# ピタゴラスの定理

ピタゴラスの定理|  |
| 種類 |
定理 |
| 分野 |
ユークリッド幾何学 |
| 命題 |
2辺 ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 ) 上の2つの正方形（赤、青）の面積の和は、斜辺 ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_1 ) 上の正方形（紫）の面積に等しくなる。 |
| 数式 |
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2  |
| 一般化 | * 余弦定理
* 空間幾何学
* 非ユークリッド幾何学
* 微分幾何学
 |
| 結果 | * ピタゴラス数
* 逆ピタゴラスの定理
* 複素数
* ユークリッド距離
* ピタゴラスの三角恒等式
 |

初等幾何学における**ピタゴラスの定理**（ピタゴラスのていり、（英: Pythagorean theorem）は、直角三角形について成り立つ重要な定理である。現在の日本では**三平方の定理**（さんへいほうのていり）とも呼ばれている。

この定理によると、直角をはさむ2辺上の2つの正方形（右図の赤と青の正方形）の面積の和は、斜辺上の正方形（右図の紫の正方形）の面積に等しくなる。斜辺の長さを WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 , 他の2辺の長さを WIKINIUM\_MATH\_PH\_5 とすると、

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
という等式の形で述べることができる。

また定理の逆、すなわち「 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 ならば三角形が直角三角形である」という主張も正しい。

これらを用いると、直角三角形の二辺から残りの一辺を求めることができる。また、三角形が直角三角形かどうかを辺の長さを見て判定できる。このほか、図形の面積を保ったまま変形したり、面積を何倍かにしたりする作図問題にも用いられた。

伝統的に、ピタゴラスの定理はピタゴラスやピタゴラス教団と結びつけられてきた。しかし、大多数の科学史家は、ピタゴラスの数学者としての活動に懐疑的で、この定理に何らかの関与があったとは考えていない。また、おそらくはギリシャ以外の地（メソポタミアやインド）で最初に発見されたと考えられている。この定理とその逆は中国をふくめ、世界各地で古くから知られており、建築や測量、天文学などの応用で盛んに使われた。

本定理には、古来、様々な証明が与えられてきた。現代では数百種類もの証明が知られているという。現存するもっとも古いものは、紀元前4世紀～3世紀のユークリッド『原論』のものである。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 で特に全てが自然数であるものは、ピタゴラス数と呼ばれている。ピタゴラス数は本質的に可算個あることが知られている。

## 定理の概要

直角三角形において、斜辺の長さを WIKINIUM\_MATH\_PH\_11 、直角をはさむ 2辺の長さをそれぞれ WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 とすると、次の等式が成り立ち、「ピタゴラスの定理」と呼ばれる：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_13
すなわち、斜辺上の正方形の面積は、残りの二つの辺の上の正方形の面積を足し合わせたものに等しい。

ピタゴラスの定理によって、直角三角形において2辺の長さが分かっていれば、残りの1辺の長さを計算することができる。ここで WIKINIUM\_MATH\_PH\_15 はいずれも正であるから、

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20
となる。ここで WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 は負でない平方根を表す。

余弦定理は、この定理を一般の三角形に適用できるよう、一般化したものである。これを使うと、任意の三角形において、1つの内角の大きさとそれをはさむ2辺の長さから残りの辺（対辺）の長さを計算できる。

### ピタゴラスの定理の逆

この定理の逆、すなわちに「 WIKINIUM\_MATH\_PH\_23 ならば三角形は直角三角形である」という主張も正しい。例えば、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_25 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_27 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_29 の三角形は、必ず直角三角形になる。これを用いると、辺の長さから三角形が直角三角形かどうかを判定できる。また、直角の作図にも利用できる。

### 座標幾何学での応用

ピタゴラスの定理を用いると、点の座標から（ユークリッド空間中の）2点間の距離（ユークリッド距離）を求めることができる。もしも、座標系が正規直交座標系であるなら、2点間の距離は、2点の各座標の差の 2乗の総和の平方根となる。ここで、空間の次元は任意である。

### ピタゴラスの基本三角関数公式

→詳細は「en:Pythagorean trigonometric identity」を参照
→詳細は「三角関数 § 性質」を参照
ピタゴラスの定理は、三角関数についての非常に重要な関係式**ピタゴラスの基本三角関数公式** (Fundamental Pythagorean trigonometric identity)　と同値である。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_31
ただし、長さがaの辺と斜辺（長さｃ）との間の角度を WIKINIUM\_MATH\_PH\_33 とした。また、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_35 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_37 と定義した。

### 面積を変えない図形の変形

ピタゴラスの定理を用いると、与えられた図形を面積を変えずに変形する作図を実行できる（『シュルバ・スートラ』、ユークリッド『原論』第二巻、）。
まず、次の二つはわかりやすい。

1. 与えられた正方形の面積の和と同じ面積の正方形の作図
2. 与えられた二つの正方形の面積の差と同じ面積の正方形の作図

１を用いれば、与えられた正方形の面積の WIKINIUM\_MATH\_PH\_39 倍の面積の正方形を作図することができる(『シュルバ・スートラ』など)。
２を用いれば、与えられた長方形（辺の長さ WIKINIUM\_MATH\_PH\_41 )と同じ面積の正方形の作図（**正方形化**）
ができる。なぜならば、この長方形の面積は

