# 위도

위선이 표시된 지구 모형. 북극점, 적도, 북반구 및 남반구가 표시되어 있다.
지구의 경위선망. 극에서 극으로 이어지는 수직선은 일정한 경도를 나타내는 선, 즉 자오선이다. 적도와 평행한 원들은 일정한 위도를 나타내는 선, 즉 위선이다. 경위선망은 지표면의 위도와 경도를 보여준다. 이 예시에서 자오선은 6° 간격으로, 위선은 4° 간격으로 배치되어 있다.
**위도**(緯度, 영어: latitude)는 지구나 다른 천체 표면의 한 점에 대한 남쪽-북쪽 위치를 나타내는 지리 좌표계의 좌표이다. 위도는 적도를 0°로 하여 남극점을 −90°, 북극점을 90°로 하는 각도로 주어진다. 위선은 적도와 평행한 원을 그리며 동서로 이어진다. 위도와 경도는 함께 좌표 쌍을 이루어 지구 표면의 위치를 지정하는 데 사용된다.

단독으로 사용될 때 '위도'라는 용어는 일반적으로 아래에 정의된 측지 위도를 의미한다. 간략히 말해, 어떤 점의 측지 위도는 그 점의 타원체 표면에 대한 수직선(또는 법선)과 적도면 사이에서 형성되는 각도이다.

## 배경

위도와 경도를 정의할 때는 두 단계의 추상화가 사용된다. 첫 번째 단계에서 물리적 지표면은 바다의 해수면 평균과 육지 아래로 이어지는 표면을 근사하는 지오이드로 모델링된다. 두 번째 단계는 지오이드를 수학적으로 더 단순한 기준면으로 근사하는 것이다. 기준면으로 가장 단순한 선택은 구이지만, 지오이드는 회전타원체로 더 정확하게 모델링된다. 이러한 기준면에서의 위도와 경도 정의는 다음 절에서 자세히 설명한다. 일정한 위도와 경도를 나타내는 선들은 함께 기준면 위의 경위선망을 구성한다. 실제 지표면상의 한 점의 위도는 기준면의 대응되는 점의 위도와 같으며, 이때 대응은 물리적 표면의 점을 지나는 기준면의 법선을 따라 이루어진다. 위도와 경도는 고도에 대한 일부 사양과 함께 ISO 19111 표준 사양에 정의된 지리 좌표계를 구성한다.

수많은 기준 타원체가 존재하기 때문에 지표면 지형의 정확한 위도는 고유하지 않다. 이는 ISO 표준에서 "좌표 참조 시스템에 대한 완전한 사양 없이는 좌표(즉, 위도와 경도)가 기껏해야 모호하고 최악의 경우 무의미하다"라고 명시하며 강조하는 부분이다. 이는 GPS와 같은 정확한 응용 분야에서 매우 중요하지만, 높은 정확도가 요구되지 않는 일반적인 용법에서는 기준 타원체를 명시하지 않는 경우가 많다.

영어 텍스트에서 아래에 정의된 위도 각도는 일반적으로 그리스 소문자 파이( WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 또는 WIKINIUM\_MATH\_PH\_1 )로 표기한다. 이는 적도를 기준으로 북쪽이나 남쪽으로 도, 분, 초, 또는 십진도로 측정된다. 항해 목적의 위치는 도와 십진분으로 주어진다. 예를 들어, 더 니들스 등대는 50°39.734′ N 001°35.500′ W에 위치한다.

이 문서는 지구의 좌표계와 관련이 있으나, 달, 행성 및 기타 천체에 대해서도 적용할 수 있다(행성 위도).

간략한 역사는 위도의 역사를 참고하라.

### 결정

천문항법에서 위도는 자오선 고도법을 사용하여 결정한다.
더 정밀한 위도 측정은 경위의를 설치하거나 GPS 위성 궤도를 결정하기 위해 지구의 중력장에 대한 이해를 필요로 한다. 중력장과 함께 지구의 형상을 연구하는 학문을 측지학이라 한다.

