# Tuwrı múyeshli úshmúyeshlikKirill

Tuwrı múyeshli WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 úshmúyeshligi, onıń tuwrı múyeshi WIKINIUM\_MATH\_PH\_1 , gipotenuzası WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 , al katetleri WIKINIUM\_MATH\_PH\_3 hám WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 .
**Tuwrı múyeshli úshmúyeshlik** — eki tárepi perpendikulyar bolıp, tuwrı múyesh (1⁄4 aylanıw yamasa 90 gradus) payda etetuǵın úshmúyeshlik.

Tuwrı múyeshke qarsı jatqan tárep *gipotenuza* (súwrettegi WIKINIUM\_MATH\_PH\_5 tárepi) dep ataladı. Tuwrı múyesh penen hám qaptal jatqan tárepler *katetler* dep ataladı. WIKINIUM\_MATH\_PH\_7 tárepin WIKINIUM\_MATH\_PH\_9 múyeshine *hám qaptal jatqan* hám WIKINIUM\_MATH\_PH\_11 múyeshine *qarsı* jatqan tárep, al WIKINIUM\_MATH\_PH\_13 tárepin WIKINIUM\_MATH\_PH\_15 múyeshine hám qaptal jatqan hám WIKINIUM\_MATH\_PH\_17 múyeshine qarsı jatqan tárep retinde anıqlawǵa boladı.

Hár bir tuwrı múyeshli úshmúyeshlik óziniń diagonalı boyınsha bólinedi hám ol tuwrı tórtmúyeshliktiń yarımı bolıp tabıladı. Eger tuwrı tórtmúyeshlik kvadrat bolsa, onıń tuwrı múyeshli yarımı eki sáykes tárepi hám eki sáykes múyeshi bar teń qaptallı úshmúyeshlik boladı. Eger tuwrı tórtmúyeshlik kvadrat bolmasa, onıń tuwrı múyeshli yarımı hár túrli tárepli úshmúyeshlik boladı.

Tiykarı sheńberdiń diametri bolǵan hám tóbesi sheńberde jatatuǵın hár qanday úshmúyeshlik, tóbedegi tuwrı múyeshke hám gipotenuza retinde tikkelesken tiykarǵa iye tuwrı múyeshli úshmúyeshlik bolıp esaplanadı. Kerisinshe, hár qanday tuwrı múyeshli úshmúyeshliktiń sırtqı sızılǵan sheńberiniń diametri onıń gipotenuza menen sáykes keledi. Bul Fales teoreması.

Tuwrı múyeshli úshmúyeshliktiń katetleri menen gipotenuzası Pifagor teoremasına sáykes keledi: eki katetindegi kvadratlardıń maydanlarınıń qosındısı gipotenuza maydanındaǵı kvadratınıń maydanına teń: WIKINIUM\_MATH\_PH\_19 Eger tuwrı múyeshli úshmúyeshliktiń úsh tárepiniń de uzınlıqları pútin sanlar bolsa, bul úshmúyeshlik **Pifagor úshmúyeshligi** dep ataladı, al onıń tárepleriniń uzınlıqları jıynalǵan halda *Pifagor úshligi* dep ataladı.

Tuwrı múyeshli úshmúyeshliktiń tárepleri menen múyeshleri arasındaǵı qatnaslar, uzınlıqlar menen múyeshler arasındaǵı metrikalıq qatnaslardı úyreniwshi trigonometriyanı anıqlawdıń hám túsiniwdiń bir usılın beredi.

