# Декартов координатен систем

Приказ на Декартова координатна рамнина. Четирите точки се означени со нивните координати: (2, 3) со зелено, (−3; 1) со црвено, (−1,5; −2,5) со сино, и почетокот (0, 0) со виолетово.
**Декартов координатен систем** (или **правоаголен координатен систем**) — систем по кој се определува положбата на некоја точка на рамнина со пар бројчени **координати**, кои се означени растојанија од точката до двете нормални насочени линии, изразени во една иста единица за должина. Секоја линија е наречена „координатна оска“ или само „оска“, а точката во која се пресекуваат се нарекува „координатен почеток“, обично во подредениот пар (0,0). Координатите можат да се претстават и како положби на правоаголните проекции на точката врз двете оски, изразени како растојанија од почетокот.

На истиот начин може да се претстави и точка во тридимензионален простор, но со три координати, кои се означените растојанија на ри заемно нормални рамнини (или со правоаголната проекција брз три заемно нормални линии). Истото важи и за точка во било која димензија *n*, чија положба ја одредуваме користејќи *n* координати, кои се означени растојанија од *n* заемно нормални хиперрамнини.

Декартов координатен систем со кружница со полупречник со средиште во почетокот. Равенката на кружницата е (*x* - *a*)2 + (*y* - *b*)2 = *r*2 каде *a* и *b* се координатите во центарот (*a*, *b*), а *r* е полупречникот.
Изумувањето на координатниот систем претставува епохален момент во математиката, кој за првпат овозможил методолошка врска помеѓу геометријата и алгебрата. Користејќи го овој систем можеме да претставуваме геометриски фигури (на пр. криви) како **Декартови равенки**, кои се алгебарски равенки со координати на точките што лежат на фигурата. На пример, една кружница со полупречник 2 може да се опише како множество од сите точки чиишто координати *x* и *y* ја задоволуваат равенката *x*2 + *y*2 = 4.

Декартовите координати се камен-темелник на аналитичката геометрија и даваат геометриски толкувања во многу други математички гранки како што е линеарната алгебра, комплексната анализа, диференцијалната геометрија, повеќепроменливата анализа, теоријата на групите и други. Познат пример за примена на системот е графиконот на функција. Декартовите координати се незаменливи и во многу други применети полиња што работат со геометрија, како астрономијата, физиката, инженерството и многу други. Ова е најзастапениот координатен систем во изработката на сметачка графика, сметачки-потпомогнатото конструирање (CAD) и други обработки на податоци поврзани со геметријата, т.е. што користат пресметковна геометрија.

## Историја

Творецот на овој систем е францускиот математичар и филозоф Рене Декарт (1596-1650). Идејата се развила во 1637 во две независни дела на Декарт и Пјер де Ферма. Ферма работел со три димензии, но не го објавил пронајдокот. Во делото „Геометрија“ (*La Géométrie*) Декарт поподробно ја образложува новата замисла како да се претстави положбата на една точка или предмет на некоја површина со помош на оски што се сечат и поделоци за мерење.

Декартовиот координатен систем го овозможил развојот на перспективната и проективната геометрија. Подоцна системот одиграл суштинска улога и во развојот на анализата, чии творци се Исак Њутн и Готфрид Вилхелм Лајбниц.

Оттогаш наваму се измислени разни други координатни системи како поларниот за рамнина и сферниот и цилиндричниот систем за тридимензионален простор.

## Дефиниции

### Декартови координати во две димензии

Денешниот Декартов координатен систем во две димензии се сосоти од нормални линии (оски), една иста единица за двете оски и ориентација на секоја оска. Линиите се нарекуваат *x*-оска и *y*-оска, првата хоризонтална, а втората вертикална. Точката во која се среќаваат е заеднички почеток, па со тоа секоја оска е бројна оска. За некоја точка *P*, низ неа се повлекува линија нормална на *x*-оската за да ја пресече таа оска *X* и друга линија *P* нормална на *y*-оската за да се пресече со таа оска *Y*. Потоа координатите на точката *P* се *X* и *Y* протолкувани како броеви *x* и *y* на соодветните бројни оски. Координатите се запишуваат како подреден пар (*x*, *y*). Точката во која се сечат оските е заедничкиот почеток на двете бројни линии и се нарекува „координатен почеток“ и се означува со *O*, па во тој случај оските можат да се наречат и *Ox* и *Oy*. Рамнина со оски *x* и *y* се нарекува Декартова рамнина или „рамнина *xy*“. Вредноста на *x* се нарекува „координата *x*“ или апсциса, а вредноста на *y* се нарекува „координата *y*“ или ордината.

### Декартови координати во три димензии

Тридимензионален Декартов координатен систем со почеток *O* и оски *X*, *Y* и *Z* во прикажаната насока. Дебелите рецки на оската се единици должина. Црната точка е точката што ги има координатите *X* = 2, *Y* = 3 и *Z* = 4, т.е. (2,3,4).
Декартовиот координатен систем во три димензии има три линии (оски) кои се заемно нормални, заедничка единица за должина и ориентација на секоја оска. Како и кај дводимензионалниот систем, секоја оска е бројна оска. Координатите на точката *p* се добиваат со повлекување на три линии низ *p* кои се нормални на секоја координатна оска, и запишување на местата кајшто линиите ќе се пресечат со оските како три броја.