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_43
つまり一片の長さが WIKINIUM\_MATH\_PH\_45 の正方形と WIKINIUM\_MATH\_PH\_47 の正方形の面積の差に等しいからである。
・スートラ]]』など)。

よって、多角形をを正方形化したいのならば、三角形に分割して各々を正方形化し、１を用いて合併すればよい。また、ヒポクラテスの定理は、円弧の間に挟まれた三日月型の図形（月形）を面積を変えずに多角形に変形できることを主張するけれども、その証明ではピタゴラスの定理が本質的である。

## 歴史

バビロニア数学について記された粘土板プリンプトン322
「ピタゴラスが直角二等辺三角形のタイルが敷き詰められた床を見ていて、この定理を思いついた」といった伝承が伝えられるなど、本定理はピタゴラスと結びつけられてきた。しかし、本定理と同じ内容の主張は、ピタゴラスが生まれる前から広く知られていた。

### 起源

例えば、南部メソポタミアにおいては、ピタゴラスが生まれる1000年以上前のバビロン第1王朝時代ごろ（紀元前20世紀から16世紀の間）には、すでに本定理は知られていたと思われる。バビロニアの粘土板『プリンプトン322』には、ピタゴラスの定理に関わる要素が数多く含まれている。YBC 7289の裏面にはそれらしい記述がある。この他、この関係式を応用して問題を解いた過程が記された粘土板がいくつも発見されている。いずれも具体例についての計算が書かれているだけであるが、様々な状況に適用されていることなどから、一般的な関係を把握していたという推測がなされている。ただし、もっぱら問題解法の手段と認識されていたことから、定理とよばずにruleとよぶことがある。例えば、Hoyrup2000では　the Pythagorean ruleとよび、Friberg 2000においては、the (old Babylonian) diagonal ruleという呼称をもちいている。後者の呼称は、本定理の主張が長方形の対角線と二辺の間の関係と認識されていたことよる。

古代エジプト数学にはピタゴラス数についての記述があり、ナイル川の氾濫のあとで土地を元どおり区割りする際に、直角を取るため 3:4:5の直角三角形が利用された可能性がある。紀元前2000年から1786年ごろに書かれた古代エジプトエジプト中王国のパピルス "Berlin Papyrus 6619" では、この三角形を用いたらしき計算が記されているが、一部が破損している。また、一般的なケースについての記載はない。

### ピタゴラスが無関係であること

ギリシャにこれらの先行の発見がどの程度影響したのかは、よくわからない。いずれにせよ、ギリシャにおける再発見（あるいは導入？）、および証明においても、ピタゴラスは関与していないと考える研究者が多数派である。そもそも、ピタゴラスが数学者として活動したと考える研究者が少数派で、また論証数学が誕生したのも、ピタゴラスの死後のことだと考えられている 。プラトンやアリストテレスはピタゴラスやピタゴラス派の学説に言及しているし、数学にも関心をもっているが、同派とこの定理との関係については、何も述べていない。なお、当時はすでにピタゴラス教団は衰微していたと思われる。

紀元前3世紀に書かれたユーリッド『原論』の中でピタゴラスの定理に該当するものは、第1巻の47番目の命題である。(なお、ピタゴラスの定理の逆は、その次、すなわち48番目の命題。）ここでは、昔から経験則として知られていたこの法則に、幾何学的な証明を与えている。これは、現存する証明としては、最古のものである。ただし、『原論』中にこの定理とピタゴラスやピタゴラス派との関係を示唆するものは、何もない。

さらに下って、紀元前１世紀以降、新ピタゴラス主義が各地で立ち上がり、またその後興隆した新プラトン主義に影響を与えることになる。そして、「ピタゴラスが幾何学上の発見をムーサに感謝し、牛を捧げた」という伝説が記録にあらわれるようになる。このとき、しばしば時代も事跡も不明なアポロドロス（英語版）の詩文を引用する形をとる。内容は、著者によって少しずつ違う。

紀元前１世紀のキケロは発見の内容をまったく特定せず、しかも逸話ついて懐疑的である。プルタルコスは発見した定理の候補の一つとして本定理をあげる。ウィトルウィウス『建築について』では、辺の長さが3，4，5の場合について定理を述べる。さらに下って、紀元200年あたりから後のディオゲネス・ラエルティオス、アテナイオスらはこの発見をピタゴラスの定理だとする。ポルピュリオス、イアンブリコスらのピタゴラスの伝記、 紀元5世紀のプロクロスの『ユークリッド原論第一巻註解』も同様である。プロクロスは本定理に該当する「第47番の命題」に付した注釈において、当時の識者たちの見解として、本定理の発見者がピタゴラスであることを上記の逸話とともに述べる。ただし、この定理を強固な論証で基礎づけて一般化したユークリッドの功績のほうが偉大だとする。後世においてこの定理をピタゴラスの業績とする根拠は、プロクロスの注解による。

