Rikunarita-ORG/Wikinium huggingface dataset:
# 投影法 (地図)

地図学において**投影法**（とうえいほう）とは3次元立体の表面を2次元の平面上に表現する方法をいう。地図学以外の用例については投影法の項を参照されたい。

地図を作製する場合において、球体の地球をどのように平面の紙に描くか、またその描き方のことをいう。地球儀のように地球を球体のまま縮小して表す場合にはほとんど考慮する必要はないが、平面の紙に描く場合には必ず歪みが生じてしまい、任意の二点間の距離を正しく表示する事はできない。その歪みをいかに小さく使用目的に合わせて地図を描くかが投影法の要でもある。

狭い範囲の地図（市区町村の地図、都道府県の地図など）では、一般的に用いられるどの投影法で地図を作製しても発生する歪みはわずかであり、問題は生じにくい。しかし、日本全図やアジア全図、世界地図のように大きな範囲を1枚の紙に表そうとすると、無視できない大きな歪みが発生するため、地図の目的にあわせて歪み方を選択（図法を選択）する必要が出てくる。

## 分類と命名

地図投影法の名称は、「メルカトル図法」のように発明者等の名前によるものと、「正距方位図法」のように性質または投影の光源の位置に投影面（地図）の形状を足した名前によるものが多い。

性質を表す語は次の例による。

正積 (equal-area)面積が正しく表現されるもの。すなわち、地球上の任意の点のまわりの同じ微小図形が、地図上で同面積で表されるもの。
正角 (conformal)角が正しいもの。すなわち、地球上の任意の点から出る微小線分のなす角が、地図上で同じ角で表現されるもの。数学的には球面から平面への等角写像 (conformal mapping) である。
正距 (equidistant)何らかの基準（方位図法では中心、円錐図法・円筒図法では標準緯線）からの距離が正しく表現される図法。
光源の位置を表す語は次の例による。

心射光源が地球の中心にある場合
平射 (stereographic)光源が基準点と反対側の地球表面にある場合。
正射 (orthographic)光源が基準点と反対側の無限遠点にある場合。すなわち平行光による投影。
## 形状による分類

ここでいう形状とは、投影面（地図）の地球に合わせたときの形状である。

*図法の詳細は「地図投影法の一覧」を参照*

### 方位図法

方位図法 (azimuthal projection) とは、ある基準点からの方位が正しい図法。投影面は基準点で地球表面に接する平面である。正軸法の場合は、基準点がどちらかの極であり、緯線が同心円として描かれ、経線がその極から放射状に延びる直線として描かれ、2つの経線のなす角が経度の差に等しい。世界図は円形となる。

* 正距方位図法
* ランベルト正積方位図法
* 心射図法
* 平射図法（正角方位図法）
	+ ユニバーサル極心平射図法
* 正射図法

### 円筒図法

円筒図法 (cylindrical projection) とは、投影面が地球に巻きつけた円筒状になる図法。正軸法の場合、接線は赤道、経線が等間隔かつ平行な直線として描かれ、緯線がこれらに直交する直線として描かれる。世界図は長方形となる。

* メルカトル図法（正角円筒図法）
	+ 横メルカトル図法
		- ガウス・クリューゲル図法
		- ユニバーサル横メルカトル図法（UTM図法）
* ランベルト正積円筒図法
* ミラー図法
* 心射円筒図法
* 平射円筒図法
* 正距円筒図法

### 円錐図法

円錐図法 (conic projection) とは、投影面が地球に巻きつけた円錐状になる図法。正軸法の場合、緯線がどちらかの極を中心とする同心円として描かれ、経線がその極から放射状に延びる直線として描かれるけれど、2つの経線のなす角は経度の差よりは小さい図法。世界図は扇形または円錐台の側面の展開図となる。

* ランベルト正角円錐図法
* ランベルト正積円錐図法
* アルベルス正積円錐図法
* 正距円錐図法
* 正規多円錐図法

### 擬方位図法

ハンメル図法は、ランベルト正積方位図法を変形して擬円筒図法のような形状にしたものである。これは、エイトフ図法が正距方位図法を変形して作られたのを参考にして考案されたものである。元が方位図法なので、擬方位図法と呼ばれる。

### 擬円筒図法

擬円筒図法とは、円筒図法のいずれかの条件を欠くことによって何らかの性質の改善を試みたもの。次の例は、経線を曲線とすることによって、ランベルト正積円筒図法よりは高緯度地方の変形を抑えつつ正積図法となるようにしている。

