# სინუსი და კოსინუსი

| სინუსისა და კოსინუსის გრაფიკი |
| --- |
|  |
|  |

მათემატიკაში სინუსი და კოსინუსი არის კუთხის ტრიგონომეტრიული ფუნქციები. სამკუთხედის მახვილი კუთხის სინუსი და კოსინუსი განისაზღვრება მართკუთხა სამკუთხედის კონტექსტში. მოცემული კუთხის სინუსი არის ამ კუთხის მოპირდაპირე კათეტის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან, ხოლო კოსინუსი — მიმდებარე კათეტის შეფარდება ჰიპოტენუზასთან. კუთხე WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 -სთვის, სინუსი და კოსინუსი აღინიშნება როგორც WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 და WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 .

## აღნიშვნა

 *α* კუთხის მოპირდაპირე კათეტი (მწვანედ), მიმდებარე კათეტი (ლურდჯად) და ჰიპოტენუზა (წითლად)
სინუსი და კოსინუსი ჩაიწერება ფუნქციური აღნიშვნის გამოყენებით, აბრევიატურებით *sin* და *cos*.

თუ არგუმენტი საკმაოდ მარტივია, ფუნქცია შეიძლება წარმოვადგინოთ როგორც WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 და არა როგორც WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 .

სინუსისა და კოსინუსი არის კუთხის ფუნქციები და ჩვეულებრივ გამოისახება რადიანებსა და გრადუსებში, თუ სხვა რამ არ არის დაკონკრეტებული.

## განსაზღვრება

### მართკუთხა სამკუთხედი

*α* მახვილი კუთხის სინუსის განსასაზღვრად მართკუთხა სამკუთხედში მის მოპირდაპირე გვერდს (კათეტს) ვაფარდებთ ჰიპოტენუზასთან, კოსინუსის შემთხვევაში კი მიმდებარეს ვაფარდებთ ჰიპოტენუზასთან.

### ერთეულოვანი წრეწირი

ერთეულოვანი წრე: რადიუსი უდრის 1 ერთეულს.
ერთი ერთეულის სიგრძის რადიუსის მქონე წრეწირში (ერთეულოვან წრეწირში), სინუსი განსაზღვრულია როგორც *y* კოორდინატი, კოსინუსი კი *x* კოორდინატი.
რადიუსი მოძრაობას იწყებს საათის ისრის მოძრაობის საწინააღმდეგო (დადებითი) მიმართულებით და მის თითოეულ პოზიციას შეესაბამება კუთხე (რადიანებში), რომელსაც რადიუსი დადებით *x*-ღერძთან ადგენს, პირობითად *θ* კუთხე.

წერტილს, რომელიც წრეწირზე ძევს, შეესაბამება პირობითი კოორდინატები (*a*, *b*). თუკი წერტილიდან *x* ღერძისკენ დავუშვებთ სიმაღლეს, შეიქმნება მართკუთხა სამკუთხედი, რომლის ჰიპოტენუზა იქნება 1 (რადგან ერთეულოვანი წრეწირი გვაქვს). *θ* კუთხის სინუსი იქნება: WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 , ანუ *b*, რადგან მოპირდაპირე კუთხის სიგრძე ემთხვევა წერტილის კოორდინატს *y* ღერძზე. ანალოგიურადაა კოსინუსის შემთხვევაშიც: WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 .

### WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 ფუნქცია

კოსინუსი (ლურჯი) და სინუსი (წითელი)
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 ფუნქციის განსაზღვრის არეა WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 , მნიშვნელობათა სიმრავლე კი WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 .

* სინუს ფუნქცია კენტია, რადგან ნებისმიერი WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 -ისათვის WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 , ვინაიდან WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 და WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 წერტილთა კოორდინატები მხოლოდ ნიშნით განსხვავდებიან.

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 პერიოდულია და მისი უმცირესი დადებითი პერიოდია WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 , ანუ ნებისმიერი WIKINIUM\_MATH\_PH\_34
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 ფუნქცია ზრდადია WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 შუალედში და კლებადია WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 შუალედში, რადგან სინუსი პერიოდულია ცხადია , იგი ზრდადია ნებისმიერ WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 , ხოლო კლებადია WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 შუალედში
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 ფუნქცია სიმეტრიულია (0,0) წერტილის მიმართ, რადგან ნებისმიერი WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 -ისათვის WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 და მის გრაფიკს სინუსოიდა ეწოდება.

### WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 **ფუნქცია WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 ფუნქციის განსაზღვრის არეა WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 , ხოლო მნიშვნელობათა სიმრავლე WIKINIUM\_MATH\_PH\_58
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 ფუნქცია ლუწია, რადგან ნებისმიერ WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 -ისათვის WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 ,ვინაიდან აბცისთა ღერძის მიმართ WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 და WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 წერტილების აბცისები ტოლია
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 ფუნქცია პერიოდულია და მისი უმცირესი დადებითი პერიოდია WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 , რაც ნიშნავს , WIKINIUM\_MATH\_PH\_74
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 ფუნქცია ზრდადია WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 შუალედში , ხოლო კლებადია WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 შუალედში. იქიდან გამომდინარე , რომ კოსინუსის უმცირესი დადებითი პედიოდია WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 , გამომდინარეობს , რომ იგი ზრდადია ნებისმიერ WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 შუალედში , ხოლო კლებადია WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 შუალედში
* კოსინუსის ფუნქციის გრაფიკი სიმეტრიულია OY ღერძის მიმართ , რადგან ლუწი ფუნქციაა. ნებისმიერი WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 -ისათვის WIKINIUM\_MATH\_PH\_90
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 ფუნქციის გრაფიკს კოსინუსოიდა ეწოდება

## იგივეობები

#### იგივეობები (რადიანის გამოყენებით):

ეს ეხება ყველა WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 მნიშვნელობას.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_106

### პითაგორას ტრიგონომეტრიული იგივეობა

ეს იგივეობა გამომდინარეობს იქიდან, რომ ერთეულოვან წრეწირში სინუსი Y კოორდინატია, კოსინუსი X და ჰიპოტენუზა — რადიუსი (1), ანუ სინუსისა და კოსინუსის კვადრატების ჯამი 1-ია

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_110
სადაც sin 2 (x) ნიშნავს sin(x)) 2 -ს.

### ორმაგი არგუმენტის ფორმულები

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_112
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114
### ორი არგუმეტის ჯამისა და სხვაობის ფორმულები

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_118

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_120

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_122

### ნახევარი არგუმენტის ფორმულები

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_124

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_126

### სამმაგი არგუმენტის ფორმულები

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_128

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_130

### ხარისხის დაყვანის ფორმულები

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_132

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_134

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_136

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_138

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_140

## მეოთხედებთან დაკავშირებული თვისებები

 დეკარტის კოორდინატთა სისტემის ოთხი მეოთხედი

| მეოთხედი | კუთხე | სინუსი | კოსინუსი |
| --- | --- | --- | --- |
| გრადუსები | რადიანები | Ნიშანი | Ნიშანი |
| 1-ლი მეოთხედი, I |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_142  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_144  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_146  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_148  |
| მე-2 მეოთხედი, II |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_150  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_152  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_154  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_156  |
| მე-3 მეოთხედი, III |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_158  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_160  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_162  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_164  |
| მე-4 მეოთხედი, IV |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_166  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_168  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_170  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_172  |

## თეორემები

სინუსების თეორემა გვიჩვენებს, რომ სამკუთხედისთვის *a*, *b* და *c* გვერდებით და *A*, *B* და *C* გვერდების მოპირდაპირე კუთხეებით:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_174
ეს ეკვივალენტურია ქვემოთ მოცემული პირველი სამი გამოსახულებისა:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_176
სადაც *R* არის სამკუთხედზე შემოხაზული წრეწირის რადიუსი .

კოსინუსების თეორემიდან ვიცით, რომ სამკუთხედისთვის *a*, *b* და *c* გვერდებისა და *A*, *B* და *C* გვერდების მოპირდაპირე კუთხეების მქონე სამკუთხედისთვის:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_178
როცა WIKINIUM\_MATH\_PH\_180 (ანუ მართია), WIKINIUM\_MATH\_PH\_182 და ეს გადაიქცევა პითაგორას თეორემად: მართკუთხა სამკუთხედისთვის, WIKINIUM\_MATH\_PH\_184 სადაც *c* არის ჰიპოტენუზა.

## მათემატიკური თეგები

* `<math>\sin</math>` — WIKINIUM\_MATH\_PH\_186 , `<math>\sin {\alpha}</math>` — WIKINIUM\_MATH\_PH\_188 ;
* `<math>\cos</math>` — WIKINIUM\_MATH\_PH\_190 , `<math>\cos {\alpha}</math>` — WIKINIUM\_MATH\_PH\_192 .

# წყაროები

1. ს.თოფურია , ბ.აბესიზე მათემატიკა I ნაწილი 1991 წლის გამოშვება.
2. \* ტრიგონომეტრია | მათემატიკა | ხანის აკადემია (khanacademy.org)
3. J J O'Connor and E F Robertson (June 1996). "The trigonometric functions". Retrieved 2 March 2010.
4. Adlaj, Semjon (2012). "An Eloquent Formula for the Perimeter of an Ellipse" (PDF). *American Mathematical Society*. p. 1097
5. Eli Maor (1998), *Trigonometric Delights*, Princeton: Princeton University Press, p. 35-36.