### インド

インドの紀元前5-8世紀に書かれた『シュルバ・スートラ』と総称される一連の文書にも、定理に関わる文章が見られる。しかし、これはバビロニア数学の影響を受けた結果ではないかという推測もされているが、結論には至っていない。また、『シュルバ・スートラ』は祭壇のための作図が中心で、扱うテーマが限られており、後の時代の図形数学（クシャートラ·ガニタ）とはほとんど繋がっていない。

### 中国

『周髀算経』の注釈書におけるピタゴラスの定理の証明（中国語: 句股冪合以成弦冪）
中国古代においては、『周髀算経』（紀元前2世紀前後）や『九章算術』の数学書でもこの定理が取り上げられている。中国ではこの定理を**勾股定理**、**商高定理**等と呼んで説明している。

レオナルド・ダ・ヴィンチによるピタゴラスの定理の証明。橙色の部分を WIKINIUM\_MATH\_PH\_49 度回転し、緑色の部分は裏返して図の位置にできる。
### 日本での呼称

日本の和算でも、中国での呼称を用いて**鉤股弦の法**（こうこげんのほう）等と呼んでいた。「勾（鈎）・股・弦」とはそれぞれ、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 としたときの WIKINIUM\_MATH\_PH\_51 を表している。

日本の明治時代の中等学校の教科書では「ピュタゴラスの定理」と呼ばれていた。

現在、ピタゴラスの定理は「三平方の定理」とも呼ばれているが、「三平方の定理」と呼ばれるようになったのは1942年（昭和17年）の太平洋戦争開始後のことである。

このときに「鉤股弦の定理」とする案などもあったが、末綱恕一（東大教授）の発案で「三平方の定理」に改められたとされる。

## 一般化

### 角の一般化

→詳細は「余弦定理」を参照
第二余弦定理

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52
はピタゴラスの定理を WIKINIUM\_MATH\_PH\_53 の場合として含む。
つまり、第二余弦定理はピタゴラスの定理を一般の三角形に対して拡張した定理になっている。

### 長さから面積への一般化

→詳細は「ド・グアの定理」を参照
3次元空間内に平面があるとき、その閉領域 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 の面積は、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_55 平面、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 平面、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_57 平面への射影の面積 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 を用いて

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_59
と表される。これは高次元へ一般化できる。

### 正方形以外の図形

ピタゴラスの定理では、各辺の上に作図された正方形の面積の関係を問題にしている。ユークリッド『原論』第6巻命題31では、これを一般化した。すなわち、各辺の上に作図される図形が何であっても、斜辺の上に作図される面積は、直角を挟む二辺の上に作図される図形の面積の和に等しい。ただし、三つの図形は互いに相似だとする。
キオスのヒポクラテスやイブン・ハイサムの月形(円弧の間に挟まれた図形）の求積においては、辺の上に半円を作図したものを用いる。

→詳細は「ヒポクラテスの定理 § 定理」を参照
また、証明においても、正方形の代わりに別の図形を用いてもよい。すなわち、直角を挟む二辺の上に作図した図形の面積の和が、斜辺の上に作図した図形の面積に等しいことを証明するれば、ピタゴラスの定理の証明になる。（ただし、三つの図形は互いに相似。）後に述べるアインシュタインによるピタゴラスの定理の証明は、各辺の上に直角三角形を作図する。

### ピタゴラス数の指数の一般化

→詳細は「フェルマーの最終定理」を参照
指数の WIKINIUM\_MATH\_PH\_61 の部分を一般化すると

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62
となる。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_63 の場合、自明（つまり WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 の少なくとも1つが 0）や既知解（原始ピタゴラス数の定数倍）を除いても、整数解は実質無数に存在するが、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_65 の場合は非自明な整数解は存在しない。

### 計量ベクトル空間

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 において角Cが直角だとする。CからA、CからB,AからBにむかう幾何ベクトルを WIKINIUM\_MATH\_PH\_67 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_69 ,　 WIKINIUM\_MATH\_PH\_71 とする。すると、ピタゴラスの定理は次のように表現できる。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_73
ただし、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_75 は幾何ベクトル WIKINIUM\_MATH\_PH\_77 の長さ（ノルム）である。

幾何ベクトルとは限らない、一般の実数上の計量ベクトル空間においても、上記と同様の関係がなりたつ。（次元は無限次元でもよい。）

すなわち、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_79 とし、ノルムを WIKINIUM\_MATH\_PH\_81 で定義すると、

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_83
である。

ここで、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_85 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_87 が直交する、すなわち WIKINIUM\_MATH\_PH\_89 と仮定する。すると、直ちに WIKINIUM\_MATH\_PH\_91 が導かれる。

逆に、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_93 が成立することを仮定すると、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_95 が導かれる。これは、ピタゴラスの定理の逆に対応する。

また、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_97 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_99 の間の角度 WIKINIUM\_MATH\_PH\_101 を等式
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_103 で定義すると、