## Tiykarǵı qásiyetleri

### Tárepleri

Pifagor teoremasın dálillewde qollanılǵan Kelinniń orınlıǵı, Byrneniń 1847-jılǵı basılımlarında paydalanılǵan reńli nusqasında. Dálillew qara hám sarı maydanlardıń teń ekenligin, sonday-aq, qızıl hám kók maydanlardıń da teń ekenligin kórsetedi.
Tuwrı múyeshli úshmúyeshliktiń úsh tárepi Pifagor teoreması arqalı baylanısqan, ol zamanagóy algebraik belgilewde tómendegishe jazılıwı múmkin:
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_21
bul jerde WIKINIUM\_MATH\_PH\_23 — *gipotenuza* (tuwrı múyeshke qarsı jatqan tárep) uzınlıǵı, al WIKINIUM\_MATH\_PH\_25 hám WIKINIUM\_MATH\_PH\_27 — *katetlerdiń* (qalǵan eki táreptiń) uzınlıqları. Bul teorema áyyemgi dáwirlerde dálillengen hám Evklidtiń «Baslamalar»ındaǵı I.47-tastıyıqlawı bolıp tabıladı: «Tuwrı múyeshli úshmúyeshliklerde tuwrı múyeshti tartıp turǵan táreptegi kvadrat tuwrı múyeshti quraytuǵın táreplerdegi kvadratlarǵa teń». Bul teńlemeni qanaatlandıratuǵın ⁠ WIKINIUM\_MATH\_PH\_29 ⁠, ⁠ WIKINIUM\_MATH\_PH\_31 ⁠ hám ⁠ WIKINIUM\_MATH\_PH\_33 ⁠ pútin sanları Pifagor úshligi dep ataladı. Qurılıs hám jer ólshew sıyaqlı ámeliy qollanıwlarda, múyeshtiń dál 90 gradus ekenligin támiyinlew ushın bul qatnas jiyi 3-4-5 qaǵıydasın paydalanıw arqalı qollanıladı.

### Maydanı

Hár qanday úshmúyeshliktegi sıyaqlı, onıń maydanı tiykarı menen oǵan sáykes biyikliginiń kóbeymesin ekige bólgenge (yarımına) teń. Tuwrı múyeshli úshmúyeshlikte, eger bir kateti tiykarı retinde alınsa, onda ekinshisi biyiklik boladı, sonlıqtan tuwrı múyeshli úshmúyeshliktiń maydanı eki katetiniń kóbeymesiniń yarımına teń. Formula retinde WIKINIUM\_MATH\_PH\_35 maydanı:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_37
bul jerde WIKINIUM\_MATH\_PH\_39 hám WIKINIUM\_MATH\_PH\_41 — úshmúyeshliktiń katetleri.

Eger ishki sızılǵan sheńber WIKINIUM\_MATH\_PH\_43 gipotenuzaǵa WIKINIUM\_MATH\_PH\_45 noqatında janassa, onda yarım perimetrdi WIKINIUM\_MATH\_PH\_47 dep alsaq, bizde WIKINIUM\_MATH\_PH\_49 hám WIKINIUM\_MATH\_PH\_51 boladı hám maydanı tómendegishe beriledi:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_53
Bul formula tek tuwrı múyeshli úshmúyeshliklerge ǵana qollanıladı.

### Biyiklikleri

Tuwrı múyeshli úshmúyeshliktiń WIKINIUM\_MATH\_PH\_55 biyikligiEger tuwrı múyeshli tóbesinen gipotenuzaǵa shekem biyiklik túsirilse, onda úshmúyeshlik eki kishkene úshmúyeshlikke bólinedi; olardıń ekewi de dáslepki úshmúyeshlikke uqsas boladı hám sol sebepli bir-birine de uqsas boladı. Bunnan:

* Gipotenuzadaǵı biyiklik — gipotenuzanıń eki kesindisiniń geometriyalıq ortashası (ortasha proporsionalı) bolıp tabıladı.
* Úshmúyeshliktiń hár bir kateti gipotenuza menen sol katetke hám qaptal jatqan gipotenuza kesindisiniń ortasha proporsionalı bolıp tabıladı.

Teńlemelerde,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_57 (bul geyde Tuwrı múyeshli úshmúyeshliktiń biyikligi haqqındaǵı teorema dep ataladı)
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_59
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_61
bul jerde WIKINIUM\_MATH\_PH\_63 — sızılmada kórsetilgenindey. Sonlıqtan:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_65
Bunnan tısqarı, gipotenuzaǵa túsirilgen biyiklik tuwrı múyeshli úshmúyeshliktiń katetleri menen tómendegishe baylanısqan:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_67
Bul teńlemeniń WIKINIUM\_MATH\_PH\_69 pútin mánislerindegi sheshimlerin usı jerden kóriwińizge boladı.

Hár qanday katetten túsirilgen biyiklik ekinshi katet penen sáykes keledi. Olar tuwrı múyeshli tóbede kesiliskenligi sebepli, tuwrı múyeshli úshmúyeshliktiń ortocentri — onıń úsh biyikliginiń kesilisiw noqatı — tuwrı múyeshli tóbe menen sáykes keledi.

