# Математик загвар

Математик загвар нь математикийн ойлголт, хэлийг ашиглан тодорхой системийн хийсвэр тайлбар юм. Математик загвар боловсруулах үйл явцыг математик загварчлал гэж нэрлэдэг. Математик загваруудыг хэрэглээний математик болон байгалийн шинжлэх ухаан (физик, биологи, газар судлал, хими гэх мэт) болон инженерийн салбарууд (компьютерийн шинжлэх ухаан, цахилгааны инженер гэх мэт), түүнчлэн нийгмийн шинжлэх ухаан зэрэг физикийн бус системд ашигладаг. (эдийн засаг, сэтгэл судлал, социологи, улс төрийн шинжлэх ухаан гэх мэт). Мөн үүнийг дангаар нь хичээл болгон зааж болно.

Бизнесийн болон цэргийн ажиллагааны асуудлуудыг шийдвэрлэхэд математик загварыг ашиглах нь үйл ажиллагааны судалгааны талбарын томоохон хэсэг юм. Математик загварыг хөгжим, хэл шинжлэл, гүн ухаанд бас ашигладаг (жишээлбэл, аналитик философид эрчимтэй ашигладаг). Загвар нь системийг тайлбарлах, янз бүрийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн үр нөлөөг судлах, зан үйлийн талаар таамаглал гаргахад тусалдаг.

Загвар нь системийг тайлбарлах, түүний өөр бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн нөлөөг судлах, системийн төлөв байдлын талаар таамаглал дэвшүүлэхэд тусалдаг.

## Математик загварын элементүүд

Математик загварууд нь янз бүрийн хэлбэртэй байж болох ч ихэвчлэн дараах элементүүдийг агуулдаг:

* \*\*Удирдах тэгшитгэлүүд:\*\* Системийн үндсэн хууль, хамаарлыг илэрхийлнэ.
* \*\*Нэмэлт туслах загварууд:\*\*
* \*\*Тодорхойлох тэгшитгэлүүд:\*\* Шинэ хувьсагчдыг тодорхойлох.
* \*\*Үндсэн тэгшитгэлүүд:\*\* Материалын шинж чанарыг тодорхойлох хамаарал.

* \*\*Таамаглал болон хязгаарлалтууд:\*\*
* \*\*Анхны болон хилийн нөхцөлүүд:\*\* Хугацааны эхэн болон орон зайн хил дээрх утгууд.
* \*\*Кинематик тэгшитгэлүүд:\*\* Хөдөлгөөний геометрийн хязгаарлалт.

### Ангилал

Математик загваруудыг дараах байдлаар ангилж болно:

## Шугаман ба шугаман бус (Linear vs. nonlinear)

Хэрэв математик загвар дахь бүх операторууд шугаман шинж чанарыг хангаж байвал уг загварыг шугаман гэнэ. Бусад тохиолдолд шугаман бус гэж үзнэ. Шугаман бүтэц нь асуудлыг тусад нь шинжилж болох энгийн хэсгүүдэд хуваах боломжийг олгодог. Шугаман бус системүүд, тэр ч байтугай энгийн хэлбэртэй байсан ч хаос (chaos) болон эргэшгүй (irreversibility) үзэгдлүүдтэй холбогддог.

## Статик ба динамик (Static vs. dynamic)

* + Динамик загвар\*\* нь системийн төлөв байдлын хугацаанаас хамаарсан өөрчлөлтийг тооцдог бол \*\*статик загвар\*\* нь системийг тэнцвэрт байдалд буюу хугацаанаас хамааралгүйгээр тооцоолдог. Динамик загваруудыг ихэвчлэн дифференциал тэгшитгэлээр илэрхийлдэг.

## Илэрхий ба далд (Explicit vs. implicit)

Хэрэв загварын гаралтын бүх параметрүүдийг оролтын параметрүүдийн функцээр шууд тодорхойлж болох бол уг загварыг \*\*илэрхий\*\* гэнэ. Хэрэв гаралтын параметрүүдийг олохын тулд тэгшитгэл шийдэх шаардлагатай бол \*\*далд\*\* гэнэ.

## Дискрет ба тасралтгүй (Discrete vs. continuous)

* + Тасралтгүй загвар\*\* нь объектуудыг тасралтгүй үргэлжлэх байдлаар авч үздэг бол \*\*дискрет загвар\*\* нь объектуудыг тусдаа нэгжүүд (дискрет утгууд) гэж үздэг.

## Тодорхойлогдсон ба магадлалын (Deterministic vs. stochastic)

* + Тодорхойлогдсон загвар\*\* нь өгөгдсөн анхны нөхцөл бүрт ижил үр дүн гаргадаг. Харин \*\*магадлалын загвар\*\* (stochastic) нь санамсаргүй байдлыг агуулдаг бөгөөд үр дүн нь магадлалын тархалтаар илэрхийлэгддэг.

## Стратегийн ба стратегийн бус (Strategic vs. non-strategic)

Тоглоомын онолд ашиглагддаг загварууд нь шийдвэр гаргагч талуудын хоорондын харилцан үйлчлэлийг (стратеги) тооцдог бол стратегийн бус загварууд нь зөвхөн системийн ерөнхий төлөвийг тодорхойлдог.

## Бүтэц (Construction)

Загвар боловсруулах үйл явцад дараах хүчин зүйлс чухал:

## Нарийн төвөгтэй байдал (Complexity)

Загвар хэт энгийн байвал бодит байдлыг илэрхийлж чадахгүй (underfitting), харин хэт төвөгтэй байвал өгөгдлийн дуу чимээнд (noise) хэт мэдрэмтгий болж таамаглах чадвар нь мууддаг (overfitting). Энэ хоёрын тэнцвэрийг олох нь математик загварчлалын гол сорилт юм.

## Үнэлгээ ба шалгалт (Evaluation and assessment)

Загварын үнэн зөв байдлыг дараах байдлаар үнэлдэг:

1. \*\*Эмпирик өгөгдөлтэй таарах байдал:\*\* Бодит ажиглалттай хэр зэрэг нийцэж байгааг шалгах.
2. \*\*Загварын хүрээ:\*\* Загвар ямар нөхцөлд ажиллах боломжтойг тодорхойлох.
3. \*\*Философийн асуудал:\*\* Загвар нь зөвхөн "хар хайрцаг" (black box) байх уу, эсвэл учир шалтгааныг тайлбарлах уу гэдгийг шийдэх.

## Байгалийн шинжлэх ухаан дахь ач холбогдол

Математик загварууд нь байгалийн хуулиудыг математик хэлээр илэрхийлж, тэдгээр дээр үндэслэн туршилтаар баталж болох таамаглалууд дэвшүүлэх боломжийг олгодог. Физикийн салбарт энэ нь хамгийн тод илэрдэг.

## Жишээ

Математик загваруудын жишээ| Салбар | Загварын нэр | Математик аппарат |
| --- | --- | --- |
| Физик | Ньютоны 2-р хууль |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_0  |
| Популяцийн биологи | Мальтусын өсөлт |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_2  |
| Санхүү | Блэк-Шоулзын загвар | Тухайн уламжлалт дифференциал тэгшитгэл |
| Эпидемиологи | SIR загвар | Дифференциал тэгшитгэлийн систем |

## Мөн үзэх

* [Математик загварчлал](
* [Системийн шинжилгээ](
* [Тоон арга](