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_105
である。これは、第二余弦定理に対応する。

### 情報幾何学におけるピタゴラスの定理

情報幾何学、あるいは統計多様体の理論の基本的な定理の一つに「ピタゴラスの定理」がある。すなわち、双対平坦な空間において、カルバック・ライブラー情報量などの正準ダイバージェンスは、これを距離の2乗に見立てるとピタゴラスの定理と同様の関係式を満たす。なお、ユークリッド距離の2乗は、適切な接続のもと正準ダイバージェンスとみなすことができる。よって、ユークリッド幾何のピタゴラスの定理は情報幾何学のピタゴラスの定理の特殊な例と考えることができる。

## ピタゴラスの定理の証明

この定理には数百通りもの異なる証明がある。

### 相似による証明

相似を用いた証明
頂点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_107 から斜辺 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 に下ろした垂線の足を WIKINIUM\_MATH\_PH\_109 とする。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 と WIKINIUM\_MATH\_PH\_111 は相似である。ゆえに

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_112
である。よって

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114
であり、同様に

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116
である。一方、

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_118
であるから、

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_120
を得る。

#### 歴史的な背景

本証明と同等の議論は、バースカラ2世の代数学書『ビージャガニタ』第8巻に見られる。また、16世紀後半のイグナス・ガストン・パルディによる幾何学の解説書にもみられる。また、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_123 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 が相似であることは、ユークリッド『原論』第VI巻·命題８で述べられている。

#### アインシュタインの証明

この証明のように、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_125 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_127 が相似であることに着目した証明の別種に、アインシュタインが思いついた証明がある。これは、

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 の面積が WIKINIUM\_MATH\_PH\_129 と WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 の面積の和であること
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_131 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_133 の面積の比率が WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 であること

を用いる。

→詳細は「en:Pythagorean theorem § Other\_proofs\_of\_the\_theorem」を参照
### 合同による証明

三平方の定理の合同による証明
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 と WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 が合同になるように，図のように WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_146 を取る。また、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_148 とする。

わかりやすいように整理すると、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 が隣辺、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 が対辺、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 が斜辺の長さを示す。

四角形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 の面積 WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 を二通りの方法で表す。

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_160 と WIKINIUM\_MATH\_PH\_162 は直交するので， WIKINIUM\_MATH\_PH\_164

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_166 WIKINIUM\_MATH\_PH\_168 の面積は WIKINIUM\_MATH\_PH\_170 ， WIKINIUM\_MATH\_PH\_172 WIKINIUM\_MATH\_PH\_174 の面積は WIKINIUM\_MATH\_PH\_176 より WIKINIUM\_MATH\_PH\_178

よって、

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_180

両辺に WIKINIUM\_MATH\_PH\_182 をかけて

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_184

以上2つの式より三平方の定理を得る。

### 外接円を用いた証明

外接円を用いた証明
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_186 のとき、斜辺 WIKINIUM\_MATH\_PH\_187 を直径とする円 WIKINIUM\_MATH\_PH\_188 を描くことができる。

このとき点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_189 から直径 WIKINIUM\_MATH\_PH\_190 に下ろした垂線の足を WIKINIUM\_MATH\_PH\_191 とし、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_192 に対して三平方の定理を証明する。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_193 とする。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_194 なので、

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_195
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_196
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_197
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_198
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_199
### 正方形を用いた証明 1

正方形を用いた証明
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_200 と合同な4個の三角形を右図のように並べると、外側に一辺が WIKINIUM\_MATH\_PH\_201 の正方形（以下「大正方形」）が、内側に一辺が WIKINIUM\_MATH\_PH\_202 の正方形（以下「小正方形」）ができる。

（大正方形の面積）=（小正方形の面積）+（直角三角形の面積）× 4
である。大正方形の面積は WIKINIUM\_MATH\_PH\_203 , 小正方形の面積は WIKINIUM\_MATH\_PH\_204 , 直角三角形1個の面積は WIKINIUM\_MATH\_PH\_205 である。これらを代入すると、

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_207
整理して

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_209
を得る。

* 正方形を用いた証明１の視覚化⓵
* 正方形を用いた証明１の視覚化②

### 正方形を用いた証明 2

本証明は、バースカラ2世の『ビージャガニタ』にある証明である。まず、一辺がcの正方形の面積を求める。そのために、下の「『ビージャガニタ』の二番目の証明」の左図ようにこの正方形を、一辺が WIKINIUM\_MATH\_PH\_211 の正方形と4つの直角三角形に分割する。すると、

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_213
であることがわかる。そして

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_215
であることからピタゴラスの定理を得る。この最後の等号関係を得るにあたって、『ビージャガニタ』では図形の断片を「『ビージャガニタ』の二番目の証明」の右図のように並べ替えて示している。（下のアニメーションも参照のこと。）

『ビージャガニタ』の二番目の証明
* 正方形を用いた証明２の視覚化

### 内接円を用いた証明

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_217 において、内接円の半径 WIKINIUM\_MATH\_PH\_218 を用いて面積 WIKINIUM\_MATH\_PH\_219 を表すと

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_220 ()
となるが、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_222 より、