* サンソン図法
* モルワイデ図法
* グード図法
* エケルト図法

### 擬円錐図法

擬円錐図法とは、円錐図法のいずれかの条件を欠くことによって何らかの性質の改善を試みたもの。

* ボンヌ図法
* 多円錐図法

### その他

#### 混合図法

2種類の投影法の投影式の平均により平面座標を計算したものである。

* ヴィンケル図法

#### 多面体図法

地球を多面体に投影したもので、多面体の各面は主に心射図法となっている。

* ダイマクション地図
* オーサグラフ

* John P. Snyder (1987) – Map Projections: A Working Manual
* John P. Snyder (1993) – Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections
# ガリレオ (測位システム)

**ガリレオ**（Galileo）は、EUが構築した全地球航法衛星システム。

## 概要

ガリレオはEUによる全地球航法衛星システムである。高度約24000kmの上空に30機の航法衛星を運用することを予定している。民間主体としては初の衛星航法システムであり、EUはアメリカ国防総省が運営するGPSのように、軍事上の理由によるサービスの劣化及び中断を避けられる利点があるとコメントしている。さらに、測位にかかる時間が短縮され、GPSの数メートルに比べて1メートルまで精度を向上できる。

試験衛星は2005年12月28日に1機目のGIOVE-A衛星が打ち上げられ、2006年1月12日から試験電波が発射されており、2007年5月2日に英Surrey Satellite Technologyによって作成された航法メッセージがギルドフォード地球局からGIOVE-A衛星にアップロードされ放送された。2006年中に打ち上げ予定だった2機目の試験衛星GOOV-Bは、打上げが2008年4月まで遅れた。本格利用開始は2010年頃とされていたが、2016年12月から初期サービスを開始し、2020年に本格的なサービスが開始される予定である。2019年5月現在までに計画の30機中26機が打ち上げられ、22機が運用中、2機が使用不能、2機がテスト状態にある。残りの4機は2021年までに打ち上げられる予定である。

無料で利用できるGPSに対して、莫大な費用を投資し有料での活用を予定しているガリレオの採算性を疑問視する意見も多い。当初の事業費は36億ユーロないし38億ユーロと見込まれており、うち民間企業が24億ユーロを負担する予定だったが、2007年に共同事業体が解散し計画の中止が検討された。2007年5月にEUは公的資金で全額を肩代わりすることを決定し、11月に承認された。2010年には、Wikileaksによって漏出したアメリカ外交当局の資料に、ガリレオに用いる14機の衛星製造を請け負っているドイツの契約企業の担当役員が、ガリレオ計画を「フランスの国益に基づく馬鹿げたアイデア」だとコメントしたことが明らかとなり、問題の役員が解任される騒ぎがあった。

## EU以外の参加国

* ノルウェー、スイス
* イスラエル、ウクライナ、インド、モロッコ、サウジアラビア、韓国

## 離脱した国

* 中華人民共和国 - 2003年に参入・出資したが、現在は独自開発の全地球航法衛星システム「北斗」に専念している。
* イギリス - 2018年12月にEU離脱に伴い離脱することを発表した。

日本も協力を打診されたが、政治的要素、費用的問題に加え、実現性が低いと考えて参加を見送った。独自の衛星航法システムとして、GPSおよびガリレオの位置情報を補正して高精度航法を行う準天頂衛星システムを開発中である。

## 構成

### GIOVE

GIOVE（Galileo In-Orbit Validation Element）衛星は欧州宇宙機関によるガリレオ衛星の技術の一連の試験衛星であり、2機が打ち上げられた。Gioveとはイタリア語で木星を表す。この名称はガリレオ・ガリレイがイオ、エウロパ、ガニメデ、カリストと呼ばれるの一群のガリレオ衛星と呼ばれる木星の衛星を発見した事に由来する。

GIOVE-Aは、SSTL(Surrey Space Technology Limited)社が静止衛星用の小型バスを使って開発し、ルビジウム原子時計1台を搭載した。一方、GIOVE-Bはフランスのプロメテウス衛星バスを使って開発され、ルビジウム原子時計に加えてより精度の高い水素メーザ時計を搭載するといった風に、異なった仕様で開発された。

GIOVE-Bは2008年5月7日に航法信号の送信を開始した。

GIOVE-Aは2012年6月末に運用を終了した。GIOVE-Bは2012年9月に高度を300km上げて運用を終える予定。

### IOV

IOV（In-Orbit Validation）衛星は構造をより運用機に近づけた実証衛星であり、IOV-1とIOV-2は2011年10月21日に、IOV-3とIOV-4は2012年10月14日に、それぞれギアナ宇宙センターからソユーズSTBで打ち上げられた。FOC打ち上げ後は衛星コンステレーションに編入される。

