# 重力ポテンシャル

均一な球体の周りの重力ポテンシャルの 2次元でスライスしプロットした図、変曲点は、球体の表面にある。
**重力ポテンシャル**（じゅうりょくポテンシャル、英語: gravitational potential）とは、ニュートン力学において、ある点における単位質量あたりの重力による位置エネルギーのことである。すなわち、空間内のある位置へ質点を基準点から動かす際に重力が質点に行う単位質量あたりの仕事の符号を変えたものに等しい。

通常は無限遠を重力ポテンシャルの基準点（重力ポテンシャルが 0 となる点）として選ぶ。このとき、重力は常に引力として作用するため、有限の距離では重力ポテンシャルは負の値をとる。重力ポテンシャルは単位質量あたりのエネルギー（つまり速度の二乗）の次元を持ち、MKSA単位系では [J/kg] または [m2/s2] という単位の物理量として表される.

数学では、重力ポテンシャルはニュートンポテンシャルとも呼ばれ、ポテンシャル論の研究において基本的である。

## 位置エネルギーと重力ポテンシャル

重力ポテンシャルとは単位質量あたりの位置エネルギーに等しいから、位置 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 にある質量 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 の粒子が持つ位置エネルギー WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 は、その点の重力ポテンシャル WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 と

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
という関係にある。それ故に、この粒子に働く力 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 は

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12
と書くことができる。つまり重力ポテンシャルの勾配の -1 倍はその点での重力加速度 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 に等しい。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16
逆に、重力ポテンシャル WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 は基準点（通常は無限遠点）から空間内の与えられた位置へ物体が重力だけの作用で移動したときに獲得する単位質量あたりのエネルギー (つまり重力がする仕事) の符号を反転したものであるとも解釈できる。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20
例えば一様重力場中では、重力加速度の向きを z 軸負の向きに選ぶとき (つまり鉛直上向きを z 軸とする)、重力ポテンシャル WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 は
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24
により与えられる。従って高度差 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 の二点間での質量 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 の物体の位置エネルギーの差 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 は WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 と書ける。

### 脱出速度と円軌道速度

ある天体がつくる重力ポテンシャルを WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 とする。位置 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 にある粒子がこの天体の重力圏を脱して無限遠に到達するためには、その粒子の力学的エネルギー WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 が非負である必要がある。この条件を満足する最小の速さ

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40
を位置 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 での脱出速度と呼ぶ。また、球対称ポテンシャル WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 において半径 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 で等速円運動するときの速度

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48
を円軌道速度と呼ぶ。

→詳細は「宇宙速度」を参照
## 質量分布と重力ポテンシャル

質量 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 の点粒子が位置 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 につくる重力ポテンシャル WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 は、ニュートンの逆二乗則 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 により

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58
と書ける。ここに WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 は重力定数である。このとき重力ポテンシャルは常に負であり、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 で重力ポテンシャルはゼロに近づく一方、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 でポテンシャルは WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 に比例して発散する。

より一般に、任意の質量分布に伴う重力ポテンシャルは各質量要素がつくるポテンシャルを足し上げたものに等しい。例えば WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 個の質点系ならば、質点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 ) の座標を WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 とすると

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76
となる。

点 **x** と **r** とする。**r** は質量分布（灰色）の中に含まれ、微分された質量 dm(**r**) は点 **r** に位置するとする。
質量分布が3次元ユークリッド空間 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 上の連続的な分布 WIKINIUM\_MATH\_PH\_80 である場合には、上式の和は体積積分へと置き換えられる。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82
この関係式は、重力ポテンシャル WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 は密度分布 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 とポアソン方程式

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_88
により結びついていることを意味する。ここに WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 はラプラシアンである。実際、上の WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 の積分表示は、無限遠でポテンシャルが 0 であるという境界条件のもとでのこのポアソン方程式の解の グリーン関数を用いた積分表示に等しい。

### 球対称系

球対称な質量分布 WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 のもとでは、重力ポテンシャル WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 もやはり球対称性を持ち動径 WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 だけの関数となる。このとき重力ポテンシャルに関するポアソン方程式は、ラプラシアンの球座標表示の公式により

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_100
と書き直せる。これはただちに積分できて、重力加速度 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 および重力ポテンシャル WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 が

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_106
と求まる。ここに WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 は動径 WIKINIUM\_MATH\_PH\_110 以内の質量

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_112
である。特に、この重力加速度 WIKINIUM\_MATH\_PH\_114 の表式は、原点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_116 に質量 WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 の質点が存在するときに生じる重力加速度に等しい。

半径 WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 の一様密度 WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 を持つ球の場合、重力ポテンシャル WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 に関する積分を実行することができ

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_126
が得られる。

### 多重極展開

質量分布が有界な領域に限られるとき、その外部の真空領域での重力ポテンシャルは、球座標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 を用いると多重極展開

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_130
という形に表すことができる。ここに WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 は球面調和関数であり、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 は質量分布の多重極モーメント (ストークス係数)

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_136
である。0 次の多重極モーメント WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 は系の全質量 WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 に等しく、質量分布の重心を座標原点に選ぶとき WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 であるから、多重極展開はニュートンポテンシャル WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 に四重極モーメント WIKINIUM\_MATH\_PH\_146 などの高次モーメントによる補正を加えたものと解釈できる。実際、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_148 -重極モーメント WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 は WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 は質量分布の典型的な半径) 程度の量であり、従って WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 -重極モーメント WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 によるニュートンポテンシャルに対する補正は WIKINIUM\_MATH\_PH\_160 程度の量となる。

特に地球のように軸対称な系の場合、多重極モーメント WIKINIUM\_MATH\_PH\_162 は WIKINIUM\_MATH\_PH\_164 のときゼロになり、重力ポテンシャルはルジャンドル多項式 WIKINIUM\_MATH\_PH\_166 を用いて

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_168
と書ける。

## 一般相対論

一般相対論では重力場は計量テンソルにより表される。重力場が弱く、かつ重力源の速度が光速より十分遅い極限で一般相対論はニュートン重力を再現し、計量テンソルと重力ポテンシャルは

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_170
という関係で結ばれる。この結果、一般相対論において重力ポテンシャルは時間の遅れや重力赤方偏移、重力レンズといった効果を引き起こす。

→詳細は「一般相対性理論」および「重力場」を参照

* ニュートン力学
* 万有引力の法則
* ケプラーの法則
* 重力場
* 標準重力
* ジオポテンシャル - 地球の海面を基準とする地球の重力によるポテンシャル