# 측지선

기하학에서 **측지선**(測地線, geodesic) 또는 **지름길**이란 직선의 개념을 굽은 공간으로 일반화한 것이다. 많은 경우, 측지선은 표면의 두 지점 사이의 가장 짧은 경로를 나타내는 곡선이다. (준 리만 다양체, 예를 들어 로렌츠 다양체의 경우 정의는 더 복잡하다.) 아핀 접속을 갖는 매끄러운 다양체에서도 정의될 수 있다.

## 정의

로비어 공간 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 과 닫힌구간 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 가 주어졌다고 하자.

만약 함수

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
에 대하여, 다음 조건이 성립하게 하는 상수 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 가 존재한다면, WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 를 **(대역적) 측지선**((大域的)測地線, 영어: (global) geodesic)이라고 한다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10
이는 항상 길이를 갖는 곡선이며, 그 길이는 물론 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 이다. WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 를 측지선 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 의 **속력**(速力, 영어: speed)이라고 한다.

만약 닫힌구간 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 위에 정의된 함수

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20
가 다음 조건을 만족시킨다면, **국소 측지선**(局所測地線, 영어: local geodesic)이라고 한다.

임의의 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 에 대하여, 제한 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 가 대역적 측지선이 되는 닫힌 근방 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 가 존재한다.
사실 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 가 콤팩트 공간이므로, 위 조건은 다음을 만족시키는 음이 아닌 실수 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 및 양의 실수 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 의 존재와 동치이다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34
이 역시 길이를 갖는 곡선이며, 그 길이는 역시 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 이다.

로비어 공간 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 에 대하여, 다음 조건들을 정의하자.

* 만약 임의의 두 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 에 대하여, WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 이자 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 인 대역적 측지선 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 가 존재한다면, WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 를 **측지선 로비어 공간**(測地線Lawvere空間, 영어: geodesic Lawvere space)이라고 한다.
* 만약 임의의 두 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 에 대하여, WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 이자 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 인 대역적 측지선 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 가 유일하게 존재한다면, WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 를 **유일 측지선 로비어 공간**(唯一測地線Lawvere空間, 영어: uniquely geodesic Lawvere space)이라고 한다.

모든 측지선 로비어 공간은 길이 로비어 공간이다.

### 다양체의 측지선

다음 데이터가 주어졌다고 하자.

* 매끄러운 다양체 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 위의 아핀 접속 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64
* 실수 닫힌구간 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66

이 경우, WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 위의 **에너지 측지선**은 다음 조건을 만족시키는, 매끄러운 곡선

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70
이다. 우선, WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 의 상을 포함하는 임의의 열린집합 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 위에, 다음 조건을 만족시키는 임의의 벡터장을 고르자.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78
그렇다면, WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 는 다음 조건을 만족시켜야 하며, 이를 **측지선 방정식**(測地線方程式, geodesic equation)이라고 한다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82
측지선 방정식은 대략 접벡터가 측지선을 따라 이동할 때 평행을 유지한다는 것을 의미한다.

이 조건이 성립하는지 여부는 사실 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다. 사실, 위 조건은 국소 좌표계로 적으면 다음과 같다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86
여기서 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 는 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 의 크리스토펠 기호이다.

## 성질

### 기초적 성질

임의의 로비어 공간 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 및 임의의 양의 실수 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 가 주어졌을 때, WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 역시 로비어 공간을 이룬다. 이 경우, WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 의 (국소) 측지선은 다음과 같다.

* 임의의 함수 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 에 대하여, WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 가 측지선인 것은 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 가 측지선인 것과 동치이다.
* 임의의 함수 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 에 대하여, WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 가 국소 측지선인 것은 WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 가 국소 측지선인 것과 동치이다.

마찬가지로, 반대 로비어 공간 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 위의 측지선은 다음과 같다.

