# Specialioji reliatyvumo teorija

Albertas Einšteinas
**Specialioji reliatyvumo teorija** – pirmoji iš reliatyvumo teorijų, 1905 metais aprašyta Alberto Einšteino straipsnyje „Apie judančių kūnų elektrodinamiką“.

Šios teorijos pagrindinis teiginys – kad kiekvienam stebėtojui šviesos greitis vakuume yra vienodas visomis kryptimis ir nepriklauso nei nuo šaltinio, nei nuo stebėtojo judėjimo greičio. Iš to daroma išvada, kad kuo greičiau objektas juda, tuo lėčiau jam eina laikas, tuo objektas darosi sunkesnis ir jo tiesiniai matmenys, nejudančio stebėtojo atžvilgiu, darosi mažesni. Taip pat Albertas Einšteinas teigė, kad jokiais bandymais sistemos viduje negalima nustatyti skirtumo tarp rimties ir judėjimo iš inercijos būsenų.

## Galiojimo sritis

Specialioji reliatyvumo teorija sugriovė iki tol buvusį visuotinai priimtiną Niutono mechanikos dėsniais pagrįstą pasaulio supratimą. Tačiau įprastinėmis aplinkybėmis Žemėje, kuomet greičiai dažnai nedideli, reliatyvistinės Niutono dėsnių pataisos paprastai yra nykstamai mažos, todėl jais galima naudotis.

Teorija vadinama specialiąja, nes joje nekreipiama dėmesio į gravitaciją. Bendroji reliatyvumo teorija papildo specialiąją reliatyvumo teoriją paaiškindama gravitaciją. Specialiąją reliatyvumo teoriją galima taikyti tik ten, kur gravitacinis potencialas žymiai mažesnis už *c*². Kitais atvejais taikoma tik bendroji reliatyvumo teorija.

## Postulatai

Teorijai sukurti užtenka dviejų postulatų:

* Visi fizikiniai gamtos procesai inertinėse atskaitos sistemose vyksta vienodai.
* Tuščioje erdvėje šviesa visada sklinda greičiu *c*, kuris nepriklauso nuo šviesos šaltinio judėjimo.

Inertinės atskaitos sistemos – tai tokios atskaitos sistemos, kurios viena kitos atžvilgiu juda tiesiai ir tolygiai (jose galioja I Niutono dėsnis). Specialioji reliatyvumo teorija nagrinėja tik tokias atskaitos sistemas.

Iš antrojo postulato išplaukia, kad šviesos greitis nepriklauso, ar šaltinis juda stebėtojo atžvilgiu, ar – ne. Pavyzdžiui, jei šviesos šaltinis juda šviesos sklidimo kryptimi greičiu, lygiu pusei šviesos greičio (0,5*c*), tai vis tiek išmatavę šviesos sklidimo greitį stebėtojo atžvilgiu gausime, kad jis lygus tam pačiam *c*, o ne 1,5*c*. Taip yra todėl, kad
stebėtojas ir šviesos šaltinis yra dvi inertinės atskaitos sistemos.

## Laiko sulėtėjimas

Jei stebėtojo „laiko etalonas“ yra trukmė, per kurią jo požiūriu šviesa įveikia žinomą atstumą, iš šios teorijos išplaukia jog laikas nėra vienas ir tas pats visiems stebėtojams.

Nejudančiam stebėtojui atrodo, kad judančio stebėtojo laikas eina lėčiau.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
čia WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 vadinamas Lorenco daugikliu ir *c* yra šviesos greitis vakuume.

Taigi nėra absoliutaus laiko. Du įvykiai vienam stebėtojui atrodo vykstantys vienu metu, kitam gali vykti skirtingu laiku.

Įrodymas

Nagrinėkime dvi atskaitos sistemas S ir S'. Tegul sistema S' juda greičiu *v* sistemos S atžvilgiu. Pažymėkime Δ*t*0 laiką, kurį matuoja nejudantis atskaitos sistemoje S esantis stebėtojas. Šis laikas dar vadinamas savuoju laiku. Δ*t* – tai laikas, kurį išmatuos judantis stebėtojas esantis S'. Sistemoje S šviesa atstumą L įveiks per laiką WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 . Sistemoje S' šviesa įveiks atstumą WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 . Vadinasi WIKINIUM\_MATH\_PH\_8

*L* dabar įsistatykime iš pirmosios formulės.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 .
|}

## Ilgio sutrumpėjimas

Ilgis gali būti nustatomas matuojant trukmę, per kurią žinomu greičiu judantis kūnas įveikia visą matuojamą atkarpą. Jei laikas stebėtojams teka nevienodai, nevienodas bus ir jų išmatuotas šios atkarpos ilgis.