## 구면 위의 위도

구면 모델에서 위도( WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 )와 경도( WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 )가 정의되는 방식을 보여주는 지구의 투영도. 경위선망 간격은 10도이다.
### 구면 위의 경위선망

경위선망은 지구의 자전축을 기준으로 구성되는 일정한 위도와 경도의 선으로 형성된다. 주요 기준점은 지구 자전축이 기준면과 교차하는 지리극이다. 자전축을 포함하는 평면은 표면에서 경선과 교차하며, 임의의 경선 평면과 본초 자오선을 지나는 평면 사이의 각도가 경도를 정의한다. 즉, 경선은 일정한 경도를 나타내는 선이다. 지구 중심을 지나고 자전축에 수직인 평면은 표면에서 적도라고 불리는 대원을 만든다. 적도면과 평행한 평면은 표면에서 일정한 위도를 나타내는 원과 교차하는데, 이들을 위선이라 한다. 적도의 위도는 0°이며, 북극점은 북위 90°(90° N 또는 +90°), 남극점은 남위 90°(90° S 또는 −90°)이다. 임의 지점의 위도는 적도면과 해당 지점의 표면 법선 사이의 각도이다. 구면에서의 법선은 반경 벡터를 따른다.

이와 같이 구면에 대해 정의된 위도는 측지 위도나 이 문서의 후속 절에서 정의되는 보조 위도들과 구별하기 위해 구면 위도라고도 한다.

### 지구상의 명명된 위도

12월 동지 때의 지구 방향
적도 외에도 다음 4개의 위선이 중요하다.

|  |  |
| --- | --- |
| 북극권 | 66° 34′ (66.57°) N |
| 북회귀선 | 23° 26′ (23.43°) N |
| 남회귀선 | 23° 26′ (23.43°) S |
| 남극권 | 66° 34′ (66.57°) S |

태양을 중심으로 하는 지구 공전 궤도면을 황도라 하며, 지구 자전축에 수직인 평면이 적도면이다. 황도면과 적도면 사이의 각도를 자전축 기울기, 황도 경사 또는 황도 기울기라고 하며, 일반적으로 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 로 표기한다. 회귀선의 위도는 WIKINIUM\_MATH\_PH\_7 와 같고 극권의 위도는 그 여각(90° - i)이다. 자전축은 시간에 따라 서서히 변하며 여기에 제시된 값은 현재 역기점 기준이다. 시간 변화에 대해서는 자전축 기울기 문서에서 더 자세히 다룬다.

그림은 태양이 남회귀선의 특정 지점에 수직으로 비치는 12월 지점(동지)에 황도에 수직이고 지구와 태양의 중심을 지나는 단면의 기하학적 구조를 보여준다. 남극권 아래의 남극 위도 지역은 낮인 반면, 북극권 위쪽의 북극 위도 지역은 밤이다. 태양이 북회귀선에 수직으로 비치는 6월 지점(하지)에는 상황이 반대가 된다. 두 열대 사이의 위도에서만 태양이 정면(천정)에 위치할 수 있다.

지도 투영법에서는 경선과 위선이 어떻게 보여야 한다는 보편적인 규칙은 없다. 아래의 예시는 일반적으로 사용되는 메르카토르 도법과 횡축 메르카토르 도법에서 명명된 위선(빨간 선)을 보여준다. 전자의 경우 위선은 수평이고 경선은 수직이지만, 후자의 경우 수평 및 수직과의 정확한 관계가 없으며 둘 다 복잡한 곡선이다.

|  | 일반 메르카토르 |  | 횡축 메르카토르 |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  |  |
\ |  |

## 타원면 위의 위도

### 타원면

1687년 아이작 뉴턴은 자연철학의 수학적 원리를 출간하여 평형 상태에 있는 자전하는 자가 중력 유체체가 편평타원체의 형태를 취함을 증명했다. (이 문서는 이전 용어인 '회전타원체'보다 '타원면'이라는 용어를 선호하여 사용한다.) 뉴턴의 결과는 18세기의 측지학적 측정으로 확인되었다(경선호 참고). 편평타원체는 타원이 단축(부축)을 중심으로 회전하여 생성된 3차원 표면이다. "편평한 회전타원체"는 이 문서의 나머지 부분에서 '타원면'으로 축약한다. (대칭축이 없는 타원면은 삼축타원체라고 한다.)

