# Relattività ristretta

Ir-**relattività ristretta** hi teorija formali li żviluppa Albert Einstein fl-1905. L-għan ta' Einstein kien li joħroġ il-konsegwenzi fiżiċi kollha tar-relattività Galilejana u tal-fatt li l-veloċità tad-dawl fil-vojt għandha l-istess valur fis-sistemi ta' riferiment inerzjali kollha. Dan il-fatt irriżulta mill-ekwazzjonijiet ta' Maxwell imma sa dak iż-żmien kien spjegat b'mod differenti bl-użu tal-"ispazju assolut" ta' Newton u tal-"eter".

Ir-relattività Galilejana tgħìd, fil-lingwaġġ modern, li kull ma jiġri f'sistema ta' riferiment inerzjali waħda jiġri b'mod perfettament identiku f'kull sistema ta' riferiment inerzjali oħra. Dan il-prinċipju, li sar jissejjaħ "il-prinċipju tar-relattività", Einstein wessgħu biex jinkludi sistemi ta' riferiment li mhumiex inerzjali: minn "ristretta" ir-relattività saret "ġenerali".

It-teorija tar-relattività ristretta stabilixxit formoli ġodda li jħalluna ngħaddu minn sistema ta' riferiment Galilejana għal oħra. L-ekwazzjonijiet korrispondenti jwasslu għal fenomeni li jidhru qishom kontra s-sens komun bħall-"paradoss taż-żewġ tewmin".

Ir-relattività ristretta għamlet ukoll impatt kbir fuq il-filosofija billi neħħiet kull possibbiltà li jeżistu ħin u spazju assolut fl-univers. Wara l-argumenti ta' Henri Poincaré, il-filosfi bilfors kellhom jibdew jaħsbu b'mod differenti fuq il-kwistjoni tal-ħin u l-ispazju.

## Oriġni tat-teorija

### Storja fil-qosor

Fl-aħħar tas-seklu 19, James Clerk Maxwell stabbilixxa l-ekwazzjonijiet li jiggvernaw l-imġiba tal-mewġ elettromanjetiku, fosthom il-mewġ tad-dawl. Skont din it-teorija, il-veloċità tad-dawl ma tistax tiddependi mill-proprjetajiet elettriċi u manjetiċi tal-ambjent u lanqas mill-veloċità tal-punt ta' riferiment tal-kejl. Dan qajjem problema billi fil-mekkanika Newtonjana il-veloċitajiet jingħaddu (biex ngħidu l-affarijiet fil-qosor). Jekk minn ajruplan li miexi b'veloċità ta' 7 km/s relattiva mal-Art, jisparaw bomba 'l quddiem b'veloċità ta' 1 km/s relattiva mal-ajruplan, il-veloċità tal-bomba relattiva mal-Art tkun ta' 8 km/s. Jekk il-bomba jisparawha lura, il-veloċità tagħha tkun ta' 6 km/s.

L-ekwazzjonijiet ta' Maxwell, għall-kuntrarju, jgħidu li jekk nimmiraw raġġ dawl mill-ajruplan 'l quddiem jew lura, il-veloċità tad-dawl imkejla fuq id-dinja tkun l-istess. Michelson u Morley għamlu esperiment fejn id-dinja għamlitha ta' ajruplan. Billi l-pjaneta tagħna ddur madwar ix-xemx b'veloċità ta' 30 km/s, riedu jaraw jekk hemmx xhieda ta' xi differenza bejn il-veloċitajiet tad-dawl meta jkun fid-direzzjoni tal-moviment tad-dinja jew kontra. Ma sabu l-ebda differenza u allura dan l-esperiment ikkonferma l-validità tal-ekwazzjonijiet ta' Maxwell.

Lorentz stabbilixxa formoli ta' trasformazzjoni biex ngħaddu minn osservatur għall-ieħor; dawn jirrigwardaw l-ekwazzjoniet ta' kompatibbiltà li t-tifsira tagħhom ma kinitx ċara. L-ispjegazzjoni li ħarġet biex dawn il-formoli strambi jiġu ġustifikati kienet din: l-eter, l-ambjent li qabel kien maħsub meħtieġ għall-propagazzjoni tal-mewġ tad-dawl bħalma l-arja hi meħtieġa għall-propagazzjoni tal-mewġ tal-ħoss, għandhom proprjetajiet elastiċi li jwasslu għal dawn l-ekwazzjonijiet. Poincaré ippubblika xi artikli fuq it-teorija qabel Einstein.

Fl-1905, fl-artiklu tiegħu *Fuq l-elettrodinamika tal-korpi fil-moviment*, Albert Einstein ippreżenta r-relattività kif ġej:

* L-eter hi kunċett arbitrarju li mhux utli għall-espressjoni tat-teorija tar-relattività.
* Il-veloċità tad-dawl relattiva mal-osservaturi ma tiddependix mill-veloċità tagħhom.
* Il-liġijiet tal-fiżika jirrispettaw il-prinċipju tar-relattività.

L-ekwazzjonijiet ta' Lorentz għandhom xi konsegwenzi li ma nistennewhomx bħall-"kontrazzjoni tat-tul" u d-"dilatazzjoni tal-ħin".
Il-"kontrazzjoni tat-tul" hu l-fenomenu fejn osservatur jinnota tnaqqis fit-tul ta' oġġetti li jimxu b'veloċità relattiva mal-osservatur li mhijiex żero. Din il-kontrazzjoni (imsejħa iżjed formalment "il-kontrazzjoni ta' Lorenz" jew "il-kontrazzjoni ta' Lorenz–Fitzgerald") ninnutawha biss meta l-veloċita tkun komparabbli ma' dik tad-dawl; u l-kontrazzjoni hi biss fid-direzzjoni li l-korp osservat ikun miexi fiha.
Id-"dilatazzjoni tal-ħin" hu l-fenomenu fejn osservatur isib li l-arloġġ ta' ieħor, eżatt l-istess bħal tiegħu, li jkun miexi relattivament miegħu, itektek iżjed bilmod, jekk iqqablu mal-arloġġ tiegħu.

Einstein kiteb mill-ġdid il-formoli li jiddefinixxu l-momentu u l-enerġija ċinetika b'mod li jagħmilhom invarjanti taħt trasformazzjoni ta' Lorentz.

Il-partijiet li jieħdu l-ħin u t-tliet koordinati tal-ispazju fl-ekwazzjoniet ta' Lorentz ma nistgħux nifirduhom. Minkowski interpretahom bħala spazju-ħin b'erba' dimensjonijiet. Nosservaw madankollu li l-ħin u l-ispazju xorta jibqgħu ta' natura differenti u ma nistgħux nassimilaw wieħed fl-ieħor. Pereżempju nistgħu nagħmlu dawra fl-ispazju imma dan impossibbli fil-ħin. Minn dan il-*punto di vista*, hemm xi kożmoloġi li jidhirlhom li mhux sewwa li nqisu l-ħin bħala koordinata immaġinarja u jissuġġerixxu li għandna nabbandunaw din id-drawwa. Naturalment jibqa' l-fatt li ma nistgħux nifirdu l-ħin mill-ispazju u l-relattività tiżviluppa fi spazju-ħin b'erba' dimensjonijiet, waħda għall-ħin u tlieta għall-ispazju.

Kien hemm ħafna kontroversji, l-iżjed wara 2000, fuq liema xjenzati ikkontribwew parti jew oħra fl-iżvilupp tat-teorija tar-relattività.

### L-attitudni tal-kumitat Nobel

Fl-1912, Lorentz u Einstein ġew proposti għal premju Nobel flimkien għax-xogħol tagħhom fuq it-teorija. Ir-rakkomandazzjoni kienet minn Wien, lawrjat tal-1911, li stqar li "sewwa kif Lorentz għandu jiġi meqjus bħala l-ewwel li sab il-kontenut matematiku tal-prinċipju tar-relattività, Einstein irnexxielu jirreduċih f'prinċipju sempliċi. Għandna nqisu l-mertu taż-żewġ riċerkaturi bħala komparabbli". Einstein qatt ma rċieva il-premju Nobel għar-relattività, il-premju Nobel bi prinċipju qatt ma jingħata għal teorija pura. Il-kumitat ried jistenna konferma esperimentali u meta din waslet, Einstein kien intefa' fuq xogħlijiet oħra importanti.

Einstein fl-aħħar kien ippremjat bil-premju Nobel għall-fiżika fl-1921, għall-kontribuzzjonijiet tiegħu lill-Fiżika Teorika, u speċjalment għall-iskoperta tal-ispjegazzjoni tal-effett fotoelettriku.

## It-teorija

### Il-postulati ta' Einstein (1905)

Il-teorija ta' Einstein tirrigwarda s-sistemi ta' riferiment inerzjali. Niftakru li sistema ta' riferiment tissejjaħ *inerzjali* jekk ma tkunx suġġetta għal ebda aċċelerazzjoni: razz fl-ispazju 'l bogħod minn kull massa hu sistema inerzjali jekk il-muturi kollha jkunu mitfijin. Il-postulati tar-relattività ristretta huma dawn:

1. Il-liġijiet tal-fiżika għandhom l-istess forma fis-sistemi ta' riferiment inerzjali kollha;
2. Il-veloċità tad-dawl fil-vojt għandha l-istess valur fis-sistemi ta' riferiment inerzjali kollha.

L-ewwel postulat hu propjament il-*prinċipju tar-relattivita* *ristrett* għall-klassi ta' sistemi ta' riferiment inerzjali u jifformalizza l-iskoperta ta' Galileo li skontha l-moviment uniformi f'linja dritta hu "qisu xejn" għal osservatur f'sistema ta' riferiment miexja.

It-tieni postulat iħallina nissinkronizzaw l-arloġġi b'sinjal tad-dawl minn sistema ta' riferiment. Biex nagħmlu dan biżżejjed li l-"għassies tal-ħin" jibgħat sinjal bid-dawl f'ċertu ħin, pereżempju f'nofsinhar. Imbagħad meta osservatur li qiegħed distanza *r* 'il bogħod jirċievi s-sinjali, jieħu kont tal-ħin *r /c* (fejn *c* hi l-veloċità tad-dawl) li s-sinjal ħa biex jasallu u jqiegħed l-arloġġ fuq " nofsinhar +*r /c* ".

Mit-tieni postulat nistgħu niddeduċu l-ekwazzjoniet tat-trasformazzjonijiet ta' Lorentz jekk inżidu miegħu ipoteżi oħra: l-ispazju-ħin hu omoġenju u iżotropu. Dan il-fatt skoprewh Kunz u Comstock indipendentament fl-1910. L-ipoteżi miżjuda twassal għall-grupp ta' trasformazzjonijiet b'parametru *c*, fiżikament bl-istess dimensjonijiet bħall-veloċità. Dawn it-trasformazzjonijiet nistgħu niddentifikawhom mat-trasformazzjonijiet ta' Galilew jekk WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 hi infinita u mat-trasformazzjonijiet ta' Lorentz jekk WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 hi finita u pożittiva. L-identifikazzjoni ta' *c* mal-veloċità tad-dawl, li mill-osservazzjoni hi finita tiġi mit-tieni postulat.

