# Matematika

Il-kelma **Matematika** ġejja mill-Grieg μάθημα (*máthema*), li tfisser "tagħlim", jew "xjenza"; μαθηματικός (*mathematikós*) tfisser "wieħed li jrid jitgħallem".

Fid-dixxiplina tal-Matematika nistudjaw problemi dwar il-kwantità, estensjoni u figuri spazjali, moviment tal-korpi, u l-istrutturi kollha fejn nistgħu neżaminaw dawn l-aspetti b'mod ġenerali.

Il-**Matematika** għandha tradizzjoni qadima fil-ġnus kollha; kienet l-ewwel dixxiplina li adottat metodi rigorużi ħafna, u b'hekk laħqet l-istatus ta’ xjenza; progressivament il-metodi tagħha żviluppaw u nfirxu ma ħafna oqsma fejn jistgħu ikunu ta’ għajnuna fil-komputazzjoni u l-immudellar.

## Storja

*Biex tapprofondixxi, ara l-artiklu: Kronoloġija tal-matematika*.
 Din is-sezzjoni għadha vojta. Għinna biex niktbuha!
## Analisi Matematika

L-**analisi matematika** bdiet mill-formulazzjoni rigoruża tal-kalkulu infiniteżmali. Hija fergħa tal-matematika li tikkonċentra fuq l-ideja tal-limitu: il-limitu ta’ suċċessjoni jew il-limitu ta’ funzjoni. Tinkludi wkoll it-teoriji tad-differenzazzjoni, integrazzjoni u meżura, serji infiniti, u funzjonijiet analitiċi. L-istudju ta’ dawn it-teoriji ħafna drabi jsir fil-kuntest tan-numri reali, numri komplessi, u funzjonijiet reali u komplessi. Madankollu, nistgħu niddefinixxu u nistudjaw dawn it-teoriji f’kull spazju ta’ oġġetti matematiċi li fih hu possibbli li nagħtu definizzjoni ta’ "distanza" (spazju metriku) jew iżjed ġenerali ta’ "qrubija" (spazju topoloġiku).

### Għaliex l-Analisi Astratta?

 David Hilbert t.1862 m.1943
Għandna nistudjaw l-analisi matematika fil-kuntest iżjed wiesa' ta’ l-ispazji topologiċi jew spazji metriċi għal żewġ raġunijiet:

* l-ewwel, għax l-istess metodi bażiċi ħafna drabi japplikaw għal klassi ta’ problemi li hi ħafna usa’ (pereżempju, l-istudju ta’ spazji ta’ funzjonijiet).

* it-tieni, u mhux inqas importanti, għax meta nifhmu l-analisi fi spazji aktar astratti sikwit nsibu li nistgħu napplikawha direttament għal problemi klassiċi. Pereżempju, fl-analisi ta’ Fourier, nistgħu nesprimu kull funzjoni bħala ċerta serje infinita (ta’ funzjonijiet trigonometriċi jew esponenzjali komplessi). Fiżikament, b’din id-dekompożizzjoni nirriduċu mewġa (tal-ħoss) arbitrarja fil-frekwenzi li jikkomponuha. Il "piżijiet" jew koeffiċjenti tat-termini fl-espansjoni ta’ Fourier ta’ funzjoni, jistgħu jitqiesu bħala l-komponenti ta’ vettur fi spazju ta’ dimensjoni infinita li nsibuh bħala spazju ta’ Hilbert. Mela l-istudju tal-funzjonijiet definiti f’dil-qagħda iżjed ġenerali jipprovdi metodu konvenjenti għad-derivazzjoni ta’ riżultati fuq kif il-funzjonijiet ivarjaw fl-ispazju u mal-ħin, jew f’termini aktar matematiċi fuq l-ekwazzjonijiet differenzjali parzjali, fejn din it-teknika nafuha bħala separazzjoni tal-varjabbli.

### Storja tal-Analisi Matematika

Il-matematiċi Griegi bħal Ewdossu u Arkimede meta applikaw il-metodu ta’ l-eżawriment biex jikkalkulaw l-arja u l-volum ta’ xi reġjuni u solidi użaw il-kunċetti tal-limiti u l-konvergenza b’mod informali. Fl-Indja, il-matematiku tas-seklu 12, Bhaskara ġa kellu l-ideja tal-kalkulu differenzjali u ta eżempji tad-derivata, flimkien mal-propożizzjoni ta’ dik li nsejħulu llum it-Teorema ta’ Rolle.

Fis-seklu 14, l-analisi matematika bdiha Madhava ta’ Sangamagrama, meqjus bħala l-"fundatur ta’l-analisi matematika". Hu żviluppa idejat fundamentali: l-iżvilupp ta’ funzjoni f’serje infinita, serje ta’ potenzi, is-serje ta’ Taylor, u l-approssimazzjoni razzjonali ta’ serje infinita. Żviluppa wkoll is-serje ta’ Taylor għall-funzjonijiet trigonometriċi tas-senu, kosenu, tanġenti u arktanġenti, u stima l-iżbal li nagħmlu meta naqtgħu is-serje. Żviluppa l-frazzjonijiet kontinwati infiniti, l-integrazzjoni b’termini wara termini, l-approssimazzjoni b’serje ta’ Taylor tas-senu u kosenu, u s-serje f’potenzi tar-raġġ, diametru, ċirkonferenza, π, π/4 u l-anglu θ. Id-dixxipli tiegħu fl-iSkola ta’ Kerala baqgħu ikkabru x-xogħol tiegħu sas-seklu 16.