* 임의의 함수 WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 에 대하여, WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 일 때, WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 가 측지선인 것은 WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 가 측지선인 것과 동치이다.
* 임의의 함수 WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 에 대하여, WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 일 때, WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 가 국소 측지선인 것은 WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 가 국소 측지선인 것과 동치이다.

임의의 매끄러운 다양체 및 아핀 접속 WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 에 대하여, 그 위의 에너지 측지선은 매개 변수의 아핀 변환에 의존하지 않는다.

### 위상수학적 성질

임의 확장 유사 거리 공간(즉, 대칭 계량을 갖는 로비어 공간)에서, (상수 WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 에 대하여 성립하는) 측지선은 항상 (같은 상수 WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 에 대한) 립시츠 연속 함수이며, 특히 균등 연속 함수이자 연속 함수이다.

일반적 로비어 공간의 경우 측지선이 (열린 공 위상에서) 연속 함수일 필요는 없다. 그러나 닫힌구간 WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 위에 다음과 같은 기저를 갖는 조르겐프라이 위상

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_146
을 부여할 때, 측지선 WIKINIUM\_MATH\_PH\_148 는 WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 의 열린 공 위상에 대하여 연속 함수이다. (조르겐프라이 위상은 표준적 위상보다 더 섬세한 위상이다.)

### 길이 공간

길이 로비어 공간 WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 의 경우, 함수 WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 가 속력 1의 측지선이 될 필요 충분 조건은 WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 가 두 점 WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_160 를 잇는 최단의 길이를 갖는 곡선인 것이다.

### 리만 다양체

준 리만 다양체 WIKINIUM\_MATH\_PH\_162 위의 매끄러운 함수

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_164
에 대하여, 다음과 같은 두 범함수를 정의할 수 있다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_166
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_168
이 둘은 WIKINIUM\_MATH\_PH\_170 에 대한 작용을 이루며, 이 둘에 대한 오일러-라그랑주 방정식을 정의할 수 있다. WIKINIUM\_MATH\_PH\_172 는 곡선의 길이이며, WIKINIUM\_MATH\_PH\_174 는 단위 질량의 입자의 (비(非)상대론적) 운동 에너지이다. 길이 범함수는 매개 변수의 변환에 대하여 불변이지만, 에너지 범함수의 경우 그렇지 않다.

임의의 준 리만 다양체에서, 에너지 범함수 WIKINIUM\_MATH\_PH\_176 의 오일러-라그랑주 방정식은 측지선 방정식과 같다.

**유도:**

편의상 아인슈타인 표기법을 사용하자.
에너지 범함수는 다음과 같은 라그랑지언의 적분이다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_178
일반화 운동량은 다음과 같다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_180
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_182
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_184
마찬가지로, 일반화 힘은 다음과 같다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_186
따라서 오일러-라그랑주 방정식은 다음에 WIKINIUM\_MATH\_PH\_188 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_190 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_192 를 대입하여 얻는다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_194
즉, 다음과 같다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_196
즉, 이를 재정리하면 다음과 같다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_198

리만 다양체 WIKINIUM\_MATH\_PH\_200 는 매끄러운 다양체이며, 또한 항상 길이 로비어 공간을 이룬다. 이에 따라, 측지선의 개념과 다양체 측지선의 개념을 동시에 적용할 수 있다. 리만 다양체 위의 에너지 측지선

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_202
의 경우, WIKINIUM\_MATH\_PH\_204 가 국소 측지선을 이루는 증가 전단사 연속 함수 WIKINIUM\_MATH\_PH\_206 가 존재한다. 반대로, 매끄러운 국소 측지선 WIKINIUM\_MATH\_PH\_208 의 경우, WIKINIUM\_MATH\_PH\_210 가 에너지 측지선을 이루는 증가 전단사 연속 함수 WIKINIUM\_MATH\_PH\_212 이 존재한다.

## 예

임의의 로비어 공간 또는 매끄러운 다양체 WIKINIUM\_MATH\_PH\_214 위의 상수 곡선

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_216
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_218
는 자명하게 측지선을 이룬다.

