# 모듈라이 (물리학)

양자장론과 끈 이론에서 **모듈라이**(영어: modulus 모듈러스[\*] 단수형, 영어: moduli 모듈라이[\*] 복수형)는 그 퍼텐셜이 연속적인 최소점을 갖는 스칼라장이다. 모듈라이들의 집합을 **모듈라이 공간**(moduli space, space of moduli)이라고 한다.

## 정의

3차원 이상의 양자장론에서, 바닥 상태가 유일하지 않을 수 있다. 이런 현상은 (푸앵카레 대칭을 가정한다면) 어떤 스칼라장이 진공 기댓값을 가지게 되어 발생한다. (푸앵카레 대칭이 자발 대칭 깨짐을 겪지 않으려면, 스칼라장이 아닌 다른 스핀을 갖는 장들은 진공 기댓값을 가질 수 없다.) 이 경우, 가능한 바닥 상태들의 공간을 **모듈라이 공간**이라고 하며, 그 좌표에 대응되는 스칼라장을 **모듈라이**라고 한다.

기하학적으로, 스칼라장은 (시그마 모형으로 생각하여) 어떤 매끄러운 다양체 또는 오비폴드 위의 값을 가지며, 그 위에 퍼텐셜이 존재한다. 이 경우, 모듈라이 공간은 퍼텐셜이 최솟값을 가지게 되는 점들로 구성되는 부분 공간이다.

## 예

### 끈 이론의 모듈라이

끈 이론은 다양한 고전해(배경, 영어: background)에 대하여 축소화할 수 있다. 이 때, 배경은 여러 매개변수(끈의 결합 상수, 축소화 차원들의 크기와 모양 등)를 가지는데, 축소화한 유효 이론에서 이 매개변수들은 스칼라장의 진공 기댓값들로 나타내어진다. 따라서 끈 이론의 배경의 매개변수들은 그 유효 양자장론의 모듈라이들과 대응하게 된다. 이 때문에 끈 이론에서는 가능한 배경들의 집합을 "모듈라이 공간"이라고 일컫는다.

### 초대칭 게이지 이론의 모듈라이

대부분의 양자장론들은 자명한 모듈라이 공간을 가지지만, 초대칭을 가지는 이론들 (초중력, 초대칭 게이지 이론 등)은 매우 복잡한 모듈라이 공간을 가지는 경우가 많다.

예를 들어, 4차원 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 초대칭을 가지는 이론의 모듈라이 공간은 켈러 다양체이어야 한다. 만약 이 이론이 중력을 포함한다면 (즉, 초중력이라면) 그 모듈라이 공간은 켈러 다양체일 뿐만 아니라 호지 다양체(Hodge manifold, 그 켈러 형식 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 의 코호몰로지 모임이 정수 계수의 코호몰로지의 원소인 켈러 다양체)이어야 한다.

### WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 초대칭 이론

4차원 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 초대칭 게이지 이론의 모듈라이 공간은 다음과 같은 가지(branch)들로 이루어진다.

