# Златен пресек

Златен пресек ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 )| Отсечки во златен пресек |
| Записи |
| Десетично | 1,618033988749894... |
| Алгебарски облик |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_1  |
| Верижна дропка |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_3  |
| Двоично | 1,10011110001101110111... |
| Шеснаесетеречно | 1,9E3779B97F4A7C15... |

Златниот правоаголник (во розова боја) со подолгата страна a и пократката страна b, кога е поставена во прилог на квадратот на должината а, произведува геометриска сличност на златниот правоаголник со подолгата страна a + b и пократката страна a. Ова го илустрира односот на WIKINIUM\_MATH\_PH\_5 .
Во математиката две величини се во **златниот** однос ако соодносот помеѓу двете величини е еднаков на збирот на тие две вредности, наспроти повисоки вредности. Сликата од десно ја илустрира геометриски односи. Алгебарски, за количините *a* и *b* и *a* > *b* > 0,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_7
грчката буква фи ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_9 ili WIKINIUM\_MATH\_PH\_11 ) е константна. Неговата вредност е:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_13
Златниот однос се нарекува и  **златен пресек** (латински: *sectio aurea*).. Други имиња вклучуваат **екстремен однос**, **среден пресек**, **златен сразмер**, **златен број**. **божествен пресек**. Тоа е однос во кој има примена на предмети, слики итн. Предизвикува особено естетско доживување – допаѓање, па оттука е и името „Божествен пресек“.

Златниот однос се појавува во одредени модели во природата, вклучувајќи филотаксијата (спирално подредување на листови) и други делови на растенија.

Математичарите уште во времето на Евклид ги изучувале својствата на златниот однос, вклучувајќи ја и појавата на мерење на правилен петаголник и на златниот правоаголник, што всушност може да се подели во квадрат и уште еден правоаголник на истиот однос.

## Пресметка

Две величини *a* и *b* се во златниот однос *φ* ако

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_15
Еден начин да се најде вредноста на φ е со решавање на левата страна. Со упростување на прекршокот и со замена во b/a = 1/φ,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_17
Затоа,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_19
Множење со*φ* дава

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_21
што може да се изрази како

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_23
Со користење на формулата за решавање на  квадратни равенки, се добиваат две решенија:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_25
и

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_27
Бидејќи *φ* е однос меѓу двете позитивни вредности *φ* е секогаш позитивна вредност:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_29 .
## Алгебра

### Ирационалнот

Златниот сооднос е ирационален број. Подолу се два кратки докази на ирационалната:

#### Контрадикција на израз во најниска вредност

Ако φ е рационален број, тогаш би бил размер на страните на правоаголници со цели страни (правоаголник што опфаќа цел дијаграм). Но, исто така, би бил и односна целобројните страни на помалиот правоаголник, (на десната страна на дијаграмот) добиени со бришење на квадратот. Редоследот на намалувањето на целобројните вредности на должината на страната е формирана со бришење на квадратот и не може да трае вечно, бидејќи имаат долна граница, затоа, φ не може да биде рационален.
Да се потсетиме дека:

целината е подолг дел плус пократок дел;
целината е подолг дел, како што е подолг дел на пократок дел.
Ако некој број се нарекува *n* а подолгиот дел *m*, тогаш втората изјава станува:

*n* спроти *m* , исто како што и *m* спроти *n* − *m*,
или, во алгебрата:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_31
Да се каже дека *φ* е рационално значи дека *φ* односите *n*/*m* каде *n* и *m* се integers. Ние може да се каже дека *n*/*m* имаат најниски вредности, и дека *n* и *m се* позитивни броеви. Но, ако дел *n*/*m* ниските вредности, тогаш идентитетот на белешки со (\*) до врвот равенката *m*/(*n* − *m*), кој продолжува да имаат најниски вредности. Оваа контрадикција, која произлегува од тврдат дека *φ* е рационално.

#### Извод од ирационалноста на бројот √5

Уште еден краток доказ — можеби и повеќе познати — каде што златната ирационалност на односот се користи како затвореност кај  рационалните броеви, собирање и множење. Ако WIKINIUM\_MATH\_PH\_33  е рационално, и WIKINIUM\_MATH\_PH\_35  е рационално, што е спроти фактите дека квадратниот корен од не квадратен природен број е ирационален.

### Најмал полином

Златниот сооднос е, исто така, алгебарски број, па дури и цел алгебарски број. Најмалиот полином гласи на следниот начин:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_37
Поради членот со степен 2, овој полином всушност има два корени, и другата вреденост е роднина на златниот сооднос.

### Роднина на златниот пресек

Други корени од најмалите полиноми x -2 - x - 1

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_39
Апсолутната вредност на оваа количина (≈ 0,618) одговара на должината на односите во обратна насока (должината на пократката страна во однос на подолгата, b*/a*), е понекогаш познат под името *роднина на златниот пресек*. Се означува со голема буква Фи ( **WIKINIUM\_MATH\_PH\_41** ):

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_43
## Поврзано

* Златна спирала
* Златен правоаголник
* Сребрен пресек

## Наводи