### It-trasformazzjonijiet ta' Lorentz

Figura 1: Sistemi bl-assi paralleli biex nissemplifikaw ix-xogħol
Nikkonsidraw żewġ sistemi ta' riferiment WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 u WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 , l-ewwel sistema ta' riferiment WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 nagħtuha veloċità WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 relattiva mas-sistema ta' riferiment WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 . Biex nissemplifikaw il-kalkuli għall-ewwel naħdmu biss bi trasformazzjonijiet imsejħa "speċjali", ikkaratterizzati bil-fatt li s-sistemi tal-assi *x, y, z* u *x', y', z'*  huma paralleli u li l-assi *Ox'* u *Ox* huma l-istess u paralleli mal-veloċità WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 . Din ir-restrizzjoni ma tnaqqasx mir-riżultati. Iżjed l-isfel nagħtu l-formoli meta veloċità tkun f'direzzjoni liema tkun.

L-ipoteżi ta' Einstein iwasslu għat-trasformazzjonijiet imsejħa " ta' Lorentz ". Il-**formoli ta' Lorentz** iħalluna nesprimu l-koordinati (*x*, *y*, *z*, *t*) ta' ġrajja mogħtija f'sistema "fissa" (ngħidu aħna d-dinja) bħala funzjoni tal-koordinati (*x'* , *y'* , *z'* , *t'*  ) tal-istess ġrajja f'sistema "miexja" (ngħidu aħna razz). Il-formoli huma dawn :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
fejn WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 u WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 huma fatturi mingħajr dimensjoni definiti hekk

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22
Dawn l-espressjonijiet jissemplifikaw u jieħdu forma ta' rotazzjoni jekk indaħħlu l-funzjonijiet iperboliċi tal-angolu *θ* definit b'dal mod

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24
B'din in-notazzjoni niksbu

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26
u

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28
Biex niksbu l-formoli li jikkorrispondu mat-trasformazzjoni bil-maqlub biżżejjed nibdlu *β* f' -*β*, u allura *θ* f' -*θ*, u jkollna :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30
Regola utli : biex insibu s-sinjal li għandna nqiegħdu quddiem sinh *θ* biżżejjed inqisu punt wieqaf f'wieħed mis-sistemi (ngħidu aħna tar-razz, b' *x'*  = 0 pereżempju) u naraw x'għandu jkun is-sinjal tal-koordinata spazjali fis-sistema l-oħra (ngħidu aħna s-sistema *fissa* li fiha *x* tikber jekk ir-razz ikollu veloċità pożittiva).

Trasformazzjonijiet ta' Lorentz għal direzzjoni arbitrarja tal-veloċità[uri]

It-trasformazzjonijiet speċjali jissemplifikaw l-istudju analitiku imma ma jgħinuniex fil-każ ġenerali. Nistgħu faċilment ngħaddu għall-każ meta s-sistemi ta' riferiment mixjin mhumiex paralleli wieħed mal-ieħor, u jkollhom orjentazzjoni tkun kif tkun relattivament mal-veloċità relattiva tagħhom WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 . Dejjem nistgħu naqsmu l-vettur WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 f'żewġ direzzjonijiet: waħda parallela mal-ispostament WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 u oħra othogonali magħha WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 . Imbagħad ikollna : WIKINIUM\_MATH\_PH\_40

Meta npoġġu

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 -
it-trasformazzjonijiet ta' Lorentz jagħtuna :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44
li jwasslu għal

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46
Billi

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48
meta nimmoltiplikaw vettorjalment b' WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 jkollna

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52
u hekk niksbu l-espressjoni tat-trasformazzjonijiet ġenerali ta' Lorentz fil-forma :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54

### Dilatazzjoni tal-ħin u l-kontrazzjoni tat-tul

It-trasformazzjonijiet ta' Lorentz iwasslu għal viżjoni rivoluzzjonarja tal-fiżika u joħorġu fenomeni kontra s-sens komun.

Fl-eżempji li ġejjin ħa jkollna nqisu żewġ ġrajjiet wara xulxin. Għalhekk fil-formoli ta' qabel minflok *x* u *t*, ħa niktbu *Δx* u *Δt* li jirrappreżentaw il-bidla spazjali u temporali bejn l-ewwel grajja u t-tieni.

#### Dilatazzjoni tal-ħin

L-intervall ta' ħin li jissepara iż-żewġ ġrajjiet f'sistema ta' riferiment jidher differenti f'sistema ta' riferiment oħra.

##### *Derivazzjoni mill-ekwazzjoni ta' Lorentz*

Ejjew nikkunsidraw sistema ta' riferiment fid-dinja magħmula minn sett ta' osservaturi wieqfa relattivament ma xulxin u magħmra b'arloġġi sinkronizzati. Dawn l-osservaturi *dinjin* qegħdin f'linja bi dritt il-mogħdija ta' razz li qiegħed jimxi b'veloċità *v* relattivament mal-Art. Nissoponu li r-razz jitfa' xrara dawl kull WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 sekondi, u t-tfigh tad-dawl hu kkontrollat minn arloġġ intern fir-razz. Fir-razz il-perjodu ta' ħin bejn żewg xrariet hu ta' WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 sekondi. Billi dawn ix-xrariet jintefgħu mill-istess punt fuq ir-razz, l-intervall spazjali WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 li jisseparahom hu żero. Imma il-perjodu ta' dawn id-dwal, kif jarawh l-osservaturi dinjin li qegħdin fil-linja tal-mogħdija tar-razz ?

Billi WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 , l-ekwazzjoni ta' Lorentz

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64
turi li l-intervall Δ*t* bejn żewġ xrariet ta' wara xulxin kif jidher lill-osservaturi marbutin mas-sistema fid-dinja (u allura l-arloġgi tagħhom, niftakru, juru l-istess ħin) hu mogħti b'

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66
L-espressjoni msejħa Δ*t* hi dejjem ikbar minn Δ*t* '. Allura, jekk fis-sistema ta' riferiment tar-razz, l-intervall ta' ħin bejn żewġ xrariet hu ta' sekonda, fis-sistema ta' riferiment fid-dinja l-intervall hu ta' *γ* sekondi (γ > 1).

Mela, nistgħu ngħidu li meta l-osservaturi dinjin jaraw mit-tieqa l-arloġġ fir-razz għaddej, jaħsbu li l-arloġġ għandu lura (l-arloġġi dinjin iduru *γ* sekondi, jiġifieri iżjed minn sekonda qabel jaraw l-arloġġ tar-razz idur sekonda). Biex ngħidu l-affarijiet fil-qosor, arloġġ fuq vettura miexja jidher li jmur lura. Dan l-effet jissejjaħ id- *dilatazzjoni relattivista tal-ħin*. Ġej minnu l-paradoss tat-tewmin: tewmi li jiġi lura minn vjaġġ immaġinarju b'veloċità qrib dik tad-dawl (li fil-fatti mhux possibbli li jitwettaq) jsib ruħu iżjed żagħżugħ minn ħuh li baqa' fuq l-Art, billi l-arloġġ tiegħu jkun dar inqas minn dak ta' ħuh.

##### *Derivazzjoni sempliċi*

Fl-esperiment li ġej, li juri b'mod ħafif id-dilatazzjoni tal-ħin imbassra mir-relattività ristretta, nikkunsidraw *arloġġ tal-fotoni* li fih xrara dawl tivvjaġġa min mera għal oħra bil-veloċità *c* tad-dawl.

Figura 2
Il-ħin ta' vjaġġ f'sistema hu daqs id-distanza diviża bil-veloċita tad-dawl, li ma tiddependix mis-sistema. Jekk l-arloġġ ikun fiss telattivament mal-osservatur, id-distanza hi d-distanza *fil-waqfien* bejn iż-żewġ mirja u jdum il-ħin 2*t* '. Jekk l-arloġġ ikun miexi relattivament mal-osservatur, dan jara l-foton jimxi ma' linja mgħawġa iżjed twila mill-linja dritta ta' qabel. Il-ħin 2*t* tal-vjaġġ hu ikbar minn 2*t* ' : l-arloġġ miexi jmur lura (ikun hemm *dilatazzjoni tal-ħin*).

It-tul tal-ipotenuża tat-trianglu rettangulari ABH tal-figura hu *ct*, tal-għoli hu *ct* ' u tal-bażi hu *vt* billi *v* hi veloċità tal-arloġġ fis-sistema "fissa". Mit-Teorema ta' Pitagora:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68
li minnha mill-ewwel joħroġ

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70
Hekk nerġgħu niksbu b'mod sempliċi l-formola ta' qabel li tagħtina id-dilatazzjoni tal-ħin.

##### *Fil-ħajja ta' kuljum*

Billi l-veloċita tad-dawl hi 300,000 km/s, ajruplan għaddej bi 0.3 km/s (jiġifieri 1000 km/h) għandu veloċità daqs il-miljun parti ta' dik tad-dawl u għalhekk l-iżball li nagħmlu meta nużaw l-approssimazzjoni Galilejana hi inqas mill-miljun parti tal-miljun parti, (jiġifieri 10-12), insinjifikanti għal kollox fil-ħajja ta' kuljum. Madankollu għal kejl iżjed preċiż tal-ħin użat fl-esperimenti spazjali u għall-GPS, hu importanti ħafna li nieħdu kont tal-korrezzjonijiet relattivistiċi (xi minn daqqiet tar-relattività ristretta u xi minn daqqiet tar-relattività ġenerali).

Għal korp miexi b'veloċità daqs l-għaxar parti ta' dik tad-dawl, l-effet relattivìstiku hu tal-ordi ta' wieħed fil-mija. Għalhekk l-effetti relattivistiċi ma jsirux sinjifikattivi ħlief għal veloċitajiet qrib dik tad-dawl, li ma jistgħux jintlaħqu fil-ħajja ta' kuljum. Din waħda mir-raġunijiet li hu diffiċli li nifhmu kif taħdem ir-relattività ristretta.

Però hemm bosta verifikazzjonijiet sperimentali: It-tul tal-ħajja tal-muoni atmosferiċi, it-tul tal-ħajja tal-partiċelli fl-aċċeleraturi, id-dawrien tal-arloġġi fuq is-satelliti (il-fenomenu f'dal-każ iservi għall-iżolazzjoni tal-gravità), etċ.

#### Kontrazzjoni tat-tul

Ejjew nissoponu li fis-sistema ta' riferiment WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 tar-razz hemm riga, ta' tul WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 , matul l-assi WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 . Dan it-tul imkejjel fis-sistema ta' riferiment li fiha r-riga hi wieqfa hu t-*tul proprju* tar-riga.