Gottfried Leibniz t.1646 m.1716
Fl-Ewropa, fit-tieni nofs tas-seklu 17, Newton u Leibniz independement minn xulxien żviluppaw il-kalkulu, li bl-istimulu ta’ l-applikazzjonijiet matul is-seklu 18 rabba ħafna friegħi bħall-kalkulu tal-varjazzjonijiet, l-ekwazzjonijiet differenzjali ordinarji u parzjali u l-analisi ta’ Fourier . F’dal-perijodu, il-metodi tal-kalkulu ġew applikati biex japprossimaw problemi diskreti b’oħrajn kontinwi.

Fis-seklu18, Euler introduċa il-kunċett ta’ funzjoni matematika. Fis-seklu19, Cauchy kien l-ewwel li stabbilixa l-kalkulu fuq pedament loġiku sod bl-introduzzjoni ta’ l-ideja tas-suċċessjoni ta’ Cauchy. Beda wkoll it-teorija formali ta’ l-analisi komplessa. Poisson, Liouville, Fourier u oħrajn studjaw l-ekwazzjonijiet differenzjali parzjali u l-analisi armonika.

F’nofs is-seklu Riemann introduċa t-teorija tiegħu tal-integrazzjoni. F’l-aħħar terz tas-seklu 19, Weierstrass li l-fehma tiegħu kienet li l-argumenti ġometriċi jistgħu iqarqu bina, daħħal l-aritmetizzazzjoni ta’ l-analisi u introduċa id-definizzjoni "epsilon-delta" tal-limitu. Wara, il-matematiċi bdew jinkwietaw li kienu qegħdin jassumu l-eżistenza tal-kontinwu tan-numri reali mingħajr prova. Dedekind imbagħad ta kostruzzjoni tan-numri reali bil-methodu tal-qtugħ ta’ Dedekind, li bih il-matematiċi jikkrejaw numri rrazzjonali li jimlew il-"vojt" bejn in-numri razzjonali, u hekk joħolqu sett komplet: il-kontinwu tan-numri reali. Madwar dak iż-żmien l-isforzi għar-raffinar tat-teoremi ta’ l-integrazzjoni ta’ Riemann wasslu għall-istudju tal-"qies" tas-sett tad-diskontinwitajiet tal-funzjonijiet reali.

Fl-istess ħin, bdew jinħolqu "mostri" (funzjonijiet mkien kontinwi, funzjonijiet kontinwi imma mkien differenzjabbli, kurvi li jimlew l-ispazju). F’dal-kuntest, Jordan żviluppa t-teorija tiegħu tal-meżura, Cantor żviluppa dik li daż-żmien insejħulha it-teorija sempliċi tas-settijiet, u Baire ipprova it-teorema tal-kategoriji ta’ Baire. Fil-bidu tas-seklu 20, il-kalkulu ġie formalizzat b’l-użu tat-teorija assjomatika tas-settijiet. Lebesgue irriżolva l-problema tal-miżura, u Hilbert introduċa l-ispazji ta’ Hilbert biex jirriżolvi l-ekwazzjonijiet integrali. L-ideja ta’ l-ispazji vettorjali normati kienet infirxet, u f’l-20ijiet tas-seklu Banach ħoloq l-analisi funzjonali.

### Oqsma ta' l-Analisi

L-Analsi Matematika tinkludi dawn l-oqsma:

* Analisi Reali, l-istudju rigoruż tad-derivati u l-integrali ta’ funzjonijiet b’varjabbli reali. Dan jinkludi l-istudju tas-suċċessjonijiet u l-limiti tagħhom, is-serji, u l-meżuri.
* Analisi Komplessa, l-istudju ta’ funzjonijiet mill-pjan kompless għall-pjan kompless li huma komplessament differenzjabbli.
* Analisi Funzjonali, l-istudju ta’ spazji ta’ funzjonijiet b’l-użu ta’ kunċetti bħal spazji ta’ Banach u spazji ta’ Hilbert.
* Analisi Armonika l-istudju tas-serji ta' Fourier u l-astrazzjonijiet tagħhom..
* Ġometrija Differenzjali u Topoloġija, l-applicazzjoni tal-kalkulu għal spazji matematiċi astratti li għandhom struttura interna komplikata.
* Analisi Numerika, l-istudju ta’ l-algoritmi użati għall-approssimazzjoni ta’ problemi tal-matematika kontinwa.

Il-kelma **Analisi Klassika** s-soltu tfisser analisi mingħajr l-użu tal-metodi tal-analisi funzjonali. L-istudju tal-ekwazzjonijiet differenzjali issa huwa mferrex ma friegħi oħra bħas-sistemi dinamiċi, imma ġħadu mportanti ħafna fl-analisi konvenzjonali.

