# 수학

오일러 항등식은 수학에서 중요한 상수들이 하나의 간단한 식으로 연결되는 대표적인 예로, 서로 다른 수학적 개념들이 깊이 있게 연결되어 있음을 보여주는 식으로 널리 알려져 있다.
**수학**(數學, 영어: mathematics, math, maths)은 수, 양, 구조, 공간, 변화 등의 개념을 연구하는 학문이다. 수학은 산술, 대수학, 기하학, 해석학과 같은 전통적인 분야에서부터 집합론과 수리논리학 등 현대 수학의 기초 분야에 이르기까지 다양한 영역으로 구성된다.

수학은 일반적으로 논리에 기반한 엄밀한 증명을 통해 명제를 정당화하는 학문으로, 추상적인 대상과 그 구조를 탐구하는 데 중점을 둔다. 이러한 특징은 실험과 관찰에 크게 의존하는 자연과학과 구별되는 수학의 중요한 성질로 여겨진다.

수학은 자연과학, 공학, 컴퓨터 과학, 경제학 등 다양한 분야에서 현상을 기술하고 분석하는 데 필수적인 도구로 사용된다. 특히 확률론과 통계학과 같은 분야는 실제 세계의 불확실성을 다루는 데 널리 활용되며, 암호학이나 최적화 이론 등은 정보기술과 산업 전반에 중요한 역할을 한다.

수학은 고대 문명에서의 계산과 측량에서 출발하여, 고대 그리스에서 유클리드의 『원론』을 통해 공리와 증명에 기반한 체계적인 학문으로 정립되었다. 이후 미적분학의 발전과 19세기 공리적 방법의 확립을 거치며 현대적인 형태로 발전해 왔다.

## 수학의 성격

수학은 공리와 정의로부터 출발하여 논리적 연역을 통해 결론을 도출하는 학문으로, 증명을 통해 명제의 참과 거짓을 엄밀하게 확정하는 것을 특징으로 한다. 이러한 점에서 수학은 실험이나 관찰에 의존하는 자연과학과 구별되며, 형식적이고 체계적인 지식 체계를 이룬다.

수학은 높은 수준의 추상화와 일반화를 통해 다양한 현상을 통일적으로 설명할 수 있는 구조를 탐구한다. 예를 들어, 서로 다른 대상들이 동일한 수학적 구조를 공유할 경우, 하나의 이론으로 이들을 동시에 설명할 수 있다. 이러한 보편성은 수학이 여러 학문 분야에서 공통의 언어로 기능하게 하는 중요한 특징이다.

또한 수학은 자명한 사실로 받아들여지는 공리로부터 출발하여 복잡한 정리를 도출하는 방식으로 발전해 왔다. 이 과정에서 수학자들은 새로운 개념을 정의하고, 그 정의에 기반하여 정리를 증명함으로써 이론을 확장한다. 이러한 공리적 방법은 19세기 이후 수학 전반에서 널리 사용되는 표준적인 접근 방식이 되었다.

수학적 진리는 경험적 검증이 아닌 논리적 일관성에 의해 확립되며, 이는 수학이 다른 과학과 구별되는 중요한 특징이다. 한편, 실제 문제에서 출발한 수학적 개념이 순수한 이론으로 발전하기도 하고, 반대로 순수수학의 결과가 이후에 자연 현상을 설명하는 데 활용되기도 한다. 이러한 상호작용은 수학의 발전 과정에서 지속적으로 나타나는 특징이다.

## 역사

수학의 기원은 고대 문명에서의 실용적 필요와 밀접하게 관련되어 있다. 메소포타미아와 고대 이집트에서는 토지 측량, 건축, 세금 계산 등을 위해 산술과 기하학적 지식이 발전하였으며, 인도와 중국에서도 독자적인 수학 전통이 형성되었다.

기원전 6세기 이후의 고대 그리스에서는 수학이 경험적 기술에서 벗어나, 정의와 공리를 바탕으로 한 연역적 학문으로 발전하였다. 특히 유클리드의 『원론』은 공리와 정리, 증명으로 구성된 체계적인 수학의 전형을 제시하였으며, 이후 수학 연구의 기본적인 형식에 큰 영향을 미쳤다.