측지학의 역사에서 다양한 기준 타원체가 사용되어 왔다. 위성 이전 시대에는 측량 지역에 대해 지오이드와 잘 맞도록 고안되었으나, GPS의 등장 이후 WGS84와 같이 지구 질량 중심을 원점으로 하고 단축이 지구 자전축과 정렬된 기준 타원체를 사용하는 것이 자연스러워졌다. 이러한 지심 타원체는 일반적으로 지오이드로부터 100 m (330 ft) 이내에 있다. 위도는 타원면에 대해 정의되므로, 특정 지점의 위치는 각 타원체마다 다르다. 따라서 사용된 타원체를 명시하지 않고는 지리적 지형의 위도와 경도를 정확히 지정할 수 없다. 국가 기관이 유지 관리하는 많은 지도는 구형 타원체를 기반으로 하므로, 위도와 경도 값을 한 타원체에서 다른 타원체로 변환하는 방법을 알아야 한다. GPS 단말기에는 WGS84를 해당 격자와 연결된 지역 기준 타원체로 변환하는 측지계 변환 소프트웨어가 포함되어 있다.

### 타원면의 기하학

z축을 따라 압축되어 편평한 회전타원체를 형성하는 반지름 a의 구.
회전타원체의 모양은 단축을 중심으로 회전하는 타원의 모양에 의해 결정된다. 두 개의 매개변수가 필요하다. 하나는 항상 장반경인 적도 반지름 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 이다. 다른 매개변수는 일반적으로 (1) 극 반지름 또는 단반경 WIKINIUM\_MATH\_PH\_9 , (2) (제1) 편평률 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 , 또는 (3) 이심률 WIKINIUM\_MATH\_PH\_11 이다. 이러한 매개변수는 독립적이지 않으며 다음 관계에 있다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
측지학, 지구물리학 및 지도 투영 연구에는 다른 많은 매개변수가 나타나지만 모두 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_15 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_17 세트의 하나 또는 두 개로 표현할 수 있다. WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 와 WIKINIUM\_MATH\_PH\_19 는 모두 작아서 계산 시 급수 전개에 자주 나타나며, 각각 ⁠1/298⁠과 0.0818 정도의 크기이다. 여러 타원체에 대한 값은 지구의 형상에 제시되어 있다. 기준 타원체는 일반적으로 장반경과 역편평률 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 으로 정의된다. 예를 들어, 모든 GPS 장치에서 사용하는 WGS84 타원체의 정의 값은 다음과 같다.

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_21 (적도 반지름): 정확히 6378137.0 m
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 (역편평률): 정확히 298.257223563

여기에서 파생되는 값:

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_23 (극 반지름): 6356752.31425 m
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 (이심률 제곱): 0.00669437999014

장반경과 단반경의 차이는 약 21 km (13 마일)이며, 장반경에 대한 분율로 나타내면 편평률과 같다. 컴퓨터 모니터에서 이 타원체는 300x299 픽셀로 크기가 조정될 수 있다. 이는 300x300 픽셀의 구와 거의 구별할 수 없기 때문에, 삽화에서는 일반적으로 편평률을 과장한다.

### 측지 위도와 지심 위도

타원면에서의 측지 위도( WIKINIUM\_MATH\_PH\_25 )와 경도( WIKINIUM\_MATH\_PH\_27 )의 정의. 적도와 극점을 제외하고 표면의 법선은 중심을 지나지 않는다.
타원면 위의 경위선망은 구면과 정확히 같은 방식으로 구성된다. 타원면 표면의 한 점에서의 법선은 적도나 극점의 점을 제외하고는 중심을 지나지 않지만, 위도의 정의는 법선과 적도면 사이의 각도로 변경되지 않는다. 위도에 대한 용어는 다음과 같이 구분하여 더 정밀하게 만들어야 한다.

* 측지 위도: 법선과 적도면 사이의 각도. 영어 출판물의 표준 표기는 WIKINIUM\_MATH\_PH\_29 이다. 이는 위도라는 단어가 수식어 없이 사용될 때 가정되는 정의이다. 이 정의는 반드시 타원체 사양과 함께 사용되어야 한다.
* 지심 위도 (3차원 극각을 딴 구면 위도라고도 함): 반지름(중심에서 표면의 점까지)과 적도면 사이의 각도. (아래 그림 참고). 표준 표기는 없다. 여러 텍스트에서 사용하는 예시로는 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_31 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_33 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_35 등이 있다. 이 문서에서는 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 를 사용한다.

