# 접다발

유클리드 평면에 매장된 원의 접다발의 형상화.
3차원 유클리드 공간에 매장된 구의 접공간은 유클리드 공간 속의 평면으로 형상화된다.
미분기하학에서, 매끄러운 다양체의 **접다발**(接-, 영어: tangent bundle)은 각 점 위의 접공간들의 서로소 합집합들로 구성된 벡터 다발이다.

## 정의

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 이 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 차원 매끄러운 다양체라고 하고, 그 매끄러운 국소 좌표계

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
가 주어졌다고 하자 ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 는 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 의 열린 덮개).

그렇다면, WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 의 **접다발**은 다음과 같은 위상 공간이다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
여기서, 각 성분들을 이어붙이는 동치 관계 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 은 다음과 같다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
여기서 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 는 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 의 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 번째 성분이다.

그렇다면, 이는 자연스러운 사영 사상

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26
을 통해 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 위의 매끄러운 벡터 다발을 이룬다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 의 **접공간**(接空間, 영어: tangent space) WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 은 접다발의 올이다. 만약 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 에서 어떤 유클리드 공간으로의 (매끄러운) 몰입이 주어졌다면, 이는 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 에 "접하는" WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 차원 초평면으로 여길 수 있다.

매끄러운 다양체 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 의 접다발의 쌍대 벡터 다발 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 을 **공변접다발**(共變接- 영어: cotangent bundle) 또는 **여접다발**(餘接-)이라고 한다. 이는 보다 직접적으로

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46
와 같이 정의될 수 있다. 마찬가지로, WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 의 **공변접공간**(共變接空間, 영어: cotangent space) WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 은 공변접다발의 올이다.

### 벡터장과 텐서장

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 의 접다발 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 의 매끄러운 단면을 **벡터장**이라고 한다.
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 의 공변접다발 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 의 매끄러운 단면을 **1차 미분 형식**이라고 한다.
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 의 접다발과 공변접다발들의 텐서곱

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62
의 매끄러운 단면을  **WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 차 텐서장**이라고 한다.

## 예

만약 어떤 매끄러운 다양체 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 의 (공변)접다발이 자명한 벡터 다발이라면, WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 을 **평행화 가능 다양체**(영어: parallelizable manifold)라고 한다. 초구 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 가운데 평행화 가능 다양체인 것은 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 밖에 없다.

모든 3차원 가향 다양체는 평행화 가능 다양체이다.

### 리만 다양체

준 리만 다양체 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 의 경우, 각 점 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 에서 접다발과 공변접다발 사이의 동형 사상

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90
이 존재하며, 이는 접다발과 공변접다발 사이의 매끄러운 벡터 다발 동형 사상을 정의한다. 이를 **음악 동형**(音樂同形, 영어: musical isomorphism)이라고 한다.

여기서 "음악"이라는 어원은 악보의 올림표(♯)와 내림표(♭) 기호를 사용하기 때문이다. 이러한 기호를 사용하는 이유는, 보통 접다발의 단면은 윗첨자( WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 ), 공변접다발의 단면은 아랫첨자( WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 )로 표기하므로, WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 은 윗첨자를 아랫첨자로 "내리고", WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 는 아랫첨자를 윗첨자로 "올리기" 때문이다.

* Chern, Shiing-Shen; Chen, Wei-Huan; Lam, Kai-Shue (1999년 11월). 《Lectures on differential geometry》 (영어). Series on University Mathematics **1**. World Scientific. doi:10.1142/3812. ISBN 978-981-02-3494-2.

* 공변접다발
* 미분 사상
* 틀다발

* “Tangent bundle” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
* Weisstein, Eric Wolfgang. “Tangent bundle” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
* Weisstein, Eric Wolfgang. “Tangent bundle section” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
* Weisstein, Eric Wolfgang. “Cotangent bundle” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
* “Tangent bundle” (영어). 《nLab》.
* “Cotangent bundle” (영어). 《nLab》.
* “Generalized tangent bundle” (영어). 《nLab》.
* “Synthetic tangent bundle” (영어). 《nLab》.