# ಗ್ಯಾಮ ಉತ್ಪನ್ನ

**ಗ್ಯಾಮ ಉತ್ಪನ್ನ** ಎನ್ನುವುದು ಅನಂತ ಅನುಕಲ

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0

ಎಂಬುದರ ಹೆಸರು. **ಆಯ್ಲರನ ದ್ವಿತೀಯ ಅನುಕಲ** ಎಂಬ ಹೆಸರು ಕೂಡ ಉಂಟು. z ನ ಎಲ್ಲ ಧನ ನೈಜ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ (positive real numbers) ಇದು ಅಭಿಸರಿಸುತ್ತದೆ.

**ಮುಖ್ಯ ಗುಣಗಳು**

ಇದರ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಲವು:

1. WIKINIUM\_MATH\_PH\_2

2. WIKINIUM\_MATH\_PH\_4

3. WIKINIUM\_MATH\_PH\_6

z=n ಎಂಬ ಒಂದು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ (positive integer) WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 ಹೀಗಾಗಿ ಗ್ಯಾಮ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಹಲವಾರು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಗುಣಿತ ಉತ್ಪನ್ನ (ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್) ಎಂಬುದಾಗಿ ಸಹ ಕರೆಯುವುದುಂಟು.

**ಗ್ಯಾಮ ಉತ್ಪನ್ನದ ಆವಶ್ಯಕತೆ**

ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಅಥವಾ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ಕ್ರಮಗುಣಿತದ (ಕಂಟಿನ್ಯೂಡ್ ಪ್ರೋಡಕ್ಟ್) ಭಾವನೆಯನ್ನು ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಿಸುವ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಗ್ಯಾಮ ಉತ್ಪನ್ನದ ಆವಶ್ಯಕತೆ ಕಂಡುಬಂದಿತು. ಇದು ಹೇಗೆ ಎನ್ನುವುದನ್ನು ಮುಂದೆ ವಿಶದೀಕರಿಸಿದೆ.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10

ಎಂಬ ಅನುಕಲವನ್ನು ಗಮನಿಸೋಣ. ಇಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅನುಕಲನ ಪರಿಮಿತಿ ಅನಂತ. ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ಒಂದು ಅನುಚಿತ ಅನುಕಲ (ಇಂಪ್ರಾಪರ್ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್). z = n ಎಂಬ ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ ಈ ಅನುಚಿತ ಅನುಕಲದ ಬೆಲೆ n! ಆಗುತ್ತದೆ ಎನ್ನುವುದನ್ನು ವಾಸ್ತವಿಕ ಅನುಕಲನದಿಂದ ತಿಳಿಯಬಹುದು. z ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದೆ ಬೇರೆ ಒಂದು ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ, ಕ್ರಮಗುಣಿತವಾದ n! (ಅಂದರೆ z!) ಅರ್ಥರಹಿತವಾಗುವುದು. ಎಲ್ಲ ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೂ ಈ ಕ್ರಮಗುಣಿತದ ಭಾವನೆಯನ್ನು ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಣ ಮಾಡುವ ಬಗೆ ಹೇಗೆ?

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 (n ಒಂದು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ)

ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ n ನ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ z ಎಂಬ ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿ z ಯಾವ ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಆಗಿರಲಿ z! ಎಂಬ ಕ್ರಮಗುಣಿತಕ್ಕೆ

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14

ಎಂಬ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯನ್ನು ನೀಡುವುದೇನೋ ಸಹಜವಾದ ಕ್ರಮವೇ ಆಗಿದೆ. ಇದರ ಬದಲು

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16

ಆದ್ದರಿಂದ ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ n ನ ಬದಲು z ಅನ್ನು ಆದೇಶಿಸಿ ಇದರ ಬೆಲೆಯನ್ನು (z - 1)! ಎಂದು ಸೂಚಿಸುವ ಬದಲು Γ(z) (ಗ್ಯಾಮ z) ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18

ಇಲ್ಲಿ z ಒಂದು ನೈಜಸಂಖ್ಯೆ.

**ಯಾವ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ಉತ್ಪನ್ನದ ಅಸ್ತಿತ್ವವಿರುವುದುz ನ ಯಾವ ಯಾವ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ಈ ಅನುಚಿತ ಅನುಕಲ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಈಗ ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

(z - 1) < 0 ಮತ್ತು t → 0 ಆದಾಗ tz-1 → 0 ಆಗುವುದರಿಂದ e-t tz-1 ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ t = 0 ಎಂಬುದೂ ಒಂದು ಅನಂತವಿಚ್ಛಿನ್ನತಾ ಬಿಂದು.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 ..............(1)

ಇಲ್ಲಿ WIKINIUM\_MATH\_PH\_22

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24

(1) ರಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಪರಿಮಿತಿಗಳೂ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿದ್ದಾಗ

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26

ಈ ಅನುಚಿತ ಅನುಕಲ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವುದು.

