# 좌표계

구면좌표계는 물리학에서 흔히 사용된다. 이 좌표계는 유클리드 공간의 모든 점에 세 개의 수(좌표)를 할당한다. 반경 거리 r, 극각 θ(θ), 방위각 φ(φ)가 그것이다. r 대신 ρ(ρ) 기호가 자주 사용된다.
**좌표계**(座標系, coordinate system) 혹은 **자리표계**는 하나 이상의 수, 즉 **좌표**를 사용하여 유클리드 공간과 같은 다양체 위의 점이나 다른 기하학적 요소의 위치를 고유하게 결정하고 표준화하는 체계이다. 좌표는 서로 교환할 수 없으며, 일반적으로 정렬된 튜플 내의 위치나 "x좌표"와 같은 라벨을 통해 구별된다. 초등수학에서 좌표는 실수로 취급되지만, 복소수나 가환환과 같은 보다 추상적인 체계의 원소일 수도 있다. 좌표계를 사용하면 기하학적 문제를 수에 관한 문제로 변환할 수 있으며, 그 반대도 가능하다. 이것이 해석기하학의 기초이다.

## 일반적인 좌표계

### 수직선

1차원 좌표계의 가장 간단한 예는 수직선을 사용하여 직선 위의 점을 실수와 대응시키는 것이다. 이 체계에서는 주어진 직선 위에 임의의 점 O(원점)를 잡는다. 점 P의 좌표는 O에서 P까지의 유향 거리로 정의되며, 여기서 유향 거리는 P가 직선의 어느 쪽에 있는지에 따라 양수 또는 음수로 취급되는 거리이다. 모든 점에는 고유한 좌표가 부여되며, 모든 실수는 고유한 점의 좌표가 된다.

수직선
### 데카르트 좌표계

평면에서의 데카르트 좌표계3차원 공간에서의 데카르트 좌표계
좌표계의 전형적인 예는 데카르트 좌표계이다. 평면에서는 두 수직선을 선택하고 점의 좌표를 해당 선까지의 유향 거리로 취한다. 3차원에서는 서로 직교하는 세 평면을 선택하며, 점의 세 좌표는 각 평면까지의 유향 거리가 된다. 이를 일반화하여 n차원 유클리드 공간의 임의의 점에 대해 n개의 좌표를 만들 수 있다.

좌표축의 방향과 순서에 따라, 3차원 좌표계는 오른손 또는 왼손 좌표계가 될 수 있다.

### 극좌표계

평면을 위한 또 다른 일반적인 좌표계는 극좌표계이다. 한 점을 극으로 선택하고 이 점으로부터 나오는 반직선을 극축으로 한다. 주어진 각 θ에 대해, 극축과 θ의 각을 이루는(축에서 선 방향으로 반시계 방향으로 측정) 극을 지나는 단 하나의 직선이 존재한다. 그런 다음 이 직선 위에는 원점으로부터의 유향 거리가 주어진 수 r인 유일한 점이 존재한다. 주어진 좌표 쌍 (r, θ)에 대해 하나의 점이 존재하지만, 어떤 점이든 많은 좌표 쌍으로 표현될 수 있다. 예를 들어 (r, θ), (r, θ+2π) 및 (−r, θ+π)는 모두 같은 점을 나타내는 극좌표이다. 극은 모든 θ 값에 대해 (0, θ)로 표현된다.

### 원통좌표계 및 구면좌표계

원통좌표계
극좌표계를 3차원으로 확장하는 두 가지 일반적인 방법이 있다. **원통좌표계**에서는 데카르트 좌표계와 같은 의미를 갖는 z좌표가 극좌표 r 및 θ에 추가되어 세 좌표 (r, θ, z)를 구성한다. 구면좌표계는 이를 한 단계 더 나아가 원통좌표 (r, z)를 극좌표 (ρ, φ)로 변환하여 세 좌표 (ρ, θ, φ)를 구성한다.

### 동차좌표

평면 위의 점은 세 좌표 (x, y, z)를 사용하여 동차좌표로 표현할 수 있는데, 여기서 x/z와 y/z가 해당 점의 데카르트 좌표이다. 이는 평면 위의 점을 지정하는 데 두 개의 좌표만 필요함에도 불구하고 "추가적인" 좌표를 도입하는 것이지만, 무한을 사용하지 않고 사영 평면 위의 모든 점을 나타낼 수 있다는 점에서 유용하다. 일반적으로 동차좌표계는 실제 값이 아닌 좌표의 비율만이 중요한 의미를 갖는 체계이다.

### 기타 일반적인 좌표계

그 외 흔히 사용되는 좌표계는 다음과 같다.