### Ishki hám sırtqı radiusları

Katetleri WIKINIUM\_MATH\_PH\_71 hám WIKINIUM\_MATH\_PH\_73 , al gipotenuzası WIKINIUM\_MATH\_PH\_75 bolǵan tuwrı múyeshli úshmúyeshlikke ishki sızılǵan sheńberdiń radiusı tómendegige teń:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_77
Fales teoremasına sáykes, gipotenuza sırtqı sızılǵan sheńberdiń diametri bolıp tabıladı, sonlıqtan sırtqı sızılǵan sheńberdiń radiusı gipotenuza uzınlıǵınıń yarımına teń:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_79
Sonlıqtan, sırtqı radius penen ishki radiustıń qosındısı katetler qosındısınıń yarımına teń:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_81
Katetlerdiń birin ishki radius hám ekinshi katet arqalı tómendegishe ańlatıw múmkin:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_83
## Xarakteristikaları

Tárepleri WIKINIUM\_MATH\_PH\_85 , yarım perimetri WIKINIUM\_MATH\_PH\_87 , maydanı WIKINIUM\_MATH\_PH\_89 eń uzın tárepine qarsı jatqan biyikligi WIKINIUM\_MATH\_PH\_91 , sırtqı sızılǵan sheńber radiusı WIKINIUM\_MATH\_PH\_93 ishki sızılǵan sheńber radiusı WIKINIUM\_MATH\_PH\_95 sáykes túrde WIKINIUM\_MATH\_PH\_97 táreplerine janasatuǵın eksradiusları (sırtqı sheńber radiusları) WIKINIUM\_MATH\_PH\_99 hám medianaları WIKINIUM\_MATH\_PH\_101 bolǵan WIKINIUM\_MATH\_PH\_103 úshmúyeshligi tómendegi altı kategoriyadaǵı tastıyıqlawlardıń hár qanday biri orınlanǵan jaǵdayda ǵana tuwrı múyeshli úshmúyeshlik bolıp esaplanadı (zárúr hám jetkilikli shárt). Solay etip, olardıń hár biri hár qanday tuwrı múyeshli úshmúyeshliktiń qásiyeti bolıp tabıladı.

### Tárepleri hám yarım perimetri

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_105
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_107
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_109
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_111

### Múyeshleri

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_113 hám WIKINIUM\_MATH\_PH\_115 múyeshleri tolıqtırıwshı boladı.
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_117
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_119
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_121
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_123

### Maydanı

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_125
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_127
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_129
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_131
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_133 bul jerde WIKINIUM\_MATH\_PH\_135 — eń uzın WIKINIUM\_MATH\_PH\_137 tárepindegi ishki sızılǵan sheńberdiń janasıw noqatı

### Ishki radius hám eksradiuslar

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_139
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_141
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_143
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_145
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_147
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_149
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_151

### Biyikligi hám medianaları

Tuwrı múyeshli úshmúyeshliktiń tuwrı múyeshinen gipotenuzaǵa túsirilgen biyikligi gipotenuza bólingen kesindiler uzınlıqlarınıń geometriyalıq ortashası bolıp tabıladı. (*p* + *q*, *r*, *s* ), (*r*, *p*, *h* ) hám (*s*, *h*, *q* ) tárepli 3 úshmúyeshlikke Pifagor teoremasın qollansaq:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_153
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_155
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_157
* Medianalardıń biriniń uzınlıǵı sırtqı sızılǵan sheńber radiusına teń.
* Eń qısqa biyiklik (eń úlken múyeshli tóbeden túsirilgen biyiklik) ózi túsirilgen qarsı (eń uzın) táreptiń bólekleriniń geometriyalıq ortashası bolıp tabıladı. Bul tuwrı múyeshli úshmúyeshliktiń biyikligi haqqındaǵı teorema.

### Sırtqı hám ishki sızılǵan sheńberler

* Úshmúyeshlik yarım sheńberge ishki sızılıwı múmkin, bunda onıń bir tárepi diametr menen tolıq sáykes keledi (Fales teoreması).
* Sırtqı sızılǵan sheńber orayı eń uzın táreptiń ortası bolıp tabıladı.
* Eń uzın tárep sırtqı sızılǵan sheńberdiń diametri bolıp tabıladı WIKINIUM\_MATH\_PH\_159
* Sırtqı sızılǵan sheńber toǵız noqat sheńberine janasadı.
* Ortocentr sırtqı sızılǵan sheńberde jatadı.
* Ishki sızılǵan sheńber orayı hám ortocentr arasındaǵı aralıq WIKINIUM\_MATH\_PH\_161 ge teń.

