# 삼각 함수

직각 삼각형 위에서 나타낸 삼각 함수
수학에서 **삼각 함수**(三角函數, 영어: trigonometric functions, angle functions, circular functions 또는 goniometric functions)는 직각삼각형의 각을 직각삼각형의 변들의 길이의 비에 대응시키는 함수이다. 삼각 함수에는 3개의 기본적인 함수가 있으며, 이들은 **사인**(영어: sine, 문화어: 시누스, 기호 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 ), **코사인**(영어: cosine, 문화어: 코시누스, 기호 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 ), **탄젠트**(영어: tangent, 문화어: 탕겐스, 기호 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 )라고 한다. 이들의 역수는 각각 **코시컨트**(영어: cosecant, 기호 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 ), **시컨트**(영어: secant, 기호 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 ), **코탄젠트**(영어: cotangent, 기호 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 )라고 한다. 삼각 함수는 항법학과 측지학 등에서 널리 응용된다.

삼각 함수는 복소수의 지수 함수의 실수 · 허수 부분이며, 따라서 복소수를 다룰 때 핵심적인 역할을 한다. 가장 근본적인 주기 함수이며, 각종 주기적 현상을 다룰 때 푸리에 급수의 형태로 등장한다.

## 정의

### 직각 삼각형을 통한 정의

직각 삼각형 위에서 나타낸 삼각 함수
각 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 가 직각인 삼각형 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 에서, 각 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 의 마주보는 변의 길이를 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 라고 할 때, **사인**, **코사인**, **탄젠트**의 정의는 다음과 같다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32
또한, **코시컨트**, **시컨트**, **코탄젠트**는 위 세 함수의 역수가 되며, 다음과 같이 정의한다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38
이 정의는 임의의 예각에 대하여 유효하다.

### 단위원을 통한 정의

단위원 위에서 나타낸 삼각 함수
좌표평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 1인 원을 단위원이라고 한다. 이 단위원 위의 점 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 에 대해, WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 축과 점과 원점을 잇는 직선 사이의 각을 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 라고 하면, 다음과 같이 정의한다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48
또한, 나머지 함수들을 다음과 같이 정의한다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56
이 정의는 임의의 실수에 대하여 유효하며, 예각의 경우 위 정의와 호환된다.

### 복소수 삼각 함수

임의의 복소수 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 에 대하여, 그 사인과 코사인은 복소수 지수 함수를 사용하여 다음과 같이 정의한다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62
만약 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 가 실수일 때, 이는 오일러 공식

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66
에서 두 삼각 함수를 꺼낸 것과 같다. (물론, 이는 복소수에 대해서도 성립하지만, 오일러 공식은 보통 실수에 대한 항등식을 뜻한다.)

나머지 함수들을 다음과 같이 정의한다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74
## 성질

### 주기성과 특이점

사인 · 코사인 · 코시컨트 · 시컨트는 주기가 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 인 주기함수이다. 즉, 임의의 복소수 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 에 대하여,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86
탄젠트 · 코탄젠트는 주기가 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 인 주기함수이다. 즉, 임의의 복소수 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 에 대하여,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94
사인과 코사인은 실수선 위에서 해석함수이며, 복소 평면 위에서 정칙함수이다. 이들은 복소 무한대 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 에서 본질적 특이점을 갖는다.

탄젠트는 실수선의 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 )에서 정의되지 않는다.

* 사인과 코사인의 그래프
* 탄젠트 그래프
* 코시컨트 그래프

### 대칭

사인 · 탄젠트 · 코시컨트 · 코탄젠트는 홀함수이다. 즉, 임의의 복소수 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 에 대하여,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_106
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_110
코사인 · 시컨트는 짝함수이다. 즉, 임의의 복소수 WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 에 대하여,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116
### 특별한 값

단위원 위의 각 점의 좌표
특별한 각에서의 삼각 함수의 값은 다음과 같다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 (라디안)

| 특수각 | sin | cos | tan |
| --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 (0˚) |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_122  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_124  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_126  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 (30˚) |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_130  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_132  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_134  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 (45˚) |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_138  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_140  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_142  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 (60˚) |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_146  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_148  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_150  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 (90˚) |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_154  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_156  | 정의되지 않음 |

0º , 90º sin, cos, tan
### 부호

각 사분면에 따른 삼각 함수의 부호는 다음과 같다.

| 사분면 |  sin과 csc  |  cos과 sec  |  tan와 cot  |
| --- | --- | --- | --- |
| I | + | + | + |
| II | + | − | − |
| III | − | − | + |
| IV | − | + | − |

### 항등식

삼각 함수 사이에는 더 많은 항등식이 존재한다. 예를 들어, 피타고라스 정리에 따라, 다음과 같은 항등식들이 성립한다. (이는 간혹 **피타고라스 항등식**으로 불린다.)

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_158
또한, 다음과 같은 항등식들이 성립한다. (이는 간혹 **삼각 함수의 덧셈 정리**로 불린다.)