중세에는 이슬람 세계와 유럽을 중심으로 고대 수학이 보존되고 확장되었으며, 특히 이슬람 황금 시대 동안 대수학과 삼각법이 크게 발전하였다. 이후 르네상스를 거치며 수학은 과학 혁명과 결합하여 새로운 전환점을 맞이하였고, 17세기에는 아이작 뉴턴과 고트프리트 빌헬름 라이프니츠에 의해 미적분학이 창시되었다.

18세기와 19세기에 걸쳐 수학은 점차 추상화되고 엄밀화되었다. 오귀스탱 루이 코시와 카를 바이어슈트라스 등에 의해 극한과 연속성의 개념이 정식화되었으며, 비유클리드 기하학의 발견은 공간에 대한 기존의 직관을 근본적으로 확장시켰다. 이러한 변화는 수학의 기초에 대한 재검토를 촉발하였다.

19세기 말에서 20세기 초에 이르러 게오르크 칸토어의 집합론과 수리논리학의 발전은 수학의 기초를 공리적으로 재구성하는 계기가 되었으며, 이 과정에서 이른바 수학의 기초 위기가 나타났다. 이후 체르멜로-프렝켈 집합론과 공리적 방법이 정립되면서 현대 수학의 논리적 토대가 확립되었다. 20세기 이후 수학은 다양한 전문 분야로 세분화되었으며, 컴퓨터 과학과의 상호작용을 통해 새로운 연구 영역이 지속적으로 확장되고 있다.

## 분야

수학은 연구 대상과 방법에 따라 여러 하위 분야로 나뉜다. 전통적으로는 산술, 대수학, 기하학이 중심을 이루었으며, 이후 해석학과 수리논리학 등이 추가되면서 현대적인 분류 체계가 형성되었다. 오늘날 수학은 순수수학과 응용수학으로 크게 구분되기도 하며, 각 분야는 서로 긴밀하게 연결되어 있다.

현재 널리 사용되는 분류 체계로는 수학 주제 분류(Mathematics Subject Classification, MSC)가 있으며, 2020년 기준으로 60개 이상의 주요 분야를 포함한다. 이들 분야는 서로 독립적으로 존재하는 것이 아니라, 다양한 방식으로 상호작용하며 발전한다. 예를 들어, 대수적 방법은 기하학에 적용되어 대수기하학을 형성하고, 해석학적 기법은 수론과 결합하여 해석적 수론을 이루는 등, 현대 수학은 여러 분야가 결합된 형태로 연구되는 경우가 많다.

### 수론

에라토스테네스의 체는 자연수에서 소수를 체계적으로 찾아내는 고전적인 방법이다. 이는 정수의 구조를 연구하는 수론의 기본적인 아이디어를 보여준다.
수론(정수론)은 정수의 성질을 연구하는 수학의 한 분야로, 특히 소수와 약수, 합동식 등 정수의 구조적 성질을 다룬다. 전통적으로 수학에서 가장 오래된 분야 가운데 하나로 여겨지며, 간단한 문제 진술에도 불구하고 깊은 이론적 구조를 포함하는 것으로 알려져 있다.

수론의 기원은 고대 바빌로니아와 고대 그리스로 거슬러 올라간다. 유클리드는 『원론』에서 소수의 무한성과 최대공약수에 관한 알고리즘을 제시하였으며, 이후 디오판토스는 정수해를 구하는 문제를 체계적으로 연구하였다. 근대에 이르러 피에르 드 페르마와 레온하르트 오일러는 수론을 독립적인 연구 분야로 발전시켰고, 카를 프리드리히 가우스의 『Disquisitiones Arithmeticae(산술 연구)』는 현대 수론의 기초를 확립한 중요한 업적으로 평가된다.

수론의 주요 개념으로는 소수의 분포를 다루는 이론, 정수의 나눗셈 구조를 설명하는 합동식과 모듈러 산술, 그리고 방정식의 정수해를 연구하는 디오판토스 방정식 등이 있다. 이러한 개념들은 대수적 수론과 해석적 수론 등 다양한 하위 분야로 확장되며, 서로 다른 수학적 방법이 결합되는 특징을 보인다.

수론은 오랫동안 순수수학의 전형적인 분야로 여겨졌으나, 현대에는 암호학을 비롯한 여러 응용 분야에서 중요한 역할을 한다. 예를 들어, 소수의 성질은 공개키 암호 방식의 설계에 핵심적으로 활용되며, 이는 컴퓨터 과학 및 정보 보안과 밀접하게 연결되어 있다.