### 이산 공간과 비이산 공간

임의의 기수 WIKINIUM\_MATH\_PH\_220 에 대하여, 크기 WIKINIUM\_MATH\_PH\_222 의 집합 WIKINIUM\_MATH\_PH\_224 위에 유사 거리 함수

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_226
를 부여하자. (이는 이산 공간에 해당한다.) 이 경우, 측지선은 상수 곡선 밖에 없다.

크기 WIKINIUM\_MATH\_PH\_228 의 집합 WIKINIUM\_MATH\_PH\_230 위에 로비어 공간 구조

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_232
를 주자. (이는 비이산 공간에 해당한다.) 이 경우, 임의의 곡선

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_234
은 측지선이다.

### 노름 공간

노름 공간 WIKINIUM\_MATH\_PH\_236 가 주어졌다고 하자. 만약 거리 함수

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_238
를 부여하였을 때, 이는 유일 측지선 공간이며, 임의의 서로 다른 두 벡터 WIKINIUM\_MATH\_PH\_240 사이의 측지선은 다음과 같은 꼴의 선분이다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_242
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_244
특히, 유클리드 공간의 거리는 위와 같이 노름으로 주어지므로, 유클리드 공간의 측지선은 선분이다.
유클리드 공간을 리만 다양체로 여겼을 때, (직교좌표계에서) 크리스토펠 기호가 0이다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_246
따라서 측지선 방정식은 단순히 가속도가 0인 것이 된다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_248
### 초구

구면 위의, 세 개의 측지선을 ‘변’으로 하는 ‘삼각형’
초구 위의 측지선은 **대원**이라고 한다.

### 직선 위의 리만 계량

실수선 WIKINIUM\_MATH\_PH\_250 위에 다음과 같은 리만 계량을 주자.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_252
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_254
그렇다면, 이 경우 크리스토펠 기호는 다음과 같다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_256
측지선 방정식은 다음과 같다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_258
이는 2차 상미분 방정식이다. 이는 위치 및 속도 의존 힘

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_260
의 영향을 받는 입자의 운동이다.

예를 들어, 크리스토펠 기호가 상수인 경우, 즉

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_262
인 경우, 이 방정식은

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_264
이며, 그 해는

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_266
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_268
이다.

## 역사와 어원

‘측지선’이라는 용어는 지구상의 두 점 사이의 최단 경로(대원의 일부) 따위를 연구하는 측지학에서 온 것이다. 한국어의 경우, 대한수학회 용어집에서는 "측지선", 한국물리학회 용어집에서는 "지름길"을 쓴다. 측지선은 헤아릴 측(測), 땅 지(地), 줄 선(線) 자를 쓴다.

## 응용

일반 상대성 이론에서, 시공간은 준 리만 다양체를 이룬다. 이 경우, 시험 입자(에너지와 운동량이 매우 작아, 시공간에 거의 영향을 끼치지 않는 입자)는 시공간의 측지선을 따라 움직인다.

* 지름길
* 일반 상대성 이론의 지름길
* 굽은 시공간
* 타원면에 대한 측지선
* 지오데식

* “Geodesic line” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
* “Geodesic distance” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
* “Geodesic flow” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
* “Geodesic triangle” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
* “Geodesic hypothesis” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
* “Geodesic geometry” (영어). 《Encyclopedia of Mathematics》. Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
* Weisstein, Eric Wolfgang. “Geodesic” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
* Weisstein, Eric Wolfgang. “Geodesic curvature” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
* Weisstein, Eric Wolfgang. “Geodesic triangle” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
* Weisstein, Eric Wolfgang. “Geodesic equation” (영어). 《Wolfram MathWorld》. Wolfram Research.
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* Rademacher, Hans-Bert (2013). “Totally geodesic submanifold - definition” (PDF) (영어). 《Bulletin of the Manifold Atlas》.