, la mediçon de tierra , la prebison d'eibentos astronómicos, i a las bezes, la rializaçon de rituales relegiosos.

L studo de struturas matemáticas ampeça cula aritmética de ls númaros naturales i sigue cula straçon de raízes quadradas i cúbicas, la resoluçon d'algues eiquaçones polinomiales de grau 2, la trigonometrie i l cálclo de las fraçones, antre outras cousas.

Estes zambolbimientos son atribuidos a las ceblizaçones acadiana, babilónica, eigícia, china, ou inda, a las de l bal de ls hindus. Na ceblizaçon griega, la matemática, anfluenciada puls trabalhos atrasados, i pulas speculaçones filosóficas, tornórun-se mais abstratas. Dous ramos çtinguírun-se, la aritmética i la geometrie. Para alhá desto, formalizórun-se las noçones de demunstraçon i la defeniçon axiomática de ls oubjetos de studo. Ls Eilemientos de Ouclides relátan ua parte de ls conhecimientos geométricos na Grécia de l seclo III a.d.

La cebelizaçon eislámica premitiu que la hardança griega fusse cunserbada, i ajudou al cunfronto culas çcubiertas chinesas i hindus, percipalmente na queston de la repersentaçon numérica. Ls trabalhos matemáticos zambolbírun-se muito tanto na trigonometrie (antroduçon de las funçones trigonométricas), cumo na aritmética. Zambolbiu-se inda la análeze cumbinatória, la análeze numérica i la álgebra de polinómios.

Durante l Renacimiento, ua parte de ls testos árabes fúrun studados i traduzidos pa l latin. La pesquisa matemática cuncentrou-se, anton, na Ouropa. L cálculo algébrico zambolbiu-se mui debrebe culs trabalhos de ls franceses Biète i René Descartes. Adepuis, Newton i Leibniz çcubrírun la noçon de cálculo anfenitesimal i antroduzírun la noçon de fluxor (palabra apuis abandonada). Al largo de ls seclos XVIII i XIX, la matemática zambolbiu-se muito cula antroduçon de nuobas struturas abstratas, percipalmente ls grupos (por bias de ls trabalhos de Évariste Galois) subre la resolublidade d'eiquaçones polinomiales, i ls anielhos definidos ne ls trabalhos de Richard Dedekind.

## Árias i metodologie

Las regras que gobérnan las ouparaçones aritméticas son las de la Álgebra eilementar i las propiadades mais perfundas de ls númaros anteiros son studadas na teorie de ls númaros. La ambestigaçon de métodos para resolber eiquaçones lieba al campo de la Álgebra abstrata, que, antre outras cousas, studa anielhos i cuorpos – struturas que generalízan las propiadades tenidas puls númaros. L cunceito de betor, amportante pa la física, ye generalizado ne l spácio betorial i studado na Álgebra linear, pertencendo als dous ramos de la strutura i de l spácio.

L ansino de la geometrie.
L studo de l spácio naciu cula Geometrie, purmeiro cula Geometrie Ouclidiana i la Trigonometrie; mais tarde fúrun generalizadas nas geometries nun-Ouclidianas, que zampéinhan l amportante papel na formulaçon de la teorie de la relatebidade. La teorie de Galois premitiu resolbéren-se bárias questones subre custruçones geométricas cun régua i cumpasso. La Geometrie difrencial i la Geometrie algébrica generalízan la geometrie an defrentes direçones: la Geometrie defrencial çtaca l cunceito de sistemas de cordenadas, eiquilíbrio i direçon, anquanto na Geometrie algébrica ls oubjetos geométricos son çcritos cumo cunjuntos de seluçon de eiquaçones polinomiales. La teorie de ls grupos ambestiga l cunceito de simetrie de forma abstrata i faç ua ligaçon antre ls studos de l spácio i de la strutura. La topologie liga l studo de l spácio i l studo de las trasformaçones, dando mais atençon al cunceito de cuntinidade.

Antender i çcrebir las altaraçones an cuantidades ye l tema quemun de las ciéncias naturales i l cálculo foi zambolbido cumo la ferramienta mais útele para fazer esto. La çcriçon de la bariaçon de balor dua grandeza ye oubtenida por meio de l cunceito de funçon. L campo de las eiquaçones defrenciales dá métodos para resolber porblemas qu'ambuolben relaçones antre ua grandeza i sues bariaçones. Ls númaros riales son ousados para repersentar las quantidades cuntinas i l studo menudo de las sues propiadades i de las propiadades de las sues funçones cunsiste na análeze rial, la qual fui generalizada para análeze cumplexa, abrangendo ls númaros cumplexos. La análeze funcional trata de funçones defenidas an spácios de dimensones normalmente anfenitas, custituindo la base para la formulaçon de la mecánica quántica, antre muitas outras cousas.

Para splicar i ambestigar ls fundamientos de la matemática, fúrun zambolbidos ls campos de la teorie de ls cunjuntos, lógica matemática i teorie de ls modelos.

