# 円筒座標系

A cylindrical coordinate system with origin WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 , polar axis WIKINIUM\_MATH\_PH\_1 , and longitudinal axis WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 . The dot is the point with radial distance WIKINIUM\_MATH\_PH\_3 , angular coordinate WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 , and height WIKINIUM\_MATH\_PH\_5 .
**円筒座標系**（えんとうざひょうけい、英: *cylindrical coordinate system*; **円柱座標系**とも）は三次元の座標系であって、点の位置を

1. 特別に選ばれた基準軸からの距離、
2. 特別に選ばれた基準方向に対する軸から測った方向、
3. 基準軸に直交する特別に選ばれた基準平面からの距離

の三者によって決定する。ただし基準平面からの「距離」はその点が基準平面の（表または裏の）どちら側に面するかによって正または負の値を持つものとする。

円筒座標系の**原点** (*origin*) とは、上記三つの座標成分がすべて WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 として与えることができるような点を言う。これは上記の基準平面と基準軸の交点になる。
この基準軸は**円筒軸** (*cylindrical axis*; 円柱軸) や**緯線** (*longitudinal axis*) などと呼ばれ、**極軸** (*polar axis*) とは区別される（極軸あるいは始線とは、基準平面上に載っている半直線で、原点から出てその平面上の基準方向を指し示すものを表すために用いられる）。緯線に垂直な任意の方向を**射線** (*radial lines*; 放射状の直線) と総称する。

円筒軸からの距離は**動径距離** (*radial distance*; 放射距離) や**動径** (*radius*) と呼ばれ、円筒軸周りの偏角座標は**角度位置** (*angular position*) や**方位角** (*azimuth*) などと言う。動径成分と方位角成分を併せて**極座標成分** (*polar coordinates*) と言い、これはその点を通り基準平面に平行な平面上の二次元の極座標系に対応する。第三座標は基準平面を水平面と見るとき**高さ** (*height*) や**高度** (*altitude*) と呼んだり、**緯度** (*longitudinal position*) や**軸位置** (*axial position*) などとも言う。

円筒座標系は緯線周りの何らかの回転対称性を持つ物体や現象（例えば、丸い断面を持つ直線パイプを流れる水流や、金属円柱の熱分布、長い真っ直ぐなワイヤー内の電荷から出る電場、天文学における降着円盤など）との関連で有意である。

円筒座標系は「円筒極座標系」("cylindrical polar coordinates") とか「極円筒座標系」("polar cylindrical coordinates") などと呼ばれたりもする。銀河の星の位置を指定するために用いられることもある（「銀河中心的円柱極座標系」("galactocentric cylindrical polar coordinates")）。

## 定義

与えられた点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_7 の三つの座標成分 ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_9 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 ) は以下のように与えられる:

* **軸距離** (*axial distance*) または**動径距離** (*radial distance*) WIKINIUM\_MATH\_PH\_11 は WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 -軸から点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_13 までのユークリッド距離;
* **方位角** (*azimuth*) WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 は基準平面上の基準方向と原点から点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_15 の基準平面への正射影へ結んだ直線との間の角;
* **軸座標** (*axial coordinate*) または**高さ** (*height*) WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 は基準平面から点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_17 までの符号付き距離。

### 一意な円筒座標成分

極座標系の場合と同様に、円筒座標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 の点と同じ点を表す同値な座標成分は無数に存在する—具体的に書けば、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_19 を整数として WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 および WIKINIUM\_MATH\_PH\_21 は同じ点を表す—（さらに言えば、動径成分 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 が WIKINIUM\_MATH\_PH\_23 ならば、方位角は任意にとれる）。

各点に対して座標が一意に定まることが必要となるような場面では、例えば、動径成分は非負 ( WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 ) で、方位角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_25 は360°間隔の特定区間（例えば WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 や WIKINIUM\_MATH\_PH\_27 など）に入るなどと約束すればよい。

### 表記の慣習

円筒座標系の記法は一通りではない。ISO標準規格31-11では WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 は WIKINIUM\_MATH\_PH\_29 が動径座標、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 が方位角、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_31 が高さとなるように求めている。しかし動径成分はしばしば WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 や WIKINIUM\_MATH\_PH\_33 と書かれるし、方位角が WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 や WIKINIUM\_MATH\_PH\_35 と書くこともよくある。もう一つの成分も、高さを WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 で表したり、円筒軸が水平線と見なされるときには WIKINIUM\_MATH\_PH\_37 と書くなど、文脈に依存した特定の文字が任意に用いられる。