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_223 ()
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_225 ()
となるから、**(1)** に **(2)**, **(3)** を代入すると

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_227
整理すると

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_229
が得られる。

### 三角関数の加法定理を用いた証明

三角関数の加法定理は、本定理を使わないで、初等幾何的に証明できる（三角関数#性質）。三角関数の加法定理を使うと、

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_231
または

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_233
が得られる。

この式に WIKINIUM\_MATH\_PH\_235 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_237 を代入すると、

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_239
が得られる。

## ピタゴラスの定理の逆の証明

ピタゴラスの定理は、逆も真となる。すなわち、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_241 に対して

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_242
が成立すれば、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_244 は WIKINIUM\_MATH\_PH\_245 の直角三角形となるが成立する。以下にその証明を述べる。

### ピタゴラスの定理に依存しない証明

ピタゴラスの定理に依存しない証明
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_246 が WIKINIUM\_MATH\_PH\_247 を満たすとする。線分 WIKINIUM\_MATH\_PH\_248 を WIKINIUM\_MATH\_PH\_249 に内分する点を WIKINIUM\_MATH\_PH\_250 とすると

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_251
である。これより

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_253
であるから2辺比夾角相等より WIKINIUM\_MATH\_PH\_255 。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_257
同様に

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_259
となるから

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_261 ()
となる。

**(1)** より

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_263 ()
一方

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_265 ()
であるから、**(2)**, **(3)** より

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_267 ()
**(1)**, **(4)** より

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_269
ゆえに WIKINIUM\_MATH\_PH\_271 は WIKINIUM\_MATH\_PH\_272 の直角三角形である。

### 同一法を用いた証明

ピタゴラスの定理を用いた証明
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_273 である直角三角形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_274 において、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_275 とすれば、ピタゴラスの定理より

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_276 ()
が成り立つ。
一方、仮定から WIKINIUM\_MATH\_PH\_278 において

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_279 ()
が成り立っている。**(1)**, **(2)** より

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_281
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_283 より

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_284
したがって、3辺相等から

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_286
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_288 。ゆえに WIKINIUM\_MATH\_PH\_289 は WIKINIUM\_MATH\_PH\_290 の直角三角形である。

### 対偶を用いた証明

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_291 において WIKINIUM\_MATH\_PH\_292 であると仮定する。頂点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_293 から直線 WIKINIUM\_MATH\_PH\_294 に下ろした垂線の足を WIKINIUM\_MATH\_PH\_295 とし、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_296 とする。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_297 の場合、直角三角形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_298 においてピタゴラスの定理より

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_299
であり、同様に直角三角形 WIKINIUM\_MATH\_PH\_301 では

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_302
である。よって

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_304
となる。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_306 の場合も同様に考えて

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_307
ゆえに

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_309
となる。

よっていずれの場合も

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_311
である。対偶を取って、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_313 ならば WIKINIUM\_MATH\_PH\_314 である。

なお、この証明から分かるように、

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_315
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_316
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_317

という対応がある。

### 余弦定理を用いた証明

余弦定理を用いた証明
ピタゴラスの定理は既知とすると、それより導かれる余弦定理を用いることができる。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_318 において、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_319 とおくと、余弦定理より

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_320
一方、仮定より

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_322
であるから

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_324
となる。三角形の内角の和は WIKINIUM\_MATH\_PH\_326 であるから WIKINIUM\_MATH\_PH\_327 より、

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_328
ゆえに WIKINIUM\_MATH\_PH\_330 は WIKINIUM\_MATH\_PH\_331 の直角三角形である。

## ピタゴラスの基本三角関数公式の証明

→詳細は「en:Pythagorean trigonometric identity」、「三角関数 § 定義」、および「三角関数 § 性質」を参照
以下では、ピタゴラスの基本三角関数公式 (Fundamental Pythagorean trigonometric identity)、すなわち

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_332
の証明を述べる。

もしも、三角関数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_334 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_336 を WIKINIUM\_MATH\_PH\_338 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_340 と初等幾何学的に定義すると、この等式はピタゴラスの定理と同値である。証明は、ピタゴラスの定理を表す等式の両辺を WIKINIUM\_MATH\_PH\_342 で割り、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_344 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_346 の定義を代入すればよい。

一方、三角関数は上記のような幾何的な定義以外の定義もある(三角関数#定義)。幾何的な描像を用いずに、三角関数を冪級数や逆三角関数の積分表示などを用いて定義できる。このような定義を用いると、三角関数の微分や積分、あるいは冪級数展開などをスムーズに行うことができる。そして、以下に述べるように、ピタゴラスの基本三角関数公式をピタゴラスの定理を経由せずに証明できる。

ただし、そのような三角関数の定義をした場合には、例えば WIKINIUM\_MATH\_PH\_348 の定義はもはや WIKINIUM\_MATH\_PH\_350 ではないので、これらを単に（１）式に代入するだけでピタゴラスの定理が導かれるわけではない。

### 三角関数の微分を用いた証明

正弦および余弦関数を微分すれば

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_352 ()
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_354 ()
**(1)**, **(2)** および積の微分の公式より