### FOC

FOC（Full Operational Capability）衛星は機能を全て備え、衛星コンステレーションを主に構築する。2010年1月に最初の14機がOHBシステムとサリーサテライトテクノロジー、続いて2012年2月に追加でOHBシステムズに8機が発注された。初期のサービスは2016年に開始された。

## 略史

* 2005年12月28日：技術試験衛星GIOVE-A打上げ（バイコヌール宇宙基地、ソユーズFG）
* 2008年4月27日：技術試験衛星GIOVE-B打上げ（バイコヌール宇宙基地、ソユーズFG）
* 2011年10月21日：実証衛星IOV-1、IOV-2打上げ（ギアナ宇宙センター、ソユーズST-B）
* 2012年6月末：GIOVE-Aの運用を終了
* 2012年10月14日：実証衛星IOV-3、IOV-4打上げ（ギアナ宇宙センター、ソユーズST-B）
* 2014年8月22日：FOC衛星GSAT-201、GSAT-202打上げ（ギアナ宇宙センター、ソユーズST-B）
* 2014年8月23日：GSAT-201、GSAT-202が軌道投入に失敗したことを発表
* 2015年3月27日：FOC衛星GSAT-203、GSAT-204打上げ（ギアナ宇宙センター、ソユーズST-B）
* 2015年9月11日：FOC衛星GSAT-205、GSAT-206打上げ（ギアナ宇宙センター、ソユーズST-B）
* 2015年12月17日：FOC衛星GSAT-208、GSAT-209打上げ（ギアナ宇宙センター、ソユーズST-B）
* 2016年5月24日：FOC衛星GSAT-210、GSAT-211打上げ（ギアナ宇宙センター、ソユーズST-B）
* 2016年11月17日：FOC衛星GSAT-207、GSAT-212、GSAT-213、GSAT-214打上げ（ギアナ宇宙センター、アリアン5）
* 2016年12月15日：初期サービス開始
* 2017年12月12日：FOC衛星GSAT-215、GSAT-216、GSAT-217、GSAT-218打上げ（ギアナ宇宙センター、アリアン5）
* 2018年7月25日：FOC衛星GSAT-219、GSAT-220、GSAT-221、GSAT-222打上げ（ギアナ宇宙センター、アリアン5）
* 2018年12月：イギリスはEU離脱に伴いガリレオ計画から離脱を発表

* 欧州全地球航法衛星システム監督庁 - システムを監督する欧州連合の専門機関

* GALILEO JOINT UNDERTAKING
# インド地域航法衛星システム

| Navigation with Indian Constellation (NavIC) |
| --- |
| タイプ |
衛星測位システム |
| 利用国 |  インド |
| 測位精度 |
インド洋では20m以下 インド国内では10m以下 |
| カバー範囲 |
インド大陸周辺1500kmから2000km |
| 運用開始 |
2013年 |
| 費用 |
160億インド・ルピー |

**Navigation with Indian Constellation**（**NavIC**）は、インド宇宙研究機関（ISRO）に所属する宇宙応用センター（SAC、Space Applications Centre）が運用している衛星測位システム。地球全体ではなくインド周辺のみをカバーしている。人工衛星7機で構成される。当初、**インド地域航法衛星システム**（英: Indian Regional Navigation Satellite System, IRNSS）と呼称されていたが、2016年4月にモディ首相によって名称変更が行われ、Navigation with Indian Constellationと呼ばれることになった。

アメリカ合衆国が運用するグローバル・ポジショニング・システム（GPS）へのアクセスが必ずしも保証されていないことから、インド独自の衛星測位システムの開発の必要があった。NavICは、一般の人が利用可能なスタンダード・ポジショニング・サービスと、軍事用の暗号化された制限サービスの2つのサービスを提供する。

## 開発

最初の衛星は、160億インド・ルピー（2億9120万ドル）の費用をかけて開発され、2013年7月1日に最初の1基がIRNSS-1Aとして打ち上げられた。2016年4月28日に7基全ての軌道投入を完了した。

宇宙部分、地上部分、受信機の全てがインドで製造されることを目標としている。3基の衛星は、インド洋上空の静止軌道に配置される。このシステムの軍事上の重要な応用としてミサイル誘導が挙げられる。

## 沿革

2010年4月の報告書では、2011年末から半年おきに1基ずつ衛星を打ち上げ、2014年までにIRNSSが最適運用されるようになる計画であった。。

IRNSS-1AはIRNSSの7基の衛星のうちの初号機で、2013年7月1日にPSLV-C22で打ち上げられた。打上げ時の質量は1425kgで、ルビジウム原子時計を搭載し、測位ペイロード(LバンドとSバンドを使用)とCバンド中継器を搭載する。ミッション寿命は10年間。インドのI-1K衛星バスをベースに開発された。