Координатите на точката *p* можат да се претстават и како предозначени растојанија од *p* до трите рамнини што ги определуваат трите оски. Ако оските се наречени *x*, *y* и *z*, тогаш координатата *x* е растојанието од рамнината што ја определуваат оските *y* и *z*. Растојанието треба да е означено со предзнакот + или −, зависно од тоа во кој полупростор што го сече рамнината се наоѓа *p*. На истиот начин се добиваат и координатите *y* и *z*: првата од рамнината (*x*,*z*), а другата од рамнината (*x*,*y*).

Координатни површини на координатите (*x*, *y*, *z*). *z*-оската е вертикална, а *x*-оската е обележана со зелено. Така, црвената рамнина ги означува точките со *x*=1, сината со *z*=1, а жолтата со *y*=-1. Трите површини се сечат во точката **P** (означена како црно топче) со координати (1, -1, 1).
### Квадранти и октанти

Четирите квадранти на Декартовиот координатен систем.
Оските на дводимензионалниот Декартов систем ја делат рамнината на четири бесконечни дела наречени **квадранти**, секој ограничен со две полуоски. Квадрантите се означуваат со римски бројки и предзнак: I (+,+), II (−,+), III (−,−) и IV (+,−)

Тридимензионалниот Декартов систем ги дели просторот на **октант**, согласно предзнаците на координатите на точката. Октантот каде сите три координати се позитивни се нарекува **прв октант**, но не постои договорена номенклатура за останатите октанти. n-димензионалното воопштување на квадрантот и октантот се нарекува ортант.

## Декартов простор

Една рамнина со Декартов координатен систем се нарекува *Декартова рамнина*. Бидејќи координатите во овој систем се единствени и недвосмислени, точките на рамнината може да ги определуваат сите можни парови на реални броеви, т.е. со Декартовиот производ WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 , каде WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 е множеството на сите реални броеви. Така имаме и *Декартов простор* од било која димензија *n*, чии точки се „торки“ (набројувања) на *n* реални броеви, т.е. со WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 .

## Декартови формули за рамнина

### Растојание помеѓу две точки

Растојанието помеѓу две точки на рамнината со Декартови координати WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 и WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 изнесува:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10
Ова е Декартовата варијанта на Питагорината теорема. Во тридимензионален простор, растојанието помеѓу точките WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 и WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 ќе биде

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
што може да се добие со две последователни примени на Питагорината теорема.

### Формула за средишната точка

Средишната точка на отсечката која поврзува две точки во Декартовиот координатен систем се пресметува како просечна вредност на координатите на двете крајни точки на отсечката, а со помош на следнава формула:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18
### Евклидови трансформации

#### Транслација

За да извршиме транслација на множество точки на рамнината, зачувувајќи ги нивните меѓурастојанија и насоки, додаваме еден ист пар броеви (*X*,*Y*) на координатите за секоја точка од множеството. Ако првичните координати на една точка се (*x*,*y*), по извршената транслација тие ќе бидат

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20
#### Размерување

Ако сакаме да зголемиме или намалиме една фигура, ги помножуваме координатите на секоја точка со еден ист позитивен број *m*. Ако (*x*,*y*) се координатите на точка на првичната фигура, тогаш соодветната точка на разамерената фигура ќе ги има координатите

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22
Ако *m* е поголем од 1, тогаш фигурата е поголема, а ако *m* е помеѓу 0 и 1, тогаш фигурата е помала.

#### Ротација

За да направиме ротација (свртување) на една фигура налево околу почетокот за извесен агол WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 , тогаш ја заменуваме секоја точка со координати (*x*,*y*) со точка со координати (*x'*,*y'*), каде

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28
Така:
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30

#### Отсликување

Ако (*x*, *y*) се координатите на една точка, тогаш (−*x*, *y*) се координатите на нејзината слика долж втората координатна оска (Y-оска), како линијата да е огледало. На истот начин, (*x*, −*y*) се координатите на сликата долж првата координатна оска (Х-оска).

#### Општи трансформаци

Трансформациите на рамнината се транслации, ротации, размерувања, отсликувања и нивни произволни композиции. Резултатот од WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 примената на трансформација врз точката WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 се добива со формулата

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
каде *A* е матрица 2×2, а *b* е пар од броеви кои зависат од трансформацијата; т.е.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40
Матрицата *A* мора да има правоаголни редови со иста должина, т.е.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42
и

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44
Ова е исто што и *A* помножено со транспонираното мора да биде дијагонална матрица. Доколку овие услови не важат, тогаш формулата опишува поопшта афина трансформација на рамнината.

Формулите се однесуваат на транслација ако и само ако *A* е единична матрица. Трансформацијата е ротација околу некоја точка ако и само ако *A* е вртежна матрица, што значи дека

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46
## Поврзано

* Бројна оска
* Декартов производ
* Координатен систем
* Географски координатен систем

## Наводи

## Надворешни врски

* Декартов координатен систем Архивирано на 26 април 2012 г. со интерактивни вежби - „Математика за сите“ (македонски)
* Декартови координати во дводимензионална рамнина Архивирано на 26 април 2012 г. со интерактивни вежби - „Математика за сите“ (македонски)