### 기하학

유클리드 기하학에서 피타고라스 정리는 거리 개념을 정량적으로 표현하는 대표적인 결과로, 평면 기하학의 기본 구조를 보여준다.
기하학은 공간과 도형의 성질을 연구하는 수학의 한 분야로, 점, 선, 면과 같은 기본적인 대상과 이들 사이의 관계를 다룬다. 전통적으로는 길이, 각도, 면적과 같은 측정 개념을 중심으로 발전하였으며, 현대에는 보다 추상적인 공간과 그 구조를 연구하는 방향으로 확장되었다.

기하학의 기원은 고대 문명에서의 측량과 건축에 있으며, 고대 그리스에서 엄밀한 학문으로 정립되었다. 특히 유클리드의 『원론』은 공리와 정리를 기반으로 한 연역적 구조를 제시하여 이후 수학 전반에 큰 영향을 미쳤다. 17세기에는 르네 데카르트가 데카르트 좌표계를 도입하여 기하학적 문제를 대수적으로 표현할 수 있게 하였고, 이를 통해 해석기하학이 발전하였다. 19세기에는 비유클리드 기하학이 등장하면서 공간의 개념이 근본적으로 확장되었다.

쌍곡 기하학에서의 삼각형은 세 내각의 합이 180도보다 작으며, 이는 유클리드 기하학의 공리와 다른 기하 구조가 된다. 이러한 차이는 서로 다른 공리 체계에 따라 전혀 다른 기하 구조가 형성될 수 있음을 보여준다.
기하학의 주요 개념으로는 도형의 형태와 크기를 다루는 유클리드 기하학, 좌표와 방정식을 이용하는 해석기하학, 곡선과 곡면의 성질을 연구하는 미분기하학, 그리고 연속적인 변형에 대해 불변인 성질을 다루는 위상수학 등이 있다. 또한 대수기하학과 같이 대수적 방법을 도입한 분야도 중요한 역할을 한다.

기하학은 물리학과 공학에서 공간과 운동을 기술하는 데 핵심적인 도구로 사용되며, 특히 일반상대성이론은 시공간을 기하학적 구조로 해석한다. 또한 컴퓨터 그래픽스와 로봇공학 등에서도 기하학적 개념이 널리 활용된다.

### 대수학

정사각형의 대칭을 이루는 대칭군 D₄를 나타낸 그림. 각 원소는 도형의 회전 또는 반사 변환에 해당하며, 이들의 결합 구조는 군의 대표적인 예로서 대수학에서 중요한 역할을 한다. 이러한 구조는 구체적인 도형의 대칭에서 출발하지만, 추상적으로 정의된 군의 개념으로 일반화된다.
대수학은 수와 기호를 이용하여 수학적 구조와 그 성질을 연구하는 수학의 한 분야이다. 방정식의 해를 구하는 문제에서 출발하였으며, 현대에는 군, 환, 체와 같은 추상적인 대수적 구조를 연구하는 방향으로 발전하였다.

대수학의 기원은 고대 바빌로니아와 이집트의 방정식 풀이로 거슬러 올라가며, 중세 이슬람 황금 시대에는 알콰리즈미에 의해 체계적인 대수적 방법이 정립되었다. 이후 르네상스 시대에는 3차 및 4차 방정식의 해법이 발견되었고, 19세기에는 에바리스트 갈루아와 닐스 헨리크 아벨 등에 의해 방정식의 해의 구조를 연구하는 이론이 발전하면서 현대 대수학의 기초가 형성되었다.

대수학의 주요 개념으로는 연산과 그 성질을 추상화한 대수적 구조가 있으며, 이는 군론, 환론, 체론 등의 형태로 연구된다. 또한 벡터 공간을 다루는 선형대수학은 대수학의 중요한 한 분야로, 기하학과 해석학 등 다른 수학 분야와 깊이 연결되어 있다.

대수학은 수학의 여러 분야와 밀접하게 연결되어 있으며, 특히 대수기하학이나 대수적 수론과 같이 다른 분야와 결합하여 발전한다. 또한 암호학과 부호 이론, 컴퓨터 대수학 등 다양한 응용 분야에서 핵심적인 역할을 한다.

### 해석학

사인 함수의 그래프는 주기성과 연속성을 나타내는 대표적인 예로, 해석학에서 함수의 극한, 연속성, 미분 가능성 등의 개념을 직관적으로 이해하는 데 사용된다.
해석학은 극한의 개념을 기초로 하여 함수와 연속적인 변화를 연구하는 수학의 한 분야이다. 미분과 적분을 중심으로 발전하였으며, 함수의 성질과 수렴, 연속성 등을 엄밀하게 다룬다.