지리 위도는 일부 저자가 측지 위도의 동의어로 사용하는 반면 다른 저자는 천문 위도의 대안으로 사용하므로 주의해서 사용해야 한다. "위도"(수식어 없음)는 일반적으로 측지 위도를 지칭해야 한다.

기준 측지계를 명시하는 것의 중요성은 간단한 예로 설명할 수 있다. WGS84 기준 타원체에서 에펠탑 중심의 측지 위도는 48° 51′ 29″ N, 즉 48.8583° N이고 경도는 2° 17′ 40″ E 또는 2.2944°E이다. 동일한 좌표를 ED50 측지계로 정의하면 탑에서 140 미터 (460 피트) 떨어진 지점을 나타낸다. 웹 검색을 하면 탑의 위도에 대해 여러 가지 다른 값이 나올 수 있는데, 기준 타원체가 거의 명시되지 않기 때문이다.

## 경선 거리

위도 1도의 길이는 가정된 지구의 형상에 따라 달라진다.

### 구면에서의 경선 거리

구면에서 법선은 중심을 지나며 따라서 위도( WIKINIUM\_MATH\_PH\_37 )는 적도에서 해당 지점까지의 경선호에 의해 중심에서 형성되는 각도와 같다. 경선호 거리를 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 라고 하면
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_39
여기서 WIKINIUM\_MATH\_PH\_41 은 지구의 평균 반경을 나타낸다. WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 은 6,371 km or 3,959 마일과 같다. WIKINIUM\_MATH\_PH\_43 에 대해서는 더 높은 정밀도의 결과가 타원면 모델을 필요로 하기 때문에 더 높은 정확도는 적절하지 않다. WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 의 이 값을 사용하면 구면에서 위도 1도의 경선 길이는 111.2 km (69.1 statute 마일) (60.0해리)이다. 위도 1분의 길이는 1.853 km (1.151 statute 마일) (1.00해리)인 반면, 위도 1초의 길이는 30.8 m or 101 피트이다(해리 참고).

### 타원면에서의 경선 거리

경선호 및 표준 텍스트에서 위도 WIKINIUM\_MATH\_PH\_45 에서 적도까지의 경선 거리(라디안 단위의 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 )는 다음과 같다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_47

여기서 WIKINIUM\_MATH\_PH\_49 는 자오선 곡률 반경이다.

적도에서 극점까지의 경선 사분원 거리는 다음과 같다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50

WGS84의 경우 이 거리는 10001.965729 km이다.

경선 거리 적분의 평가는 측지학 및 지도 투영 연구의 핵심이다. 이항 급수로 적분을 전개하고 항별로 적분하여 평가할 수 있다. 자세한 내용은 경선호를 참고하라. 두 주어진 위도 사이의 경선호 길이는 적분 구간을 해당 위도로 대체하여 구할 수 있다. 작은 경선호의 길이는 다음과 같다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52

|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_54  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_56  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_57  |
| --- | --- | --- |
| 0° | 110.574 km | 111.320 km |
| 15° | 110.649 km | 107.550 km |
| 30° | 110.852 km | 96.486 km |
| 45° | 111.132 km | 78.847 km |
| 60° | 111.412 km | 55.800 km |
| 75° | 111.618 km | 28.902 km |
| 90° | 111.694 km | 0.000 km |

위도 차이가 1도(라디안으로 ⁠π/180⁠)일 때, 호 거리는 대략
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58

WGS84 타원체에서 위도 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60  − 0.5도와 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62  + 0.5도 사이의 미터 단위 거리(0.01미터 단위로 정확함)는
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64

이 거리의 위도에 따른 변화(WGS84 기준)는 경도 1도의 길이(동서 거리)와 함께 표에 나와 있다.
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66

미국 정부의 국가지리정보국(NGA)에서 모든 위도에 대한 계산기를 제공한다.

## 보조 위도

측지학, 지구물리학 및 지도 투영 이론의 특수 문제에 응용되는 6가지 '보조 위도'가 있다.