## Alġebra

L-**alġebra** hi waħda mill-friegħi prinċipali tal-matematika u titratta l-istudju ta’ strutturi alġebrin, relazzjonijiet u kwantità.

Il-kelma alġebra (mill-Għarbi الجبر, *al-ġabr* li tfisser "ġabra") ġejja mill-isem tal-ktieb tal-matematiku Persjan Għarbi Muħammad ibn Musa al-Khwariżmi, intitolat *Al-Kitab al-Ġabr wa-l-Muqabala* ("Il-Ktieb tal-Ġabra u t-Tqabbil"), li jittratta ir-riżoluzzjoni tal-ekwazzjonijiet linjari u kwadratiċi.

L-alġebra elementari li normalment tifforma parti mill-kurrikulu ta’ l-iskejjel sekondarji, tintroduċi l-ideja ta’ simboli jew varjabbli li jirrepreżentaw kwantitajiet mhux magħrufa. Nitgħalmu wkoll kif ngħoddu u nimmoltiplikaw dawn il varjabbli, fuq il-polinomji mibnija minnhom u l-fattorizzazzjoni u l-kalkulazzjoni tar-radiċi.
Però, l-alġebra hi ħafn’ usa’ minn hekk. L-għadd u l-moltiplikazzjoni nistgħu nqisuhom bħala operazzjoniet ġenerali u d-definizzjoni eżatta tagħhom twassalna għal strutturi ġodda bħal gruppi, ċrieki u kampi.

### Klassifikazzjoni

 Din is-sezzjoni għadha vojta. Għinna biex niktbuha!
### L-Alġebra Elementari

L-**Alġebra elementari** hija l-forma l-iżjed bażika ta’ l-alġebra. Jitgħalmuha l-istudenti li m’għandhomx tgħalim tal-mathematika iżjed avvanzat mill-prinċipji bażiċi ta’ l-aritmetika. Fl-aritmetika, nsibu biss in-numri u l-operazzjonijiet aritmetiċi fuqhom (bħal +, −, ×, ÷). Fl-alġebra, in-numri spiss nirripreżentawhom bis-simboli (bħal *a*, *x*, *y*). Din ir-repreżentazzjoni għandha dawn il-vantaġġi:

* Biha nistgħu nagħtu formulazzjoni ġenerali tar-regoli aritmetiċi (pereżempju *a* + *b* = *b* + *a* għal kull *a* u *b*), u hekk nistgħu nagħmlu l-ewwel pass fl-esplorazzjoni sistematika tal-propjetajiet tas-sistema tan-numri reali.
* Biha nistgħu nirreferu għan-numri "mhux magħrufin", nifformulaw ekwazzjonijiet u nistudjaw kif nirriżolvuhom (pereżempju, "Sib numru *x* sabiex 3*x* + 1 = 10").
* Biha nistgħu nagħmlu formulazzjoni ta’ relazzjonijiet funzjonali (bħal "Jekk tbigħ *x* biljetti, jkollok qligħ ta’ 3*x* - 10 ewri, jew *f*(*x*) = 3*x* - 10, fejn *f* hija l-funzjoni u *x* huwa n-numru li taġixxi fuqu l-funzjoni .").

### X'inhi l-Alġebra Astratta

L-'*alġebra astratta’* testendi il-kunċetti li nsibu fl-alġebra elementari għal oħrajn iżjed ġenerali.

**Settijiet**: Minnflok nikkunsidraw biss it-tipi ta’ numri differenti, fl-alġebra astratta nqisu il-kunċett iżjed ġenerali ta’ *sett* li hu ġabra ta’ oġġetti (li jgħidulhom elementi) li għandhom ċerta propjetà speċifika għas-sett. Pereżempju in-numri reali jiffurmaw sett u n-numri komplessi sett ieħor. Eżempji oħra ta’ settijiet jinkludu is-sett tal-matriċi ta’ tnejn-bi-tnejn, is-sett tal-polinomji tat-tieni ordni (*ax*2 + *bx* + *c*), is-sett tal-vetturi bi-dimensjonali, u gruppi finiti varji bħall-gruppi ċikliċi, jiġifieri l-gruppi tan-numri interi modulo *n*. It-Teorija tas-settijiet hija fergħa tal-loġika u teknikament mhux fergħa ta’ l-alġebra.

**Operazzjonijiet binarji**: L-ideja ta’ l-għadd (+) nistgħu nagħmluha iżjed astratta biex ittina *operazzjoni binarja*, \* ngħidu aħna. Il-kunċett ta’ operazzjoni binarja ma jfisser xejn jekk ma nagħtux is-sett li fuqu qed niddefinixxu l-operazzjoni. Għal żewġ elementi *a* u *b* f’sett *S* *a*\**b* ittina element ieħor fis-sett, (dil-kundizzjoni ngħidulha għeluq taħt l-operazzjoni). L-Għad (+), it-Tnaqqis (-), il-moltiplikazzjoni (×), u d-diviżjoni (÷) huma operazzjonijiet binarji meta niddefinuhom fuq settijiet addattati, kif ukoll l-għadd u l-moltiplikazzjoni tal-matriċi, vetturi u polinomji.