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_356
したがって

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_358
ここで WIKINIUM\_MATH\_PH\_360 は定数である。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_361 を代入すると WIKINIUM\_MATH\_PH\_362 であるので、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_363 が得られる。よって

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_364 ()
が得られる。

### 冪級数展開を用いた証明

三角関数の冪級数展開を用いて、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_366 と WIKINIUM\_MATH\_PH\_367 の自乗をそれぞれ計算すると

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_368
となる。ここで二項定理より

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_370
である。したがって

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_372
が得られる。

## ピタゴラス数

→詳細は「ピタゴラス数」を参照
3辺の長さが何れも整数である直角三角形は、ピタゴラスの定理の項目の中で古くから知られた。例えば、紀元前1800年ごろのバビロニアの粘土板には、3辺の長さの表（例えば WIKINIUM\_MATH\_PH\_374 のようなもの）が出ている。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_375 を満たす自然数の組 WIKINIUM\_MATH\_PH\_376 を**ピタゴラス数** (Pythagorean triple) という。特に、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_377 が互いに素であるピタゴラス数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_378 は**原始ピタゴラス数** (primitive Pythagorean triple) と呼ばれる。全てのピタゴラス数は原始ピタゴラス数で WIKINIUM\_MATH\_PH\_379 の正の整数倍 WIKINIUM\_MATH\_PH\_380 で表されるから、ピタゴラス数のリストを知るには、原始ピタゴラス数が本質的である。

ピタゴラス数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_381 が原始的であるためには、3つのうちある2つが互いに素であれば十分である。原始ピタゴラス数の小さい方のリストは、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_382 で、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_383 とすると次の通りである：

( WIKINIUM\_MATH\_PH\_384 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_385 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_386 ) = (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)
### ピタゴラス数の性質

→詳細は「ピタゴラス数」を参照
ピタゴラス数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_387 には、次の性質がある。

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_388 または WIKINIUM\_MATH\_PH\_389 は WIKINIUM\_MATH\_PH\_390 の倍数
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_391 または WIKINIUM\_MATH\_PH\_392 は WIKINIUM\_MATH\_PH\_393 の倍数
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_394 または WIKINIUM\_MATH\_PH\_395 または WIKINIUM\_MATH\_PH\_396 は WIKINIUM\_MATH\_PH\_397 の倍数
	+ したがって、積 WIKINIUM\_MATH\_PH\_398 は WIKINIUM\_MATH\_PH\_399 の倍数である。

自然数の組 WIKINIUM\_MATH\_PH\_400 が原始ピタゴラス数であるためには、ある自然数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_401 が

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_402 は互いに素
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_403
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_404 と WIKINIUM\_MATH\_PH\_405 の偶奇が異なる（一方が偶数で他方が奇数）

を満たすとして、

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_406 または WIKINIUM\_MATH\_PH\_407
であることが必要十分である。上記の WIKINIUM\_MATH\_PH\_408 は無数に存在し重複がないので、原始ピタゴラス数は無数に存在し、すべての原始ピタゴラス数を重複なく列挙できる。

例えば

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_409 のとき WIKINIUM\_MATH\_PH\_410
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_411 のとき WIKINIUM\_MATH\_PH\_412
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_413 のとき WIKINIUM\_MATH\_PH\_414
である。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_415 を満たす原始ピタゴラス数を WIKINIUM\_MATH\_PH\_416 の昇順に並べた一覧表は以下のようになる。

原始ピタゴラス数の一覧表|

| # |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_417  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_418  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_419  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_420  | 表示 WIKINIUM\_MATH\_PH\_421  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 2 | 1 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 3 | 2 | 5 | 12 | 13 |
| 3 | 4 | 3 | 7 | 24 | 25 |
| 4 | 4 | 1 | 8 | 15 | 17 |
| 5 | 5 | 4 | 9 | 40 | 41 |
| 6 | 6 | 5 | 11 | 60 | 61 |
| 7 | 6 | 1 | 12 | 35 | 37 |
| 8 | 7 | 6 | 13 | 84 | 85 |
| 9 | 8 | 7 | 15 | 112 | 113 |
| 10 | 8 | 1 | 16 | 63 | 65 |
| 11 | 9 | 8 | 17 | 144 | 145 |
| 12 | 10 | 9 | 19 | 180 | 181 |
| 13 | 5 | 2 | 20 | 21 | 29 |
| 14 | 10 | 1 | 20 | 99 | 101 |
| 15 | 11 | 10 | 21 | 220 | 221 |
| 16 | 12 | 11 | 23 | 264 | 265 |
| 17 | 12 | 1 | 24 | 143 | 145 |
| 18 | 13 | 12 | 25 | 312 | 313 |
| 19 | 14 | 13 | 27 | 364 | 365 |
| 20 | 7 | 2 | 28 | 45 | 53 |
| 21 | 14 | 1 | 28 | 195 | 197 |
| 22 | 15 | 14 | 29 | 420 | 421 |
| 23 | 16 | 15 | 31 | 480 | 481 |
| 24 | 16 | 1 | 32 | 255 | 257 |
| 25 | 7 | 4 | 33 | 56 | 65 |