2基目のIRNSS-1Bは、2014年4月4日に打ち上げられた。

3基目のIRNSS-1Cは、2014年10月16日に打ち上げられた。これまでの1A、1Bは軌道傾斜角を有する軌道に投入されたが、1CはIRNSSとしては初めて軌道傾斜角0度の静止軌道(東経83度)に投入された。

4基目のIRNSS-1Dは2015年3月28日に打ち上げられた。

5基目のIRNSS-1Eは2016年1月20日に打ち上げられた。

6基目のIRNSS-1Fは2016年3月10日に打ち上げられた。

7基目のIRNSS-1Gは2016年4月28日に打ち上げられ、計画されていた7基の衛星が全て軌道に投入された。

## 概要

IRNSSシステムは、7基の衛星(IRNSS-1A ~ IRNSS-1G)と地上局から構成される。7基のうち3基(1F、1C、1G)の衛星は、それぞれ東経32.5度、83度、129.5度の静止軌道に配置。残り4基のうち2基(1A、 1B)は軌道傾斜角29度を有する東経55度の対地同期軌道へ配置。残り2基(1D,1E)は軌道傾斜角29度を有する東経111.75度の対地同期軌道へ配置。このような配置は、7基の衛星がインドの地上局から連続的に見えることを意味する。衛星のペイロードには、原子時計や測位シグナルを集めるための電子機器もある。

2008年7月15日にモントリオールで開催された国際宇宙空間研究委員会の会合でのA. Bhaskaranarayanaの (PDF) によると、IRNSSのシグナルは、Special Positioning ServiceとPrecision Serviceからなっている。どちらもL5帯(1176.45 MHz)とS帯(2492.08 MHz)を用いる。SPSシグナルは、1MHzの位相偏移変調を受ける。Precision Serviceは、BOC変調を用いる。
測位シグナル自体はS帯(2-4GHz)で伝送され、位相配列アンテナを用いて送信される。

システムは、インドの国土全体で10m、インド洋を含みインドの周り約2000kmの範囲で20m以上の精確さで絶対位置を決定することを意図している。

2つの電波帯域幅を併用することにより、地球大気の電離層による電波の速度の遅れを測定し、位置情報の誤差を減らす。SACの担当者は、スマートフォンなど受信側機器が対応すれば、2.5m-5mの精度が可能との見解を表明している。

IRNSSの地上局は、衛星の軌道を追跡・評価し、ネットワークのインテグリティを保証するマスター・コントロール・センター(MCC)と、衛星に指令を送ってその健全性を確認するその他の地上局から構成される。MCCは7基の衛星の位置を評価・予測し、インテグリティを計算し、時計を正確にし、測位ソフトウェアを稼働する。高度に独立なシステムを求めたことから、インドの標準時のインフラも、これに合わせて確立された。

1. **^** SATNAV Industry Meet 2006. ISRO Space India Newsletter. April - September 2006 Issue.
2.
3. Launch of first satellite for Indian Regional Navigation Satellite system next year The Hindu - Apr 10, 2010

* IRNSS-1
* GSLV

* 公式ウェブサイト
# X線パルサー航法

**X線パルサー航法**(英:**X-ray pulsar-based navigation and timing (XNAV)** or simply **pulsar navigation**)は、パルサーが放つX線信号を利用することで位置を特定する天測航法である。

GPSの電波が微弱で使えない深宇宙でも宇宙船の位置の把握が可能となる。

XNAVを使用する機体は、受信したX線信号を既知のパルサー周波数と位置のデータベースと比較する。

GPSと同様に、この比較により、車両はその位置を正確に（±5 km）三角測量できる。 また電波より波長の短いX線を利用することでより小さいＸ線望遠鏡で十分な解像度を得られる。

2018年に実証試験に成功した。

## 宇宙機航法

### 研究

欧州宇宙機構(ESA)のAdvanced Concepts Teamは、2003年にスペインのカタルーニャ大学と共同でX線パルサー航法の実現可能性を調査した。

その後、2012年にGMV AEROSPACE AND DEFENSE（ES）とNational Physical Laboratory（UK）がそれぞれ詳細な調査研究を行った。

### 実証

#### XPNAV 1

2016年11月9日、中国科学院はXPNAV 1と呼ばれる実験衛星を打ち上げた。XPNAV-1の質量は240 kgで、493 km×512 km、傾斜角97.41°の軌道に投入された。 XPNAV-1は、近くの26個のパルサーのパルス周波数と強度を特徴付け、将来の運用ミッションで使用できるデータベースを作成する。 衛星は5年から10年動作することが期待された。 XPNAV-1は、軌道上での初のX線パルサー航法の検証になる。