* 지심 위도
* 매개변수(또는 정규화된) 위도
* 정정 위도
* 정적 위도
* 정각 위도
* 등거리 위도

이 절에서 정의된 모든 내용은 기준 타원면상의 위치와 관련이 있지만, 앞의 두 보조 위도는 측지 위도와 마찬가지로 아래에서 논의할 3차원 지리 좌표계를 정의하도록 확장될 수 있다. 나머지 위도들은 이러한 방식으로 사용되지 않으며, 기준 타원면에서 평면으로의 지도 투영이나 타원면상의 측지선 계산을 위한 중간 구성 요소로만 사용된다. 그 수치 값은 그 자체로는 중요하지 않다. 예를 들어, 에펠탑의 정적 위도를 계산해야 하는 사람은 없다.

아래 식은 측지 위도, 장반경 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 , 이심률 WIKINIUM\_MATH\_PH\_69 를 사용하여 보조 위도를 제공한다. (역함수는 아래 아래 참고.) 주어진 형태는 표기법 변형을 제외하면 지도 투영의 표준 참조인 J. P. 스나이더의 "지도 투영: 작업 매뉴얼"의 것과 같다. 이러한 식의 유도는 애덤스 및 오스본과 랩의 온라인 출판물에서 찾을 수 있다.

### 지심 위도

측지 위도( WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 )와 지심 위도( WIKINIUM\_MATH\_PH\_71 )의 정의
**지심 위도**는 적도면과 중심에서 관심 지점까지의 반지름 사이의 각도이다.

지점이 타원면 표면에 있을 때, 지심 위도( WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 )와 측지 위도( WIKINIUM\_MATH\_PH\_73 ) 사이의 관계는 다음과 같다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74
타원면 표면 위에 있지 않은 점의 경우, 관계식에는 타원체 고도 h가 추가로 포함된다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76
여기서 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 은 묘선 곡률 반경이다. 측지 위도와 지심 위도는 적도와 극점에서 같지만 다른 위도에서는 몇 분의 차이가 난다. 이심률 제곱값을 0.0067(타원체 선택에 따라 다름)로 취하면 WIKINIUM\_MATH\_PH\_79 의 최대 차이는 약 45° 6′의 측지 위도에서 약 11.5분 정도임을 알 수 있다.

### 매개변수 위도 (또는 정규화된 위도)

타원면에서의 매개변수 위도( WIKINIUM\_MATH\_PH\_81 )의 정의
**매개변수 위도** 또는 **정규화된 위도** WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 는 타원면 표면의 위도 WIKINIUM\_MATH\_PH\_83 인 점 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 에서 지구축에 평행하게 투영되어 주변 구(반지름 WIKINIUM\_MATH\_PH\_85 ) 위의 점 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 까지 중심에서 그려진 반지름으로 정의된다. 이는 르장드르와 베셀이 도입했는데, 이들은 이 더 작은 위도를 사용하여 타원면상의 측지선 문제를 구면 측지선의 동등한 문제로 변환함으로써 해결했다. 베셀의 표기법 WIKINIUM\_MATH\_PH\_87 도 현재 문헌에서 사용된다. 매개변수 위도는 측지 위도와 다음과 같이 관련된다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88
대체 이름은 경선 단면을 기술하는 타원 방정식의 매개변수화에서 유래한다. 단축으로부터의 거리 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 와 적도면으로부터의 거리 WIKINIUM\_MATH\_PH\_91 인 데카르트 좌표로 표현하면 타원 방정식은 다음과 같다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92
점의 데카르트 좌표는 다음과 같이 매개변수화된다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94
케일리는 이 방정식들의 형태 때문에 '매개변수 위도'라는 용어를 제안했다.

매개변수 위도는 지도 투영 이론에서는 사용되지 않는다. 가장 중요한 응용은 타원면 측지선 이론(빈센티, 카니)에 있다.

### 정정 위도

**정정 위도** WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 는 극점에서의 값이 90도 또는 ⁠π/2⁠ 라디안이 되도록 스케일링된 경선 거리이다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_97
여기서 적도에서 위도 WIKINIUM\_MATH\_PH\_99 까지의 경선 거리는 (경선호 참고)

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100
이고 적도에서 극점까지의 경선 사분원 길이(극거리)는

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102
반지름

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104
인 구에 위도를 정의하기 위해 정정 위도를 사용하면 모든 경선이 실제 길이와 균일한 스케일을 갖도록 타원면에서 구로의 투영을 정의한다. 그런 다음 구를 등장방형도법으로 평면에 투영하여 타원면에서 평면으로의 이중 투영을 수행하면 모든 경선이 실제 길이와 균일한 경선 스케일을 갖게 된다. 정정 위도 사용의 예로는 정거원추도법이 있다(스나이더, 16절). 정정 위도는 횡축 메르카토르 도법 구축에도 매우 중요하다.