Quando ls cumputadores fúrun criados, bárias questones teóricas lebórun a la eilaboraçon de las teories de la cumputablidade, cumplexidade cumputacional, anformaçon i anformaçon algorítmica que son ambestigadas na ciéncia de la cumputaçon.

L cunjunto de Mandelbrot.
Ua teorie amportante zambolbida pul ganhador de l Prémio Noble, John Nash, ye la Teorie de ls jogos, que ten atualmente aplicaçones ne ls mais defrentes campos, cumo ne l studo de çputas comerciales.

Ls cumputadores tamien ajudórun al zambolbimiento de la teorie de l caos, que trata l feito que muitos sistemas dinámicos zoubedécen a leis dinámicas para oubedecer a leis lineares que, na prática, tórnan l sou cumportamiento amprebisible. La teorie de ls caos ten relaçones streitas cula geometrie de ls fratales, cumo l cunjunto de Mandelbrot i de Mary, çcubierto por Lorenz, coincido pul Lorenz Attrator.

Un amportante campo na matemática aplicada ye la Statística, que permite la çcriçon, análeze i prebison de fenómenos aleatórios i ye ousada an todas las ciéncias. La análeze numérica ambestiga ls métodos para resolber numericamente i de forma eifeciente bários porblemas ousando cumputadores i lebando an cunta ls erros d'arredundamiento. La matemática çcreta ye l nome quemun para estes campos de la matemática úteles na ciéncia de ls cumputadores.

## Notaçon, lenguaige i rigor

L simblo de l anfinito **∞** an bárias formas.
L mais de la notaçon matemática que ye ousada ne ls dies d'hoije nun habie sido ambentada até l seclo XVI. Antes desso, ls matemáticos screbien todo an palabras, un porcesso trabalhoso que lemitaba las çcubiertas matemáticas. Ne l seclo XVIII, Euler foi repunsable por muitas de las notaçones ousadas hoije. La notaçon moderna deixou la matemática muito mais fácele pa ls porfissionales, mas ls percipiantes normalmente áchan esso zanimador. Esso ye fácele d'antender: alguns poucos simblos cunténen ua grande cuantidade d'anformaçon. Assi cumo la notaçon musical, la notaçon matemática moderna ten ua sintaxe strita i *encode* anformaçones que serien defíceles de screbir doutro modo.

La léngua matemática puode tamien ser defícele pa ls percipiantes. Palabras cumo *ou* i *solo* ténen segneficados muito mais percisos do que a fala de l die a die. Para alhá desso, palabras cumo *abierto* i *campo* ténen recebido un seneficado matemático specífico. La léngua matemática anclui termos técnicos cumo *houmeomorfismo* i *antegral*. Mas hai ua rezon pa la notaçon special i la léngua técnica : la matemática pide mais percison do que a fala de l die a die. Matemáticos fálan dessa percison de la lenguaige i lógica cumo *"rigor"*.

## Matemática cumo ciéncia

## Cunceitos i tópicos

### Cuantidades

L studo de cuantidades ampeça culs númaros, purmeiro ls familiares númaros naturales, depuis ls antegrales, i las ouparaçones aritméticas cun eilhes, que ye chamada de aritmética. Las propiadades de ls númaros antegrales son studadas na teorie de ls númaros, dentre eilhes l popular Redadeiro Teorema de Fermat. La teorie de ls númaros tamien anclui dous grandes porblemas que inda nun fúrun resolbidos : Cunjetura de ls primos gémeos i Cunjetura de Goldbach.

Cunsante l sistema de númaros fui sendo zambolbido, ls númaros antegrales fúrun cunsidrados cumo un subcunjunto de ls númaros racionales (fraçones). Esses, por sue beç, stan cuntenidos drento de ls númaros riales, que son ousados para repersentar quantidades cuntinas. Númaros riales son parte de ls númaros cumplexos. Esses son ls purmeiros passos de la hierarquie de ls númaros que cuntina a ancluir quaterniones i outoniones.

Cunsidraçones subre ls númaros naturales lebórun als númaros trasfenitos, que formalízan l cunceito de cuntar até al anfenito. Outra ária de studo ye l tamanho, que lebou als númaros cardinales i anton a outro cunceito d'anfenito: ls númaros Aleph, que premíten ua cumparaçon antre l tamanho de cunjuntos anfenitamente largos.

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_0  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_2  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_4  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_6  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_8  |
| Númaros Naturales | Númaros Anteiros | Númaros Racionales | Númaros Riales | Númaros Cumplexos |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_10  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_12  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_14  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_16  |
| Aritmética | Custante matemática | Númaro ourdinal | Númaro cardinal |

### Strutura

Muitos oubjetos matemáticos, cumo cunjuntos de númaros i funçones matemáticas, amóstran ua strutura anterna. Las porpiadades struturales desses oubjetos son ambestigadas atrabeç de l studo de grupos, anielhos, cuorpos i outros sistemas abstratos, que son eilhes mesmos oubjetos. Este ye l campo de la álgebra abstrata. Un cunceito amportante ye la noçon de betor, que se generaliza quando son studados ls spácios betoriales an álgebra linear. L studo de betores cumbina trés de las árias fundamentales de la matemática: quantidade, strutura i spácio.