**(a)t > 0 ಆದಾಗ  WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 ಆಗುವುದರಿಂದ

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30

ಆದ್ದರಿಂದ I1 ರ ಉಚ್ಚ ಪರಿಬಂಧ 1/z ಆಗಿರುವುದು. ಅಲ್ಲದೆ z ನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿಟ್ಟು ε ನ್ನು ಕ್ರಮೇಣ ಶೂನ್ಯದತ್ತ ಸಾಗುವಂತೆ ಮಾಡಿದರೆ WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 ನ ಬೆಲೆ ಏಕತಾನವಾಗಿ ವರ್ಧಿಸುವುದರಿಂದಲೂ I1 < 1/z ಆಗುವುದರಿಂದಲೂ

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34

ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವುದು.

**(b)t > 0 ಆದಾಗ

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36

ಈ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವೂ ಒಂದು ಧನಸಂಖ್ಯೆ. ಆದ್ದರಿಂದ

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38   ಅಥವಾ WIKINIUM\_MATH\_PH\_40

ಅಂದರೆ WIKINIUM\_MATH\_PH\_42

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44

ಅಥವಾ WIKINIUM\_MATH\_PH\_46

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48

>  WIKINIUM\_MATH\_PH\_50
>
>

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52   ಇಲ್ಲಿ n > z+1z ನ್ನು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರಿಸಿ δ ದ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಅನಂತದತ್ತ ಸಾಗುವಂತೆ ಮಾಡಿದಾಗ 1 - 1/δn-z ನ ಬೆಲೆ ಏಕತಾನವಾಗಿ ವರ್ಧಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ I2 ರ ಬೆಲೆಯೂ ಏಕತಾನವಾಗಿ ವರ್ಧಿಸುವುದು ಮತ್ತು ಇದರ ಒಂದು ಉಚ್ಚ ಪರಿಬಂಧ  WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 ಆಗುವುದು.  WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 ಆದ ಕಾರಣ WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 ಪರಿಮಿತಿ ಕೂಡ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60

ಎಂಬ ಅನುಚಿತ ಅನುಕಲ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುವುದು.

ಈಗ  WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 ಆಗಿರುವುದರಿಂದ

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64

ಈಗ  WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 ಎಂಬ ಈ ಅನುಕಲವನ್ನು ಭಾಗಶಃ ಅನುಕಲಿಸಿದರೆ

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70

ಹಿಂದಿನಂತೆ  WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 ಮತ್ತು  WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 ಮತ್ತು WIKINIUM\_MATH\_PH\_76

ಆದ್ದರಿಂದ WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 ಆದಾಗ ಪರಿಮಿತಿಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80

ಆದ್ದರಿಂದ  WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 ............ (2)

ಇದು Γ(z) ಉತ್ಪನ್ನದ ಅತಿ ಮುಖ್ಯವಾದ ಲಕ್ಷಣ. ಕ್ರಮಗುಣಿತದ ಭಾವನೆಯ ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಣದಿಂದ ಉದ್ಭವಿಸಿದ ಈ Γ(z) ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ಕ್ರಮಗುಣಿತಗಳ ಪ್ರಮುಖ ಲಕ್ಷಣವಾಗಿ n! = n X (n - 1)! ಎಂಬ ಲಕ್ಷಣಕ್ಕೆ ಹೋಲುವ Γ(z + 1) = zΓ(z) ಎಂಬ ಲಕ್ಷಣವಿದೆ.

ಈಗ Γ(z) ನ ಬೆಲೆ 0 < x ≤ 1 ಅಂತರದಲ್ಲಿ ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ (2) ರ ಸಹಾಯದಿಂದ 1 < x ≤ 2 ಅಂತರದಲ್ಲಿ Γ(z) ನ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಇದರಿಂದ 2 < x ≤ 3 ಅಂತರದಲ್ಲಿ ಇದರ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು. ಹೀಗೆಯೇ z ನ ಎಲ್ಲ ನೈಜದ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೂ Γ(z) ನ ಬೆಲೆಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸಾಧ್ಯ.

(2)ರ ಸಹಾಯದಿಂದ

Γ(z + n) = (z+n-1) Γ(z+n-1)= (z+n -1) (z+n - 2) Γ(z+n - 2)= ...............= (z+n -1) (z+n - 2) ... ... (z+1) zΓ(z)...........*... (3)

(3) ನೆಯ ಸಮೀಕರಣ n ಎಂಬ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಕ್ಕೂ ನಿಜ.

z* ಋಣ ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗಿನ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ**

ಇಲ್ಲಿಯವರೆಗೆ z ಧನ ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ ಮಾತ್ರ Γ(z) ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮಾಡಿದಂತಾಯಿತು. ಋಣ ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆಯೂ Γ(z) ನ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯನ್ನು ಈಗ ನಾವು ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು.

-n < z < -n + 1 (ಇಲ್ಲಿ n ಒಂದು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ) ಆದಾಗ Γ(z) ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೀಗೆ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 ............... (4)

ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಗೆ ಆಧಾರ (3) ನೆಯ ಸಮೀಕರಣ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು.

