# Matemátika

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**Matematikas** (del grego μάθημα, *máthema*: sensia, konosimiento, aprendizaje, μαθηματικóς, *mathematikós*: Amante del konosimiento) es la sensia ke estudia las propiedades de los entes abstraktos, komo los numeros, figuras jeometrikas o simbolos, i sus relasiones.

Las **sensias ezaktas o matematikas** se karakterizan ante todo por su eksigensia de klaridad (los konseptos han de definyrse) i su eksigensia de rigor (las afirmasiones han de probarse kon un razonamiento fuera de toda duda).

La Gresia klasika deskuvrio i kedo fassinada ante la posibilidad de tal konosimiento, kuyo maz klaro eksponente era la Jeometriya, el estudio de las relasiones metrikas ke se dan en las figuras planas i espasiales. En *Los Elementos de Euklides* el genio griego alkanzo a desarroyar, partiendo unikamente de sinko postulados, una ingente kantidad de konosimientos jeometrikos i algunos resultados fundamentales de Aritmetika. Desde entonses el metodo aksiomatiko es el ideal del saver matematiko.

En siglos posteriores el ambito de las matematikas se fue ekstendiendo kon el Algebra (numeros negativos i kalkulo simboliko) i sovre todo kon el deskuvrimiento por Leibniz i Newton del kalkulo infinitesimal, verdadera joya de fekundidad inagotable ke penetra en el korazon de las magnitudes variables (i por eyo en los fenomenos estudiados en Fisika).

Ma estos desarroyos no alkanzaron la klaridad i el rigor deseables hasta el siglo 19. Siglo donde la kultura alemana, kon Gauss en kavesa, deskuvre ke en kada objekto matematiko subyase una estruktura kuyo estudio i konosimiento es la klave de su komprension, djugando las propiedades formales i kualitativas un papel preponderante frente a las kuantitativas. Entendiendo agora los aksiomas komo las relasiones ke definen la estruktura en kuestion, en los siglos 19 i 20 se produse una fantastika eksplosion de los temas ke abordan las matematikas: Jeometriya Proyektiva i Diferensial, Topolojiya, Funsiones de variable kompleja, Grupos i Aniyos, Lojika, Probabilidades,...

Ansi, mientres ke el metodo aksiomatiko ha permanesido komo aspirasion inmutable de las matematikas desde sus komienzos en el siglo 6 adC kon Tales de Mileto i otros, el objekto de estudio se ha ekstendido progresivamente. Primero fue la sensia de las relasiones espasiales i kuantitativas. En los siglos 17 i 18 se entendio komo la sensia de las relasiones entre magnitudes i kantidades variables. En los siglos 19 i 20 es maz bien la sensia de la estruktura i la simetriya, de la forma i las relasiones kualitativas.

Aunke todas sus partes estan kada vez maz unidas e estrekhamente
relasionadas, a kontrakorriente de la kultura de la
espesializasion aktualmente en boga, podriya realizarse la
siguiente division (forzada i artifisiala; pero util para "azerse
una idea") en varias ramas:

Fundamentos: Lojika, konjuntos, Teoriya de las kategoriyas.

* Aritmetika: Teoriya de Numeros Algebraika i Analitika.
* Jeometriya: Jeometriya Algebraika, Jeometriya Diferensial, Topolojiya.
* Algebra: Teoriya de Grupos i Aniyos, Algebra Homolojika.
* Analisis: Funsiones, Analisis Armoniko, Ekuasiones Diferensiales, Análisis Funsional, Teoriya de la Medida.
* Fisika Teorika: Kalkulo de Variasiones, Mekanika, Teoriya kuantika.

En realidad, las numerosas ramas de la matematika estan muy interrelasionadas. He aki una lista de **seksiones** a konsiderar en su estudio:

### Los números

Números -- Números naturales -- Números enteros -- Números rasionales -- Números reales -- Números komplejos -- kuaterniones -- Oktoniones -- Sedeniones -- Números hiperreales -- Números infinitos -- Díjito -- Sistema de numerasión
### Matemátika del kambio

Cálkulo -- Cálkulo vektorial -- Análisis -- Ekuasiones diferensiales - Sistemas dinámikos i teoriya del kaos -- lista de funsiones -- logaritmo
### Estrukturas matemátikas

Álgebra abstrakta -- Teoriya de números -- Jeometriya algebraika -- Grupos -- Monoides -- Análisis -- Topolojiya -- Álgebra lineal -- Teoriya de grafos -- Teoriya de las kategoriyas -- Aniyos
### Espasios

