# 接束

インフォーマルには、多様体（この場合円）の接束はすべての接空間を考え（上）それらを滑らかに重ならないようにつなげる（下）ことによって得られる。
微分幾何学において、可微分多様体 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 の**接束**（せっそく、英: tangent bundle, 接バンドル、タンジェントバンドル）は WIKINIUM\_MATH\_PH\_1 の接空間の非交和である。つまり、

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
ただし WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 は WIKINIUM\_MATH\_PH\_5 の点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 における接空間を表す。したがって、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_7 の元は対 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 、ただし WIKINIUM\_MATH\_PH\_9 は WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 の点で WIKINIUM\_MATH\_PH\_11 は WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 の WIKINIUM\_MATH\_PH\_13 における接ベクトル、と考えることができる。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 で定義される自然な射影

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_15
が存在する。この射影は各接空間 WIKINIUM\_MATH\_PH\_17 を一点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 に写像する。

接束には（下のセクションで記述される）自然な位相が入る。この位相によって、多様体の接束はベクトル束（ファイバーがベクトル空間であるファイバー束）の典型的な例である。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_19 の断面は WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 上のベクトル場であり、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_21 の双対束は余接束で、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 の余接空間の非交和である。定義により、多様体 WIKINIUM\_MATH\_PH\_23 が平行化可能 (parallelizable) であることと接束が自明であることは同値である。定義により、多様体 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 が 枠付き であることと接束 WIKINIUM\_MATH\_PH\_25 が stably trivial、すなわちある自明束 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 に対しホイットニー和 (Whitney sum) *TM* ⊕ *E* が自明であることは同値である。例えば、*n* 次元球面 WIKINIUM\_MATH\_PH\_27 はすべての WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 に対して枠付きであるが、（Bott-Milnor と Kervaire の結果によって） WIKINIUM\_MATH\_PH\_29 に対してのみ平行化可能である。

## 役割

接束の主な役割の1つは滑らかな関数の微分の定義域と終域を提供することである。すなわち、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 と WIKINIUM\_MATH\_PH\_31 を滑らかな多様体として、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 が滑らかな写像であれば、その微分 は滑らかな写像 WIKINIUM\_MATH\_PH\_33 である。

## 位相と滑らかな構造

接束には自然な位相（非交和位相*ではない*）が入り、それ自身多様体になる。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 の次元は WIKINIUM\_MATH\_PH\_35 の次元の 2 倍である。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 次元多様体の各接空間は WIKINIUM\_MATH\_PH\_37 次元ベクトル空間である。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 が WIKINIUM\_MATH\_PH\_39 の開可縮部分集合であれば、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 から WIKINIUM\_MATH\_PH\_41 への微分同相であって各接空間 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 から WIKINIUM\_MATH\_PH\_43 への線型同型に制限するものが存在する。しかしながら、多様体として、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 は積多様体 WIKINIUM\_MATH\_PH\_45 に微分同相なわけではない。それが WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 の形であるときには、接束は*自明*である (trivial) という。自明な接束は通常 'compatible な群構造' を伴った多様体に対して起こる。例えば、多様体がリー群のケース。単位円の接束は自明である、なぜならばそれは（積と自然な微分構造のもとで）リー群であるからだ。しかしながら自明な接束をもったすべての空間がリー群というのは正しくない。自明な接束をもった多様体を平行化可能と呼ぶ。多様体が局所的にユークリッド空間でモデルされるのとちょうど同じように、接束は WIKINIUM\_MATH\_PH\_47 上で局所的にモデルされる、ただし WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 はユークリッド空間の開部分集合である。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_49 が滑らかな WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 次元多様体であれば、それはチャート WIKINIUM\_MATH\_PH\_51 のアトラスをもつ、ただし WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 は WIKINIUM\_MATH\_PH\_53 の開集合で

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54
は微分同相である。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 上のこれらの局所座標は WIKINIUM\_MATH\_PH\_57 と WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 の間の同型を各 WIKINIUM\_MATH\_PH\_59 に対して生じる。そうすると写像