Fis-sistema ta' riferiment WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 tad-dinja, li r-riga miexja relattivament magħha, nistgħu inkejlu r-riga billi nqisu dawn iż-żewġ ġrajjiet li ġejjin: L-ewwel waħda hi meta l-ewwel tarf tar-riga jgħaddi minn quddiem osservatur dinji meta l-arloġġ tiegħu juri, ngħidu aħna, nofsinhar. It-tieni waħda hi meta fl-istess ħin (f'nofsinhar) it-tieni tarf tar-riga jgħaddi minn quddiem osservatur dinji ieħor. Id-distanza *L* bejn iż-żewġ osservaturi inqisuha bħala t-tul tar-riga fis-sistema "fissa" billi din tirrappreżenta d-distanza bejn il-punti ta' WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 li jikkoinċidu mat-truf tar-riga fl-istess waqt ta' WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 . Billi Δ*t* = 0 u Δ*x* = *L*, l-ekwazzjoni ta' Lorentz

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84
nistgħu niktbuha

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86
Mela, it-tul *L* imkejjel fuq l-Art hu

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88
u hekk *L* hu iqsar minn *L'*.

Irridu noqgħodu attenti li ma napplikawx dan il-fenomenu tal-kontrazzjoni tat-tul mingħajr ħsieb. Hemm bżonn li niddefinixxu sewwa l-ġrajjiet u niflu kif il-koordinati tagħhom jinbidlu minn sistema ta' riferiment għal oħra. Inkella nistgħu naqgħu f'xi wieħed mill-paradossi. Wieħed mill-iżjed magħrufin li għandhom x'jaqsmu mal-kontrazzjoni relattivista tat-tul hu dak tal-karozza dieħla fil-garaxx li ssir iqsar meta x-xufier isuqha ħafna.

## L-intervall ta' spazju-ħin bejn żewġ ġrajjiet

It-teorija relattivistika tista' tagħti l-impressjoni (anki b'isimha biss) li tagħmel kollox totalment dipendenti mill-mod tal-kejl. L-ewwel paragrafi ta' dan l-artiklu fuq ir-relattività tat-tul u l-ħin forsi jistgħu isaħħu din l-opinjoni. Però dan il-*punto di vista* hu żbaljat għaliex għall-kuntrarju, ir-relattività ristretta tisħaq iżjed profondament fuq dak li hu invarjanti taħt bidla tal-koordinati. Minn dan il-lat l-**invarjanza tal-intervall ta' spazju-ħin** bejn żewġ ġrajjiet hu fundamentali fit-teorija t.

F'sistema ta' riferiment, ġrajja hi karatterizzata bil-koordinati spazjo-temporali : "pożizzjoni, ħin". Żewġ grajjiet li qegħdin rispettivament f' *x*1,*y*1,*z*1,*t*1 u f' *x*2 *y*2, *z*2, *t*2 huma mbegħdin b'intervall ta' spazju-ħin li l-kwadrat tiegħu hu

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90
Niktbu b' mod iżjed sempliċi

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92
Dan l-intervall hu invarjanti relattivistiku: il-valur tiegħu ma jiddependix mis-sistema ta' riferiment Galilejan li fiha jitqis. Nistgħu nivverifikah bil-formoli ta' Lorentz li:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94
##### *Klassifikazzjoni relattiva ta' żewġ ġrajjiet*

Minħabba l-preżenza tas-sinjal " - " il-kwadrat tal-intervall spazju-ħin jista' jkun pożittiv jew negattiv. Dan differenti għal kollox mill-kwadrat tad-distanza Ewklideja li hu dejjem pożittiv. Ninnutaw però li l-kwantitajiet Δ*t*2 u Δ*s*2 jibqgħu evidentament kwadrati "tajbin", jiġifieri pożittivi.

Is-sinjal tal-invarjanti spazju-ħin Δ*σ*2 iħallina nikklassifikaw żewġ ġrajjiet, waħda relattivament mal-oħra, u din il-klassifikazzjoni għandha karattru "assolut".

(i) Żewġ ġrajjiet jistgħu jkunu *separati* minn xulxin. Dan hu l-każ meta l-intervall spazju-ħin, Δ*σ*2, definit hawn fuq, hu strettament pożittiv. Id-distanza Δ*s* hi għalhekk "kbira wisq" relattivament mal-ħin Δ*t* u l-ebda sinjal tad-dawl ma jista' jikkonettja l-ġrajjiet 1 u 2; dan veru fis-sistemi kollha ta' riferiment. Żewġ ġrajjiet bħal dawn ma jistgħux ikollhom rabta ta' kawża effett. Dan jiġri meta ż-żewġ ġrajjiet ikunu simultanji f'xi sistema (allura Δ*t* = 0 u Δ*σ*2 hi bilfors strettament pożittiva).
(ii) Bil-kuntrarju jekk żewġ ġrajjiet għandhom rabta ta' kawża effett dan ifisser li f'xi sistema ta' riferiment xi sinjal jikkonnettjahom. Mela, sinjal tad-dawl li jimxi iżjed minn kull sinjal ieħor, jista' jikkonnettjahom ukoll. Fi kliem ieħor, |Δ*s*| hu iżgħar minn |*c*Δ*t*|, li jġiegħel il-kwadrat ta' Δ*σ*2 tal-intervall ikun negattiv (jew żero jekk il-konnessjoni bejn iż-żewġ ġrajjiet saret permezz ta' foton tad-dawl).
(iii) L-aħħar każ hu meta f'sistema ta' riferiment żewġ ġrajjiet għandhom l-istess koordinati, jiġifieri huma koinċidenti (l-intervall spazju-ħin hu għalhekk żero). Mill-ekwazzjonijiet ta' Lorentz, naraw li din il-koinċidenza tibqa' meta nbiddlu s-sistema ta' riferiment. Din tagħmel assolut il-kunċett ta' ħabta bejn żewġ partiċelli.
Fl-ambitu tar-relattività ristretta, ma nistgħux nerġgħu lura fil-ħin, iġifieri l-ordni temporali ta' żewġ ġrajjiet ma tistgħax tinbidel; ħa nfissru għaliex: Biex inkunu realistiċi, fil-fiżika il-bidla fis-sistema ta' riferiment mis-sistema tal-bidu, bilfors ikollna nagħmluha b'mod kontinwu . Billi hija invarjanti, il-kwantità Δ*σ*2=c2Δ*t*2 - Δs2 tibqa' bl-istess sinjal, li hawnhekk hu pożittiv. B'konsegwenza, it-terminu pożittiv c2Δ*t*2 jibqa' strettament ikbar mit-terminu Δ*s*2 li hu pożittiv jew żero. It-terminu Δ*t*2 ma jistgħax jgħaddi minn żero f'bidla kontinwa ta' sistema ta' riferiment u minn dan il-fatt nistgħu ngħidu li l-kwantità Δ*t* stess (li s-sinjal tagħħa jiddeċiedi l-ordni temporali taż-żewġ ġrajjiet) iżżomm l-istess sinjal. Jekk il-ġrajja 1 tippreċedi l-ġrajja 2, għal ċertu osservatur, din l-ordni ma tistgħax tinqaleb għal osservatur ieħor, jiġifieri il-kawża ma tistgħax tinqaleb. Fi kliem ieħor, il-prinċipju tal-kawżalità hu rispettat fis-sistemi ta' riferiment Galilejani.

Ninnutaw li l-ħin u l-ispazju għandhom rwoli simmetriċi u għalhekk hu loġiku li nkejluhom bl-istess mod. Billi l-veloċità tad-dawl hi fissa nagħmlu l-ekwivalenza bejn it-tul u l-ħin iżjed ċara jekk nirredefinixxu l-metru bħala d-distanza li jivvjaġġa d-dawl f'sekonda jew b'mod ekwivalenti nistgħu nirridefinixxu s-sekonda bħala l-ħin li jieħu d-dawl biex jimxi tul ta' metru.

Id-definizzjoni tal-kwadrat Δ*σ*2 tal-intervall spazjo-temporali adottata hawn fuq tikkorripondi mas-" senjatura " (– + + +) ta' dik li tissejjaħ il-metrika tal-spazju-ħin, bin-notazzjoni li hi ċara. Skont din l-għażla,

l-intervall li għalih WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 jissejjaħ "intervall tat-tip spazju" (jekk nesprimuh bl-istess unità, id-distanza hi itwal mill-ħin).
l-intervall li għalih WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 jissejjaħ "intervall tat-tip ħin" (il-ħin itwal mid-distanza).
Fil-prattika, id-definizzjoni tal-intervall spazjo-temporali mhijiex fissa u jista' jkollha senjatura (– + + +) jew (+ – – –). Wieħed irid jara mill-kuntest liema senjatura qiegħda tintuża.

##### *Il-ħin proprju*

Hemm definizzjoni ta' importanza kbira marbuta mal-invarjanza ta' dan l-intervall ta' spazju-ħin, u din hi dik ta' **ħin proprju**. Nissoponu, pereżempju li qegħdin ġewwa razz li qiegħed jimxi relattivament mal-Art b'veloċità *v*, jiġifieri l-axissa tar-razz hi

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100
fis-sistema dinjija. Jekk inqisu arloġġ ġewwa r-razz, il-pożizzjoni tiegħu ma tinbidilx relattivament ma dan ir-razz u l-kwadrat tal-intervall ta' spazju-ħin jirriduċi għall-komponent temporali li nuru b' WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 . Billi l-intervall ta' spazju-ħin hu indipenti mis-sistema li fiha jitkejjel, għandna

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104
fejn (*t* ', *x* ' ) huma l-koordonati f'sistema oħra.

Il-ħin WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 definit bir-relazzjoni

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108
jissejjaħ il-**ħin proprju** tal-oġġett miexi jew tal-partiċella li nkunu qegħdin nikkunsidraw.

## Dijagramma tal-ispazju-ħin

Figura 3:Trajettorji ta' partiċelli fl-ispazju biss
Figura 4:Trajettorji tal-istess partiċelli fl-ispazju-ħin
Fil-mekkanika Newtonjana, l-spazju hu separat mill-ħin u nistudjaw il-moviment ta' partiċella bħala funzjoni tal-ħin assolut. Grafikament nirrappreżentaw it-trajettorja fl-ispazju (imma mhux fil-ħin !). Pereżempju, impinġu l-ellissi li tiddeskrivi pjaneta madwar ix-Xemx skont il-liġijiet ta' Kepler. Il-figura fil-ġenb (fig. 3) turi l-mogħdija spazjali li jimxu magħha ċertu numru ta' partiċelli A, B, C, D, E, etc. li għandhom veloċità kostanti matul il-ħin, ngħidu aħna, sekonda u d-distanza li jivvjaġġaw hi proporzjonali mal-veloċità tal-partiċella. Fil-każ ġenerali nistgħu inpinġu t-trajettorja ta' punt M(*x*, *y*, *z*) f'sistema Karteżjana fi tliet dimensjonijiet.

