# Тригонометриски функции

**Тригонометриска функција** — функција на агол. Името го добилеа по гранката од математиката која ги користи за решавање триаголници, а која се нарекува тригонометрија.

Кога аголот, знали аргументот на овие функции е реален број, тогаш тие се функции на рамнинската тригонометрија: синус и косинус, од кои се изведуваат сите останати. Од останатите основни функции на агол често во употреба се тангенс, па и котангенс, потоа, малку поретко се среќаваат косеканс и секанс, и конечно најретко синус версус и косинус версус. Кога аголот е комплексен број тогаш функциите на агол може да преминат во хиперболични функции.

Инверзните тригонометриски функции се викаат *циклометриски* функции и *аркус-функции*, т.е. *функција-1*.

## Дефиниции

Сл.1. Тригонометриски триаголник
Основните тригонометриски функции, синус, косинус и тангенс обично се дефинираат со помош на правоаголен триаголник (види ја сликата десно). Имено, односот на две страни во правоаголниот триаголник е функција од остриот агол на триаголникот и затоа односите меѓу страните на правоаголниот триаголник се нарекуваат тригонометриски функции. Поимот „тригонометрија“ потекнува од грчките зборови за триаголник (тригонос) и за мерење (метрео), т.е. поимот тригонометрија буквално значи „мерење на триаголникот“. Синус од остар агол во правоаголен триаголник е односот меѓу спротивната катета на тој агол и хипотенузата. Косинус од остриот агол во правоаголен триаголник е односот меѓу прилегнатата катета и хипотенузата. Тангенс е односот меѓу спротивната и прилегнатата катета на остар агол во правоаголен триаголник. Котангенс е односот меѓу прилегнатата и спротивната катета на остар агол во правоаголен триаголник.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
*Позитивен* математички агол има спротивна насока од стрелките на часовникот.

## Тригонометриска кружница

На сликата (2) долу е прикажана кружница со полупречник еден со центар во координатниот почеток, т.е. WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 која се вика *тригонометриска кружница*.

Сл.2. Тригонометриска кружница
Дефиниција 1
Тригонометриските реални функции на агол φ се дефинираат со равенките

**(а)** WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 синус и косинус се реални броеви;
**(б)** WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 тангенс и котангенс;
**(в)** WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 секанс и косеканс.
**(г)** WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 косинус версус и синус версус.
Функциите (в), а особено (г) ретко ги среќаваме.

Теорема 1
**(а)** WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 косинус и синус;
**(б)** WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 тангенс и котангенс;
**(в)** WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 секанс и косеканс.
ДоказТочката Т од сликата 1. овде (сл.2.) е точката D.
**(а)** Следи непосредно заради полупречникот r = 1.
**(б)** Да ги воочиме сличните триаголници WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 од каде WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 т.е. WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 да ги воочиме сличните триаголници WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 одатле WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 т.е. WIKINIUM\_MATH\_PH\_28
**(в)** Од истите слични триаголници (б) добиваме WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 т.е. WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 потоа WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 т.е. WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
Крај на доказот.

## Посебни агли

Овде ќе бидат анализирани особините на вредностите на тригонометриски функции за посебни агли.

### Предзнак

На претходната слика (3) претставен е Декартовиот правоаголен координатен систем и точката D на тригонометриската кружница. Аголот BOD = φ може неограничено да расте додека подвижниот крак на аголот (OD) проаѓа редум низ првиот, вториот, третиот и четвртиот квадрант, а потоа повторно по истиот круг. Значи, аголот φ може да расте до 360° и понатаму. Притоа проекциите на точката D на апсцисата и ординатата секогаш се сметаат како косинус и синус на аголот φ. Тоа значи дека косинусот е позитивен кога точката D во првиот и четвртиот квадрант, а дека синусот е позитивен кога точката D е во првиот и вториот квадрант. Детално тоа се гледа во следната табела:

*Тригонометриските функции по квадранти*| Квадрант | 1. (0°-90°) | 2. (90°-180°) | 3. (180°-270°) | 4. (270°-360°) |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| синус | + | + | - | - |
| косинус | + | - | - | + |
| тангенс | + | - | + | - |

### Сведување на првиот квадрант

Преку тригонометриската кружница или адиционите формули лесно може да се провери точноста на формулата за *сведување на вредностите* на тригонометриските функции на функции на агли од првиот квадрант:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42
Функциите косинус и синус се периодични со основен период од 360°, a функцијата тангенс е периодична со период од 180°:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44
Периодот на синусната и косинусната функција може да се најде од формулата:
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46

Така периодот на функцијата е WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 еднаков WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 , односно WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 .