Nejudančiam stebėtojui judančio stebėtojo ilgis atrodo mažesnis.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12

| Įrodymas |
| --- |
|
Mes žinome, kad:
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 (*L*0 – atstumas, kurį matuoja stebėtojas esantis S. Δ*t* – tai laikas, kurį išmatavo stebėtojas iš atskaitos sistemos S)
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 (*L* – atstumas, kurį matuoja stebėtojas esantis S'. Δ*t*0 – laikas, kurį matuoja stebėtojas esantis S')

Pasinaudodami šiomis lygtimis išsireikškime ilgį atskaitos sistemoje S'. WIKINIUM\_MATH\_PH\_20  |

## Masės padidėjimas

Masė gali būti nustatoma pagal pagreitį, kuriuo juda žinoma jėga veikiamas kūnas. Tokiame bandyme reikia matuoti tiek atstumus, tiek ir trukmes. Kadangi abu dydžiai reliatyvūs, skirtingu greičiu judantys stebėtojai masę taip pat nustatys nevienodai.

Nejudančiam stebėtojui judantis stebėtojas atrodo masyvesnis.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24
### Įrodymas

Rutulių judėjimas atskaitos sistemose S ir S'
Remsimės prielaida, kad reliatyvumo teorijoje galioja judesio kiekio tvermės dėsnis. Judesio kiekis yra WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 . Atlikime mintinį eksperimentą. Nagrinėkime dviejų vienodų rutulių, kurių rimties masės *m*0 smūgį. Nagrinėkime dvi inercines atskaitos sistemas S ir S'. Stebėtojui esančiam S', atrodys, kad sistemoje S laikas eina lėčiau. WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 . Tegul stebėtojai išmeta rutulius greičiais *u*. Laikykime, kad *u* yra pakankamai mažas greitis. Dabar pritaikykime judesio kiekio tvermės dėsnį. WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 . Vadinasi WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 . Kadangi rutuliai susiduria, tai jie vienu metu būna tame pačiame taške. Rutulių nueiti keliai yra vienodi ir lygūs *L*, nes atstumas mažėja tik judėjimo kryptimi ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 kryptimi), o ne jai statmena, todėl WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 ir WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 . Pasinaudoję šiomis lygtimis užrašome, kad WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 . Taigi išeina, kad WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 .

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44

Skirtingai nuo masės, elektros krūvis nuo judėjimo greičio pagal šią teoriją nepriklauso.

## *E=mc²*

Vienas labiausiai žinomų rezultatų yra energijos ir masės sąryšis *E=mc²*. Tai reiškia, kad masė ir energija yra ekvivalenčios. Bet kokia materijos rūšis, kuri turi energijos, turi ir masę. Kartais ši formulė yra klaidingai interpretuojama, nes sakoma, kad energija gali virsti mase ir atvirkščiai. Rimties masė gali virsti kitų rūšių energija. Dažniausiai ji virsta šviesa, kurios kvantai neturi rimties masės, tačiau masę – turi.

### Įrodymas

Panagrinėkime, kaip kinta kūno kinetinė energija, kai jį veikia jėga. Pradžioje kūnas greitėja, bet kai greitis priartėja prie šviesos greičio, tada greitis beveik nebekinta, o didėja kūno masė. Tai leidžia manyti, kad masė yra energijos forma. Pažymėkime kūno kinetinę energiją raide *E*k. Tarkime, kad reliatyvumo teorijoje galioja energijos tvermės dėsnis.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 kai greitis WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 nereliatyvistinis (daug mažesnis nei šviesos greitis).
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 .

Dydį *m*0*c*² pavadinsime rimties energija. Tada gauname, kad:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68
Kai greičiai yra maži (iki 0.5*c*), tai:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70
## Energija ir judesio kiekis

Reliatyvistinių kūnų energija ir judesio kiekis:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74
Energiją ir judesio kiekį galime išreikšti vienas per kitą:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76
Judančio kūno kinetinė energija yra:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78
Kai WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 , tai ši formulė išskleidus Teiloro eilute susiveda į WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 .

| Įrodymai |
| --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_84
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90

---

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92
Galime atmesti visus narius pradedant trečiuoju, nes jie labai maži. Narys *mc*² nepriklauso nuo *v*. Tai yra kūno rimties energija. Likęs narys WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 ir yra kūno kinetinė energija. Faktas, kad esant mažiems greičiams gaunama klasikinė formulė, patvirtina *specialiosios reliatyvumo teorijos* teisingumą, nes tai yra bendresnė teorija už klasikinę mechaniką. |

## Lorenco laiko ir erdvės transformacijos

Besikeičiantis erdvės vaizdas išilgai didelį pagreitį turinčio stebėtojo pasaulio linijos.

Šioje animacijoje vertikali kryptis rodo laiką, o horizontali – atstumą, brūkšniuotoji linija yra stebėtojo erdvėlaikio trajektorija („pasaulio linija“). Diagramos apatinis ketvirtis rodo stebėtojui matomus įvykius, o viršutinis ketvirtis yra šviesos kūgis – tai, ką stebėtojas galės matyti. Maži taškai yra pasirenkami įvykiai erdvėlaikyje.