Fir-relattività ristretta nsegwu l-**ġrajjiet** fi spazju ta' 4 dimensjonijiet, tlieta tal-ispazju u waħda tal-ħin, u għalhekk mhux possibbli fl-iżjed każ ġenerali li nivviżżwalizzaw il-linja li tirrappreżenta is-sinsiela ta' ġrajjiet u li turi l-mogħdija tal-partiċella *fl-istess waqt fl-ħin u fl-spazju*. Din il-linja tissejjaħ il-**linja tal-univers** tal-partiċella. Biex intaffu d-diffikultà tar-rappreżentazzjoni f'4 dimensjonijiet nillimitaw ruħna għal 2 dimensjonijiet, waħda tal-ispazju u waħda tal-ħin. Fi kliem ieħor nikkunsidraw biss il-moviment matul l-assi ta' *x* u l-koordinati *y* u *z* ma jinbidlux. Allura jibqa' biss il-varjabbli *x* u *t*, u nkunu nistgħu inpinġu f'sistema Karteżjana f'żewġ dimensjonijiet it-trajettorja ta' partiċella fl-spazju-ħin : il-linja tal-univers tagħha.

Iż-żewġ figuri kontra juru l-mogħdija mill-*punto di vista* Newtonjan u l-*punto di vista* relattivistiku. Ta' fuq (fig. 3) tagħti l-ispazju vvjaġġat f'sekonda minn diversi partiċelli b'veloċità kostanti. Waqt li A tibqa' fejn hi, B timxi ċertu tul, C tiġri iżjed u tmur iżjed 'il bogħod waqt li E tmur fid-direzzjoni l-oħra. Il-figura ta' isfel (fig. 4), tagħti f' **dijagramma spazjo-temporali** is-sensiela tal-ġrajjiet li jiffurmaw il-moviment tal-partiċella. Billi l-veloċità tal-partiċelli hi kostanti, l-axissa tagħhom hi ċarament *x* = *vt* u għalhekk il-linja tal-univers tagħhom hi dritta. Il-pendil ta' din hi proporzjonali għall-veloċità *v*. Il-ħaġa rimarkabbli hi li l-linja tal-univers tal-partiċella wieqfa m'għadhiex punt biss imma l-linja dritta OA. In fatti, jekk il-partiċella ma timxix (*x* = kostanti), il-ħin jibqa' għaddej matul il-perijodu li qegħdin inqisu !

Figura 5:Dijagramma ta' spazju-ħin
Waqt li f'din id-dijagramma, il-moviment b'veloċità kostanti hu rappreżentat b'linja dritta, fil-każ ġenerali il-moviment ta' partiċella hu rappreżentat b'kurva . Pereżempju, il-figura 5 turi l-linja tal-univers ta' oġġett miexi li jitlaq mill-axissa *x* = 0 u terġa' lura hemm f'ħin *T* iżjed tard, bil-ħin meħud ngħidu aħna fuq l-Art. Ħa nużaw l-eżempju ta' razz li jagħmel vjaġġ intersiderali u jerġa' lura.

Il-linja dritta bejn "tluq" u "wasla" matul l-assi temporali tirrappreżenta l-linja tal-univers tal-Art, fejn il-koordinata spazjali, ugwali għal 0, ma tvarjax. Il-linja mgħawġa tirrappreżenta s-sensiela ta' ġrajjiet li hu magħmul minnhom il-vjaġġ tar-razz. Il-koordinata kurvilinja li biha nistgħu nimmarkaw punt fuq din il-kurva hi l-**ħin proprju** tar-razz, dak li juri l-arloġġ fuq ir-razz.

Il-formoli relattivistiċi juru li l-ħin proprju matul il-mogħdija kurvilinja hu **iqsar** mill-ħin proprju matul il-mogħdija dritta (hawnhekk dan jirrappreżenta l-ħin dinji). Dan il-fenomenu hu s-sisien tal-paradoss tat-tewmin li semmejna qabel.

Waqt li fil-ġeometrija Ewklideja (*x*, *y*) l-iqsar mogħdija bejn żewġ punti A u B hi l-linja dritta, fil-ġeometrija Lorentzjana (*x*, *t*) l-intervall temporali bejn żewġ ġrajjiet A u B għall-partiċella miexja hu **massimu** matul il-mogħdija dritta AB. L-itwal vjaġġ hu dak li jikkorispondi mal-mogħdija dritta AB fid-dijagramma spazju-ħin. Fil-każ tagħna din it-trajettorja hi dik li jsegwi oġġett ħieles mill-forzi kollha u miexi b'veloċità kostanti. Din il-proprjetà hi hekk importanti li minnha nistgħu insibu l-ekwazzjoniet tar-relattività ġenerali billi nestendu l-prinċipju tal-*massimazzjoni tal-ħin* ta' mogħdijiet ta' partiċella ħielsa f'kamp ta' gravità (fl-inħawi ta' toqba sewda jew tax-Xemx pereżempju).

## Liġi tal-kompożizzjoni tal-veloċitajiet

Minn razz miexi b'veloċità WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 relattivament mal-Art jisparaw balla ta' kanun fid-direzzjoni tal-veloċità tar-razz, b'veloċità WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 imkejla fir-razz. X'inhi l-veloċità WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 tal-balla mkejla fuq l-Art?

Fiċ-ċinematika Galilejana il-veloċitajiet jingħaddu flimkien u jkollna

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116
Fiċ-ċinematika relattivistika il-liġi tal-kompożizzjoni tal-veloċitajiet hi differenti.

Fir-razz id-distanza Δ*x  **li timxi l-balla matul il-ħin Δt** hi

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_118
Mill-formoli ta' Lorentz

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_120
jekk nibdlu Δ' fil-valur tagħha, faċilment niksbu l-veloċità tal-balla fis-sistema dinjija fil-forma :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_122
jew

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_124
Din ir-relazzjoni turi li l-liġi ta' kompożizzjoni tal-veloċitajiet fir-relattività ristretta ma tibqgħax liġi addittiva u li l-veloċità *c* hi l-ogħla veloċità li tista' tintlaħaq tkun liema tkun is-sistema ta' riferiment (meta ngħoddu magħha veloċità, nerġgħu naqgħu fuq *c*).

Sadattant hemm parametrazzjoni li biha nistgħu niksbu liġi addittiva. Biżżejjed naqilbu mill-veloċità *v* għal parametru angulari tal-veloċità *θ* li introduċejna qabel.

Ħa nuru li f'kompożizzjoni tal-veloċitajiet il-parametri tal-veloċità jingħaddu flimkien.

Jekk inpoġġu

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_126
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_128
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_130
u nużaw il-formoli tal-addizzjoni tal-funzjonijet iperboliċi

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_132
mill-ewwel niksbu

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_134
Fi kliem ieħor il-parametru angulari tal-veloċità tal-balla relattivament mal-Art hi s-somma tal-parametru angulari tal-veloċità tal-balla relattivament mar-razz u tal-parametru angulari tal-veloċità tar-razz relattivament mal-Art. Ma tistgħax tkun iżjed sempliċi !

B'dan il-formaliżmu, il-parametru angulari li jikkorrispondi mal-veloċità *c* hu infinit (billi atanh(*x* ), l-argument tanġenti iperboliku ta' *x*, jersaq lejn l-infinit waqt li *x* tersaq lejn 1) u għalhekk jibqa' infinit inżidu x'inżidu miegħu. Mela nerġgħu niksbu l-fatt li *c* hi l-ogħla veloċità (li hi impossibbli li tintlaħaq minn partiċella materjali) indipendament mis-sistema magħżula. Biss il-veloċitajiet tal-partiċelli bla massa, bħall-fotoni, jistgħu jimxu bil-veloċità tad-dawl.

Din il-proprjetà remarkabbli tal-additività tal-parametru angulari tal-veloċità hi espliċita fid-determinazzjoni tal-ekwazzjoniet ta' razz aċċelerat.

Ħa nagħtu **applikazzjoni numerika** (il-veloċitajiet użati ma jistgħux jintlaħqu fil-verità !). Nimmaġinaw li balla ġiet sparata b'veloċità *w'* = 0,75*c* fis-sistema ta' razz li jkun miexi b'veloċità *v* = 0,75*c* relattivament mal-Art. X'inhi l-veloċità tal-balla mkejla fl- Art? Naraw mill-ewwel li valur 1.5*c* li tagħtina l-formola Galilejana hu falz billi l-veloċità li niksbu taqbeż dik tad-dawl. Mill-formoli relattivistiċi nirraġunaw kif ġej. L-angolu parametriku tal-veloċità tal-balla relattivament mar-razz hu
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_136
L-angolu parametriku tal-veloċità tal-razz relattivament mal-Art għandu l-istess valur
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_138
Il-parametru angulari tal-veloċità tal-balla relattivament mal-Art mela hu WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 , li jikkorrispondi mal-veloċità
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_142
Fir-relattività ristretta 0.75 + 0.75 = 0.96, jekk nistgħu ngħidu hekk!

Naturalment nistgħu niksbu dan ir-riżultat direttament mill-formola li tagħti *w* bħala funzjni ta' *w '* u *v*.

## Il-kwadrivettur tal-veloċità

Fil-mekkanika Newtonjana nistudjaw il-moviment ta' partiċella billi nsegwu il-pożizzjoni tagħha WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 bħala funzjoni tal-ħin *t*, li nissoponu li għandu karattru assolut, indipendenti mill-arloġġ li nkejluh fuqu. Fir-relattività nabbadunaw dan il-mod kif inħarsu lejn l-affarijiet u nqisu l-moviment ta' partiċella bħala sensiela ta' ġrajjiet WIKINIUM\_MATH\_PH\_146 . Il-kurva li tiddeskrivi din is-sensiela fi spazju ta' erba' dimensjonijiet (tlieta għall-ispazju, waħda għall-ħin) tissejjaħ il-"linja tal-univers".

Kif fil-mekkanika klassika niddefinixxu l-veloċità ta' partiċella billi nieħdu d-derivata

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_148
tal-pożizzjoni rispett il-ħin, bl-istess mod fil-mekkanika relattivistika niddefinixu l-vettur tal-veloċità f'erba' dimensjonijiet (jew kwadrivettur tal-veloċità)

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_150
fejn WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 hu l-*ħin proprju* tal-partiċella, definit iżjed il-fuq.

Meta nagħmlu espliċiti l-komponenti ta' dan il-kwadrivettur f'sistema mogħtija nistgħu niktbu

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_154
espressjoni li fiha introduċejna l-fattur *c* biex naħdmu b'koordinati omoġenji.