**Elementi ta’ l-identità**: Il-kunċett ta’ l-“element ta’ l-identità” huwa l-astrazzjoni tan-numri żero u wieħed. Żero huwa l-element ta’ l-identità għall-għadd and u wieħed l-element ta’ l-identità għall-moltiplikazzjoni. Għal operazzjoni binarja ġenerali \* l-element ta’ l-identità *e* irid jissodisfa *a* \* *e* = *a* u *e* \* *a* = *a*. Għall-għadd din hi sodisfatta billi *a* + 0 = *a* u 0 + *a* = *a* u għall-moltiplikazzjini wkoll għax *a* × 1 = *a* u 1 × *a* = *a*. Imma, jekk nieħdu in-numri naturali pożitivi u l-operazzjoni ta’ l-għadd, m’hemmx element ta’ l-identità.

**Elementi inversi**: Minn-numri negattivi noħolqu l-kunċett ta’ *element invers* jew sempliċiment l-*invers*. Għall-għadd, l-invers ta’ *a* huwa *-a*, u għall-moltiplikazzjoni l-invers hu 1/*a*. L-element invers ġenerali *a*-1 jrid jissodifa r-relazzjoni *a* \* *a*-1 = *e* u *a*-1 \* *a* = *e*.

**Assoċjattività**: L-għadd tan-numri interi għandu propjetà li nsejħulha assoċjattività. Jiġifieri, l-kumbinazzjoni tan-numri li nkunu qed nogħdu ma tbiddilx is-somma tagħhom. Pereżempju: (2+3)+4=2+(3+4). Fil-kuntest generali, din issir (*a* \* *b*) \* *c* = *a* \* (*b* \* *c*). Il-biċċa kbira ta’ l-operazzjonijiet binarji għandhom din il-propjetà imma t-tnaqqis u d-diviżjoni le.

**Kommutattività**: L-għadd tan-numri interi għandu wkoll propjetà oħra li ngħidulha kommutattività. Jiġifieri, l-ordni tan-numri li nkunu qed nogħdu ma tbiddilx is-somma tagħhom. Pereżempju: 2+3=3+2. Fil-kuntest generali, din issir *a* \* *b* = *b* \* *a*. Mhux l-operazzjonijiet binarji kollha għandhom din il-propjetà. L-għadd u l-moltiplikazzjoni tan-numri interi għandhom din il-propjetà imma l-moltiplikazzjoni tal-matriċi le.

#### Gruppi—strutturi ta’ sett b’operazzjoni binarja waħda

Meta niġbru flimkien il-kunċetti li rajna qabel, ikollna waħda mill-iżjed strutturi mportanti fil-matematika: il- **grupp**. Grupp jikkonsisti f’sett *S* u operazzjoni waħda li rridu, li niktbuha '\*', imma li jrid ikolla dawn il-propjetajiet:

* Irid ikun hemm element ta’ l-identità *e*, li għal kull membru ieħor *a* ta’ *S*, *e* \* *a* u *a* \* *e* huma t-tnejn ugwali għal *a*.
* Kull element irid ikollu invers: għal kull membru ieħor *a* ta’ *S*, irid jeżisti membru *a*-1 sabiex *a* \* *a*-1 u *a*-1 \* *a* huma t-tnejn ugwali għall-element ta’ l-identità.
* L-operazzjoni hi assoċjattiva: għal *a*, *b* u *c* membri ta’ *S*, (*a* \* *b*) \* *c* hija ugwali għal *a* \* (*b* \* *c*).

Jekk grupp hu anki kommutattiv - jiġifieri, għal kull żewg membri *a* u *b* ta’ *S*, *a* \* *b* hija ugwali għal *b* \* *a* – il-grupp ngħidu li hu Abeljan.

Pereżempju, is-sett tan-numri interi bl-operazzjoni ta’ l-għadd huwa grupp. F’dal grupp, l-identità hija 0 u l-invers ta’ kull element *a* huwa n-negativ tiegħu, -*a*. Il-kundizzjoni ta’ assoċjattività hi sodisfatta, għax għal kull tliet numri interi *a*, *b* u *c*, (*a* + *b*) + *c* = *a* + (*b* + *c*).

Imma l-interi bl-operazzjoni tal-moltiplikazzjoni ma jiffurmawx grupp. Dan jiġri għax, in ġenerali, l-invers moltiplikattiv ta’ numru interu mhuwiex interu. Pereżempju, 4 huwa interu, imma l-invers moltiplikattiv tiegħu hu 1/4, li mhux interu.