Функциите на агли поголеми од 360 степени со претходните формули се сведува на функции од помали агли, а потоа, ако е потребно, на првиот квадрант, на начин видлив во следната табела:

|  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_54  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_56  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_58  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_60  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_62  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_64  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_66  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_68  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_70  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_72  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_74  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_76  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_78  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_80  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_82  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_84  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_86  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_88  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_90  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_92  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_94  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_96  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_98  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_100  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_102  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_104  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_106  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_108  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_110  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_112  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_114  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_116  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_118  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_120  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_122  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_124  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_126  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_128  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_130  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_132  |

Во општ случај тоа може да се запише вака:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_134
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_136
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_138
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_140
Притоа *f* — е произволна тригонометриска функција, *g* — е нејзината соодветна функција (косинус за синус, синус за косинус и аналогно за останатите функции), а *n* — цел број.

## Вредности на тригонометриските функции

Вредности на тригонометриските функции прикажани на тригонометриската кружница
За некои од аглите од првиот квадрант функциите полесно се пресметуваат:

*Најчести вредности на тригонометриските функции*|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_142  | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_144  | 0 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_146  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_148  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_150  | 1 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_152  | 1 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_154  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_156  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_158  | 0 |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_160  | 0 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_162  | 1 |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_164  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_166  |

Еден од начинот на пресметување на овие вредности е прикажан во прегледот на основни агли. Од табелата се гледа дека веќе кај „основните“ агли тригонометриските функции се ирационални броеви и дека слични изрази за други агли би можело да бидат уште посложени. Поедноставен од тие посложени изрази би бил, на пример WIKINIUM\_MATH\_PH\_168 и тоа е најмалиот агол чиј синус може да се претстави со запис на проста алгебарска комбинација од рационални броеви и корени. Со векови тригонометриските вредности биле запишувани во тригонометриски таблици, на 5 до 10 децимали, a во последно време се користат скоро исклучиво сметач или калкулатор.

Вредностите на тригонометриските функции на некои агли кои се пресметуваат по нешто подолг пат се дадени во следната табела:

|  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_170  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_172  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_174  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_176  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_178  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_180  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_182  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_184  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_186  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_188  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_190  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_192  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_194  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_196  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_198  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_200  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_202  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_204  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_206  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_208  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_210  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_212  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_214  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_216  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_218  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_220  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_222  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_224  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_226  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_228  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_230  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_232  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_234  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_236  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_238  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_240  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_242  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_244  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_246  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_248  |

Кога точката D еднаш ја обиколи кружницата поминува пат 2*π* односно прави 360°. Лак со должина *π* одговара на агол од 180° - рамен агол, π/2 е 90° - прав агол, π/3 е 60°, π/4 е 45°, π/6 е 30°, и општо лак со должина *x* радијани одговара на агол од 360*x*/2*π* степени. За еден радијан, х = 1, се добива агол 57,2957795... степени, т.е. во степени, минути и секунди 57°17'44,8". Еден степен има 60 минута, а една минута има 60 секунди. Изразите минути и секунди потекнуваат од латинските зборови: *partes minutae primae* и *partes minutae secundae*, т.е. први мали делови и втори мали делови. Математичките текстови за единица агол го подразбираат радијанот.

## Редови

Тригонометриските функции, исто така, може да се претставуваат со (бесконечни) редови:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_250
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_252
Овие редови може да се употребат и за дефинирање на тригонометриски функции на комплексен број z, и хиперболични функции.

Имајќи ги предвид равенките WIKINIUM\_MATH\_PH\_254 WIKINIUM\_MATH\_PH\_256 WIKINIUM\_MATH\_PH\_258 и WIKINIUM\_MATH\_PH\_260 во Тејлоровиот ред може да се разложат следните функции:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_262
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_264
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_266
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_268
## Графикони

Тригонометриските функции може да се претстават графички. На следните слики се прикажани нивните графикони:

Графикони на тригонометриски функции: синусо, косинусо, тангенсо, секансо, косекансо, котангенсо
## Парност

Косинус и секанс се парни функции, додека останатите четири се непарни функции:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_270
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_272
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_274
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_276
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_278
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_280
## Гранична вредност

Тетивата е пократка од лакот На сликата лево се гледа тетивата WIKINIUM\_MATH\_PH\_282 која сигурно е пократка од лакот WIKINIUM\_MATH\_PH\_284 Тетивата е најкраткото растојание меѓу две точки на кружница. Затоа полутетивата WIKINIUM\_MATH\_PH\_286 е пократка од полулакот WIKINIUM\_MATH\_PH\_288 Триаголникот ODA, со остар агол WIKINIUM\_MATH\_PH\_290 е правоаголен. Правиот агол е во темето D, катетата ОD изнесува WIKINIUM\_MATH\_PH\_292 , катетата DA изнесува WIKINIUM\_MATH\_PH\_294 , хипотенузата е со должина еден. Кога аголот е во радијани и WIKINIUM\_MATH\_PH\_296 тогаш

Теорема 1 WIKINIUM\_MATH\_PH\_298
**Доказ**: Следи од WIKINIUM\_MATH\_PH\_300 и WIKINIUM\_MATH\_PH\_302 Крај.