Hemm relazzjoni sempliċi, u importanti, li għandha x'taqsam ma' dan il-kwadrivettur. Id-definizzjoni tal-kwadrat tal-intervall ta' spazju-ħin definit hawn fuq, nistgħu niġġeneralizzawh għall-kwadrivetturi kollha. Mela noddefinixxu l-kwadrat tan-norma ta' kwadrivettur bħala d-differenza bejn il-kwadrat tal-parti temporali u dak tal-parti spazjali tagħha u din in-norma hi invarjanti taħt it-trasfomazzjoni ta' Lorentz. Fi kliem ieħor ma tiddependix mas-sistema magħżula. Fil-każ tal-veloċità dan ir-riżultat jieħu forma partikularment sempliċi. In fatti, fis-sistema proprja tal-partiċella, jiġifieri fis-sistema li fiha l-partiċella hi wieqfa, il-parti spazjali tal-kwadrivettur tal-veloċità hi żero waqt li l-parti temporali hi sempliċiment *c* (d*t*/d*τ* = 1 billi l-ħin *t* hu preċiżament il-ħin *τ* meta nkejluh fis-sistema tal-partiċella). Fi kliem ieħor fis-sistema proprja ta' partiċella, il-kwadrivettur tal-veloċità għandu komponenti (*c*, 0, 0, 0). Mela f'kull sistema Galileja għandna r-relazzjoni

(parti temporali ta' WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 )2 -  (parti spazjali ta' WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 )2 = *c*2 .
Hu minħabba din l-invarjanza ta' din in-norma li nistgħu nitkellmu fuq il-kwadrivettur ta' partiċella indipendament minn kull sistema ta' koordinati.

## Il-kwadrivettur enerġija-momentu

Nistgħu nirraġunaw li bħal ma l-momentu klassiku ta' partiċella hu l-prodott WIKINIUM\_MATH\_PH\_160 tal-massa bil-veloċità, hekk ukoll il-prodott m WIKINIUM\_MATH\_PH\_162 tal-kwadrivettur tal-veloċità WIKINIUM\_MATH\_PH\_164 bil-massa *m* tal-partiċella għandu jkun il-kwadrivettur tal-momentu. Dan sikwit insejħulu l-vettur tal-**enerġija-momentu**, biex nuru l-fatt li l-enerġija u l-momentu huma magħqudin flimkien f'kunċett fiżiku u ma jistgħux jinfirdu, bl-istess mod li l-ispazju u l-ħin jiffurmaw l-ispazju-ħin. Waqt li l-komponenti spazjali ta' dan il-kwadrivettur nistgħu nidentifikawhom b'mod ċar ma' dawk tal-momentu klassiku ta' partiċella, Einstein issuġġerixxa li għandna nidentifikaw il-komponent temporali ta' dan il- kwadrivettur mal-enerġija tal-partiċella. Minkejja li hemm ħafna raġunijiet għal din l-għażla, mhux faċli li nagħtu *prova* vera, imma din is-sitwazzjoni fejn ipoteżi mwielda fl-istess ħin mat-teorija tiżviluppa u l-konferma sperimentali tagħha tiġi wara, m'hijiex rari fil-fiżika. Fil-verità, l-għaxriet ta' għeluf ta' konfermi sperimentali kuljum tat-teorija, huma garanzija biżżejjed tal-ipoteżi li jagħmlu s-sisien tagħha.

F'sistema inerzjali (pereżempju s-sistema dinjija fl-ewwel approssimazzjoni, li ħa nsejħulha s-*sistema laboratorju*) il-koordinati tal-ġrajjiet marbutin mal-partiċella li qegħdin insegwu huma (*t*, *x*, *y*, *z*) u l-komponenti f'din is-sistema tal-kwadrivettur tal-enerġija-momentu tal-partiċella huma :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_166
fejn

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_168
### Espressjoni *relattivistika* tal-enerġija

Meta nħarsu lejn ir-relazzjoni bejn il-ħin proprju (il-ħin *t'*  tar-razz, jew *τ* tal-partiċella miexja) u l-ħin *t* fis-sistem li qegħdin nikkunsidraw (is-sistema laboratorju), naraw li : WIKINIUM\_MATH\_PH\_170

Hekk niksbu espressjoni għall-**enerġija totali** tal-partiċella "fis-sistema laboratorju", dik li relattivament miegħu il-partiċella għandha veloċità WIKINIUM\_MATH\_PH\_172 (billi l-enerġija tiddependi mis-sistema li fiha nkejluha !) fil-forma :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_174
* Fir-relattività ristretta, l-**enerġija totali** ta' partiċella wieqfa hi daqs is-somma tal-**enerġija fil-waqfienm.c*2 kontenuta fil-massa tagħha u l-**enerġija ċinetikaK*. Meta nħarsu lejn l-espressjoni relattivistika tal-enerġija, naraw li l-enerġija ċinetika tal-partiċella hi mogħtija bl-espressjoni :

Enerġija ċinetika WIKINIUM\_MATH\_PH\_176
* + Għall-veloċitajiet "baxxi" (jiġifieri baxxi mqabblin ma' dik tad-dawl, fil-każ "klassiku") niksbu, (fl-ewwel approssimazzjoni) :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_178
Din il-formola turi li l-**enerġija totali** tal-partiċella hi s-somma tal-**enerġija fil-waqfienm.c2* li ma nafux biha fil-mekkanika Newtonjana u tal-**enerġija ċinetika klassika(1/2)m.v2*.
* + għall-veloċitajiet qrib ħafna ta' dik tad-dawl, hi l-kwantità *1 -*β*= [1 - (v/c)]* li tgħodd.

Għandna :
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_180
u allura l-**enerġija totali** nistgħu niktbuha, (fl-ewwel approssimazzjoni) :
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_182 .
### Espressjoni *relattivistika* tal-momentu

Min-naħa l-oħra l-komponenti tal-veloċità tal-partiċella fis-sistema laboratorju huma :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_184 ,
u meta nħarsu lejn il-fattur ta' dilatation tal-ħin bejn d*t* u d *WIKINIUM\_MATH\_PH\_186* , niksbu formola importanti oħra li tagħtina l-valur tal-momentu *fis-sistema laboratorju* :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_188
## Ekwivalenza tal-enerġija u tal-massa fil-waqfien

Il-kwadrivettur enerġija-momentu għandu l-karatteristika li n-*norma* tiegħu, jew il-kwadrat skalari tiegħu (fis-sens tal-kwadrat tal-intervall tal-ispazju-ħin), hi invarjianti taħt bidla ta' sistema ta' riferiment. Fil-qosor, il-kwantità

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_190
hi indipendenti mis-sistema ta' riferiment li fiha tkun ikkalkulata. Issa fis-sistema tal-partiċella, il-veloċità hi żero, l-istess il-momentu, u allura n-norma ta' din il-kwantità invarjanti hi *(m c*)2. F'kull sistema tkun liema tkun għandna r-relazzjoni importanti li ġejja

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_192
jew

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_194
(Il-fatturi ta' *c* f'dawn il-formoli jiżguraw li huma omoġenji, *p* għandha d-dimensjoni ta' *mv*, *E* dik ta' *mv*2.)

Nistgħu nippruvaw din il-formola direttament minn dawk ta' hawn fuq li jagħtu l-enerġija u l-momentu.

Nistgħu nagħmlu xi osservazzjonijiet :

(i) Il-valur tal-enerġija totali ta' partiċella jiddependi mis-sistema ta' riferiment tal-osservatur. Però, il-valur tal-enerġija ta' massa hu l-istess fis-sistemi ta' riferiment kollha, u b'mod partikulari fis-sistema ta' riferiment proprja tal-partiċella. Mela hi karatteristika intrinsika tal-partiċella.
(ii) Waqt li *v* tersaq lejn *c*, WIKINIUM\_MATH\_PH\_196 tersaq lejn l-infinit, li jfisser li hemm bżonn ta' enerġija infinita biex naċċelleraw partiċella sakemm tilħaq il-veloċità tad-dawl. Jidher ċar li dan impossibbli. Però nistgħu naċeċelleraw il-partiċelli sakemm jilħqu veloċitajiet qrib ħafna ta' *c*.
(iii) Ir-relattività ristretta tidher fil-fenomeni fiżiċi kollha, anki fejn il-veloċitajiet li għandhom x'jaqsmu m'humiex relattivistiċi. Eżempju ċar hu n-nuqqas fil-massa tal-atomu l-iżjed sempliċi : il-massa tal-atomu tal-idroġenu WIKINIUM\_MATH\_PH\_198 hi inqass mill-mases tal-elettron u tal-proton flimkien b' kwantità eżattament daqs l-ekwivalenti fil-massa tal-enerġija tal-jonizzazzjoni tal-atomu.
L-**ekwivalenza tal-massa u tal-enerġija** tingħata bil-formola famuża *E=mc2*. L-idea ta' din l-ekwivalenza kienet pass rivoluzzjonarju, għax il-kunċetti ta' materja u enerġija kienu distinti sa dak iż-żmien, allavolja ċerti xjenzjati bħal Poincaré u Lorentz, kien ppruvaw indipendentament jagħqduhom fil-qasam tal-elettromanjetiżmu.

Daż-żmien m'għandniex nenfatizzawha iż-żejjed din l-ekwivalenza, għaliex waqt li l-massa hi in-norma tal-kwadrivettur enerġija-momentu, l-enerġija m'hijiex ħlief wieħed mill-*komponenti* ta' dan il- kwadrivettur. Il-massa mogħtija b'

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_200
hi *invarjanti* taħt bidla ta' sistema (hi l-istess f'kull sistema). L-enerġija għal-kuntrarju tiddependi mis-sistema magħżula, u jidher ċar li la l-veloċità tinbidel, l-enerġija ċinetika trid tinbidel ukoll.

## Il-veloċità tal-partiċelli bla massa

Ir-relazzjonijiet ta' hawn fuq jagħtuna riżultati importanti. L-espressjonijiet li jagħtu *E* u *p* bħala funzjoni ta' *m* u *v* iwasslu minnufih għall-formola

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_202
Jekk il-veloċità tal-partiċella hi daqs il-veloċità tad-dawl, allura WIKINIUM\_MATH\_PH\_204 u meta nikkalkulaw WIKINIUM\_MATH\_PH\_206 naraw li l-massa tal-partiċella hi bilfors żero. Bil-kontra, jekk il-massa tal-partiċella hi żero, allura WIKINIUM\_MATH\_PH\_208 u mela WIKINIUM\_MATH\_PH\_210 .

Għalhekk naslu għall-konklużjoni doppja importanti li l-partiċelli materjali ma jistgħux jilħqu l-veloċità tad-dawl u li l-partiċelli bla massa biss jimxu bil-veloċità tad-dawl.