L-istudju tal-gruppi jsir fit-teorija tal-gruppi. Wieħed mir-riżultati l-iżjed importanti f’din it-teorija kien il-klassifikazzjoni tal-gruppi finiti sempliċi li l-ikbar parti tagħha ġiet ippublikata bejn xi l-1955 u l-1983. Din tqassam il-gruppi sempliċi finiti f’xi 30 tip bażiku.

|  |
| --- |
| **Eżempji** (MA = Mhux Applikabbli, bż = bla żero) |
| Sett: | Numri naturali WIKINIUM\_MATH\_PH\_0  | Numri interi WIKINIUM\_MATH\_PH\_2  | Numri razzjonali WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 , Numri reali WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 u Numri komplessi WIKINIUM\_MATH\_PH\_8  | Interi mod 3: {0,1,2} |
| Operazzjoni | + | × (bż) | + | × (bż) | + | − | × (bż) | ÷ (bż) | + | × (bż) |
| Magħluq | Iva | Iva | Iva | Iva | Iva | Iva | Iva | Iva | Iva | Iva |
| Identità | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | MA | 1 | MA | 0 | 1 |
| Invers | MA | MA | -a | MA | -a | a |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_10  | a | 0,2,1, respettivament | MA, 1, 2, respettivament |
| Assoċjattiv | Iva | Iva | Iva | Iva | Iva | Le | Iva | Le | Iva | Iva |
| Kommutativ | Iva | Iva | Iva | Iva | Iva | Le | Iva | Le | Iva | Iva |
| Struttura | monoid | monoid | grupp Abeljan | monoid | grupp Abeljan | kważigrupp | grupp Abeljan | kważigrupp | grupp Abeljan | grupp Abeljan ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 ) |

Semigruppi, kważigruppi, u monoidi huma strutturi simili għall-gruppi, imma iżjed ġenerali. Jikkonsistu f’sett u operazzjoni binarja magħluqa, imma ma jissodisfawx il-kondizzjonijiet l-oħra neċessarjament. Semigrupp għandu operazzjoni binarja *assoċjattiva*, imma jista’ jkun li m’għandux element ta’ l-identità. Monoid huwa semigrupp li għandu identità imma jista’ jkun li m’għandux invers għal kull element. Kważigrupp għandu l-propjetà li kull element jista’ jinbidel f’kull ieħor bi pre- jew post-operazzjoni unika; imma l-operazzjoni binarja jista’ jkun li mhux assoċjattiva.

Il-gruppi kollha huma monoidi, u l-monoidi kollha huma semigruppi.

#### Ċrieki u Kampi—strutturi ta’ sett b’żewġ operazzjonijiet binarji, (+) u (×)

Il-gruppi għandhom operazzjoni binarja waħda biss. Biex nispjegaw il-mekkaniżmu tat-tipi ta’ numri differenti kompletament, hemm bżonn li nistudjaw strutturi b’żewġ operazzjonijiet. L-iżjed importanti fost dawn huma ċ-Ċrieki, u l-Kampi.

Id-**Distributtività** tiġġeneralizza l-*liġi distributtiva* tan-numri u tiffissa f’liema ordni għandna napplikaw l-operazzjonijiet, (ngħidulha l-preċedenza). Għall-interi (*a* + *b*) × c = *a*×*c*+ *b*×*c* u *c* × (*a* + *b*) = *c*×*a* + *c*×*b*, u ngħidu li × hija  *distributtiva*  fuq +.

**Ċirku** għandu żewġ operazzjonijiet (+) u (×), fejn × hu distributtiv fuq +. Taħt l-ewwel operazzjoni (+) jifforma *grupp Abeljan*. Taħt it-tieni operazzjoni (×) hu assoċjattiv, imma m’hemmx bżonn ta' identità jew ta' invers, u allura ma nistgħux niddividu. L-element ta’ l-identità ta’ l-għadd (+) niktbuha bħala 0 u l-inverse ta’ l-għadd ta’ *a* jinkiteb -*a*.

In-numri interi huma eżempju ta’ ċirku.

**Kamp** hu *ċirku* b’propjetà oħra miżjuda li l-elementi kollha barra 0 jiffurmaw *grupp Abeljan* taħt ×. L-identità moltiplikattiva (×) niktbuha bħala 1 u l-invers moltiplikattiv ta’ *a* jinkiteb *a*-1.

In-numri razzjonali, in-numri reali u n-numri komplessi huma kollha eżempji ta’ kampi.

### Alġebriet

Il-kelma alġebra nużawha wkoll għal xi strutturi alġebrin:

* Alġebra fuq kamp
* Alġebra fuq sett
* Alġebra Boolejana
* F-alġebra u F-koalġebra fit-teorija tal-kategoriji
* Sigma-alġebra