* 곡선좌표계는 일반적인 좌표계의 일반화이며, 곡선의 교차점에 기반을 둔다.
	+ 직교좌표계: 좌표면이 직각으로 만나는 경우
	+ 사교좌표: 좌표면이 직교하지 않는 경우
* 로그-극좌표계는 평면 위의 점을 원점으로부터의 거리의 로그와 원점을 지나는 기준선으로부터 측정된 각도로 나타낸다.
* 플뤼커 좌표는 동차좌표로서 6개의 수로 구성된 튜플을 사용하여 3차원 유클리드 공간의 직선을 나타내는 방법이다.
* 일반화 좌표는 라그랑주 역학에서 역학을 다룰 때 사용된다.
* 정준좌표는 해밀턴 역학에서 역학을 다룰 때 사용된다.
* 중심좌표계는 삼원도나 보다 일반적으로 삼각형 분석에 사용된다.
* 삼선형 좌표는 삼각형과 관련된 문맥에서 사용된다.

좌표를 사용하지 않고 곡선을 기술하는 방법도 있는데, 곡률이나 곡선의 길이와 같은 불변량을 사용하는 자연방정식이 그것이다. 여기에는 다음이 포함된다.

* 휴얼 방정식(Whewell equation)은 곡선의 길이와 접선 각도 사이의 관계를 나타낸다.
* 체사로 방정식(Cesàro equation)은 곡선의 길이와 곡률 사이의 관계를 나타낸다.

## 기하학적 객체의 좌표

좌표계는 종종 점의 위치를 지정하는 데 사용되지만, 직선, 평면, 원, 구와 같은 더 복잡한 도형의 위치를 지정하는 데도 사용될 수 있다. 예를 들어, 플뤼커 좌표는 공간에서 직선의 위치를 결정하는 데 사용된다. 필요에 따라 기술되는 도형의 유형을 사용하여 좌표계의 유형을 구별하는데, 예를 들어 직선의 위치를 지정하는 좌표계에는 선좌표라는 용어가 사용된다.

두 개의 서로 다른 기하학적 도형 집합에 대한 좌표계가 분석적 측면에서 등가인 경우가 발생할 수 있다. 사영 평면에서의 점과 직선에 대한 동차좌표계가 그 예이다. 이러한 경우 두 체계는 쌍대적이라고 한다. 쌍대 체계는 한 체계의 결과가 다른 체계로 이어질 수 있다는 특성을 갖는데, 이는 두 결과가 동일한 해석적 결과에 대한 다른 해석일 뿐이기 때문이며, 이를 쌍대성 원리라고 한다.

## 변환

기하학적 도형을 기술하기 위한 서로 다른 좌표계는 매우 많다. 서로 다른 체계 간의 관계는 좌표 변환에 의해 기술되며, 이는 한 체계의 좌표를 다른 체계의 좌표로 나타내는 공식을 제공한다. 예를 들어 평면에서 데카르트 좌표 (x, y)와 극좌표 (r, θ)가 같은 원점을 공유하고 극축이 양의 x축인 경우, 극좌표에서 데카르트 좌표로의 변환은 x = r cosθ 및 y = r sinθ로 주어진다.

공간에서 자기 자신으로의 모든 전단사 함수에 대해 두 가지 좌표 변환을 연관시킬 수 있다.

* 각 점의 이미지에 대한 새로운 좌표가 원래 점의 이전 좌표와 같도록 하는 변환(매핑 공식은 좌표 변환 공식의 역함수이다)
* 각 점의 이미지에 대한 이전 좌표가 원래 점의 새로운 좌표와 같도록 하는 변환(매핑 공식은 좌표 변환 공식과 같다)

예를 들어 1차원에서 매핑이 오른쪽으로 3만큼 평행이동하는 것이라면, 첫 번째 경우는 원점을 0에서 3으로 이동시키므로 각 점의 좌표는 3만큼 작아지고, 두 번째 경우는 원점을 0에서 −3으로 이동시키므로 각 점의 좌표는 3만큼 커진다.

## 좌표선/곡선

좌표계가 주어졌을 때, 한 점의 좌표 중 하나를 변화시키고 다른 좌표들을 일정하게 유지하면 얻어지는 곡선을 **좌표곡선**이라고 한다. 만약 좌표곡선이 직선이면 이를 **좌표선**이라고 한다. 일부 좌표곡선이 직선이 아닌 좌표계를 곡선좌표계라고 한다.
직교좌표계는 곡선좌표계의 특수하면서도 매우 일반적인 경우이다.