Hemm koerenza perfetta: kull mekkaniżmu ta' propagazzjoni tal-enerġija bil-veloċità tad-dawl jikkorrispondi ma' kwantità ta' momentu *p* daqs l-enerġija u allura ma' "massa fil-waqfien" ta' żero. Bil-maqlub, partiċella ta' bla massa bilfors timxi bil-veloċità tad-dawl.

## Dilatazzjoni tal-ħin tar-raġġi kożmiċi u tal-muoni

Fl-astronomija nsibu partiċelli li jġorru enerġija kolossali: ir-raġġi kożmiċi. Minkejja li l-mekkaniżmu tal-produzzjoni tagħhom għadu mistur, nistgħu inkejlu l-enerġija u n-numri konsiderevoli li niksbu juru li l-analiżi tagħhom teħtieġ l-użu tal-formoli tal-relattività ristretta. Ir-raġġi kożmiċi mela jfornu xempju ideali tat-teorija ta' Einstein.

Insibu partiċelli b'enerġiji inkredibbli tal-ordni ta' 1020 elettronvolt, jiġifieri mitt miljun TeV. Nieħdu raġġ kożmiku magħmul minn proton ta' 1020 eV. X'inhi l-veloċità ta' din il- partiċella?

Fl-espressjoni li tagħti l-enerġija *E*, it-terminu *mc*2 jirrapreżenta l-enerġija tal-massa fil-waqfien tal-partiċella. Dik tal-proton hi madwar 1GeV, jiġifieri 109eV. Ir-rapport bejn *E* u *mc*2 mela hu 1020 /109 =1011 li hu l-famuż fattur tad-dilatazzjoni tal-ħin WIKINIUM\_MATH\_PH\_212 . X'inhi l-veloċità ta' dan il-proton? Meta niktbu WIKINIUM\_MATH\_PH\_214 insibu li

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_216
Fi kliem ieħor il-veloċità tal-proton li qegħdin nikkunsidraw hi kważi daqs il-veloċità tad-dawl, differenti minnha b'inqas minn 10-22 (imma qatt ma tista' tilħaqha).

Ejjew naraw xi jfissru dawn iċ-ċiffri għall-fatturi relattivistiċi li jeżistu bejn is-sistema proprja tal-partiċella u s-sistema dinjija. Id-dawl jaqsam il-Galassija tagħna f'xi mitt elf sena tad-dawl. Għalhekk għal osservatur dinji l-proton jaqsam din il-Galassija fl-istess ħin, madwar 100,000 sena. Il-ħaġa straordinarja hi li fis-sistema tal-proton relattivistiku, il-ħin li jikkorispondi hu 1011 darba inqas u altura hu ta' 30 sekonda (sena tagħmel 3×107 sekondi)!

*Il-proton tagħna ultra-relattivistiku u ultra-enerġetiku jaqsam il-Galassija tagħna fi 30 sekonda tal-ħin proprju tiegħu imma f'100,000 sena tal-ħin dinji tagħna.*
Figura 6
Meta raġġ kożmiku jolqot atomu tal-ossiġenu jew tal-ażotu fl-atmosfera dinjija f'altitudni tal-ordni ta' 20 sa 50 kilometru 'il fuq mill-art, joħroġ raxx ta' partiċelli elementari li fih il-muoni. Parti minnhom imorru lejn l-art b'veloċità kważi daqs dik tad-dawl, xi 300,000 kilometru l-sekonda fis-sistema dinjija. Dawn il-partiċelli jaqsmu xi 30 kilometru ta' atmosfera f'10-4 sekonda (jew 100 mikrosekonda).

Fis-sistema li fiha hu wieqaf, muon għandu nofs-ħajja ta' 2μs (2 mikrosekondi, jew 2x10-6s). Dan ifisser li fost qabda muoni prodotti fuq nett tal-atmosfera, nofshom jisparixxu f'2 mikrosekondi, mibdulin f'partiċelli oħra. Nofs il-muoni li jibqa' jisparixxu f'2 mikrosekondi oħra u jkomplu hekk. Kieku n-nofs-ħajja kienet l-istess (2 mikrosekondi) fis-sistema dinjija, fil-10-4 sekondi tal-qsim tal-atmosfera il-muoni jkun għaddew minn 10-4/2×10-6=50 nofs-ħajjiet. Hekk in-numru tagħhom sa meta jaslu f'wiċċ id-dinja jkun naqas b'fattur ta' (1/2) 50, jiġifieri madwar 10-15 li jfisser li fil-fatti l-ebda muon ma jasal.

Issal-kejl juri li madwar 1/8, jiġifieri (1/2)3 mill-muoni tal-bidu jaslu f'wiċċ id-dinja, li jipprova li ma spiċċawx nofshom ħlief 3 darbiet u mhux 15-il darba. Fi kliem ieħor il-ħin tal-qsim tal-atmosfera fis-sistema proprja tagħhom tieħu 3 nofs-ħajjiet u mhux 50, jiġifieri 6 mikrosekondi *biss* (u mhux 100 mikrosekondi). Dan ir-riżultat jagħtina prova qawwija tal-verità tar-relattività ristretta u b'mod partikulari tat-dilatazzjoni tal-ħin proprju (hawn dak tal-muon) meta nkejlu f'sistema barranija (hawn dik tad-dinja). Fl-eżempju numeriku li għażilna il-fattur ta' dilatazzjoni tal-ħin
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_218 hu ta' 100/6.

Nistgħu niddeduċu l-veloċità u l-enerġija tal-muoni. Fil-fatti, għandna bħal fil-kalkulazzjoni ta' qabel

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_220
li twassal għal

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_222
Billi l-massa ta' muon hi madwar 100 MeV, l-enerġija tal-partiċella hi 100/6 darbiet ikbar, jiġifieri madwar 2000 MeV jew 2 GeV.

## Konservazzjoni tal-kwadrivettur enerġija-momentu ta' sistema iżolata

Il-qawwa kbira tat-teorija ta' Einstein hi li tħalli l-fiżiku jirraġuna fuq kwantitajiet ta' karattru ġemetriku li għandhom realtà li titrassendi l-lingwa tal-koordinati. Hekk nistgħu nitħaddtu fuq kwadrivettur enerġija-momentu indipendentament mir-rappreżentazzjoni tiegħu f'termini ta' koordinati. Dan il-vettur b'erba' dimensjonijiet jipprovdilna għodda qawwija biex nittrattaw il-mekkanika relattivistika u patikularment il-problemi ta' interazzjoni u ta' trasformazzjoni ta' partiċelli.

L-analiżi ta' ħabta bejn partiċella A u partiċella B (jew iżjed ġeneralment ta' ħabtiet bejn partiċelli ta' sistema mogħtija) hi msejsa fuq il-prinċipju li ġej, *indipendament mid-dettalji tal-esperiment:*

*Il-kwadrivettur ta' sistema iżolata ta' partiċelli hu kkonservat f'kull interazzjoni interna.*
Fi kliem ieħor:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_224 (partiċelli inizjali J) WIKINIUM\_MATH\_PH\_226 (partiċelli finali K) WIKINIUM\_MATH\_PH\_228
Biex janalizza esperiment, il-fiżiku jrid ikejjel u mbagħad jittraduċi din il-liġi b'mod li juża l-kwantitajiet meżurabbli li huma l-koordinati tal-kwadrivettur fis-sistema li jagħżel. Billi l-kwadrivettur hu konservat, kull wieħed mill-komponenti tiegħu *f' sistema ta' referenza mogħtija* (niftakru li l-valur tal-komponenti jiddependi mis-sistema magħżula) huma wkoll konservati fil-ħabtiet. Il-komponent temporali jirrappreżenta l-enerġija *E* tas-sistema u l-komponent spazjali jirrappreżenta il-momentu tiegħu WIKINIUM\_MATH\_PH\_230 , u għalhekk naslu għal żewġ liġijiet ta' konservazzjoni, waħda għall-enerġija u l-oħra għall-momentu.

Figura 7: Konservazzjoni tal-kwadrivettur enerġija-momentu f'ħabta
Biex żgur inkunu ċari, nenunċjaw dawn il-liġijiet fil-każ ta' żewġ partiċelli A u B li jgħaddu minn ħabta (nistgħu niġġeneralizzaw minnufih għal sistema ta' bosta partiċelli).

(i) *L-enerġija totali tas-sistema hi konservata f'ħabta*
Fi kliem ieħor is-somma tal-enerġija ta' A u tal-enerġija ta' B qabel il-ħabta hi daqs is-somma tal-enerġija ta' A u tal-enerġija ta' B wara il-ħabta.
Nistgħu nifformolaw din il-liġi bil-mod li ġej:
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_232
(ii) *Il-momentu totali tas-sistema hu konservata f' ħabta*
Fi kliem ieħor is-somma tal-momenti tal-partiċella A u tal-partiċella B qabel il-ħabta hi daqs is-somma tal-momenti tal-partiċella A u tal-partiċella B wara il-ħabta.
Matul kull waħda mit-tliet mela għandna:
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_234
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_236
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_238
Fil-figura kontra (Fig. 7) nirrappreżentaw eżempju (akademiku) ta' ħabta. Partiċella A ta' massa 8 (f'unitajiet arbitrarji) li għandha veloċità *v/c* ta' 15/17 miexja lejn il-lemin, tolqot partiċella ta' massa 12 li ġejja kontra b'veloċità *v/c* ta' 5/13. Wara il-ħabta, A timmolla fid-direzzjoni l-oħra wara li tkun tagħt lil B sehem mill-momentu tagħha. L-enerġija totali, is-somma tal-enerġiji tal-partiċelli A u B hi konservata, kif ukoll il-momentu totali. Il-kwantitajiet E u p murija jirrapreżentaw fir-realtà (E/c2) u (p/c) u huma esprimi f'unitajiet tal-massa, arbitrarji. Bihom ghandna ir-relazzjoni: *E*2 = *p*2 + *m*2. Il-fattur *γ* bħal dejjem għandu definizzjoni *γ* = [1 - (v/c)2]-1/2.

### Ħabta elastika

F'aċċeleratur tal-partiċelli jiġri li elettron b'enerġija għolja ħafna jolqot elettron wieqaf u jtieh parti mill-enerġija ċinetika tiegħu. Jekk il-bidliet tal-enerġija jkunu biss f'din l-enerġija ċinetika, ngħidu li l-ħabta hi elastika. Il-formoli li jittraduċu l-konservazzjoni tal-kwadrivettur tas-sistema magħmula miż-żewġ elettroni jħalluna nanalizzaw il-ħabta. Fil-mekkanika Newtonjana iż-żewġ elettroni wara l-ħabta għandhom direzzjonijiet li jagħmlu angolu drittt. Ħa nuru li fil-mekkanika relattivistika dan m'għadhux hekk u l-veloċitajiet tal-elettroni jiffurmaw angolu akut. Din il-fenomenu jidher ċar mit-traċċi li jħallu l-ħabtiet fil-*kamra tal-bżieżaq*.

