# Kopu teorija[labot | labot pirmkodu]

Venna diagramma, kas attēlo divu kopu šķēlumu.
**Kopu teorija** ir matemātikas nozare, kas pēta kopas un to īpašības. Kaut gan kopas var sastāvēt no jebkādiem objektiem, kopu teorija parasti tiek lietota objektiem, kas ir saistīti ar matemātiku. Kopu teorijas valodu var izmantot gandrīz visu matemātisko objektu definīcijās.

Modernos kopu teorijas pētījumus aizsāka Georgs Kantors un Rihards Dēdekinds ap 1870. gadu. Pēc paradoksu atklāšanas naivajā kopu teorijā, 20. gs. sākumā tika piedāvātas daudzas aksiomu sistēmas, no kurām labi pazīstamas ir Cermelo-Frenkela aksiomas un izvēles aksioma.

## Pamatjēdzieni

### Kopa

Kopa ir matemātikas pamatjēdziens, to nevar definēt ar citu jēdzienu palīdzību. Ar jēdzienu "kopa" matemātikā saprot vairākus priekšmetus vai objektus, kas apvienoti vienā veselā pēc kādas visiem tiem kopīgas pazīmes. Piemēram, Eiropas valstu kopa, pirmā kursa studentu kopa, visu naturālo skaitļu kopa.

### Kopas elementi

Objekti, no kuriem veidotas kopas, var būt ne tikai materiāli priekšmeti, bet arī abstrakti jēdzieni, kā punkti, skaitļi, figūras u.t.t. Šos objektus, no kuriem viedojas kopa, sauc par kopas elementiem. Piemēram, naturālo skaitļu kopas WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 elementi ir 1, 2, 3, 4, ...

### Kopas un tās elementu apzīmējumi

Kopas parasti apzīmē ar latīņu alfabēta lielajiem burtiem, bet kopu elementus - ar mazajiem burtiem. Attieksmi starp kopu un tās elementiem, ko izsaka ar vārdiem "būt elementam", "ietilpt kopā", apzīmē arī ar vārdu "piederēt".

Ja kāds objekts WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 ir kopas WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 elements, tad raksta WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 un lasa " WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 pieder pie kopas WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 ", " WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 ir kopas WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 elements".

Ja objekts WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 nav kopas WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 elements, tad raksta WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 jun lasa " WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 nepieder pie kopas WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 ", " WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 nav kopas WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 elements"

### Kopu uzdošana matemātikā

Kopu uzskata par uzdotu, ja ir norādīta kāda pazīme, pēc kuras par jebkuru objektu var pateikt, vai tas pieder pie kopas vai nepieder. Visbiežāk kopas uzdod divos veidos:

1. sastāda pilnīgu un izsmeļošu kopas elementu sarakstu;
2. norāda īpašību, kas piemīt visiem aplūkojamās kopas elementiem un kas nepiemīt nevienam citam objektam.

### Kopu pieraksts

Ja kopu uzdod ar pirmo veidu, tās elementus sarakstu ieslēdz figūriekavās. Piemēram, WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 ; WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 pavasaris, vasara, rudens, ziema WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 .

Ja kopu uzdod ar otro veidu, tad figūriekavā vispirms raksta kopas elementu vispārīgo apzīmējumu, novelk vertikālu svītru un aiz tās raksta elementu raksturīgo īpašību.

Piemēram, WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 ir pirmskaitlis WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 ir bērzi, kuru augstums pārsniedz 20 metrus WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 .

### Tukša kopa

Kopu, kura nesatur nevienu elementu sauc par **tukšu** kopu. Piemēram, WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 ir naturāls skaitlis, kurš mazāks par 1 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 . Tukšu kopu apzīmē ar simbolu WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 .

### Galīgas kopas

Kopu sauc par galīgu, ja var saskaitīt tās elementus, vai arī, ja var pierādīt, ka elementu skaits kopā nepārsniedz iepriekš dotu naturālu skaitli.