**SEXTANT**

SEXTANT（**Station Explorer for X-ray Timing and Navigation Technology**）は、ゴダード宇宙飛行センターで開発されたNASAの資金提供プロジェクトで、6月3日に開始されたNICERプロジェクトに関連して、国際宇宙ステーションに搭載され軌道上で検証が行われた。2017年 SpaceXのCRS-11 ISS補給ミッションで打ち上げられた。 2018年1月、ISSでNICER / SEXTANTを使用してX線ナビゲーションの実現可能性が実証された 精度は7 km（2日間の観測）だった。

## 航空航法

2014年、アムステルダム国立航空宇宙研究所により航空機の航法技術としての検証が行われた。

これを使えば対衛星兵器や電波妨害下でも位置の特定が可能になると期待された。

* 天測航法
* NICER

* ジョンズホプキンスAPLが深宇宙ナビゲーションネットワークを開発
* X線パルサーベースのナビゲーションと時間決定のための米国政府の契約提案
# 国際地球基準座標系

ITRFの基準点
**国際地球基準座標系**（こくさいちきゅうきじゅんざひょうけい、英語: *International Terrestrial Reference Frame*; **ITRF**）は、ITRSの実現を可能にする三次元直交座標系である。

ITRSとは**国際地球基準系**（こくさいちきゅうきじゅんけい、英語: *International Terrestrial Reference System*; **ITRS**）または**国際地球準拠系**（こくさいちきゅうじゅんきょけい）のことで、地球の表面や地表近くの測量で使用するのに適した参照系（英語: reference frames）を作成する手順を記述するものである。

計量標準が一連の手順として標準の現示を記述するのと同等の方法で定義される。ITRSは、SI測定系を使用して、地心座標系を定義している。

座標系の原点は、海と大気を含む地球全体の重心である。新しいITRFの定義は、可能な限り正確にITRSを実現するために、最新の数学技術と調査技術を用いて数年ごとに作成される。観測誤差のため、どのITRFも他のITRFの実現と比べて非常に僅かなずれが生じる。最新のWGS 84と最新の（2006年時点の）ITRFとの誤差は、数センチメートルしかない。

ITRSとITRFは、国際地球回転・基準系事業（IERS）によりメンテナンスされている。実用的な衛星測位システムは、一般に、特定のITRFまたはITRFを参照する独自の座標系を参照する。たとえば、*Galileo Terrestrial Reference Frame*（*GTRF*）はガリレオナビゲーションシステムで使用されているが、現在、ヨーロッパ宇宙機関によりITRF2005として定義されている。

## ITRFの実現

1992年以降にITRFから開発されたITRFの実現には、以下のものがある。

| 名称 | Epoch | EPSGコード | 備考 |
| --- | --- | --- | --- |
| ITRF92 | 1988.0 | 4914 | ITRSの最初の実現 |
| ITRF93 | 1988.0 | 4915 |  |
| ITRF94 | 1993.0 | 4916 |  |
| ITRF96 | 1997.0 | 4917 |  |
| ITRF97 | 1997.0 | 4918 |  |
| ITRF2000 | 1997.0 | 4919 | 構造プレート運動モデルから自由な制約のない宇宙測地学を組み込んだ最初の策定 |
| ITRF2005 | 2000.0 | 4896 | 観測局の位置と地球の回転パラメータの時系列形式の入力データを使用して構築された |
| ITRF2008 | 2005.0 | 5332 | 対流圏モデルと改善された解法が含まれている |
| ITRF2014 | 2010.0 | 7789 | 観測局の非線形な変動に対する拡張モデルから生成された |
| ITRF2020 | 2015.0 | 9988 |  |

## 日本における準拠の状況

* 日本の測地系は**日本測地系2011**（JGD2011、世界測地系（測地成果2011））を用いており、採用しているITRFの版は次のとおりである：
	+ 東北地方・関東地方および中部地方（静岡県・愛知県を除く）はITRF2008（元期： 2011年5月24日）
	+ その他の地域はITRF94（元期： 1997年1月1日）
* 電子基準点の座標解析には準拠座標系としてITRF2020が採用されている。

* 地心直交座標系
* 測地系
* 国際天文基準座標系 (ICRS/ICRF)
* 地球基準座標系
* 世界測地系

* What are the ITRS and the ITRF?
* Terrestrial reference systems and frames (chapter 4 of IERS Conventions 2010)
# 回転楕円体