### Storja ta' l-alġebra

L-alġebra nistgħu nsibu l-oriġini tagħha fil-Babilonja antika. Il-Babilonjani żviluppaw sistema aritmetiku avvanzat li bih setgħu jagħmlu kalkulazzjonijiet b’metodu alġebri. Permezz ta’ dan is-sistema, setgħu japplikaw formoli u jikkalkulaw valuri mhux magħrufa għal klassi ta’ problemi li daż-żmien nirriżolvuhom bl-użu ta’ ekwazzjonijiet linjari, ekwazzjonijiet kwadratiċi u ekwazzjonijiet linjari indeterminati. Għall-kontrarju, il-biċċa kbira tal-matematiċi Eġizzjani ta’ dak iż-żmien, u l-biċċa kbira tal-matematiċi Indjani, Griegi u Ċiniżi f’l-ewwel millennju QK, is-soltu kienu jirriżolvu dawn il-problemi b’metodi ġometriċi, bħal dawk imfissra fil-*Papiru Matematiku ta’ Rhind*, *Sulba Sutras*, *L-Elementi ta’ Ewklidi*, u *Id-Disgħa Kapitli fuq’ l-Arti Matematika*. Ix-xogħol ġometriku tal-Griegi, li l-Elementi huwa eżempju tajjeb ħafna tiegħu, ipprovda s-sisien għall-ġeneralizzazzjoni tal-formuli mis-soluzzjoni ta’ problemi partikulari għal sistemi iżjed ġenerali li jistgħu jintużaw għall-formulazzjoni u s-soluzzjoni tal-ekwazzjonijiet.

L-ewwel paġna tal-ktieb ta' al-Khwariżmi
Il-kelma "*alġebra*" ġejja mill-Għarbi "*al-ġabr*" fit-titlu tal-ktieb "*al-Kitab al-muhtasar fi ħisab al-ġabr wa-l-muqabala*", li jfisser *Il-ktieb fil-qosor fi ħsib il-ġbir u tqassim*. Dan kitbu il-matematiku Persjan Muħammad ibn Musa al-Khwariżmi (Għarbi: محمد بن موسى الخوارزميّ المجوسيّ القطربّليّ) fit-820. Il-matematiku Grieg Diofantu (Grieg: Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς t. bejn 200 u 214, m. bejn 284 u 298 AD) hu tradizzjonalment magħruf bħala “missier l-alġebra” imma hemm argument jekk Al-Khwariżmi għandux joħodlu dan it-titlu. Dawk li jżommu ma Al-Khwariżmi jsossnu li ħafna mix-xogħol tiegħu fuq “il-ġbir” jew riduzzjoni għadu użat sa llum u li hu ta spjegazzjoni kompleta fuq is-soluzzjoni ta’ l-ekwazzjonijiet kwadratiċi. Dawk li jżommu ma Diofantu jgħidu li l-alġebra li nsibu f’*Al-Ġabr* hi iżjed elementari mill-alġebra fl- *Aritmetika* ta’ Diofantu u li l-*Aritmetika* hi miktuba fi stil sinkopat waqt li *Al-Ġabr* hi kollha fi stil retoriku. Matematiku Persjan ieħor, Omar Khajjam (Persjan: غیاث الدین ابو الفتح عمر بن ابراهیم خیام نیشابوری t. 18 ta’ Mejju, 1048, m. 4 ta’ Diċembru, 1131), żviluppa l-ġometrija alġebrija u sab soluzzjoni ġenerali ġometrika ta’ l-ekwazzjonijiet kubiċi. Il-matematiċi Indjani Maħavira u Baskara II, u l-matematiku Ċiniż Żu Xiġje, irriżolvew xi każi ta’ ekwazzjonijiet kubiċi, kwartiċi, kwintiċi u polinomjali ta’ ordni ogħla.

F’nofs is-seklu 16 kien hemm żvilupp importanti ieħor ta' l-alġebra. Dan kien is-soluzzjoni alġebrija ġenerali tal-ekwazzjonijiet kubiċi u kwartiċi. L-ideja ta’ determinant żviluppha l-matematiku Ġappuniż Kowa Seki fis-seklu 17, u għaxar snin wara Gottfried Leibniz uża d-determinanti biex jirriżolvi sistemi ta’ ekwazzjonijiet linjari simultanji premezz tal-matriċi. Fis-seklu 18, Gabriel Cramer ukoll ħadem fuq il-matriċi u d-determinanti. L-iżvilupp ta’ l-Alġebra astratta sar fis-seklu 19. Fil-bidu dan ix-xogħol ikkonċentra fuq li daż-żmien insejħulha it-teorija ta’ Galois u fuq kwistjonijiet tal-kostruttibbiltà.

L-istadji ta’ l-iżvilupp ta’ l-alġebra simbolika kienu bejn wieħed u ieħor dawn:

* Alġebra retorika, li żviluppawha l-Babilonjani u baqet dominanti sas-seklu 16;
* Alġebra ġometrika kostruttiva, li tawha ħafna mportanza il-matematiċi Indjani u l-matematiċi klassiċi Griegi;
* Alġebra sinkopata, li kienet żviluppata minn Diofantu u fil-*Manuskritt Bakxali*;
* Alġebra simbolika, li laħqet il-quċċata fix-xogħol ta’ Leibniz.