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60
を

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62
によって定義できる。これらの写像を WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 の位相と滑らかな構造を定義するのに使う。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_65 の部分集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 が開であることと

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_67
が WIKINIUM\_MATH\_PH\_69 において各 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 に対して開であることは同値である。するとこれらの写像は WIKINIUM\_MATH\_PH\_71 の開部分集合と WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 の間の同相写像でありしたがって WIKINIUM\_MATH\_PH\_73 の滑らかな構造のチャートとして仕える。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 で重なるチャート上の変換関数は伴う座標変換からヤコビ行列から誘導され、したがって WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 の開部分集合の間の滑らかな写像である。

接束はベクトル束（これはそれ自身ファイバー束の特別な種類である）と呼ばれるより一般的な構造の例である。明示的に書くと、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_77 次元多様体 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 への接束は、変換関数が伴う座標変換のヤコビアンによって与えられる、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_79 上のランク WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 のベクトル束として定義できる。

## 例

最も簡単な例は WIKINIUM\_MATH\_PH\_81 の例である。この場合接束は自明である。

別の簡単な例は単位円 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82 である（上の絵を見よ）。円の接束も自明であり WIKINIUM\_MATH\_PH\_83 に同型である。幾何学的には、これは高さ無限の円柱である。

容易に視覚化できる接束は実数直線 WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 と単位円 WIKINIUM\_MATH\_PH\_85 の接束だけであり、これらはどちらも自明である。2 次元多様体に対して接束は 4 次元でありしたがって視覚化するのは難しい。

非自明な接束の簡単な例は単位球面 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 の接束である。この接束はつむじ頭の定理によって非自明である。したがって、球面は parallelizable でない。

## ベクトル場

接ベクトルの多様体の各点への滑らかな割り当ては**ベクトル場** (vector field) と呼ばれる。具体的には、多様体 WIKINIUM\_MATH\_PH\_87 上のベクトル場は滑らかな写像

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88
であって、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 と表記される WIKINIUM\_MATH\_PH\_91 の像が WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 における接空間 WIKINIUM\_MATH\_PH\_93 にあるようなものである。ファイバー束の言葉でいえば、そのような写像は*断面* (section) と呼ばれる。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 上のベクトル場はしたがって WIKINIUM\_MATH\_PH\_95 の接束の断面である。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 上のすべてのベクトル場の集合は WIKINIUM\_MATH\_PH\_97 によって表記される。ベクトル場は点ごとに足し合わせることができ

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100 上の滑らかな関数を掛けることができ

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_101
別のベクトル場を得る。するとすべてのベクトル場の集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_103 は WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 上の滑らかな関数の可換環、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_105 と表記される、上の加群の構造をもつ。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 上の局所ベクトル場は接束の*局所断面* (local section) である。つまり、局所ベクトル場は WIKINIUM\_MATH\_PH\_107 のある開集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 上でだけ定義され、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_109 の各点に伴う接束のベクトルを割り当てる。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 上の局所ベクトル場全体の集合は WIKINIUM\_MATH\_PH\_111 上の実ベクトル空間の層として知られている構造をなす。

## 高次の接束

接束 WIKINIUM\_MATH\_PH\_112 はそれ自身滑らかな多様体であるから、二次の接束が接束の構成を繰り返し適用することで定義できる：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_113
一般に、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_115 次の接束 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 が再帰的に WIKINIUM\_MATH\_PH\_117 として定義できる。

滑らかな写像 WIKINIUM\_MATH\_PH\_119 は誘導される微分をもち、接束はその適切な定義域と終域である WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 . 同様に、高次の接束は高次の微分 WIKINIUM\_MATH\_PH\_121 の定義域と終域を提供する。