Topolojiya -- Jeometriya -- Jeometriya algebraika -- Jeometriya diferensial -- Topolojiya diferensial -- Topolojiya algebraika -- Álgebra lineal
### Matemátika finita

Kombinatoria -- Teoriya de konjuntos -- Estadístika i probabilidad -- Teoriya de la komputasión -- Matemátika diskreta -- Criptografiya -- Teoriya de grafos
### Matemátika aplikada

Mekánika -- Cálkulo numériko -- Optimizasión -- Matemátika diskreta -- Estadístika i probabilidad -- Fraktales
### Teoremas i konjeturas famosos

Teorema de Fermat -- Hipótesis de Riemann -- Hipótesis del kontinuo -- P=NP -- konjetura de Goldbakh -- konjetura de los primos gemelos -- Teoremas de inkompletitud de Gödel -- konjetura de Poinkaré -- Argumento de la diagonal de kantor -- Teorema de Pitágoras -- Teorema fundamental del Cálkulo Numériko -- Teorema fundamental del álgebra -- Teorema de los kuatro kolores -- Lema de Zorn -- Identidad de Euler
### Fundamentos i Métodos

Filosofiya de las matemátikas -- Intuisionismo -- konstruktivismo -- Fundamentos de las matemátikas -- Teoriya de konjuntos -- subkonjuntos difusos o flojos -- Lójika simbólika-- Lójika difusa o floja -- Teoriya de modelos -- Teoriya de las kategoriyas -- Prueba de los teoremas -- Aksiomátika --Induksión
### Historia de las matemáticas. El mundo de los matemátikos

Historia de las matemáticas -- Matemáticos -- Medayas Fields -- Unión Matemática Internasional -- kompetisiones matemáticas-- Premio Abel
### Matemátikas rekreativas

Arte matemátiko -- Criptogramas -- Juegos matemátikos -- Matemátikas en el arte -- Asertijos matemátikos -- kuadrados májikos -- Plegados -- Papirofleksia
Se dise ke las matematikas abarkan tres ambitos:

1. Aritmetika
2. Jeometriya, inkluyendo la Trigonometriya i las Seksiones konikas
3. Analisis matematiko, en el kual se aze uzo de letras i simbolos, i ke inkluye el algebra, la jeometriya analitika i el kalkulo.

Kada una de estas kategoriyas se divide a su vez en pura o abstrakta, en donde se konsideran las magnitudes o kantidades abstraktamente, sin relasion a la materia; i en aplikada, la kual trata las magnitudes komo substansia de puerpos materiales, i por konsekuensia se relasiona kon konsiderasiones fisikas.

## Historia

Historicamente, las matematicas surjieron kon el fin de azer los kalkulos en el komersio, para medir la tierra i para predesir los akontesimientos astronomikos. Estas tres nesesidades pueden ser relasionadas en sierta forma kon la subdivision amplia de las matemátikas en el estudio de la estruktura, el espasio i el kambio.

El estudio de la estruktura komienza kon los numeros, inisialmente los numeros naturales i los numeros enteros.

Las reglas ke dirigen las operasiones aritmetikas se estudian en el algebra elemental, i las propiedades maz profundas de los numeros enteros se estudian en la teoriya de números.
La investigasion de metodos para resolver ekuasiones yeva al kampo del algebra abstrakta. El importante konsepto de vektor, generalizado a espasio vektorial, es estudiado en el algebra lineal, i pertenese a las dos ramas de la estruktura i el espasio. El estudio del espasio orijina la jeometriya, primero la geometriya euklidea i luego la trigonometriya.

La komprension i deskripsion del kambio en variables mensurables es el tema sentral de las sensias naturales, i el kalkulo. Para resolver problemas ke se dirigen en forma natural a relasiones entre una kantidad i su tasa de kambio, i de las solusiones a estas ekuasiones, se estudian las ekuasiones diferensiales.

Los numeros uzados para representar las kantidades kontinuas son los numeros reales. Para estudiar los prosesos de kambio se utiliza el konsepto de funsion matematika. Los konseptos de derivada e integral, introdusidos por Newton i Leibniz, juegan un papel klave en este estudio, ke se denomina analisis.

Por razones matematikas, es konveniente para munchos fines introdusir los numeros komplejos, lo ke da lugar al analisis komplejo.

El analisis funsional konsiste en estudiar problemas kuya inkognita es una funsion, pensandola komo un punto de un espasio funsional abstrakto.

Un kampo importante en matematikas aplikadas es la probabilidad i la estadistika, ke permiten la deskripsion, el analisis i la prediksion de fenomenos ke tienen variables aleatorias i ke se usan en todas las sensias.

El analisis numeriko investiga los metodos para realizar los kalkulos en komputadoras.