 |

| # |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_422  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_423  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_424  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_425  | 表示 WIKINIUM\_MATH\_PH\_426  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 26 | 17 | 16 | 33 | 544 | 545 |
| 27 | 18 | 17 | 35 | 612 | 613 |
| 28 | 9 | 2 | 36 | 77 | 85 |
| 29 | 18 | 1 | 36 | 323 | 325 |
| 30 | 19 | 18 | 37 | 684 | 685 |
| 31 | 8 | 5 | 39 | 80 | 89 |
| 32 | 20 | 19 | 39 | 760 | 761 |
| 33 | 20 | 1 | 40 | 399 | 401 |
| 34 | 21 | 20 | 41 | 840 | 841 |
| 35 | 22 | 21 | 43 | 924 | 925 |
| 36 | 11 | 2 | 44 | 117 | 125 |
| 37 | 22 | 1 | 44 | 483 | 485 |
| 38 | 23 | 22 | 45 | 1012 | 1013 |
| 39 | 24 | 23 | 47 | 1104 | 1105 |
| 40 | 8 | 3 | 48 | 55 | 73 |
| 41 | 24 | 1 | 48 | 575 | 577 |
| 42 | 25 | 24 | 49 | 1200 | 1201 |
| 43 | 10 | 7 | 51 | 140 | 149 |
| 44 | 26 | 25 | 51 | 1300 | 1301 |
| 45 | 13 | 2 | 52 | 165 | 173 |
| 46 | 26 | 1 | 52 | 675 | 677 |
| 47 | 27 | 26 | 53 | 1404 | 1405 |
| 48 | 28 | 27 | 55 | 1512 | 1513 |
| 49 | 28 | 1 | 56 | 783 | 785 |
| 50 | 11 | 8 | 57 | 176 | 185 |

 |

| # |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_427  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_428  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_429  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_430  | 表示 WIKINIUM\_MATH\_PH\_431  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 51 | 29 | 28 | 57 | 1624 | 1625 |
| 52 | 30 | 29 | 59 | 1740 | 1741 |
| 53 | 10 | 3 | 60 | 91 | 109 |
| 54 | 15 | 2 | 60 | 221 | 229 |
| 55 | 30 | 1 | 60 | 899 | 901 |
| 56 | 31 | 30 | 61 | 1860 | 1861 |
| 57 | 32 | 31 | 63 | 1984 | 1985 |
| 58 | 32 | 1 | 64 | 1023 | 1025 |
| 59 | 9 | 4 | 65 | 72 | 97 |
| 60 | 33 | 32 | 65 | 2112 | 2113 |
| 61 | 34 | 33 | 67 | 2244 | 2245 |
| 62 | 17 | 2 | 68 | 285 | 293 |
| 63 | 34 | 1 | 68 | 1155 | 1157 |
| 64 | 13 | 10 | 69 | 260 | 269 |
| 65 | 35 | 34 | 69 | 2380 | 2381 |
| 66 | 36 | 35 | 71 | 2520 | 2521 |
| 67 | 36 | 1 | 72 | 1295 | 1297 |
| 68 | 37 | 36 | 73 | 2664 | 2665 |
| 69 | 14 | 11 | 75 | 308 | 317 |
| 70 | 38 | 37 | 75 | 2812 | 2813 |
| 71 | 19 | 2 | 76 | 357 | 365 |
| 72 | 38 | 1 | 76 | 1443 | 1445 |
| 73 | 39 | 38 | 77 | 2964 | 2965 |
| 74 | 40 | 39 | 79 | 3120 | 3121 |
| 75 | 40 | 1 | 80 | 1599 | 1601 |

 |

また、フランスの数学者ピエール・ド・フェルマーは一般のピタゴラス数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_432 に対して、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_433 （直角三角形の面積）は平方数でないことを無限降下法により証明した。

### Jesmanowicz 予想

1956年に Jesmanowicz が次の予想を提出した：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_434 を原始ピタゴラス数、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_435 を自然数とする。方程式：
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_436
の自然数解 WIKINIUM\_MATH\_PH\_438 は
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_439
のみである。
### 特別なピタゴラス数

* 直角をはさむ2辺 WIKINIUM\_MATH\_PH\_441 が連続する原始ピタゴラス数は

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_442 （オンライン整数列大辞典の数列 A114336）
である。この問題はフランスの数学者ピエール・ド・フェルマーが出題し、解も発見した。
* 斜辺 WIKINIUM\_MATH\_PH\_443 と他の2辺の和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_444 が両方とも平方数になる最小のピタゴラス数は

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_445
である。この問題はピエール・ド・フェルマーが出題し、解も発見した。
* ピタゴラス数 ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_446 ) において WIKINIUM\_MATH\_PH\_447 の差が 1 で、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_448 が平方数になるのは WIKINIUM\_MATH\_PH\_449 に限られる。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_450
* 3辺の長さが WIKINIUM\_MATH\_PH\_451 の直角三角形と、周の長さと面積の両方が同じ値となる、すべての辺の長さが整数である二等辺三角形が存在するならば、そのような直角三角形は全て相似であり、最小の ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_452 ) の値は、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_453 である。