異なるが関連した構成は多様体上のジェットバンドル (jet bundle) である。これはジェットからなるバンドルである。

## 接束上の自然なベクトル場

各接束 WIKINIUM\_MATH\_PH\_123 上、それを多様体と考えて、各点における接空間上の対角写像として**自然なベクトル場** (canonical vector field) WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 を定義できる。これは可能であるのはベクトル空間 WIKINIUM\_MATH\_PH\_125 の接空間は自然に積 WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 であることによる。ベクトル空間自身は平坦でありしたがってこの積の構造のもとで WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 によって与えられる自然な対角写像 WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 をもつ。この積の構造を各点で接空間に適用し大域化することで自然なベクトル場が生じる。インフォーマルには、多様体 WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 が曲がっていたとしても、点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_133 における各接空間 WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 は平坦であるので、接束多様体 WIKINIUM\_MATH\_PH\_136 は局所的に曲がった WIKINIUM\_MATH\_PH\_137 と平坦な WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 の積である。したがって接束の接束は局所的に（ WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 を"座標の選択"に、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 を"自然な同一視"に使って）：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_144
そして写像 WIKINIUM\_MATH\_PH\_146 は第一座標の上への射影である：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_148
最初の写像を零切断を通じて、および二番目の写像を対角写像によって分解することで自然なベクトル場が生まれる。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 が WIKINIUM\_MATH\_PH\_151 の局所座標であれば、ベクトル場は表現

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_152
をもつ。より具体的に書けば、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 —前二つの座標が変わらないのは、ベクトル場が接束の切断であり、この二つの座標が表す点が底空間の点であることによる：後ろ二つの座標は切断そのものである。ベクトル場のこの表現は WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 のみにより WIKINIUM\_MATH\_PH\_157 によらないことに注意しよう。接線の向きだけが自然に同一視できるからである。

別な定義の仕方として、スカラー乗法を与える写像を考える：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_158
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_160 成分の変数関する時刻 WIKINIUM\_MATH\_PH\_161 におけるこの関数の微分は関数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_162 であり、これは自然なベクトル場の別の記述である。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_163 上のそのようなベクトル場の存在は余接束上の自然 1-形式 に類似である。ときどき WIKINIUM\_MATH\_PH\_164 はまた**リュービルベクトル場** (Liouville vector field) あるいは **動径ベクトル場** (*radial vector field*) と呼ばれる。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_165 を使って接束を特徴づけることができる。本質的に、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_166 は 4 つの公理で特徴づけることができ、多様体がこれらの公理を満たすベクトル場をもてば、多様体は接束でありベクトル場はその上の自然なベクトル場である。例えば De León et al. を見よ。

## 持ち上げ

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_167 の対象を WIKINIUM\_MATH\_PH\_168 の対象に持ち上げる様々な方法がある。例えば、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_169 が WIKINIUM\_MATH\_PH\_170 の曲線であれば、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_171 （ WIKINIUM\_MATH\_PH\_172 の接線）は WIKINIUM\_MATH\_PH\_173 の曲線である。対照的に、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_174 についてさらに仮定をしないと（例えばリーマン計量）、余接束への同様のリフトは存在しない。

関数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_175 の*垂直リフト* (vertical lift) は WIKINIUM\_MATH\_PH\_176 によって定義される関数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_178 である、ただし WIKINIUM\_MATH\_PH\_179 は自然な射影である。

* 押し出し (微分幾何学)
* 単位接束
* 余接束
* 枠束
* Musical isomorphism

* Lee, Jeffrey M. (2009), *Manifolds and Differential Geometry*, Graduate Studies in Mathematics, **Vol. 107**, Providence: American Mathematical Society  . ISBN 978-0-8218-4815-9
* John M. Lee, *Introduction to Smooth Manifolds*, (2003) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-95495-3.
* Jürgen Jost, *Riemannian Geometry and Geometric Analysis*, (2002) Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-42627-2
* Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, *Foundations of Mechanics*, (1978) Benjamin-Cummings, London. ISBN 0-8053-0102-X
* M. De León, E. Merino, J.A. Oubiña, M. Salgado, *A characterization of tangent and stable tangent bundles*, Annales de l'institut Henri Poincaré (A) Physique théorique, Vol. 61, no. 1, 1994, 1-15

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_190
* tangent bundle in *nLab*
* *tangent bundle* - PlanetMath.（英語）
* Definition:Tangent Bundle at ProofWiki
* Voitsekhovskii, M.I. (2001) [1994], “Tangent bundle”, *Encyclopedia of Mathematics*, EMS Press