다른 모든 좌표를 0으로 고정한 좌표선은 **좌표축**이라 부르며, 이는 좌표를 할당하는 데 사용되는 방향을 가진 직선이다.
데카르트 좌표계에서는 모든 좌표곡선이 직선이므로 좌표의 수만큼 좌표축이 존재한다. 또한, 좌표축은 쌍으로 직교한다.

극좌표계는 좌표곡선이 직선이나 원인 곡선좌표계이다. 그러나 좌표곡선 중 하나는 단일 점인 원점으로 축소되는데, 이는 종종 반지름이 0인 원으로 간주된다. 마찬가지로 구면좌표계와 원통좌표계는 직선, 원, 또는 반지름이 0인 원인 좌표곡선을 갖는다.

많은 곡선이 좌표곡선으로 나타날 수 있다. 예를 들어, 포물선 좌표계의 좌표곡선은 포물선이다.

## 좌표면

3차원 포물선 좌표계의 좌표면.
3차원 공간에서 하나의 좌표를 일정하게 유지하고 나머지 두 좌표를 변화시키면 생성되는 곡면을 **좌표면**이라고 한다. 예를 들어, 구면좌표계에서 ρ를 일정하게 유지하여 얻은 좌표면은 원점을 중심으로 하는 구이다. 3차원 공간에서 두 좌표면의 교선은 좌표곡선이다. 데카르트 좌표계에서는 **좌표평면**에 대해 이야기할 수 있다.
마찬가지로, **좌표 초곡면**은 n차원 좌표계에서 단일 좌표를 고정하여 발생하는 (n − 1)차원 공간이다.

## 좌표 지도

좌표 지도 또는 좌표 차트의 개념은 다양체 이론의 핵심이다. 좌표 지도는 본질적으로 주어진 공간의 부분집합에 대한 좌표계로, 각 점이 정확히 하나의 좌표 집합을 갖는다는 특성을 가진다. 더 정확하게는 좌표 지도는 공간 X의 열린 부분집합에서 **R**n의 열린 부분집합으로 가는 위상동형사상이다. 전체 공간에 대해 하나의 일관된 좌표계를 제공하는 것은 종종 불가능하다. 이런 경우 공간을 덮는 아틀라스를 형성하기 위해 좌표 지도들을 모은다. 그러한 아틀라스를 갖춘 공간을 다양체라고 하며, 좌표 지도가 겹치는 곳에서 구조가 일관되면 다양체 위에 추가적인 구조를 정의할 수 있다. 예를 들어, 미분 다양체는 한 좌표 지도에서 다른 좌표 지도로의 좌표 변환이 항상 미분 가능한 함수인 다양체이다.

## 방위 기반 좌표계

기하학과 운동학에서 좌표계는 점의 (선형) 위치와 축, 평면, 강체의 방향(각 위치)을 설명하는 데 사용된다. 후자의 경우, 노드에 고정된 두 번째(일반적으로 "지역"이라 함) 좌표계의 방향은 첫 번째(일반적으로 "전역" 또는 "세계" 좌표계라 함)를 기준으로 정의된다. 예를 들어, 강체의 방향은 방향 행렬로 나타낼 수 있는데, 이 행렬은 세 개의 열에 세 점의 데카르트 좌표계 성분을 포함한다. 이 점들은 지역 좌표계 축의 방향을 정의하는 데 사용되며, 해당 축들과 정렬된 세 단위 벡터의 끝점을 나타낸다.

## 지리적 좌표계

지구 전체는 위치를 정밀하게 측정해야 하는 가장 일반적인 기하학적 공간 중 하나이며, 따라서 좌표계가 필요하다. 헬레니즘 문명 시대의 그리스인들로부터 시작하여 위에서 언급한 유형들에 기반을 둔 다양한 좌표계가 개발되었으며, 여기에는 다음이 포함된다.

* 지리 좌표계: 위도와 경도의 구면좌표계
* 투영 좌표계: 지도 투영법에 기반하여 세계나 지역을 평면으로 만드는 수천 개의 데카르트 좌표계를 포함하는 좌표계
* 지심 좌표계: 지구를 하나의 객체로 모델링하는 3차원 데카르트 좌표계. GPS 및 기타 범지구 위성 항법 시스템을 포함한 인공위성의 궤도를 모델링하는 데 가장 흔히 사용된다.

* 갈릴레이 변환
* 기준틀
* 갈릴레이 군

* Woods, Frederick S. (1922). 《Higher Geometry》. Ginn and Co. 1ff쪽.

* 위키미디어 공용에 좌표계 관련 미디어 분류가 있습니다.
* **(영어)** Hexagonal Coordinate Systems