回転楕円体（扁球）
回転楕円体（長球）
**回転楕円体**（かいてんだえんたい、spheroid）は、楕円をその長軸または短軸を回転軸として得られる回転体をいう。あるいは、3径のうち2径が等しい楕円体とも定義できる。

回転楕円体は「地球の形」を近似するのに用いられるために重要であり、この回転楕円体を地球楕円体 (Earth ellipsoid) と呼ぶ。様々な地球楕円体のうち、個々の測地系が準拠すべき地球楕円体を特に準拠楕円体 (reference ellipsoid) と呼ぶ。

## 用語

3径のうち等しい2径の半径を赤道半径、残りの1つを極半径という。言い換えれば、元の楕円の2径のうち回転軸となった半径が極半径、他方が赤道半径である。

赤道半径のほうが長い、つまり短軸が回転軸となった回転楕円体を**扁球**・**扁楕円体**・**扁平楕円体** (oblate, oblate spheroid) という。極半径のほうが長い、つまり長軸が回転軸となった回転楕円体を**長球**・**長楕円体**・**扁長楕円体** (prolate, prolate spheroid) という。

赤道半径と極半径が等しい回転楕円体は、球である。球は、円をその直径を回転軸とした回転体で、3径が全て等しい楕円体である。

回転楕円体の表面を**回転楕円面**という。

## 性質

赤道半径を *a*、極半径を *b* とする。なお回転楕円体の半径はこのように表すことが多いが、楕円の長半径を *a*、短半径を *b* と表すと紛らわしいので注意が必要である。

回転楕円体は直交座標を使えば

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0

と定義できる。回転楕円面なら不等号が等号になる。

体積は

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2

である。

表面積は、一般の楕円体より簡単で、積分をせずに求めることができる。ただし長球と扁球では公式が異なり、扁球は

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4

長球は

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6

である。*e* は離心率で、長半径を α = max(*a*, *b*)、短半径を β = min(*a*, *b*) とすると

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8

である。

## 回転楕円体に基づく座標系

下記の種類がある。

* 扁平楕円体座標系
* 扁長楕円体座標系
* 地理座標系（測地座標系）：地球楕円体を採用する

* 地球楕円体
# 標高

8,000フィート (2,438 m) 南 カリフォルニアの サンバーナーディーノ山脈 （2009）
 垂直距離の比較
 地球の表面の高度ヒストグラム。そのうち約71.1 ％が水で覆われている。
**標高**（ひょうこう、Elevation）は、最も一般的にはジオイドから鉛直方向に測った高さをいう。

## 概要

標高は、等ポテンシャルの重力の面として地球の海面からの基準を数学モデルで表す地理学的位置の固定基準点を指す。*標高*という用語は、主に地球の表面上の高さ地点を指すときに使用され、平均海水面を0メートルとしていることから海抜*高度とも呼ばれるが、地理ポテンシャルとしての高さ*は、飛行中の航空機や軌道上の宇宙船など表面上のポイントにも使用され、*深さ*など表面下のポイントにも使用する。

したがって標高は、地球の中心からの距離ではないので、注意が必要である。ただし、地球が扁球であることによる赤道方向の膨らみにより、エベレスト山とチンボラソ山頂はそれぞれ最大標高と最大の地心距離を持っていることが知られる。

日本において地図上に等高線で表される高さを表記した数字は東京湾平均海面がジオイドに一致すると仮定して、東京湾平均海面からの高さを表記してそれを標高としている。この標高には固有の名称がなく、「東京湾平均海面からの高さ」と表現しているが、基準となっている東京湾平均海面をT.P.（Tokyo Peil、ティーピー）と称する。

標高がジオイドからの高さであるのに対し、楕円体高は準拠楕円体面から方向に測った高さである。また、準拠楕円体面からジオイドまでの高さをジオイド高という。ジオイド面上の垂直線（これは重力の方面）と楕円体面上の法線は方向が一致しない。鉛直線と法線のなす角（すなわち両者のずれ）を鉛直線偏差という。一般に鉛直線偏差は微少であるので、高さと楕円体高、ジオイド高の関係は近似できる。

## 地図とGIS

地理情報システム（GIS）は、関連する属性を持つデータの視覚化と操作、キャプチャおよび保存までを可能にするコンピューターシステムで、GISは様々な縮尺でのランドスケープパターンと関係をよりよく理解することが可能である。GIS内のツールを使用すると、空間分析または地図作成のためにデータ操作も可能となる。