## Trigonometriyalıq qatnaslar

Súyir múyeshler ushın trigonometriyalıq funkciyalar tuwrı múyeshli úshmúyeshliktiń tárepleriniń qatnası retinde anıqlanıwı múmkin. Berilgen múyesh ushın usı múyeshti óz ishine alǵan tuwrı múyeshli úshmúyeshlik quriw múmkin hám onıń táreplerin joqarıdaǵı anıqlamalarǵa sáykes usı múyeshke qarsı jatqan katet, hám qaptal jatqan katet hám gipotenuza dep atawǵa boladı. Táreplerdiń bul qatnasları tańlanǵan anıq tuwrı múyeshli úshmúyeshlikke emes, al tek ǵana berilgen múyeshke baylanıslı boladı, sebebi bul usılda qurılǵan barlıq úshmúyeshlikler bir-birine uqsas boladı. Eger berilgen WIKINIUM\_MATH\_PH\_163 múyeshi ushın qarsı jatqan katet, hám qaptal jatqan katet hám gipotenuza sáykes túrde WIKINIUM\_MATH\_PH\_165 WIKINIUM\_MATH\_PH\_167 hám WIKINIUM\_MATH\_PH\_169 dep belgilense, onda trigonometriyalıq funkciyalar tómendegishe boladı:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_171
Giperbolalıq funkciyalardı tuwrı múyeshli úshmúyeshlik tárepleriniń qatnası retinde ańlatıw ushın giperbolalıq sektordıń giperbolalıq úshmúyeshligin kóriń.

## Arnawlı tuwrı múyeshli úshmúyeshlikler

Trigonometriyalıq funkciyalardıń mánislerin geybir múyeshler ushın arnawlı múyeshleri bar tuwrı múyeshli úshmúyeshliklerdi paydalanıw arqalı anıq esaplaw múmkin. Olarǵa trigonometriyalıq funkciyalardı WIKINIUM\_MATH\_PH\_173 ge eseli hár qanday múyesh ushın esaplawǵa múmkinshilik beretuǵın 30-60-90 úshmúyeshligi hám trigonometriyalıq funkciyalardı WIKINIUM\_MATH\_PH\_175 ge eseli hár qanday múyesh ushın esaplawǵa bolatuǵın teń qaptallı tuwrı múyeshli úshmúyeshlik yamasa 45-45-90 úshmúyeshligi kiredi.

### Kepler úshmúyeshligi

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_177 WIKINIUM\_MATH\_PH\_179 hám WIKINIUM\_MATH\_PH\_181 sáykes túrde WIKINIUM\_MATH\_PH\_183 bolǵan eki oń WIKINIUM\_MATH\_PH\_185 hám WIKINIUM\_MATH\_PH\_187 sanlarınıń garmonikalıq ortashası, geometriyalıq ortashası hám arifmetikalıq ortashası bolsın. Eger tuwrı múyeshli úshmúyeshliktiń katetleri WIKINIUM\_MATH\_PH\_189 hám WIKINIUM\_MATH\_PH\_191 al gipotenuzası WIKINIUM\_MATH\_PH\_193 bolsa, onda:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_195
bul jerde WIKINIUM\_MATH\_PH\_197 — altın qatnas bolıp tabıladı. Bul tuwrı múyeshli úshmúyeshliktiń tárepleri geometriyalıq progressiya quraǵanlıǵı sebepli, bul Kepler úshmúyeshligi dep ataladı.

## Qosımsha qarań

* Súyir hám doǵal múyeshli úshmúyeshlikler (qıya úshmúyeshlikler)
* Teodor spiralı
* Úsh tuwrı múyeshli sferalıq úshmúyeshlik

## Derekler

## Sırtqı siltemeler

* Úlgi:Usurped
* Tuwrı múyeshli úshmúyeshlikler ushın keńeytilgen kalkulyator

Úlgi:Kópmúyeshlikler