Figura 8: Ħabta elastika elastika bejn żewġ partiċelli tal-istess massa
Inħarsu lejn elettron ta' massa *m* u ta' enerġija għolja ħafna li jolqot elettron ieħor li fil-bidu jkun wieqaf. Il-vetturi tal-momentu taż-żewġ partiċelli impinġijin fil-figura kontra (Fig. 8). Qabel il-ħabta l-momentu tal-elettron inċidenti hu WIKINIUM\_MATH\_PH\_240 . Wara l-ħabta, il-momenti taż-żewġ elettroni huma WIKINIUM\_MATH\_PH\_242 u WIKINIUM\_MATH\_PH\_244 . Meta niktbu l-enerġija ta' elettron bħala s-somma tal-enerġija tiegħu fil-waqfien *mc*2 u tal-enerġija ċinetika tiegħu *K*, nistgħu niktbu l-enerġija totali tas-sistema qabel il-ħabta bħala:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_246
Bl-istess mod,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_248
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_250
Il-liġi tal-konservazzjoni tal-enerġija tgħid li *E=E1+E2* u għalhekk

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_252
formola li turi sewwa li l-enerġija ċinetika hi wkoll konservata (ħabta elastika).

Il-liġi tal-conservazzjoni tal-kwantità ta' momentu tgħid li

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_254
u għalhekk jekk l-angolu bejn iż-żewġ vetturi WIKINIUM\_MATH\_PH\_256 u WIKINIUM\_MATH\_PH\_258 insejħulu *θ*, ikollna r-relazzjoni

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_260
li minnha noħorġu

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_262
Meta nesprimu l-kwadrat tal-momentu tal-elettroni bħala funzjoni tal-enerġija u tal-massa tagħhom bl-għajnuna tal-formoli murija hawn fuq niksbu

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_264
għall-elettron inċidenti u

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_266
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_268
għall-elettroni wara l-ħabta.

Billi *K=K1+K2* naslu faċilment għall-formola sempliċi

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_270
Din il-formola turi li cos *θ* hu pożittiv u għalhekk id-direzzjonijiet tal-elettroni fl-istat finali jagħmlu angolu akut bejniethom.

Fil-letteratura nsibu faċilment it-trattament tal-każ fejn il-ħabta hi simmetrika, iż-żewġ elettroni għandhom it-tnejn l-istess enerġija *K*1=*K*2=*K*/2. F'din is-sitwazzjoni partikulari il-formola ġenerali issir

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_272       għal ħabta simmetrika.
* Fil-limitu Newtonjan ta' veloċitajiet baxxi, l-enerġiji ċinetiċi huma ħafna iżgħar mill-enerġija fil-waqfien *mc*2 u għalhekk

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_274
tersaq lejn żero, li jfisser li l-angolu *θ* jersaq lejn *π* /2. Dan hu r-riżultat mhux relattivistiku.
* Bil-maqlub fil-limitu ta' enerġiji għolja ħafna, it-termini tal-enerġija ċinetika huma ogħla ħafna mit-terminu *mc*2 u għalhekk

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_276
F'dan il-każ il-kosenu jersaq lejn 1, li jfisser li l-angolu bejn il-veloċitajiet tal-elettroni jersaq lejn żero. Dan juri mġiba kompletament differenti mill-każ Newtonjan.
Naturalment il-formoli japplikaw ukoll għall-każ ta' ħabta bejn żewġ protoni.

### L-effett Compton

L-analiżi ta' ħabta bejn foton ta' enerġija għolja ma' elettron wieqaf tagħtina applikazzjoni fiżika tal-formoli ta' konservazzjoni tal-enerġija u tal-momentu ta' sistema ta' partiċelli. Din il-ħabta tissejjah l-effett Compton.

### Massa ta' sistema ta' partiċelli

Fir-relattività ristretta l-enerġiji u l-momenti huma addittivi, imma il-mases m'humiex.

Il-fiżika fl-ispazju-ħin ta' erba' dimensjonijiet ta' Einstein tagħti l-materja karatteristiċi ġodda li l-fiżika Newtonjana ma setgħetx tbassar. Hekk pereżempju il-formoli tar-relattività ristretta turi li *l-massa totali ta' sistema ta' partiċelli hi ikbar mis-somma tal-mases fil-waqfien tal-partiċelli individwali*.

Jekk inqisu sett ta' partiċelli, mingħajr interazzjoni bejniethom, barra l-mument tal-ħabtiet, il-kwadrivettur enerġija-momentu ta' sistema ta' partiċelli, iżolat minn kull azzjoni barranija, hu s-somma tal-enerġiji-momenti individwali. Dan nistgħu niktbuh hekk:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_278
Biex inwettqu applikazzjonijiet numeriċi, l-ekwazzjoni nqilbuha f'termini tal-komponenti enerġija *E* u momentu WIKINIUM\_MATH\_PH\_280  :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_282
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_284
Nirrepetu: il-valur ta' dawn il-komponenti *jiddependi mis-sistema magħżula*. Il-formoli, li jħalluna ngħaddu mill-koordinati ta' sistema WIKINIUM\_MATH\_PH\_286 għal dawk ta' sistema oħra WIKINIUM\_MATH\_PH\_288 b'veloċità *v* = *βc* relattivament mal-ewwel waħda matul l-assi *Ox*, huma l-formoli ta' Lorentz li diġà rajna. Niktbuhom fil-forma :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_290
għall kull kwadrivettur enerġija-momentu WIKINIUM\_MATH\_PH\_292 liema jkun.

Il-proprjetà importanti tal-kwadrivetturi fir-relattività u tat-trasformazzjonijiet ta' Lorentz qiegħda fl-invarjanza tan-"norma" tal-kwadrivettur f'bidla ta' koordinati. Din in-norma tittraduċi proprjetà intrinsika tas-sistema studjata, indipendenti mis-sistema ta' riferiment. Fil-każ tal-kwadrivettur enerġija-momentu, din in-norma hi daqs il-massa *M* tas-sistema (bħal fil-każ ta' partiċella) u l-kwadrat tagħha jinata bil-formola :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_294
(Nistgħu insibu faċilment il-fatturi *c* li rridu ndaħħlu, bil-potenzi korretti, billi *p* hi omoġenja ma' *mc* u *E* omoġenja ma' *mc*2.)

Sabiex nikkalkulaw il-massa, nistgħu nużaw sistema liema tkun, billi din ma tiddependiex mill-għażla tiegħu. L-iżjed wieħed komdu hu dak fejn il-momentu totali tas-sistema hu żero, jiġifieri fejn

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_296
Imbagħad niksbu

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_298
fejn

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_300
Billi l-enerġija *Ej* ta' kull partiċella *j* (fis-sistema użata) hi s-somma tal-enerġija *mj c*2 li tikkorrispondi mal-massa fil-waqfien tagħha *mj* u tal-enerġija ċinetika tagħha *Kj* (dejjem fis-sistema użata), nistgħu niktbu :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_302
Din il-formola tal-aħħar turi r-riżultat li ħabbarna : *il-massa totali ta' sistema ta' partiċelli hi ikbar mis-somma tal-mases individwali tal-partiċelli*. Il-valur tal-massa totali tas-sistema miksub hu indipendenti mis-sistema li fiha ikkalkulajnih (imma biex insibu dan il-valur għażilna s-sistema sempliċi li fiha il-momentu hu żero).

Nistgħu nivverifikaw dan ir-riżultat fl-eżempju numeriku ta' ħabta f'dimensjoni waħda ttrattata hawn fuq (inkejlu l-enerġija, il-momentu u l-massa f'unità ta' massa arbitrarja). Kellna żewġ partiċelli A u B respettivament ta' massa 8 u 12. Il-massa totali *M* tas-sistema nikkalkulawha bil-formola *M* 2 = *E*2 - *p*2, fejn *E* = 30 u *p* = 10. Hekk insibu *M* =√800 = 28.28, li hi ikbar mis-somma 8+12=20 tal-mases ta' A u B.

### Bidla tal-massa f'enerġija fix-Xemx

Il-konservazzjoni tal-kwadrivettur enerġija-momentu tispjega kif f'reazzjoni il-massa ta' sistema tista' ma tkunx konservata u parti minnha jew kollha tista' tinbidel f'enerġija, . Hekk jiġri fir-reazzjonijiet ta' fissjoni, ta' fużjoni u ta' annikilazzjoni ta' partiċelli. Ħawn ħa niddeskrivu l-fużjoni tal-idroġenu f'elju fix-Xemx, reazzjonij li biha nifhmu kif il-kewkba tagħna għandha għajn benefiċjenti ta' enerġija li bih setgħet tiddi għal ħames miljardi ta' snin u tista' tkompli tagħmel hekk għal daqshekk żmien ieħor.

Fis-snin 1900, il-fiżiċi sabu wiċċhom ma' misterju kbir tal-mekkaniżmu kif ix-Xemx titfa' d-dawl tagħha. Il-ġeoloġi tas-seklu XIX, mill-ħxuna tas-saffi tal-blat sedimentarju fid-dinja, stimaw li l-età tal-Art hi xi għaxriet ta' miljuni ta' snin. Din qablet mal-età li wasal għaliha Charles Darwin meta ppropona t-teorija tiegħu tal-Evoluzzjoni tal-ispeċi. Sadatant xi fiżiċi teoriċi bħal William Thomson (Lord Kelvin) bdew jisħqu li x-Xemx ma setgħetx kienet ila tiddi iżjed minn għaxar miljun sena. Xi xjenzati oħra, partikularment mill-ġeologu Thomas Chamberlin ikkritikaw l-attitudni arroganti tagħhom. Chamberlin issuġġerixxa f'kungress fl-1899 li din enerġija li n-nisel tagħha kien għadu mhux magħruf, tista' tkum ġejja mill-materja fil-qalba tax-Xemx. Hu argumenta li l-kundizzjonijiet fiżiċi eċċezzjonali li jsaltnu f'dawn ir-reġjuni ta' temperatura għolja u pressjoni qawwija kienu hekk li jistgħu joħorġu enerġija ta' tip atomiku. L-istorja kkonfermat l-intuwizzjonijiet tiegħu. Bis-saħħa tax-xogħol ta' George Gamow, Hans Bethe u Carl Friedrich von Weizsäcker spiċċajna biex niksbu fl-aħħar tas-snin 1930 tagħrif dettaljat fuq ir-reazzjonijiet li ħallew ix-Xemx tiddi għal ħames miljardi ta' snin. Dawn il-fiżiċi wrew li x-Xemx taħdem qisa reattur nukleari ġgantesk limitat mill-gravitazzjoni u jitfa' kwantità konsiderevoli ta' enerġija bi qbil mal-ekwazzjoniet ta' Einstein.

Dawn huma n-numri li għandhom x'jaqsmu. il-luminożità xemxija, jew kwantità ta' enerġija li l-kewkba titfa' fl-ispazju kull sekonda, hi

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_304 .