* 足立恒雄『フェルマーの大定理が解けた！ オイラーからワイルズの証明まで』講談社〈ブルーバックス B-1074〉、1995年6月。ISBN 978-4-06-257074-9。
* 足立恒雄『フェルマーの大定理 整数論の源流』筑摩書房〈ちくま学芸文庫 ア24-1 Math & Science〉、2006年9月。ISBN 978-4-480-09012-6。
* 出光英則 著、銀林浩 編 編『ピタゴラスがくれたおくり物 ピタゴラスの定理』国土社〈数学ワンダーランド 7〉、1997年8月。ISBN 978-4-337-56207-3。
* カプラン, ロバート、カプラン, エレン 著、水谷淳 訳『数学の隠れたハーモニー ピタゴラスの定理のすべて』ソフトバンククリエイティブ、2011年12月。ISBN 978-4-7973-6467-5。  — 原題：*Hidden harmonies*.
* シルヴァーマン, ジョセフ・H 著、鈴木治郎 訳『はじめての数論 発見と証明の大航海 ピタゴラスの定理から楕円曲線まで』（原著第3版）丸善出版、2014年5月。ISBN 978-4-621-06620-1。  — 原題：*A friendly introduction to number theory* (3rd ed.).
* 高瀬正仁『フェルマ 数と曲線の真理を求めて』現代数学社〈双書・大数学者の数学 17〉、2019年1月。ISBN 978-4-7687-0500-1。
* マオール, エリ 著、伊理由美 訳『ピタゴラスの定理 4000年の歴史』岩波書店、2008年2月。ISBN 978-4-00-005878-0。  — 原題：*The Pythagorean theorem*.
* 森下四郎『ピタゴラスの定理100の証明法 幾何の散歩道』（改訂版）プレアデス出版、2010年8月。ISBN 978-4-903814-36-0。
* 森下四郎『ピタゴラスの定理をめぐる2つの謎 三平方の定理の謎』プレアデス出版、2010年12月。ISBN 978-4-903814-39-1。
* 斎藤憲「証明の発明と発展 ―ギリシャ数学の創始・発展とその遺産」『科学史研究』第59巻第296号、2020年、387-393頁、doi:10.34336/jhsj.59.296\_387
* 矢野道雄、インドの科学の歴史、 山崎 元一、 小西 正捷（編）、　 南アジア史 １ 先史・古代、 　世界歴史大系 山川出版社 ２００７．６ 所収、第十章、pp.318-342
* Barrow-Green, J., Gray, J., and Wilson, R. (2019). The History of Mathematics: A Source-based Approach, Volume 1, Ams/Maa Textbooks, 45, American Mathematical Society.
* Friberg, Jöran.(2000). A Remarkable Collection of Babylonian Mathematical Texts, Springer
* Hayashi, Takao (2009). Bījagaṇita of Bhāskara, SCIAMVS 10, pp.3—301
* Heath, Thomas (1921). A history of Greek mathematics, volume 1, Clarendon Press, Oxford.
* Høyrup, Jens. (1999). Pythagorean "rule" and "theorem": mirror of the relation between Babylonian and Greek Mathematics. In J. Renger (Ed.), Babylon : Focus mesopotamischer Geschichte, Wiege früher Gelehrsamkeit, Mythos in der Moderne: 2. Internationales Colloquium der Deutschen Orient-Gesellschaft 24.-26. März 1998 in Berlin SDV Saarländische Druckerei und Verlag GmbH.
* Huffman, C. (2024). Pythagoreanism. In E. N. Zalta & U. Nodelman (Eds.), The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2024 ed.). Metaphysics Research Lab, Stanford University. stanford.edu
* F. Jacoby, ed. Die Fragmente der griechischen Historiker. Leiden 1923–1958 (continued: 1994ff.). [リンク
* Katz, V.J. ed. (2007). The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam\_ A Sourcebook.
* Netz, Reviel (2022). A New History of Greek Mathematics
* Plofker, Kim (2009). Mathematics in India, Princeton University Press.
* Proclus. (1970). A commentary on the first book of Euclid’s Elements (G. R. Morrow, Trans.). Princeton University Press. (Original work published ca. 5th century)
* Sidoli, Nathan (2014). “Research on Ancient Greek Mathematical Sciences,1998-2012”. From Alexandria, Through Baghdad.

* 計量テンソル
* 算数チャチャチャ
* ピタゴラス
* プリンプトン322
* ユークリッド原論
* フェルマーの最終定理
* ピタゴラス三体問題

* 百科事典マイペディア『ピタゴラスの定理』 - コトバンク
* 日本大百科全書『三平方の定理』 - コトバンク
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_465
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_466
* Pythagorean Theorem
* 第13回　ピタゴラスの定理・証明コレクション
* コラム ピタゴラスの定理 江戸の数学 国立国会図書館