# Ellipsoid

Triaxialt Ellipsoid mat WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
En **Ellipsoid** ass e Kierper deen der dräi- oder méidimensionaler Duerstellung vun enger Ellips entsprécht.

Bekannt Beispiller fir Rotatiounsellipsoide sinn d'Äerd an de Rugbyball.

## Definitioun

Rugbyball als gestreckt Rotatiounsellipsoid
En Ellipsoid am dräidimensionale Raum kann als gestreckt oder gestaucht Bild vun enger Kugeluewerfläch (Sphär) erkläert ginn. Beim Gebrauch vu kartesesche Koordinaten an Ausriichtung vun de Koordinatenachsen x, y an z no de Symmetrieachse vum Ellipsoid heescht seng Equatioun

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
mat positive reellen Zuelen WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 an WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 , de Längte vun den *Hallefachsen*.

Am n-dimensionale Raum ass en Ellipsoid

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10
d'Léisungsmenge vun enger quadratescher Equatioun mat positiv definiter reeller (zu enger quadratescher Form gehéierenden) Matrix WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 .

Duerch Haaptachsentransformatioun kann ee WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 op eng Diagonalmatrix mat positiven Eegewäerter transforméieren.
D'Eegevecteure vun där Matrix ginn d'Richtung vun den Haaptachsen un, d'Kehrwäerter vun de Wurzelen aus den Eegewäerter sinn d'Längte vun den Hallefachsen déi derzou gehéieren.

An der Linearer Optiméierung ginn Ellipsoiden an der Ellipsoid-Method gebraucht.

Déi follgend Erklärunge begrenze sech nees op Ellipsoiden am dräidimensionale Raum.
Wann allen dräi Hallefachse verschidde sinn, da schwätzt ee vun *triaxialen* (oder dräiachsegen) Ellipsoiden. Bei der Rotatioun vun enger Ellips ëm eng vun hiren Achsen entstinn Rotatiounskierper, an dësem Fall Rotatiounsellipsoide.
Beispiller fir Rotatiounsellipsoide sinn rotéierend Himmelskierper, wéi eis Äerd (vergl. Äerdellipsoid) resp. Planéiten, Sonnen oder Galaxien. Elliptesch Galaxien kënnen och triaxial sinn.

## D'Äerd als Ellipsoid

D'Äerd als gestauchte Rotatiounsellipsoid
Eis Äerd ass nëmmen ongeféier eng Kugel. A Wierklechkeet ass si duerch d'Dréiung ëm sech selwer un de Polen ofgeflaacht an och soss ganz onreegelméisseg geformt. Fir dës Onreegelméissegkeet méi genee ze beschreiwen, gëtt amplaz vun der Kugel dacks e Rotatiounsellipsoid gebraucht. Dësen déngt an der Kartographie an an der Geodesie als Bezuchssystem fir d'Konstruktioun vu Vermoossungsnetzer an der direkten Angab geographescher Koordinaten. Duerch den Ellipsoid gëtt d'Äerdfigur als "Fläch konstanter Héicht" ofgestëmmt (kuckt Geoid an Mierespigel).

## Volume vum Ellipsoid

De Volume WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 léisst sech mat

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18
aus dem Produkt vun den Hallefachse berechnen.

## Uewerfläch vum Rotatiounsellipsoid

Sief WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 a sief WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 déi numeresch Exzentrizitéit vun der Ellips, déi sech als Schnëtt mat der WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 -Fläch WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 ergëtt. Dann ass fir
en ofgeplattenen Ellipsoid mat WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 (Rotatiounsachs = z-Achs)

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30
a fir e verlängerten Ellipsoid mat WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 (Rotatiounsachs = x-Achs)

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34
## D'Uewerfläch vum triaxialen Ellipsoid

D'Uewerfläch vum triaxialen Ellipsoid léisst sech net mat Hëllef vu Funktiounen ausdrécken, déi een als elementar ugesäit, wéi z. B. artanh oder arcsin. D'Flächeberechnung ass dem Adrien-Marie Legendre mat Hëllef vun der elliptescher Integrale gelongen. Sief WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 . Schreift een

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 an WIKINIUM\_MATH\_PH\_40
sou heescht d'Integrale

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 an WIKINIUM\_MATH\_PH\_44
D'Uewerfläch huet mat E an F no Legendre de Wäert

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46
Ginn d'Ausdréck fir *k* an WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 souwéi d'Substitutiounen

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50   an   WIKINIUM\_MATH\_PH\_52
an d'Equatioun fir *A* agesat, sou ergëtt sech d'Schreifweis

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54
Vum Knud Thomsen staamt déi (integralfräi) „Näherungsformel“

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56
Déi maximal Ofwäichung vum exakten Resultat ass manner wéi 1,2 %.

Am Grenzfall vun engem vollstänneg plattgedréckten Ellipsoid WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 striewen all dräi notéiert Formele fir A géint WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 den duebelte Wäert vun enger Ellipsefläch mat den Hallefachsen WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 an WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 .

### Formele fir Rotatiounsellipsoiden

Mat den Definitioune vun der elliptescher Integraler E an F loosse sech déi béid rotatiounssymmetresch Spezialfäll liicht aus der allgemenger triaxialer Formel ofleeden, well E an F ginn elementar Funktiounen.

#### Ofgeplatten Ellipsoid

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 = WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 , also gëtt *k* = 1, doraus follegt WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 an WIKINIUM\_MATH\_PH\_72
Agesat an d'Equatioun vum Legendre ergëtt dat WIKINIUM\_MATH\_PH\_74
#### Verlängerten Ellipsoid

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 = WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 , also gëtt *k* = 0, doraus follegt WIKINIUM\_MATH\_PH\_80
Agesat an d'Equatioun vum Legendre ergëtt dat WIKINIUM\_MATH\_PH\_82
Alternativ loosse sech d'Uewerflächen och als Mantelfläch vu rotéierenden Ellipsen (Rotatiounsellipsoid) berechnen.

## Kuckt och

* Ellips
* Hyperboloid
* Paraboloid
* Homöoid
* Fokaloid
* Referenzellipsoid an der Kartographie

## Um Spaweck

|  |  |
| --- | --- |
|  | **Wiktionnaire: Ellipsoid** Definitiounen, Synonymmer an Iwwersetzungen |

* (en) Online-Berechnung vu Volumen an Uewerfläch vun engem Ellipsoid
* (en) Formel fir d'Uewerfläch vun engem Ellipsoid

## Referenzen