Γ(n) < z < -n + 1

ಆದಾಗ 0 < z + n < 1 ಆಗುವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ Γ(z + n) ಉತ್ಪನ್ನಕ್ಕೆ ನಾವು ಆಗಲೇ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಹೀಗಾಗಿ (4) ನೆಯ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಮಾಡಿರುವ Γ(n) ನ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಸರಿಯಾಗಿಯೇ ಇದೆ.

ಆದರೆ (4) ರ ಪ್ರಕಾರ z = 0 ಆದಾಗ, ಅಥವಾ z ಒಂದು ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ (4) ರ ಬಲಭಾಗದಲ್ಲಿ ಛೇದ ಶೂನ್ಯವಾಗುವುದರಿಂದ z ನ ಈ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ Γ(z) ವ್ಯಾಖ್ಯಿತವಾಗಿಲ್ಲ.

ಅದ್ದರಿಂದ  WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು.

## ಕೆಲವು ಮುಖ್ಯವಾದ ಲಕ್ಷಣಗಳು

Γ(z) ನ ಕೆಲವು ಮುಖ್ಯವಾದ ಲಕ್ಷಣಗಳು:

1. WIKINIUM\_MATH\_PH\_88

2. WIKINIUM\_MATH\_PH\_90

ಇಲ್ಲಿ WIKINIUM\_MATH\_PH\_92

C ಗೆ ಆಯ್ಲರನ ಸ್ಥಿರಾಂಕ ಎಂದು ಹೆಸರು.

3. Γ(z) ಗೆ ಆಯ್ಲರನ ದ್ವಿತೀಯ ಅನುಕಲ ಎಂಬ ಹೆಸರಿರುವುದನ್ನು ಹಿಂದೆ ಹೇಳಿದೆ. ಆತನ ಹೆಸರಿನ ಪ್ರಥಮ ಅನುಕಲಕ್ಕೆ ಬೀಟ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಅದರ ನಿರೂಪಣೆ ಹೀಗಿದೆ:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94

ಈಗ ಇವೆರಡು ಅನುಕಲಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಸಂಬಂಧ ಹೀಗಿದೆ.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96

ಇಲ್ಲಿ  WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100

ಆದರೆ  WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.

ಅಲ್ಲದೇ Γ(1) = 1 ಆಗಿದೆ.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104  ಆಗುವುದು.

ಈಗ Γ(z + 1) = z Γ(z) ಸಮೀಕರಣದ ಸಹಾಯದಿಂದ n ಒಂದು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗಲೆಲ್ಲ Γ(n + 1/2) ದ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು.

4. z ನ ಅತಿ ದೊಡ್ಡ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ ಸರಿಹೊಂದುವ ಸಮೀಕರಣಗಳು:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 ...................................(1)

ಇಲ್ಲಿ WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 ..............................(2)

ಮತ್ತು WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 ......................................(3)

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 ....................................(4)

ಇಲ್ಲಿ p ಒಂದು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ. p = 2 ಆದಾಗ ಈ ಫಲಿತಾಂಶ ತಾಳುವ ರೂಪ

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 ................................(5)

(1), (2), (3)ಗಳು z ನ ಅತಿ ದೊಡ್ಡ ಬೆಲೆಗಳಿಗೆ Γ(z) ನಡೆದುಕೊಳ್ಳುವ ರೀತಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸುತ್ತವೆ. ಇವುಗಳಿಗೆ ಸ್ಟರ್ಲಿಂಗನ ಸೂತ್ರಗಳು ಎಂದು ಹೆಸರು. p(z) ನ ಸರಿಸುಮಾರು ಬೆಲೆಯನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿದರೆ, z ಹೆಚ್ಚಿದಂತೆಲ್ಲ Γ(z) ನ ಬೆಲೆಗಳು ಯಥಾರ್ಥ ಬೆಲೆಗೆ ಹೆಚ್ಚು ಹೆಚ್ಚು ಸಾಮೀಪ್ಯದಲ್ಲಿರುವುವು. (4)ಕ್ಕೆ ಗೌಸನ ಸೂತ್ರ (ಆತ ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿದುದರಿಂದ) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇದರಲ್ಲಿ p = 2 ಆದಾಗ ಬರುವ (5)ಕ್ಕೆ ಲಝಾಂಡರನ ಸಂಬಂಧ ಎಂದು ಹೆಸರು.

5. Γ(z) ಮತ್ತು sin z ಗಳಿಗಿರುವ ಸಂಬಂಧ:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116

ಇದರಲ್ಲಿ z = 1/2 ಆದೇಶಿಸಿದರೆ [Γ(1/2)]2 = π ಅಥವಾ WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. ಈ ಸಮೀಕರಣದ ಸಹಾಯದಿಂದ sinc ಉತ್ಪನ್ನದ ಅನಂತ ಗುಣಲಬ್ಧವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_120

## ಉಲ್ಲೇಖಗಳು