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_160
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_162
이에 대한 증명은 여러 가지가 있다.

* (“제2”) 코사인 법칙과 피타고라스 정리를 연립하여 유도할 수 있다.
* “제1 코사인 법칙”과 사인 법칙을 연립하여 유도할 수 있다.
* 3차원 유클리드 공간의 스칼라곱을 사용할 수 있다.
* 오일러 공식을 사용할 수 있다.

특히, 다음과 같은 항등식들이 성립한다. (이는 간혹 **배각 공식**으로 불린다.)

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_164
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_166
## 응용

### 사인 법칙

사인 법칙은 임의의 삼각형 ABC에서 각 **A**, **B**, **C**의 대변 *a*, *b*, *c*에 대해 다음과 같은 관계를 만족함을 나타낸다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_168
마찬가지로,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_170
도 성립한다. 여기서 *R*은 삼각형의 외접원의 반지름의 길이를 나타낸다.

### 코사인 법칙

코사인 법칙에는 총 두 가지의 법칙이 있다.

**코사인 제 1 법칙**에 따르면,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_172
양변의 길이와 알고자 하는 변 사이의 두 각의 크기를 알 경우, 다른 한 변의 길이를 알아낼 때 사용할 수 있다.

**코사인 제 2 법칙**은 피타고라스의 정리를 확장한 것이다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_174
가 성립하고, 위의 식을 변형하면

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_176
와 같이 나타낼 수 있다.

코사인법칙은 두 변의 길이와 끼인각의 크기를 알 때 삼각형의 나머지 한 변의 길이를 구할 때 유용하게 쓸 수 있다. 또한 모든 변의 길이를 알고 있을 때 각의 코사인값을 구할 때에도 사용할 수 있다.

### 탄젠트 법칙

탄젠트법칙은 임의의 삼각형 ABC에서 각 **A**, **B**의 대변 *a*, *b*에 다음과 같은 식을 만족시킨다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_178
## 역사

기원전 2~1세기 그리스의 히파르코스와 프톨레마이오스 등은 각도에 대해 달라지는 현의 길이를 다룬 적이 있다.

현재 쓰는 것과 같은 삼각 함수의 원형은 굽타 시대 인도 천문학에서 찾아볼 수 있다. 기원후 4~5세기 인도의 천문학 책이 산스크리트어에서 아랍어를 통해 라틴어로 번역되면서 유럽에 전해졌다. 5세기 초 발간된 인도의 천문학 서적 『수우르야 싯단타(Sūrya Siddhānt, 태양에 관한 지식)』에는 세계 최초로 삼각 함수에 관해 정확하고 자세하게 표현된 설명이 기록되어 있다.

삼각 함수가 동아시아에 전해진 것은 16~17세기 때이다.

## 어원

영어 ‘사인(sine)’은 라틴어 sinus에서 왔는데, 이는 12세기의 유럽 번역가들이 아랍어 جَيْب(*jayb*)를 ‘옷의 목부분, 옷깃’으로 보고 라틴어로 번역한 것이다. 하지만 이 단어는 실제로는 ‘활시위’를 뜻하는 산스크리트어 ज्या(*jyā*, 베다 *jiyā́*)를 음차한 것이다.

‘탄젠트(tangent)’는 ‘접한다’는 뜻의 라틴어 tangens에서 왔고, ‘시컨트(secant)’는 ‘자른다’는 뜻의 라틴어 secans에서 왔다. 각각 원에 접하는 선과 자르는 선에 빗대어 붙인 이름이다.

코사인, 코탄젠트, 코시컨트의 ‘코(co-)’가 처음 쓰인 책으로는 에드먼드 건터의 Canon triangulorum(1620년)이 있는데, ‘여각의 사인’(sinus complementi)을 ‘코사인(cosinus)’으로 줄여 부른 것이다.

한자 문화권에서는 독일의 선교사·과학자인 요한 슈렉이 명나라에서 저술한 《대측(大測)》(1631) 등의 책에서 사인·코사인·탄젠트를 각각 **정현**(正弦)·**여현**(餘弦)·**정절**(正切)이라고 번역했다. 코탄젠트·시컨트·코시컨트는 각각 **여절**(餘切)·**정할**(正割)·**여할**(餘割)이라 한다. 이 이름은 근대화되기 전의 조선·일본에서 쓰였고, 지금도 중국에서 쓰인다.

* 싱크함수
* 자연로그의 밑
* 테일러 급수
* 오일러의 등식
* 원뿔
* 헤론의 공식
* 체비셰프 다항식
* 베르누이 수
* 역삼각 함수

* Weisstein, Eric Wolfgang. “Trigonometric functions” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
* Visionlearning Module on Wave Mathematics 보관됨 2008-03-18 - 웨이백 머신
* GonioLab: Visualization of the unit circle, trigonometric and hyperbolic functions
* Dave's draggable diagram. 보관됨 2008-06-15 - 웨이백 머신 (Requires java browser plugin)
* sinusoidal wave shape 보관됨 2017-06-27 - 웨이백 머신