해석학은 17세기 아이작 뉴턴과 고트프리트 빌헬름 라이프니츠에 의해 창시된 미적분학에서 출발하였다. 초기에는 직관적인 방법에 의존하였으나, 19세기 오귀스탱 루이 코시와 카를 바이어슈트라스 등에 의해 극한과 연속성의 개념이 엄밀하게 정식화되면서 현대적 해석학이 확립되었다.

해석학의 주요 개념으로는 함수의 연속성, 미분 가능성, 적분과 급수의 수렴 등이 있으며, 이러한 개념들은 실해석학과 복소해석학으로 확장된다. 또한 함수 공간을 연구하는 함수해석학과 미분 방정식 이론 등도 중요한 하위 분야로 포함된다.

해석학은 물리학과 공학에서 변화하는 현상을 수학적으로 기술하는 데 핵심적인 도구로 사용되며, 편미분방정식은 열전달, 유체역학, 전자기학 등 다양한 자연 현상을 모델링하는 데 활용된다. 또한 확률론과 통계학에서도 해석학적 방법이 중요한 역할을 한다.

### 이산수학

그래프의 예. 그래프 이론에서의 네트워크 구조는 정점과 간선으로 이루어진 이산적 관계를 나타내며, 사회 연결망, 통신망 등 다양한 실제 시스템을 모델링하는 데 사용된다.
이산수학은 연속적인 대상이 아닌, 서로 구별되는 이산적인 구조를 연구하는 수학의 한 분야이다. 주로 정수, 그래프, 유한 집합 등과 같은 대상들 사이의 관계와 조합을 다룬다.

이산수학은 오래전부터 조합론과 같은 형태로 연구되어 왔으나, 20세기 들어 컴퓨터 과학의 발전과 함께 독립적인 분야로 크게 성장하였다. 특히 알고리즘과 계산 가능성에 대한 연구가 활발해지면서 현대 수학의 중요한 한 축으로 자리 잡았다.

이산수학의 주요 개념으로는 경우의 수와 구조를 다루는 조합론, 네트워크 구조를 연구하는 그래프 이론, 계산 절차를 분석하는 알고리즘과 계산 복잡도 이론 등이 있다. 또한 부울 대수와 논리 회로 등은 이산적 구조를 기반으로 한 중요한 개념이다.

이산수학은 컴퓨터 과학과 밀접하게 연결되어 있으며, 암호학, 데이터 구조, 네트워크 이론 등 다양한 분야에서 핵심적인 역할을 한다. 특히 알고리즘의 효율성과 계산 가능성에 대한 연구는 현대 정보 기술의 이론적 기반을 이룬다.

### 수리논리학 및 집합론

벤 다이어그램은 집합 사이의 포함 관계와 교집합을 시각적으로 표현하는 도구로, 논리적 관계를 직관적으로 이해하는 데 사용된다. 이러한 도식적 표현은 수리논리학과 집합론 교육에서 중요한 역할을 한다.
수리논리학과 집합론은 수학의 기초를 이루는 개념과 논리적 구조를 연구하는 분야이다. 집합은 현대 수학에서 거의 모든 수학적 대상을 정의하는 기본 개념이며, 수리논리학은 이러한 대상들에 대한 명제와 증명의 형식을 다룬다.

이 분야는 19세기 말 게오르크 칸토어가 무한 집합을 체계적으로 연구하면서 시작되었다. 이후 집합론에서 나타난 여러 역설은 수학의 기초에 대한 문제를 제기하였고, 이를 해결하기 위해 공리적 접근이 발전하였다. 20세기 초에는 체르멜로-프렝켈 집합론이 정립되어 현대 수학의 표준적인 기초 체계로 자리 잡았다.

수리논리학의 주요 개념으로는 형식 논리, 모델 이론, 증명 이론, 재귀 이론 등이 있으며, 집합론에서는 기수와 서수를 통해 무한의 크기와 구조를 연구한다. 또한 공리 체계와 그 일관성에 대한 연구도 중요한 주제이다.

이 분야는 수학 전체의 논리적 토대를 제공하며, 컴퓨터 과학과도 밀접하게 연결되어 있다. 특히 형식 논리와 계산 가능성 이론은 프로그래밍 언어의 설계와 형식 검증 등에 활용된다. 또한 괴델의 불완전성 정리는 형식적 공리 체계의 한계를 보여주는 중요한 결과로 알려져 있다.