Biex nesprimu din l-enerġija f'unitajiet ta' massa (pereżempju grammi, skont l-użanza tal-astronomi), biżżejjed niddiviżu b' *c*2, li jtina massa ekwivalenti *M* = 4.4×1012 grammi kull sekonda.

B'sensiela ta' reazzjonijiet li jagħmlu l-katina proton-proton, possibbli f'tempertura għolja biżżejjed, erba' protoni jew (jew nukleji ta' idroġenu) jiġu trasformati fir-reġjuni l-iżjed ġewwenin tax-Xemx f'nukleju tal-elju, magħmul minn żewġ neutroni u żewġ protoni. Billi proton għandu massa ta' 1.672,62×10-24 g, l-erba' protoni oriġinali għandhom massa 4×1.672,62×10-24 = 6.690,48×10-24 g. In-nukleju tal-elju, jew partiċella alfa, għandu massa ta' 6.644,66×10-24 g. Id-differenza, 0.04582×10-24 g, toħroġ fil-forma ta' dawl.

Ninnutaw li parti ċkejkna biss mill-massa użata tindidel f'enerġija. Il-massa ta' idroġenu moħlija bħala frazzjoni tal-massa tassew mibdula hi 6.690,48 / 0.045,82 ~ 150. Jiġifieri għal kull gramma maqluba f'enerġija jitużaw 150 gramma ta' idroġenu. (Bil-maqlub dan ifisser li madwar 0.7 fil-mija tal-massa idroġenu tal-bidu tinbidel f'enerġija.) Għalhekk biex nibdlu 4.4×1012 grammi kull sekonda irridu "naħarqu" 150 darba iżjed, jiġifieri 6.6×1014 grammi ta' idroġenu kull sekonda. La l-massa tax-Xemx hi ta' 2×1033 grammi, jekk din il-kwantità kollha ta' materja tinħela, il-Xemx tista' tforni l-enerġija bir-rata ta' issa matul 2×1033 / 6.6×1014  = 3×1018 sekondi. Billi sena fiha 3×107 sekondi, naslu għal tul ta' ħajja totali ta' 100 miljardi (1011) ta' snin.

L-evoluzzjoni ta' stilla in ġenerali, u tax-Xemx in partikulari, hi iżjed komplikata mill-iskema elementari tal-bidla tal-idroġenu f'elju. Mhux l-idroġenu kollu jinħaraq f'elju u bosta reazzjonijiet oħra ta' kombustjoni nukleari jiġru fl-istess ħin. Fl-aħħar, meta nqisu l-mudelli stellari iżjed komplikati, it-teoriji attwali jbassru ħajja sħiħa ta' xi 10 miljardi ta' snin għal kewkba tat-tip tax-Xemx. Ix-Xemx billi diġà ħliet madwar 5 miljardi, baqgħalha ftit inqas "x'tgħix". (Imma ħadd ma jkun hemm biex jixhed il-mewt tax-Xemx għax il-ħajja tagħha taqbeż sewwa l-iskala temporali tal-umanità !)

## Elettromanjetiżmu u r-relattività ristretta

Fl-ispazju Newtonjan bi tliet dimensjonijiet, partiċella ta' karga *q* imqiegħda f'kamp elettriku WIKINIUM\_MATH\_PH\_306 u kamp manjetiku WIKINIUM\_MATH\_PH\_308 għandha fuqha il-forza ta' Lorentz u l-ekwazzjoni li tmexxi l-moviment tagħha hi

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_310
Biex naqilbu din il-formola għall-mekkanika relattivistika, irridu nqisu l-kwadrivettur enerġija-momentu WIKINIUM\_MATH\_PH\_312 minnflok il-vettur WIKINIUM\_MATH\_PH\_314 u rridu nsibu r-rata ta' varjazzjoni ta' dan il-kwadrivettur fis-sistema proprja tal-partiċella u mhux f'sistema Galileja tkun liema tkun. It-terminu tax-xellug imbagħad ikun tal-forma WIKINIUM\_MATH\_PH\_316 , fejn WIKINIUM\_MATH\_PH\_318 hi l-ħin proprju tal-partiċella kkargata. Fuq il-lemin insibu oġġett indipendenti mis-sistema magħżula u li wkoll irid ikun bilfors funzjoni linjari tal-veloċità WIKINIUM\_MATH\_PH\_320 tal-partiċella. In fatti il-parti spazjali tal-ekwazzjoni tad-dinamika linjari f' WIKINIUM\_MATH\_PH\_322 nistgħu niktbuha

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_324

F'din l-espressjoni WIKINIUM\_MATH\_PH\_326 u WIKINIUM\_MATH\_PH\_328 huma l-komponenti f'sistema Lorentzjana tal-kwadrivettur veloċità WIKINIUM\_MATH\_PH\_330 , li nistgħu niktbuhom :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_332
L-ekwazzjoni ta' hawn fuq nistgħu naqsmuha b'mod espliċitu fit-tliet assi kif ġej :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_334
Minn naħa l-oħra il-komponent temporali tal-ekwazzjoni tad-dinamika (li jikkorrispondi mal-liġi li tagħti l-varjazzjoni tal-enerġija) tinkiteb

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_336
fejn *W* hu x-xogħol tal-forza WIKINIUM\_MATH\_PH\_338

Meta niġbru l-ekwazzjonijiet miktuba hawn fuq fil-kuntest ta' spazju-ħin f'erba' dimensjonijiet, ir-rata ta' varjazzjoni tal-kwadrivettur enerġija-momentu hi mogħtija hekk

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_340
L-ekwazzjoni matriċjali li għadna kif ktibna turi li fir-relattività ristretta il-kamp manjetiku u il-kamp elettriku jagħmlu entità waħda. Fil-fatti il-preżentazzjoni li tajna hi xi ftit inkorretta fis-sens li biex noħorġu l-qawwa kollha tat-teorija relattivistika hemm bżonn nużaw it-tensuri. L-ekwazzjoni matriċjali hawn fuq hi t-traduzzjoni f'termini ta' komponenti tal-ekwazzjoni tensorjali, indipendenti minn kull sistema ta' koordinati

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_342
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_344 hu t-tensur tal-kamp elettromanjetiku (jew tensur ta' Maxwell jew tensur ta' Faraday). Hu dan l-oġgett li jirrapreżenta fiżikament il-kamp elettromanjetiku. Il-komponenti tiegħu f'ċertu sistema ta' koordinati jingħataw mill-matriċi miktub hawn fuq.

## Vokabularju

1. **Osservatur** : bniedem jew apparat ta' rilevament li għandu arloġġ li bih jista' jaqra l-ħin u jekk jagħmel parti minn grupp, jista' jkollu marka li turi l-pożizzjoni tiegħu.
2. **Sistema ta' riferiment Galilej**, imsejjaħ ukoll "sistema ta' riferiment ta' Lorentz" jew "sistema ta' riferiment inerzjali" : sett ta' osservaturi mferrxin mal-ispazju imbegħdin minn kull massa, li d-distanzi bejniethom ma jinbidlux mal-ħin (huma weqfin relattivament ma' xulxin) u li l-arloġġi tagħhom huma sinkronizzati.
3. **ġrajja** : ġrajja hi ġrajja (!), bħal pereżempju t-twelid ta' individwu, il-tluq ta' razz jew l-sparar ta' murtal. Hi indipendenti mill-koordinati tal-ħin u tal-ispazju li bihom nillokalizzawha. Fil-fatti hu komdu li nqabblu l-ġrajja mal-koordinati tagħha relattivament ma' sistema, biex inkunu nafu fejn u meta ġrat f'din is-sistema.

Fir-relattività ristretta t-tul u l-ħin inkejluhom bl-istess unità (kif għamilna aħna b'mod sistematiku). Fl-astronomija jagħżlu l-unità tal-ħin u jkejlu d-distanza bil-ħin li d-dawl jieħu biex jivjaġġa din id-distanza. Pereżempju jekk galassija qiegħda ħames muljun sena tad-dawl 'il bogħod minnha ifisser li d-dawl jieħu ħames miljun sena biex jaqsam id-distanza li tifridna. Ninnutaw li meta fil-ħajja ta' kuljum ngħidu li Pariġi, pereżempju, hi tliet sigħat bit-tren minn Montpellier, inkunu qegħdin inkejlu d-distanza bil-ħin.

## Ħoloq esterni

### Xogħljiet oriġinali

* *Zur Elektrodynamik bewegter Körper* Ix-xogħol oriġinali ta' Einstein bil-Ġermaniz, Annalen der Physik, Berne 1905

### Korsijiet

* Kors bl-Ingliż fuq ir-relattività ristretta u ġenerali mill-Università ta' Yale

### Ir-relattività ristretta għal udjenza ġenerali (l-ebda għarfien tal-matematika m'hu meħtieġ)

* Wikibooks: Relattività ristretta
* Einstein Online Introduzzjoni għat-teorija tar-relattività, mill-Istitut Max Planck għal Fiżika Gravitazzjonali.

### Ir-relattività ristretta spjegata (bl-użu tal-matematika sempliċi jew iżjed avvanzata)

* Il-*K-Kalkulu* ta' Bondi – Introduzzjoni sempliċi għat-teorija tar-relattività ristretta.
* Noti ta' D. W. Hogg Notes fuq ir-relattività ristretta Introduzzjoni siewja għat-teorija tar-relattività ristretta fl-livell universitarju bl-użu tal-kalkulu.
* L-oriġni tat-teorija tar-relattività ristretta ta' Einstein – Approċċ storiku għat-teorija tar-relattività ristretta.
* Relattività Introduzzjoni għat-teorija tar-relattività ristretta fl-livell universitarju bla użu tal-kalkulu.
* Relattività ristretta Università ta' Stanford, Helen Quinn, 2003
* Nifhmu r-relattività ristretta It-teorija tar-relattività ristretta spjegata b'mod faċli.

### Viżwalizzazzjoni

* Raytracing Special relativity Software li jivviżwalizza bosta xenarji taħt l-influwenza tar-relattività ristretta.
* Relattività fil-ħin veru The Australian National University. Effetti viżwali relattivistiċi permezz ta' programm interattiv.
* Vjaġġar fl-*ispazju-ħin* Bosta viżwalizzjonijiet ta' effetti relattivistiċi, mill-moviment relattivistiku għat-toqob suwed.
* Klipp ta' animazzjoni viżwalizzjoni tat-trasformazzjoni ta' Lorentz.
* Bosta animazzjonijiet bil-FLASH ta' sistemi riferenzjali ta' Lorentz u Galilejani, Il-paradoss tat-tren fil-mina, il-paradoss tat-tewmin, propagazzjoni tal-mewġ, etc.

## Noti u referenzi

|  |  |
| --- | --- |
|  | Portal Matematika  |