Kronoloġija ta’ żviluppi kritiċi fl-alġebra:

* Ċirka 1800 QK: Fit-tavletta ta’ Strassburg il-Babilonjani jfittxu s-soluzzjoni ta’ ekwazzjoni ellittika kwadratika.
* Ċirka 1600 QK: It-tavletta ta’ *Plimpton 322* tagħti tavola ta’ trippli Pitagoriċi fi skritt Kuneiformi Babilonjan
* Ċirka 800 QK: Il-matematiku Indjan Bawdajana, fix-xogħol tiegħu *Sulba Sutra*, jiskopri trippli Pitagoriċi b’metodi alġebrin, jsib soluzzjonijiet ġometriċi ta’ ekwazzjonijiet linjari u ekwazzjonijiet kwadratiċi tal-forma ax2 = c u ax2 + bx = c, u jsib żewġ settijiet ta’ soluzzjonijiet integrali pożittivi għal sett ta’ ekwazzjonijiet simultanji Diofantini.
* Ċirka 600 QK: Il-matematiku Indjan Apastamba, fix-xogħol tiegħu *Apastamba Sulba Sutra*, jirriżolvi l-ekwazzjoni linjari ġenerali u juża ekwazzjonijiet simultanji Diofantini b’sa ħames kwantitajiet mhux magħrufa.
* Ċirka 300 QK: Fit-tieni ktieb ta’ l-Elementi, Ewklidi jagħti kostruzzjoni ġometrika b’metodi Ewklidej għas-soluzzjoni ta’ l-ekwazzjoni kwadratika għal radiċi posittivi reali. Il-kostruzzjoni hi dovuta għall-iSkola Pitagorika tal-ġometrija.
* Ċirka 300 QK: Titfittex kostruzzjoni ġometrika għas-soluzzjoni ta’ l-ekwazzjoni kubika. Issa nafu li bil-metodi Ewklidej ma nistgħux insibu soluzzjoni għall-ekwazzjoni kubika ġenerali.
* Ċirka 100 QK: Il-ktieb tal-matematika Ċiniż *Ġjużang Suwanxu* (*Id-Disgħa Kapitli fuq l-Arti Matematika*), jittratta Ekwazzjonijiet alġebrin. Dal-ktieb fih soluzzjonijiet ta’ ekwazzjonijiet linjari bl-użu tar-regola tal-pożizzjoni falza doppja, soluzzjonijiet gometriċi ta’ ekwazzjonijiet kwadratiċi, u soluzzjonijiet ta’ matriċi, ekwivalenti għall-metodi moderni, għas-soluzzjoni tas-sistemi ta’ ekwazzjonijiet linjari simultanji.
* Ċirka 100 QK: Il-*Manuskritt ta’ Bakxali*, miktub fl-Indja, juża forma ta’ notazzjoni alġebrija bl-ittri u sinjali oħra, u fih ekwazzjonijiet kubiċi u kwartiċi, soluzzjonijiet alġebrin ta’ ekwazzjonijiet linjari b’sa ħames kwantitajiet mhux magħrufa, il-formula alġebrija ġenerali għall-ekwazzjoni kwadratiċi, u soluzzjonijiet ta’ ekwazzjonijiet kwadratiċi indeterminati u ekwazzjonijiet simultanji.