### 정적 위도

**정적 위도**(그리스어에서 '같은 면적'을 뜻함) WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 는 구에 대한 정적도법을 제공한다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_107
여기서

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_109
이고

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_111
구의 반지름은 다음과 같이 취한다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_113
정적 위도 사용의 예로는 람베르트 정적원추도법이 있다.

### 정각 위도

**정각 위도** WIKINIUM\_MATH\_PH\_115 는 구로의 각도 보존(등각 사상) 변환을 제공한다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116
여기서 WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 는 구더만 함수이다. (또한 메르카토르 도법 참고.)

정각 위도는 타원면에서 임의 반지름의 구로의 변환을 정의하여 타원면 위의 임의의 두 선 사이의 교차 각도가 구 위의 해당 각도와 같도록 한다(따라서 작은 요소의 모양이 잘 보존됨). 구에서 평면으로의 추가적인 등각 변환은 타원면에서 평면으로의 등각 이중 투영을 제공한다. 이는 그러한 등각 투영을 생성하는 유일한 방법은 아니다. 예를 들어, 타원면상의 횡축 메르카토르 도법 '정확한' 버전은 이중 투영이 아니다. (그러나 이는 정각 위도를 복소평면으로 일반화하는 것을 포함한다.)

### 등거리 위도

**등거리 위도** WIKINIUM\_MATH\_PH\_119 는 일반 메르카토르 도법과 횡축 메르카토르 도법의 타원체 버전을 개발할 때 사용된다. '등거리'라는 이름은 타원면상의 임의 지점에서 WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 와 경도 WIKINIUM\_MATH\_PH\_121 의 동일한 증분이 각각 경선과 위선을 따라 동일한 거리 변위를 야기한다는 사실에서 유래했다. 일정한 WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 와 WIKINIUM\_MATH\_PH\_123 선으로 정의되는 경위선망은 타원면 표면을 (크기가 변하는) 격자망으로 나눈다. 등거리 위도는 적도에서 0이지만 측지 위도에서 급격히 벗어나 극점에서 무한대로 수렴한다. 관례적인 표기법은 스나이더(15쪽)에 제시되어 있다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_124
일반 메르카토르 도법(타원체)의 경우 이 함수는 위선의 간격을 정의한다. 투영 위의 적도 길이가 WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 (길이 또는 픽셀 단위)라면, 적도로부터 위도 WIKINIUM\_MATH\_PH\_127 인 위선의 거리 WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 는 다음과 같다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_129
등거리 위도 WIKINIUM\_MATH\_PH\_131 는 정각 위도 WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 와 밀접하게 관련되어 있다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_133
### 역공식 및 급수

이전 절의 공식들은 측지 위도를 사용하여 보조 위도를 제공한다. 지심 위도와 매개변수 위도에 대한 식은 직접 역산할 수 있지만, 나머지 4가지 경우(정정, 정적, 정각, 등거리 위도)에는 불가능하다. 두 가지 진행 방법이 있다.

* 첫 번째는 각 보조 위도의 특정 값에 대한 정의 방정식의 수치 역산이다. 가능한 방법으로는 고정점 반복법과 뉴턴-랩슨 근 찾기가 있다.
	+ 등거리 또는 정각 위도에서 측지 위도로 변환할 때, 뉴턴-랩슨 반복법을 두 번 수행하면 배정밀도 정확도를 얻을 수 있다.
* 다른 더 유용한 접근 방식은 보조 위도를 측지 위도에 대한 급수로 표현한 다음 라그랑주 역전 방법으로 급수를 반전시키는 것이다. 이러한 급수는 테일러 급수 전개를 사용하고 이심률에 대한 계수를 제공하는 애덤스에 의해 제시되었다. 오리우엘라는 세 번째 편평률 WIKINIUM\_MATH\_PH\_135 로 모든 보조 위도 쌍 간의 변환 급수를 제공한다. 카니는 그러한 급수의 절단 오차가 이심률에 대한 등가 급수보다 일관되게 작음을 입증한다. 급수 방법은 등거리 위도에는 적용할 수 없으며, 중간 단계에서 정각 위도를 구해야 한다.