Kopu WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 ir galīga, jo tajā ir trīs elementi.

Latvijas zaķu kopa. Protams, nevar precīzi pateikt, cik zaķu ir Latvijā, tomēr var droši apgalvot, ka zaķu skaits tajā nepārsniedz WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 .

Tukša kopa ir galīga, jo elementu skaits tajā ir 0.

### Bezgalīgas kopas

Kopu, kurā elementu skaits ir lielāks nekā jebkurš iepriekš dots naturāls skaitlis WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 , sauc par bezgalīgu.

Taisnes punktu kopa, naturālu skaitļu kopa WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 .

Eilera-Venna diagramma. Kopa WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 iekļauj sevī visus kopas WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 elementus.
### Kopu grafiskā ilustrācija

Katru kopu var attēlot grafiski kā Eilera-Venna diagrammu, uzzīmējot slēgtu kontūru, pieņemot, ka dotās kopas elementus reprezentē iegūtās figūras punkti. Pašus punktus zīmējumā var arī neuzrādīt. Attēlā pa labi redzams, ka kopa WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 ietilpst kopā WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 , kaut arī šajā zīmējumā tieši neredzam kopas WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 un WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 elementus un nezinām, kādas ir kopas WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 un WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 .

## Apakškopas

Kopu WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 sauc par kopas WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 apakškopu, ja katrs kopas WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 elements ir arī kopas WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 elements.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 , kopa WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 ir kopas WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 apakškopa, līdzvērtīgi WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 , kopa WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 aptver kopu WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 . Attieksmes WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 grafiskais attēlojums redzams zīmējumā.

### Īstās un neīstās apakškopas

Matemātikā uzskata, ka tukša kopa WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 ir katras kopas WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 apakškopa. Kā arī pēc definīcijas kopa WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 ir pati sev apakškopa. Pašu kopu WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 un tukšo kopu WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 sauc par kopas WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 neīstām apakškopām.

Kopas WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 jebkuru netukšu apakškopu, kas nav vienāda ar visu kopu WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 , sauc par kopas WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 īstu apakškopu.

### Vienādas kopas

Kopas sauc par vienādām, ja kopas WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 un WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 sastāv no vieniem un tiem pašiem elementiem. Kopas elementu secībai nav nozīmes.

Kopu vienādības pietiekamais un nepieciešamais nosacījums ir, ka kopas WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 un WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 ir vienādas tad un tikai tad, ja WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 un arī WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 .

### Attieksmju " WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 " un " WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 " transitīvā īpašība

Dažus spriedumus var vienkāršot izmantojot īpašības, ka

* ja WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 un WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 , tad WIKINIUM\_MATH\_PH\_134
* ja WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 un WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 , tad WIKINIUM\_MATH\_PH\_140

## Darbības ar kopām

Ar kopām var veikt dažādas darbības, kuru rezultātā var iegūt jaunas kopas. Visu aplūkojamo objektu kopu sauc par universu jeb universālo kopu un apzīmē ar burtu WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 .

Kopu WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 un WIKINIUM\_MATH\_PH\_146 šķēluma attēlojums ar Eilera-Venna diagrammu.
### Kopu šķēlums

Par divu kopu WIKINIUM\_MATH\_PH\_148 un WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 *šķēlumu* sauc kopu WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 , kura satur tos un tikai tos elementus, kuri pieder gan kopai WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 , gan kopai WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 .

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_160 un WIKINIUM\_MATH\_PH\_162

**Īpašības:**

1. Komutatīvā WIKINIUM\_MATH\_PH\_164 ;
2. Asociatīvā WIKINIUM\_MATH\_PH\_166 ;
3. WIKINIUM\_MATH\_PH\_168 ;
4. WIKINIUM\_MATH\_PH\_170 ;
5. Ja WIKINIUM\_MATH\_PH\_172 , tad WIKINIUM\_MATH\_PH\_174 .