 Paġna titulari ta’ l-edizzjoni ta’ 1621 ta’ l-*Arithmetica* ta’ Diofantu, maqluba għall-Latin minn de Méziriac
* Ċirka 150 AD: Il-matematiku Eġizzjan Ellenistiku Eroni ta’ Lixandra, jittratta l-ekwazzjonijiet alġebrin fi tliet volumi tal-matematika.
* Ċirka 200: Il-matematiku Babilonjan Ellenistiku, Diofantu li għex fl-Eġittu u li ħafna jikkunsidrawh bħala "missier l-alġebra", jikteb l-opra famuża tiegħu, l-*Aritmetika*, li fiha soluzzjonijiet ta’ ekwazzjonijiet alġebrin u xogħol fuq it-teorija tan-numri.
* 499: Il-matematiku Indjan Arjabata, fit-trattat tiegħu *Arjabatija*, jsib soluzzjonijiet interi għal xi ekwazzjonijiet linjari b’metodu ekwivalenti għal dak li nużaw illum, jiddeskrivi s-soluzzjoni integrali ġenerali ta’ l-ekwazzjoni linjari indeterminata u jagħti soluzzjonijiet integrali ta’ xi ekwazzjonijiet linjari simultanji indeterminati.
* Ċirka 625: Il-matematiku Ċiniż, Wang Ksijaotong, jsib soluzzjonijiet numeriċi ta’ ekwazzjonijiet kubiċi.
* 628: Il-matematiku Indjan, Brahmagupta, fit-trattat tiegħu *Brahma Sputa Siddhanta*, jivvinta l-metodu *ċakravala* għas-soluzzjoni ta’ xi ekwazzjonijiet kwadratiċi simultanji indeterminati, fosthom l-ekwazzjoni ta’ Pell, u jagħti regoli għas-soluzzjoni ta’ l-ekwazzjonijiet linjari u kwadratiċi.
* 820: Il-matematiku Persjan, Muhammad ibn Musa al-Khwariżmi, jikteb it-trattat intitolat *Al-Kitab al-Ġabr wa-l-Muqabala* (li tfisser "Il-Ktieb tal-ġbir u t-tqabbil") fuq is-soluzzjoni sistematika ta’ l-ekwazzjonijiet linjari u kwadratiċi. Il-kelma *alġebra* ġejja minn *al-Ġabr* fit-titlu ta’ dal-ktieb. Al-Khwariżmi hu kkunsidrat minn bosta bħala "missier l-alġebra" u ħafna mill-metodi tiegħu ta’ riduzzjoni jew ‘’ġbir’’ għadna nużawhom fl-alġebra sa llum.
* Ċirka 850: Il-matematiku Persjan, al-Maħani, jaħseb fl-ideja ta’ riduzzjoni ta’ problemi ġometriċi, bħad-duplikazzjoni tal-kubu, għal problemi fl-alġebra.
* Ċirka 850 Il-matematiku, Mahavira, jirriżolvi bosta ekwazzjonijiet kwadratiċi, kubiċi, kwartiċi, kwintiċi u ta’ ordni ogħla kif ukoll xi ekwazzjonijiet indeterminati. kwadratiċi, kubiċi u ta’ ordni ogħla.
* Ċirka 990: Il-Persjan Abu Bakr al-Karaġi, fit-trattat tiegħu *al-Fakhri*, jiżviluppa l-alġebra iżjed billi jestendi l-metodoloġija ta’ Al-Khwariżmi biex tinkludi poteri integrali u radiċi integrali ta’ kwantitajiet mhux magħrufa. Jissostwixxi l-operazzjonijiet gometriċi ta’ l-alġebra b’operazzjonijiet aritmetiċi moderni, u jiddefinixxi il-monomjali x, x2, x3, ... u 1/x, 1/x2, 1/x3, ... u jagħti l-prodott ta’ kull par minn dawn.
* Ċirka 1050: Il-matematiku Ċiniż, Ġija Ksijan, jsib soluzzjonijiet numeriċi ta’ ekwazzjonijiet polinomjali.
* 1072: Il-matematiku Persjan, Omar Khajjam, jiżviluppa l-ġometrija alġebrija, u fit-*Trattat fuq Dimostrazzjoni ta’ Problemi fl-Alġebra*, jagħti klassifikazzjoni ta’ ekwazzjonijiet kubiċi permezz ta’soluzzjonijiet ġometriċi ġenerali misjuba bis-sezzjonijiet koniċi ntlaqqin.
* 1114: Il-matematiku Indjan, Bhaskara, fil- *Biġaganita* (*Alġebra*), jinduna li numru pożittiv għandu radiċi kwadrata pożittiva u oħra negattiva, u jirriżolvi bosta ekwazzjonijiet kubiċi, kwartiċi, kwintiċi u ta’ ordni polinomjali, kif ukoll l-ekwazzjoni kwadratika ġenerali indeterminata.
* 1202: L-alġebra tidħol l-Ewropa l-iktar imħabba x-xogħol ta’ Leonardo Fibonacci ta’ Pisa fil-ktieb tiegħu *Liber Abaci*.
* Ċirka 1300: Il-matematiku Ċiniż, Żhu Xiġje, jittratta l-alġebra polinomjali, jirriżolvi ekwazzjonijiet kwadratiċi, ekwazzjonijiet simultanji u ekwazzjonijiet b’sa erbgħa kwantitajiet mhux magħrufa, u jirriżolvi numerikament xi ekwazzjonijiet kwartiċi, kwintiċi u polinomjali ta’ ordni ogħla.

 Évariste Galois t.1811 m.1832
* Ċirka 1400: Il-matematiku Indjan, Madhava ta’ Sangamagramma, jiskopri metodi iterattivi għas-soluzzjoni approssima ta’ ekwazzjonijiet mhux linjari.
* 1535: Nicolo Fontana Tartaglia u matematiċi oħra fl-Italja independentement jirriżolvu l-ekwazzjoni kubika ġenerali.
* 1545: Girolamo Cardano jippublika *Ars magna* (*L-Arti l-Kbira*) fejn jagħti s-soluzzjoni ta’ Fontana għall-ekwazzjoni kwartika ġenerali.
* 1572: Rafael Bombelli jsib ir-radiċi komplessa tal-kubiku u jtejjeb in-notazzjoni kurrenti.
* 1591: François Viète jiżviluppa u jtejjeb in-notazzjoni simbolika għall-poteri fil-ktieb *In artem analyticam isagoge*.
* 1682: Gottfried Wilhelm Leibniz jiżviluppa l-manipulazzjoni simbolika b’regoli formali li jgħidilhom *characteristica generalis*.
* 1680s: Il-matematiku Ġappuniż, Kowa Seki, fil-*Metodu għas-soluzzjoni ta’ problemi dissimulati*, jiskopri d-determinant u n-numri ta’ Bernoulli.
* 1750: Gabriel Cramer, fit-trattat tiegħu *Introduzzjoni għall-analisi ta’ kurvi alġebrin*, jipproponi r-regola ta’ Cramer u jistudja l-kurvi alġebrin, il-matriċi u d-determinanti.
* 1824: Niels Henrik Abel jipprova li ma nistgħux nirriżolvu l-ekwazzjoni kwintika ġenerali bir-radiċi.
* 1832: It-teorija ta’ Galois jiżviluppha Évariste Galois fix-xogħol tiegħu fuq l-alġebra astratta.

Portal tal-Matematika