* **쿨롱 가지**(Coulomb branch)는 벡터 초다중항(vector supermultiplet, 벡터장과 디랙 스피너, 복소 스칼라장으로 이루어진 초다중항)의 스칼라가 진공 기댓값을 가진다. 이 가지의 모듈라이 공간은 (중력을 포함하지 않는 경우) **강성 특수 켈러 다양체**(rigid special Kähler manifold)라는 구조를 가진다. 중력을 포함하는 경우, 이 모듈라이 공간은 **사영 특수 켈러 다양체**(projective Kähler manifold)이다. 사영 특수 켈러 다양체는 **국소 특수 켈러 다양체**(영어: local special Kähler manifold) 또는 단순히 **특수 켈러 다양체**로 불리기도 한다.
* **힉스 가지**(Higgs branch)는 하이퍼 초다중항(hypermultiplet, 디랙 스피너와 두 개의 복소 스칼라장으로 이루어진 초다중항)의 스칼라가 진공 기댓값을 가진다 (힉스 메커니즘). 이 가지의 모듈라이 공간은 (초중력을 포함하지 않는 경우) 초켈러 다양체를 이룬다. 만약 이 이론이 초중력을 포함하면, 모듈라이 공간은 보다 더 일반적인 사원수 켈러 다양체를 이룬다.
* **혼합 가지**(mixed branch)는 벡터 초다중항과 하이퍼 초다중항 둘 다 진공 기댓값을 가지는 경우다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 초대칭 게이지 이론의 모듈라이 공간은 아예 리만 곡률을 가지지 않는다. 또한, 일반적으로 최대 초중력(maximal supergravity, 주어진 차원에서 최다의 초대칭을 가지는 중력 이론)들의 모듈라이 공간은 동차공간 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 는 리 군)의 꼴이다. 11차원 초중력은 아예 스칼라장을 포함하지 않으므로 모듈라이 공간이 없다. 최대 초중력에서는 낮은 차원일수록 더 모듈라이 공간이 커지는데, 이는 높은 차원의 이론을 축소화하여 낮은 차원의 이론을 얻을 수 있기 때문이다.

### 특수기하학

**특수기하학**(영어: special geometry)은 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 초대칭 이론의 쿨롱 가지 모듈라이 공간을 나타내는 기하학이다. 또한, 복소3차원 칼라비-야우 다양체의 복소 구조 모듈라이의 모듈라이 공간도 사영특수기하학으로 나타내어진다.

**강성 특수 켈러 다양체**(영어: rigid special Kähler manifold) WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 는 다음과 같은 데이터로 이루어진다.

* 복소 *g*차원 켈러 다양체 *M*
* 군 표현 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 . 이를 사용하여, 올이 격자 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 인 올다발 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 를 정의할 수 있다. 여기서 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 는 격자 위에 정의된 심플렉틱 형식이다.
* *L*이 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 위에 정의된 평탄한 복소 선다발이라고 하면, 복소2*g*차원 해석적 벡터다발 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 . 이에 따라 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 의 올은 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 에 따라 심플렉틱 벡터 공간을 이룬다.
* *E*에 주어진 평탄한(곡률이 0인) 코쥘 접속 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 . 여기서 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 가 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 의 해석적 단면이라면 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 이고, WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 가 반해석적 단면이라면 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 이다.
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 의 해석적 단면 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50

이들은 다음 조건을 만족하여야 한다.

* (접속의 평탄성) WIKINIUM\_MATH\_PH\_52
* (심플렉틱 구조의 공변상수성) WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 의 해석적 단면 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 에 대하여, WIKINIUM\_MATH\_PH\_58
* (라그랑주 조건) WIKINIUM\_MATH\_PH\_60
* (양부호성) WIKINIUM\_MATH\_PH\_62
* (켈러 구조와의 호환성) *M*의 켈러 형식 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 는 다음과 같다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 이므로, 일반적으로 켈러 형식의 코호몰로지는 자명하지 않다.
**사영 특수 켈러 다양체**(영어: projective Kähler manifold)의 정의는 강성 특수 켈러 다양체의 정의와 거의 같으나, 조건 가운데 두 개를 다음과 같이 바꾸고, 조건 하나를 추가한다.

* (라그랑주 조건) WIKINIUM\_MATH\_PH\_70
* (켈러 구조와의 호환성) *M*의 켈러 형식 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 는 다음과 같다.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74
* (호지 조건) WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 은 **호지 다양체**(영어: Hodge manifold)여야 한다. 즉, 켈러 형식 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 의 돌보 코호몰로지 동치류 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 는 정수 계수 코호몰로지 원소이어야 한다: WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 .

### 2차원 계

2차원 양자장론에서는 일반적으로 머민-바그너 정리에 의하여 모듈라이가 존재하지 않는다. 만약 고전적으로 모듈라이가 존재하는 것처럼 보인다면, 양자역학적으로 실제 바닥 상태는 이 ‘모듈라이 공간’ 위의 어떤 파동 함수로 구성된다.