### 보조 위도의 수치 비교

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오른쪽 그래프는 WGS84 타원체에 대해 등거리 위도(극점에서 무한대로 발산함)를 제외한 나머지 보조 위도와 측지 위도 사이의 차이를 보여준다. 그래프에 표시된 차이는 아크 분 단위이다.
북반구(양의 위도)에서는 θ ≤ χ ≤ μ ≤ ξ ≤ β ≤ ϕ이며, 남반구(음의 위도)에서는 부등호가 반대가 되고 적도와 극점에서는 같다. 그래프가 45°에 대해 대칭으로 보이지만, 곡선의 최소값은 실제로 45° 2′에서 45° 6′ 사이에 있다. 몇 가지 대표적인 데이터 지점은 아래 표에 나와 있다. 정각 위도와 지심 위도는 거의 구별할 수 없으며, 이는 수동 계산기 시절 지도 투영 구축을 촉진하기 위해 이용된 사실이다.

편평률 f에 대한 1차 근사에서, 보조 위도는 다음과 같이 표현될 수 있다.
ζ = ϕ − Cf sin 2ϕ
여기서 상수 C는 다음 값을 취한다.
[1⁄2, 2⁄3, 3⁄4, 1, 1]
(ζ = [β, ξ, μ, χ, θ]일 때)

측지 위도( WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 )와의 근사 차이|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_137  | 매개변수 WIKINIUM\_MATH\_PH\_138  | 정적 WIKINIUM\_MATH\_PH\_139  | 정정 WIKINIUM\_MATH\_PH\_140  | 정각 WIKINIUM\_MATH\_PH\_141  | 지심 WIKINIUM\_MATH\_PH\_142  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0° | 0.00′ | 0.00′ | 0.00′ | 0.00′ | 0.00′ |
| 15° | −2.88′ | −3.84′ | −4.32′ | −5.76′ | −5.76′ |
| 30° | −5.00′ | −6.66′ | −7.49′ | −9.98′ | −9.98′ |
| 45° | −5.77′ | −7.70′ | −8.66′ | −11.54′ | −11.55′ |
| 60° | −5.00′ | −6.67′ | −7.51′ | −10.01′ | −10.02′ |
| 75° | −2.89′ | −3.86′ | −4.34′ | −5.78′ | −5.79′ |
| 90° | 0.00′ | 0.00′ | 0.00′ | 0.00′ | 0.00′ |

## 위도와 좌표계

측지 위도나 기준 타원면 위에서 정의된 임의의 보조 위도는 경도와 함께 그 타원면 위의 2차원 좌표계를 구성한다. 임의의 점의 위치를 정의하려면 그러한 좌표계를 3차원으로 확장해야 한다. 3가지 위도가 이러한 방식으로 사용된다. 측지 위도, 지심 위도, 매개변수 위도는 각각 측지 좌표, 구면 극좌표, 타원면 좌표에서 사용된다.

### 측지 좌표

 측지 좌표 WIKINIUM\_MATH\_PH\_143
임의의 점 WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 에서 기준 타원면에 법선인 선 WIKINIUM\_MATH\_PH\_145 을 고려한다. 측지 좌표 WIKINIUM\_MATH\_PH\_146 는 타원면 위의 점 WIKINIUM\_MATH\_PH\_147 의 위도 및 경도와 거리 WIKINIUM\_MATH\_PH\_148 이다. 이 고도는 지오이드 위의 높이나 지정된 위치의 평균 해수면 위의 높이와 같은 기준 높이와는 다르다. WIKINIUM\_MATH\_PH\_149 의 방향은 수직 추선의 방향과도 다르다. 이러한 서로 다른 높이들의 관계는 지오이드의 형상과 지구의 중력장에 대한 지식을 필요로 한다.