地形図は、多くの場合等高線を使用して標高を表すために使用されるタイプの地図であるが、地理情報システム（GIS）を活用すると一般にデジタル標高モデル（DEM）で標高のラスター（グリッド）データセットで、場所の表面（地形）を表すことができる。デジタル地形モデルは、GISで地形を表す方法である。

USGS（米国地質調査所）は、高品質の地形データに対する高まるニーズに対応するために、3D標高プログラム（3DEP）を開発。3DEPは、米国、ハワイも含む米国領土全体で高品質のLiDARデータ形式で強化された標高データコレクションで3つのベアアースDEMレイヤーがあり、1 / 3、1、および2アークの解像度によって全国規模でシームレスされている 。

* 標高を示すハレアカラ（ハワイ）の地形図の一部。
* NASAによるSRTM標高の上のLandsat画像。前景にケープ半島と喜望峰、南アフリカを示している。
* 8ビットグレースケールとして正規化された正距円筒図法での地球の表面（水と氷を含む）のハイトマップ。明るい値は高い標高を示している。

日本では、地理院地図において任意位置の標高（主に航空レーザー測量による値）を表示させることができる。

## グローバル1キロメートルマップ

GTOPO30は30秒角の間隔（約1で地球の地形の標高を記述するデータ  km）となっているマップでこのマップから各地の高さが導出される。標高を示すために、等高線の代わりに色と陰影を使用している。

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| 各升目は、1800×1800ピクセルの解像度で利用可能（およそのファイルサイズ1 MB、60ピクセル= 1度、1ピクセル= 1分） |

 処理されたLiDARポイントクラウドは、標高だけでなく、フィーチャの高さも表示されている

* 高さ
* 測地学
	+ 北アメリカの 測地学
		- 1929年の海面データム後の1929年の国立測地垂直データム （ NGVD 29 ）
		- 1988年の北米の垂直データ （ NAVD 88 ）
* 最高峰のリスト
* 自然地理学
* 気温減率
* アイソレーション (地誌学)
* プロミネンス (地誌学)

* “地理院地図”.  国土地理院. 2024年12月12日閲覧。 - 画面左下を参照することにより日本国内の全ての位置の標高およびデータソースが判る
* 都道府県別平均標高(日本) – 国土地理院 都道府県別平均標高(日本) – 国土地理院 at the Wayback Machine (archived 2024-09-14)
* “重力・ジオイド”.  国土地理院. 2024年8月9日閲覧。
* “全国の標高成果の改定【予告】”.  国土地理院. 2024年8月9日閲覧。
* “デジタル標高地形図”.  国土地理院. 2024年8月9日閲覧。
* “地理院地図 デジタル標高地形図（全球版）”.  国土地理院. 2024年8月9日閲覧。
* US National Geodetic SurveyのWebサイト
	+ NGSの測地用語集
	+ NGVD 29からNAVD 88へのオンライン標高コンバーター@ NGS
* 米国地質調査所のウェブサイト
* ダウンロード可能なETOPO2 Rawデータデータベース（2分グリッド）
* ダウンロード可能なETOPO5 Rawデータデータベース（5分グリッド）
# 楕円体

楕円体（c>b>aの場合）
gnuplotによる楕円体の描画例
**楕円体**（だえんたい、ellipsoid）とは楕円を三次元へ拡張したような図形であり、その表面は二次曲面である。楕円面の方程式は

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
である。ここで *a*, *b*, *c* はそれぞれx軸、y軸、z軸方向の径の半分の長さに相当する。なお *a* = *b* = *c* である楕円体は球である。また *a*, *b*, *c* のうちいずれか2つが等しい楕円体は楕円の軸を中心に楕円を回転して得られる回転体であり、長軸を回転軸にしたものを長球、短軸を回転軸にしたものを扁球といい、併せて回転楕円体と呼ばれる。*a*, *b*, *c* がいずれも等しくない楕円体に対しては、3軸不等楕円体という呼称が見られる。楕円体は球と同様にxy平面、yz平面、zx平面に関して対称である。

## 楕円体の性質を表す式

楕円面の媒介変数表示は極座標系を用いると

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
と表される。楕円体の体積 *V* は

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
である。表面積 *S* は

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
となる。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 はモジュラー角、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 はそれぞれ第一種および第二種楕円積分である。近似式で

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18
という公式が知られている。ここでpは定数で、*p* = 1.6075 のとき誤差は最大でも1.061%である。

* 楕円
* 楕円積分
* 双曲面
* ホメオイド
# 海面

コート・ダジュールの海面
海中から見た海面
**海面**（かいめん）とは、一般には海洋の水面、表面（**海水面**）。海水面は、測地学的には海洋の平均的な高さ（**平均海水面**）を示す。