The coordinate surfaces of the cylindrical coordinates WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 . The red cylinder shows the points with WIKINIUM\_MATH\_PH\_39 , the blue plane shows the points with WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 , and the yellow half-plane shows the points with WIKINIUM\_MATH\_PH\_41 . The WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 -axis is vertical and the WIKINIUM\_MATH\_PH\_43 -axis is highlighted in green. The three surfaces intersect at the point WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 with those coordinates (shown as a black sphere); the Cartesian coordinates of WIKINIUM\_MATH\_PH\_45 are roughly (1.0, −1.732, 1.0).
Cylindrical coordinate surfaces. The three orthogonal components, WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 (green), WIKINIUM\_MATH\_PH\_47 (red), and WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 (blue), each increasing at a constant rate. The point is at the intersection between the three colored surfaces.
具体的な状況において、そして多くの数学的図式化において、偏角成分の正の方向は正の高さを持つ任意の点から見て反時計回りに測るものとする。

## 座標系の読み替え

円筒座標系は数ある三次元座標系の一つであり、ほかの三次元座標系と以下に述べるような変換公式のもとで読み替えることができる。

### 直交座標系

円筒座標系と直交座標系との間の変換は、円筒座標系の基準面を WIKINIUM\_MATH\_PH\_49 -直交座標平面（方程式 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 の表す平面）と見なし、かつ円筒軸を WIKINIUM\_MATH\_PH\_51 -直交座標軸と見なすと容易に扱える。こうすれば、両座標系で WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 -座標は共通になり、円筒座標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_53 と直交座標 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 の間の変換則は二次元の極座標系の場合と同じく WIKINIUM\_MATH\_PH\_55 および WIKINIUM\_MATH\_PH\_57 で相互に読み替え可能である。ここで逆正弦函数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_59 は WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 の範囲の角を返す枝をとるものとする。これらの公式から、方位角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_63 は WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 の範囲になることがわかる。（他の変換公式は極座標系の項を参照のこと。）

多くのモダンなプログラミング言語には、与えられた WIKINIUM\_MATH\_PH\_65 から（上記のような場合分けをすることなく） WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 の範囲での正しい方位角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_67 を計算する函数が提供されている。

### 球面座標系

球面座標系 (半径 WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 , 仰角 (elevation) または傾斜角 (inclination) WIKINIUM\_MATH\_PH\_69 , 方位角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 ) の円筒座標系への変換は

|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_71 が仰角のとき |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 が傾斜角のとき |
| --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_73  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_75  |

で、円筒座標系から球面座標系への変換は

|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_77 が仰角のとき |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 が傾斜角のとき |
| --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_79  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_81  |

で得られる。

## 線素および体積要素

円筒極座標系を含む多くの問題において線素および体積要素がこの座標系でどのように表されるかを知っていることは有意である（それにより曲線経路や体積を含む問題を積分によって解く方法が考えられるようになる）。

* 円筒座標系における線素 は WIKINIUM\_MATH\_PH\_83 で与えられる。
* 円筒座標系における体積要素は WIKINIUM\_MATH\_PH\_85 となる。
* 動径成分 WIKINIUM\_MATH\_PH\_87 が一定となる曲面（垂直円筒）上の面素（面積要素）は WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 になる。
* 方位角 WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 が一定の曲面（垂直半平面）上の面素は WIKINIUM\_MATH\_PH\_91 である。
* 高さ WIKINIUM\_MATH\_PH\_93 が一定の曲面（水平面）上の面素は WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 で得られる。

微分作用素のナブラを円筒座標系で表現すれば、以下のように勾配・発散・回転およびラプラス作用素はそれぞれ、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 と書くことができる。

## 円筒調和函数

円筒対称性を持つ系におけるラプラス方程式の解は円筒調和函数と言う。

* Morse, Philip M.; Feshbach, Herman (1953). *Methods of Theoretical Physics, Part I*. New York City: McGraw-Hill. pp. 656–657. ISBN 0-07-043316-X. LCCN 52011515
* Margenau, Henry; Murphy, George M. (1956). *The Mathematics of Physics and Chemistry*. New York City: D. van Nostrand. p. 178. ISBN 9780882754239. LCCN 55010911. OCLC 3017486
* Korn, Granino A.; Korn, Theresa M. (1961). *Mathematical Handbook for Scientists and Engineers*. New York City: McGraw-Hill. pp. 174–175. LCCN 59014456. ASIN B0000CKZX7
* Sauer, Robert; Szabó, István (1967). *Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs*. New York City: Springer-Verlag. p. 95. LCCN 67025285
* Zwillinger, Daniel (1992). *Handbook of Integration*. Boston: Jones and Bartlett Publishers. p. 113. ISBN 0-86720-293-9. OCLC 25710023
* Moon, P.; Spencer, D. E. (1988). “Circular-Cylinder Coordinates (r, ψ, z)”. *Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions* (corrected 2nd ed.). New York City: Springer-Verlag. pp. 12–17, Table 1.02. ISBN 978-0-387-18430-2

* List of canonical coordinate transformations
* Vector fields in cylindrical and spherical coordinates
* Del in cylindrical and spherical coordinates

* “Cylinder coordinates”, *Encyclopedia of Mathematics*, EMS Press, 2001 [1994]
* Cylindrical Coordinates Animations illustrating cylindrical coordinates by Frank Wattenberg
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_103
* *cylindrical coordinates* - PlanetMath.（英語）