### 응용수학

비행기 날개 주변의 공기 흐름을 수치적으로 시뮬레이션한 모습. 이러한 현상은 편미분방정식으로 모델링되며, 수치해석학을 통해 근사적으로 계산된다. 이는 유체역학과 항공공학에서 중요한 응용 사례이다.
응용수학은 자연 현상이나 사회 현상과 같은 실제 문제를 수학적으로 모델링하고 분석하는 수학의 한 분야이다. 수학적 이론을 이용하여 다양한 현상을 설명하고 예측하는 데 목적이 있으며, 순수수학과 밀접하게 상호작용하면서 발전해 왔다.

응용수학은 고대부터 천문학과 역학 문제를 해결하는 과정에서 발전하였으며, 17세기에는 아이작 뉴턴이 미적분학을 이용하여 운동 법칙을 수학적으로 기술함으로써 중요한 전환점을 맞았다. 이후 피에르시몽 라플라스와 조제프 푸리에 등의 연구를 통해 확률론과 해석학적 방법이 물리학과 공학 문제에 널리 적용되었다.

응용수학의 주요 개념으로는 현실 문제를 수학적으로 표현하는 수학적 모델링, 변화하는 현상을 기술하는 미분 방정식, 불확실성을 다루는 확률론과 통계학, 그리고 최적의 해를 찾는 수학적 최적화 등이 있다. 또한 수치적 계산 방법을 연구하는 수치해석학도 중요한 역할을 한다.

응용수학은 물리학, 공학, 경제학, 생물학 등 다양한 분야에서 핵심적인 도구로 사용된다. 예를 들어, 유체역학과 전자기학은 미분 방정식을 통해 기술되며, 금융 시장 분석에는 확률론과 통계학이 활용된다. 최근에는 데이터 과학과 기계 학습 등 새로운 분야에서도 수학적 방법이 중요한 기반을 이루고 있다.

## 응용과 영향

수학은 자연과학과 공학을 비롯하여 경제학, 사회과학 등 다양한 분야에서 핵심적인 도구로 사용된다. 미적분학과 선형대수학은 물리학과 공학의 기본 언어로 활용되며, 확률론과 통계학은 데이터 분석과 의사결정 과정에서 중요한 역할을 한다.

17세기 갈릴레오 갈릴레이는 자연 현상이 수학적 법칙으로 표현될 수 있음을 강조하였으며, 아이작 뉴턴은 운동 법칙과 고전 역학을 수학적으로 정식화하였다. 이후 수학은 자연 현상을 설명하는 데 필수적인 언어로 자리 잡았다.

수학은 물리학뿐만 아니라 다양한 현대 과학에서도 널리 활용된다. 예를 들어, 미분기하학은 일반상대성이론의 수학적 기초를 이루며, 확률론과 통계학은 양자역학과 데이터 과학에서 핵심적인 도구로 사용된다. 또한 암호학은 현대 정보 보안 시스템의 기반을 이루고 있다.

수학은 예술과도 깊은 관련을 맺고 있다. 고대 피타고라스는 음의 조화가 수의 비율과 관련되어 있음을 발견하였으며, 이는 음악 이론의 발전에 영향을 주었다. 또한 원근법은 기하학적 원리를 바탕으로 하여 회화에서 공간을 표현하는 방법을 제공하였고, 현대 미술에서도 기하학적 구조와 대칭성이 중요한 요소로 활용된다.

이와 같이 수학은 자연 현상을 설명하는 도구일 뿐만 아니라, 새로운 기술과 이론의 발전을 가능하게 하는 기반으로 작용한다. 특히 현대 사회에서는 데이터 분석, 인공지능, 네트워크 과학 등 다양한 영역에서 수학적 사고가 핵심적인 역할을 담당하고 있다.

* 수학사
* 수학자
* 수학 기호
* 정리
* 수학적 증명
* 수학적 구조
* 수학 철학
* 형식과학

* Devlin, Keith (1996). 《Mathematics: The Science of Patterns》. Scientific American Library. ISBN 978-0-7167-5047-5.
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* Stewart, Ian (1995). 《Concepts of Modern Mathematics》. Dover. ISBN 978-0486284248.
* Gowers, Timothy (2002). 《Mathematics: A Very Short Introduction》. Oxford University Press. ISBN 978-0192853615.

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