Kopu WIKINIUM\_MATH\_PH\_176 un WIKINIUM\_MATH\_PH\_178 apvienojuma attēlojums, izmantojot Eilera-Venna diagrammu.
### Kopu apvienojums

Par divu kopu WIKINIUM\_MATH\_PH\_180 un WIKINIUM\_MATH\_PH\_182 apvienojumu sauc kopu WIKINIUM\_MATH\_PH\_184 , kas satur tos un tikai tos elementus, kas pieder vismaz vienai no abām kopām.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_186 vai WIKINIUM\_MATH\_PH\_188

Kopu WIKINIUM\_MATH\_PH\_190 un WIKINIUM\_MATH\_PH\_192 starpības attēlojums, izmantojot Eilera-Venna diagrammu.
**Īpašības:**

1. Komutatīvā WIKINIUM\_MATH\_PH\_194 ;
2. Asociatīvā WIKINIUM\_MATH\_PH\_196 ;
3. Distrubutīvā īpašība:
	* Šķelšanās operācijai attiecībā pret apvienojuma operāciju WIKINIUM\_MATH\_PH\_198 ;
	* Apvienojuma operācijai attiecībā pret šķelšanās operāciju WIKINIUM\_MATH\_PH\_200 ;
4. WIKINIUM\_MATH\_PH\_202 ;
5. WIKINIUM\_MATH\_PH\_204
6. Ja WIKINIUM\_MATH\_PH\_206 , tad WIKINIUM\_MATH\_PH\_208

### Kopu starpība

Par divu kopu WIKINIUM\_MATH\_PH\_210 un WIKINIUM\_MATH\_PH\_212 starpību sauc kopu WIKINIUM\_MATH\_PH\_214 , kur satur tos un tikai tos kopas WIKINIUM\_MATH\_PH\_216 elementus, kas nepieder kopai WIKINIUM\_MATH\_PH\_218 .

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_220 un WIKINIUM\_MATH\_PH\_222

Kopas WIKINIUM\_MATH\_PH\_224 papildinājuma līdz kopai WIKINIUM\_MATH\_PH\_226 , ja kopa WIKINIUM\_MATH\_PH\_228 attēlojums, izmantojot Eilera-Venna diagrammu.
**Īpašības:**

1. WIKINIUM\_MATH\_PH\_230 ;
2. WIKINIUM\_MATH\_PH\_232 ;
3. WIKINIUM\_MATH\_PH\_234 ;
4. WIKINIUM\_MATH\_PH\_236 ;
5. WIKINIUM\_MATH\_PH\_238 ;
6. Ja WIKINIUM\_MATH\_PH\_240 , tad WIKINIUM\_MATH\_PH\_242 .

Kopas WIKINIUM\_MATH\_PH\_244 papildkopas attēlojums ar Eilera-Venna diagrammu.
### Kopas papildinājums

Par kopas WIKINIUM\_MATH\_PH\_246 papildinājumu līdz kopai WIKINIUM\_MATH\_PH\_248 sauc kopu WIKINIUM\_MATH\_PH\_250 , kas ir WIKINIUM\_MATH\_PH\_252 un WIKINIUM\_MATH\_PH\_254 starpība, ja kopa WIKINIUM\_MATH\_PH\_256 ir kopas WIKINIUM\_MATH\_PH\_258 apakškopa.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_260 , ja WIKINIUM\_MATH\_PH\_262

Par kopas WIKINIUM\_MATH\_PH\_264 papildkopu WIKINIUM\_MATH\_PH\_266 sauc universālkopas WIKINIUM\_MATH\_PH\_268 visu to elementu kopu, kas nepieder kopai WIKINIUM\_MATH\_PH\_270 .

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_272

**Īpašības:**

1. WIKINIUM\_MATH\_PH\_274 ;
2. WIKINIUM\_MATH\_PH\_276 ;
3. WIKINIUM\_MATH\_PH\_278 ;
4. WIKINIUM\_MATH\_PH\_280 .

## Atsauces