### 구면 극좌표

 구면 극좌표와 관련된 지심 좌표 WIKINIUM\_MATH\_PH\_150
지심 위도 WIKINIUM\_MATH\_PH\_151 는 일반적인 구면 극좌표계에서 극각 또는 여위도 WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 의 여각이다. 여기서 점의 좌표는 WIKINIUM\_MATH\_PH\_153 이며, WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 은 중심 WIKINIUM\_MATH\_PH\_155 에서 WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 까지의 거리, WIKINIUM\_MATH\_PH\_157 는 반지름 벡터와 극축 사이의 각도, WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 는 경도이다. 타원면 위의 일반 점에서의 법선은 중심을 지나지 않으므로 측지 위도가 모두 같은 법선 위의 점 WIKINIUM\_MATH\_PH\_159 들은 지심 위도가 서로 다를 것임이 분명하다. 구면 극좌표계는 중력장 분석에 사용된다.

### 타원면 조화 좌표

타원면 좌표 WIKINIUM\_MATH\_PH\_160
매개변수 위도도 3차원 좌표계로 확장할 수 있다. 기준 타원면(반축 WIKINIUM\_MATH\_PH\_161 및 WIKINIUM\_MATH\_PH\_162 ) 위에 있지 않은 점 WIKINIUM\_MATH\_PH\_163 에 대해 기준 타원면과 초점이 같은(동일한 초점 WIKINIUM\_MATH\_PH\_164 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_165 ) 보조 타원면을 구성한다. 필요한 조건은 장반경과 이심률의 곱 WIKINIUM\_MATH\_PH\_166 가 두 타원면에 대해 동일하다는 것이다. WIKINIUM\_MATH\_PH\_167 를 보조 타원면의 단반경( WIKINIUM\_MATH\_PH\_168 )이라고 하자. 또한 WIKINIUM\_MATH\_PH\_169 를 보조 타원면 위 점 WIKINIUM\_MATH\_PH\_170 의 매개변수 위도라고 하자. 세트 WIKINIUM\_MATH\_PH\_171 는 **타원면 조화 좌표** 또는 단순히 타원면 좌표를 정의한다(다만 이 용어는 측지 좌표를 지칭하는 데도 사용됨). 이러한 좌표는 자전하는 타원면체에 대한 중력장 모델에서 자연스러운 선택이다.
위 내용은 이축 타원면에 적용된다(회전타원체, 편평 회전타원 좌표계에서와 같이). 일반화에 대해서는 삼축타원 좌표계를 참고하라.

### 좌표 변환

위의 좌표계들과 데카르트 좌표 사이의 관계는 여기에 제시되지 않았다. 측지 좌표와 데카르트 좌표 사이의 변환은 경위도에서 찾을 수 있다. 데카르트 좌표와 구면 극좌표의 관계는 구면좌표계에 제시되어 있다. 데카르트 좌표와 타원면 좌표의 관계는 토르게(Torge)에서 논의된다.

## 천문 위도

1. 해양
2. 타원면
3. 지역 수직 추선
4. 대륙
5. 지오이드

**천문 위도**(Φ)는 적도면과 표면 한 점에서의 진정한 수직 방향 사이의 각도이다. 수직 추선의 방향인 진정한 수직은 또한 해당 위도에서의 중력 방향(중력 가속도(질량 기반)과 원심 가속도의 합력)이다. 천문 위도는 천정과 적위가 정확히 알려진 별 사이에서 측정된 각도로 계산된다.

일반적으로 표면의 진정한 수직은 기준 타원면의 법선이나 지오이드의 법선과 정확히 일치하지 않는다. 지오이드는 '해수면 평균'의 이상적인 이론적 형상이다. 육지의 점들은 지오이드 위에 정확히 놓이지 않으며, 특정 시간의 수직 방향은 이론적 지오이드가 평균화하는 조석력의 영향을 받는다. 천문 법선과 측지 법선 사이의 각도를 연직선 편차라고 하며, 일반적으로 몇 초의 각도에 불과하지만 측지학에서는 중요하다.

천문 위도는 별들의 각 위치를 천구적도 북쪽-남쪽으로 지정하는 데 사용하는 적위(적도 좌표계 참고)나, 천문학자들이 별들의 각 위치를 황도 북쪽-남쪽으로 지정하는 데 사용하는 황도 좌표계와 구별된다.

* 경도
* 적도
* 중위도

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