Pasaulio linijos krypties koeficientas yra santykinis greitis stebėtojo atžvilgiu. Atkreipkite dėmesį, kad kai stebėtojas juda su pagreičiu erdvėlaikis keičiasi.
Pačioje XIX a. pabaigoje buvo pastebėta, kad Maksvelio lygtys netenkina Galilėjaus transformacijų. 1904 m. Henrikas Antonas Lorencas įvedė kitą koordinačių ir laiko transformacijų sistemą tam, kad išspręstų atsiradusias problemas. Sekančiais 1905 m. tas pačias formules nepriklausomai išvedė Albertas Einšteinas iš savo dviejų postulatų.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102
## Priežastingumo principas

Šviesos kūgis
Vienam stebėtojui du įvykiai gali atrodyti vykstantys vienu metu, o kitam stebėtojui vienas įvykis gali atrodyti anksčiau ar vėliau už kitą. Diagramoje įvykis A yra anksčiau už įvykį C. Įvykis C gali vykti ir anksčiau už įvykį A arba vienu metu. Tačiau A ir C jau nebegali susisiekti, nes C jau nebėra stebėtojo A šviesos kūgyje ir atvirkščiai. Taigi priežastingumo principas lieka nepažeistas, nes nei A, nei C nėra vienas kito priežastis ir pasekmė. O įvykio priežastis bus visada tame pačiame šviesos kūgyje kaip ir pats įvykis.

## Greičių sudėtis

Išvedinėjant dviejų lygiagrečių greičių sudėties formulę iš Lorenco transformacijų gaunamos reliatyvistinės greičių sudėties formulės:

|  |  |
| --- | --- |
|
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104  |
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_106  |
|
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108  |
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_110  |
|
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_112  |
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114  |

Pagal šias formules išeina, jog dviejų lėčiau už šviesą judančių kūnų greičių suma niekada negali viršyti šviesos greičio. Jei vienas kūnų juda šviesos greičiu, suma visada lygi šviesos greičiui.

Joks rimties masę turintis kūnas negali judėti šviesos greičiu. Jeigu jis judėtų šviesos greičiu, tai turėtų nulinį ilgį ir begalinę masę ir sustotų laikas. Taip tikrai negali būti, nes begalinės masės kūnas sunaikintų Visatą. Jeigu kūnas judėtų greičiau už šviesos greitį, pagal šią formulę jo rimties masė būtų kompleksinė (fizikinė šio teiginio prasmė nėra aiški). Tokie kūnai negalėtų judėti lėčiau už šviesos greitį. Kol kas neaptikta tokių kūnų, dar vadinamų tachionais, todėl abejojama dėl jų egzistavimo.

## Niutono dėsnis

Klasikinis Niutono dėsnis reliatyvistiniu atveju nebegalioja, nes keičiasi kūno masė.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116
Jeigu į klasikinę formulę WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 vietoj *m* įsistatysime WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 , teisingo rezultato negausime. Teisinga formulė yra tokia:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_122
Kaip matome, jėgos ir pagreičio kryptis gali nesutapti reliatyvumo teorijoje.

## Keturmatis erdvėlaikis

Specialiojoje reliatyvumo teorijoje naudojama Minkovskio geometrija. Specialioji reliatyvumo teorija erdvėlaikį laiko neiškreivėjusiu. Minkovskio geometrija panaši į paprastą Euklido geometriją, kur atstumas tarp dviejų taškų yra:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_124
Minkovskio geometrijoje:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_126
Čia *i* yra menamasis vienetas. WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 , todėl:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_130
Taigi reliatyvumo teorijoje invariantas yra ne erdvės intervalas, o erdvėlaikio intervalas. Jis visose atskaitos sistemose yra toks pat.

Koordinačių transformacijos tarp inertinių atskaitos sistemų pasiekiamos naudojant Lorenco transformacijų tenzorių Λ. Judėjimui *x*-ašies atžvilgiu:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_132
Čia:

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_134
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_136

Tai supaprastina daugumą specialiosios reliatyvumo teorijos formulių. Dauguma fizikinių dydžių yra tenzoriai. Transformacijoms iš vienos atskaitos sistemos į kitą, naudojame tenzorių transformavimo dėsnį:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_138
Nagrinėkime keturi vektorių, užrašę jį atskirais komponentais:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_140
Perėjimui iš sistemos *S* į sistemą *S'* , atliekame šiuos veiksmus:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_142
## Reliatyvumas ir elektromagnetizmas

Specialioji reliatyvumo teorija yra susijusi su Maksvelio lygtimis, kuri sako, kad elektrinis laukas ir magnetinis laukas yra reliatyvūs ir kitoje atskaitos sistemoje bus kitokie. Todėl sakoma, kad yra elektromagnetinis laukas.
Elektrinis laukas WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 ir magnetinis laukas WIKINIUM\_MATH\_PH\_146 sujungiami į vieną elektromagnetinio lauko tenzorių:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_148
Krūvio tankis WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 ir srovės tankis WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 sujungiami į krūvio-srovės keturmatį vektorių:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_154
Maksvelio lygtys specialiojoje reliatyvumo teorijoje užrašomos naudojant kovariantinius tenzorius:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 (Ampero-Gauso dėsnis)

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 (Faradėjaus-Gauso dėsnis)

Čia WIKINIUM\_MATH\_PH\_160

## Taip pat skaitykite

* Dvynių paradoksas
* Kopėčių paradoksas