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  |  |  |  |  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_18  |
| Teorie de númaros | Álgebra abstrata | Álgebra linear | Teorie de la orde | Teorie de grafos | Teorie d'oparadores |

### Spácio

L studo de l spácio apareciu cula geometrie - percipalmente, cula geometrie Ouclidiana. Trigonometrie cumbina l spácio i ls númaros, i cúnten l afamado teorema de pitágoras. L studo moderno de l spácio generaliza essas eideias para ancluir geometrie de dimensones maiores, geometrie nun-ouclidiana (que ten un papel central na relatebidade giral) i topologie. Quantidade i spácio juntos fázen la [[geometrie analítica, geometrie difrencial, i geometrie algébrica.

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  |  |  |  |  |
| Topologie | Geometrie | Trigonometrie | Geometrie difrencial | Geometrie fratal |

### Streformaçones

Antender i çcrebir ua streformaçon ye un tema quemun na ciéncia natural i cálculo fui zambolbido cumo ua ferramienta poderosa para ambestigar esso. Anton las funçones fúrun criadas, cumo un cunceito central para çcrebir ua quantidade que muda cul passar de l tiempo. L studo rigoroso de ls númaros riales i funçones riales son coincidos cumo análeze rial, i la análeze cumplexa eiquibalente als númaros cumplexo.

La heipótese de Riemann, ua de las mais fundamentales preguntas nun respundidas de la matemática, ye baseada na análeze cumplexa. Análeze funcional dá atençon ne l spácio de las funçones. Ua de las muitas aplicaçones de la análeze funcional ye la mecánica quántica. Muitos porblemas lebórun naturalmente a relaçones antre la quantidade i sue taxa de altaraçones, i esses porblemas son studados nas eiquaçones defrenciales. Muitos fenómenos de la natureza puoden ser çcritos puls sistemas dinámicos; la teorie de l caos çcribe cun precison ls modos cun que muitos sistemas amóstran un padron amprebisible, inda assi detreminístico.

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  |  |  |  |  |
| Cálculo | Cálculo betorial | Eiquaçon difrencial | Sistema dinámico | Teorie de l caos |

### Fundaçones i Métodos

Para aclariar las fundaçones de la matemática, campos cumo la matemática lógica i la teorie de ls cunjuntos fúrun zambolbidos, assi cumo la teorie de las catadories que inda stá an zambolbimiento.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_20  |  |  |
| Matemática lógica | Teorie de ls cunjuntos | Teorie de las catadories |  |

### Matemática Çcreta

Matemática çcreta ye l nome quemun pa l campo de la matemática mais giralmente ousado na teorie de la cumputaçon. Esso anclui la cumputablidade, cumplexidade cumputacional i teorie de la anformaçon. Cumputablidade eisamina las lemitaçones de ls bários modelos teóricos de l cumputador, ancluindo l mais poderoso modelo coincido - la máquina de Turing.

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_22  |  |  |  |  |
| Combinatória | Teorie de ls cunjuntos | Teorie de la cumputaçon | Critografie | Teorie de grafos |

### Matemática Aplicada

Matemática aplicada cunsidra la outelizaçon de ferramientas abstratas de matemática para resolber porblemas cuncretos na ciéncia, negócios i outras árias. Un amportante campo na matemática aplicada ye la statística, que usa la teorie de la probablidade cumo ua ferramienta i premite la çcriçon, análeze i prediçon de fenómenos adonde las heipóteses ténen un papel fundamental. Muitos studos de spurmentaçon, acumpanhamiento i ouserbaçon percísan de statísticas.

La Análeze numérica ambestiga métodos cumputacionales para resolber bien ua grande bariadade de porblemas matemáticos que son normalmente mui grandes pa la capacidade numérica houmana; esso anclui studos de erro d'arredundamiento ou outras fuontes d'erro na cumputaçon.

* Física matemática
* Mecánica de ls fluidos
* Análeze numérica
* Outimizaçon
* Teorie de la probablidade
* Statística
* Matemática financeira
* Teorie de ls jogos

## Biografies de Matemáticos

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Cantor | Cauchy | Descartes | Euler | Fermat | Gauss |
| Hilbert | Lagrange | Laplace | Newton | Pascal | Pitágoras | Russel |

## Bibliografie

* **Deblin, Keith**. (2003). *Matemática: a Ciência dos Padrões*. Editora Porto . ISBN 9720451335.
* **Boyer, Carl B.** (1996). *História da matemática*. 2ª Edição. São Paulo. Edgard Blücher ltda. ISBN 8521200234.
* **Courant, Richard; Robbins, Herbert**. (2000). *O que é a Matemática?*. Ciência Moderna. ISBN 8573930217.

## Refréncias

## Ligaçones Sternas

* Oulimpíadas Pertuesas de la Matemática