Кога аголот тежи кон нула преку позитивните вредности, тогаш синусот е позитивен, а негативен е кога аголот тежи кон нула преку негативни вредности. Косинусот пак во двата случаја е позитивен. Од тоа произлегуваат лимесите за котангенс: WIKINIUM\_MATH\_PH\_304 Со замена на х со комплементен агол се добиваат соодветните лимеси за тангенс.

Тригонометриски круг
Теорема 2 WIKINIUM\_MATH\_PH\_306
ДоказНа сликата десно, површината на правоаголниот триаголник OCD е помала од површината на кружниот исечок OAD, а оваа повторно е помала од површината на правоаголниот триаголник OAB. Со х агол AOB. Оттука WIKINIUM\_MATH\_PH\_308 Ако овие нееднаквости ги поделиме со (позитивен) WIKINIUM\_MATH\_PH\_310 ќе добиеме WIKINIUM\_MATH\_PH\_312 а оттука WIKINIUM\_MATH\_PH\_314 Со WIKINIUM\_MATH\_PH\_316 вреди WIKINIUM\_MATH\_PH\_318 па е WIKINIUM\_MATH\_PH\_320 Синус е непарна функција па доказот за негативни агли е ист. Крај на доказот.
## Извод

Извод од функцијата f(x) по дефиниција е гранична вредност: WIKINIUM\_MATH\_PH\_322

Теорема 3**(а)** WIKINIUM\_MATH\_PH\_324
**(б)** WIKINIUM\_MATH\_PH\_326
**(в)** WIKINIUM\_MATH\_PH\_328
**(г)** WIKINIUM\_MATH\_PH\_330
Доказ**(а)** WIKINIUM\_MATH\_PH\_332 па
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_334 када WIKINIUM\_MATH\_PH\_336 (теорема 2).
**(б)** Заради WIKINIUM\_MATH\_PH\_338 биће WIKINIUM\_MATH\_PH\_340
**(в)** Извод на количник WIKINIUM\_MATH\_PH\_342
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_344
**(г)** Извод на количник WIKINIUM\_MATH\_PH\_346
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_348 Крај на доказот 3.
## Интеграли на тригонометриски функции

Ова се интегралите на некои тригонометриски функции:

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_350  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_352  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_354  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_356  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_358  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_360  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_362  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_364  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_366  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_368  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_370  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_372  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_374  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_376  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_378  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_380  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_382  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_384  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_386  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_388  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_390  |

## Други особини

Прегледот на скоро сите особини на тригонометриските функции кои се однесуваат на решавање на триаголници се дадени во статијата: рамнинска тригонометрија.

Во посебен прилог може да се најдат доказите за адиционите формули, каде спаѓаат и формулите за *двојни агли*, потоа *половини агли*, како и претставување на *збир и разлика* на тригонометриски функции со *помош на производ* и обратно, и изразување на останатите тригонометриски функции со помош на тангенс од половина агол.

Исто така, во посебен прилог се дадени тригонометриските равенки.

## Тригонометриски функции како решенија на диференцијални равенки

Тригонометриските функции **косинус** и **синус** може да се претстават како решенија на диференцијални равенки:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_392
со почетним условом WIKINIUM\_MATH\_PH\_394 .

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_396
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_398
## Тригонометриски функции како решенија на функционални равенки

Функциите **косинус** и **синус** може да се одредат како непрекинати решенија на системи функционални равенки:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_400

## Инверзни тригонометриски функции

*Инверзни тригонометриски функции* се arcsin x (аркус синус икс), arccos x (аркус косинус), arctg x (аркус тангенс), arcctg x (аркус котангенс). Тие се инверзни на тригонометриските функции sin x (синус икс), cos x (косинус), tg x (тангенс), ctg x (котангенс). Претставката *аркус* потекнува од латинскиот збор *arcus* - лак, агол. Се нарекуваат и *циклометриски* функции.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_402
## Примена во физиката

Примената на тригонометријата и тригонометриските функции во физиката е многу голема.

Така на пример доста се користат во анализа на простирањето на брановите, опишување на хармониските осцилации како периодични движења, претставување на наизменичната струја, итн.

## Поврзано

* Тригонометриски равенки
* Рамнинска тригонометрија
* Функција
* Список на интеграли на тригонометриски функции
* Инверзни тригонометриски функции

|  |
| --- |
| **Тригонометриски и хиперболични функции** |
|

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  | Синус | Косинус | Тангенс | Котангенс | Секанс | Косеканс |
| Функција | sin(x) | cos(x) | tg(x) | ctg(x) | sec(x) | cosec(x) |
| Инверзна | arcsin(x) | arccos(x) | arctg(x) | arcctg(x) | arcsec(x) | arccosec(x) |
| Хиперболична | sinh(x) | cosh(x) | tgh(x) | ctgh(x) | sech(x) | cosech(x) |
| Инв. хиперболична | arcsinh(x) | arccosh(x) | arctgh(x) | arcctgh(x) | arcsech(x) | arccosech(x) |

 |