# Masas centrs

Noliekot balstu zem masas centra, objekts atradīsies līdzsvarā (smaguma spēku kompensēs reakcijas spēks)
Kustību punktam var raksturot ar masas centra pārvietojumu un punkta rotāciju ap masas centru
**Masas centrs** jeb **inerces centrs** ir tāds punkts, kam pieliekot ārējo spēku, tas kustas tā, it kā visa objekta masa būtu koncentrēta šajā materiālajā punktā. Masas centrs sakrīt ar smaguma centru, ja objekts atrodas viendabīgā gravitācijas laukā. Masas centrs var atrasties kā objekta iekšienē, tā arī ārpus tā.

## Masas centrs materiāliem punktiem

Masas centru materiāliem punktiem var aprēķināt pēc formulas:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 , kur WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 ir masas centra koordināte, WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 ir masa *i-*tajam punktam un WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 ir koordināte *i-*tajam punktam. Piemēram, planētas un zvaigznes savstarpējo rotāciju vai pavadoņa un planētas savstarpējo rotāciju var apskatīt ar masas centra palīdzību.

Ja nepieciešams atrast masas centru 3 dimensiju objektam, var aprēķināt masas centru katrai dimensijai atsevišķi.

### Piemērs

* Atrast sistēmas Zeme-Mēness masas centru.

Zemes masa ir 5,97 \* 10^24 kg, Mēness masa ir 7,35 \* 10 ^22 kg, attālums starp Zemi un Mēnesi ir 3,84 \* 10^5 km. Pieņemot Zemi par atskaites punktu un ievietojot formulā, iegūst:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8

Tā kā Zemes rādiuss ir ~ 6370 km, tad sistēma Zeme-Mēness griežas ap baricentru, kas ir Zemes iekšienē.

## Masas centrs nepārtrauktam ķermenim

Masas centru iespējams noteikt arī eksperimentāli: piekārtam objektam nostājoties līdzsvarā, var novilkt taisni no piekares punkta gravitācijas virzienā. Šādi novelkot divas taisnes, to krustpunkts būs masas centrs
Masas centru nepārtrauktam 1 dimensijas ķermenim var aprēķināt pēc integrāļa: WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 , kur WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 ir masu summa, WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 ir ķermeņa masa kāda koordinātā WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 .

#### Piemērs

* Dots horizontāls lauks, jāaprēķina darbu kas jāveic, lai izceltu pussfēras formas bedres zemi līdz zemes līmenim, ja bedres rādiuss ir  *WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 ,* zemes blīvums ir WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 un brīvās krišanas paātrinājums ir WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 .

Vispirms var novērot, ka, ja tiek atrasts šīs pussfēras masas centrs WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 , tad iespējams aprēķināt nepieciešamo darbu ar formulu WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 , kur WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 ir darbs, WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 ir visa masa un WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 ir augstums līdz zemes virsmai.

Visas zemes masa pussfēras bedrei ir WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 .

Integrāli var pārrakstīt kā WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 , kur WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 ir tilpuma gabals. Izsakot WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 un WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 var ievietot atpakaļ integrālī ar robežām WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 : WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 . Ievietojot pussfēras tilpuma formulu iegūst: WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 .

Ievietojot darba formulā WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 .

### Masas centrs pēc simetrijām

Ja visam objektam ir vienāds blīvums, tad, atrodot jebkādu simetrijas asi, masas centrs atradīsies uz šīs ass. Atrodot divas šādas taisnes, to krustpunkts būs masas centrs.

## Skatīt arī

* Svērtais vidējais
* Klucīšu kraušanas problēma

## Atsauces