大気と海洋とは、その境界面である海面を通して、熱（潜熱、顕熱）および運動量（風応力）等の形でエネルギーをやりとりしており、海洋物理学、気象学の観点から非常に重要な場となっている。

## 平均海水面

**平均海水面**（へいきんかいすいめん、英: mean sea level; MSL）とは、一定の地域における高さの基準とするために定められる、平均的な海水面の高さである。ある地点の平均海水面からの高さを、その地点の海抜という。平均海水面は「静穏な水位」すなわち潮汐、風、波によって常に変化する海水面の一定期間の平均として求められる。

海水面は、実際の海面の変化や、観測点の高度の変化によって決まるが、現実には、長期的な平均値を取っても、海流や気圧変化、海水温、塩分濃度の変化などの影響を受ける。もし、これらの影響がなく、また、陸地や海底地形の影響がない場合には、平均海水面は地球の等ポテンシャル面であるジオイド面と一致する。平均海水面とジオイドの差は、海面形状学によって調べることができるが、全世界で、最大±2 m程度である。

平均海水面は、地球表面全体で一定であるわけではなく、例えばパナマ運河においては、太平洋は大西洋よりも20cm高い。日本では、一部の離島を除いて、東京湾の平均海水面を基準として土地の高さを表示している。これを東京湾平均海面という。

計器飛行方式 (IFR) での飛行では、正確に信頼できる平均海水面からの高度（海抜高度、*AMSL*）と着陸目的の空港の高度の計測が必要であるため、航空技術においては、平均海水面は世界測地系に基づいた地球楕円体を基準に、GPS（全地球測位システム）を利用して求めるようになってきている。

### 日本で扱われる海水面（潮位）

* 平均満潮位
* 平均干潮位
* 朔望平均満潮位
* 朔望平均干潮位
* 東京湾平均海面 (Tokyo Peil; T.P.)
* 大阪湾最低潮位 (Osaka Peil; O.P.)
* 略最低低潮面

## 漁業における定義

主に日本の漁業関連法令で用いられる用語としては、以下の湖については漁業法で海面として指定されている。

* 琵琶湖
* 霞ヶ浦・北浦
* 浜名湖
* 中海
* 加茂湖
* 猿澗湖
* 風蓮湖
* 厚岸湖
* 能取湖

### 内水面

海面と内水面（河川・湖沼）の区分は、漁業権の設定や漁業調整の方法など、漁業関係法令を適用する場合に最も基礎となるものである。海面と河川（内水面）の境界は、一般に河口両岸を結んだ線を境界とするが、地形上河口両岸自体が判然としない場合もある。この場合は、淡水の流量や生態系の変化などを総合的に判断して決定される。

## 海面変動

1880年から2005年の海面変動
→「海水準変動」および「海面上昇」も参照
地球上の海面は、さまざまな要因で変動（上下）する（**海面変動**）。潮汐によって短いサイクルで広域的な変動が起こり、洪水や津波などで局地的に変動が起こる。

また、長いサイクルで見ると、気候変動によって海面が数百m変わる海水準変動も発生している。海水準変動という言葉は、主に地質時代の海面変動を指し、特に近年の上昇傾向にある海面変動は、別に海面上昇と呼ばれる。

* 風成循環
* 潮汐
* 面
* 海面上昇
* 海水準変動
# 下げ振り

下げ振り
**下げ振り**（さげふり、英: Plumb bob）または**重錘**（じゅうすい）は、水準器の前身であり、通常、底部に尖った先端があり、紐から吊り下げられ、垂直方向の基準線、または鉛直線として使用される重りである。通常は石、木、または鉛で作られるが、他の金属で作ることもできる。装飾用に使われる場合は、骨や象牙で作られることもある。

この道具は少なくとも古代エジプト時代から、構造物が「垂直」であることを確認するために使われてきた。測量では、空間内の一点の重力に対する天底（天頂の反対）を定めるためにも使われる。さまざまな機器（水準器、トランシット、メジャーなど）と共に使用され、固定された測量標の上に機器を正確に設置したり、測量標を配置するための位置を地面に転写するのに使われる。

カセルズ木工所の下げ振り定規
カセルズ木工所の下げ振りL定規
## 使用法

現代まで、ほとんどの高層建築物では、垂直の基準線を引くため、下げ振りが使われてきた。床の基準点に合わせ、足場の一箇所に鉛直線が付けられる。建物が上に向かうにつれて、鉛直線も基準点に合わせながらさらに高く引き上げられる。多くの大聖堂の尖塔、ドーム、塔の床には、上部の建物の中心を示す真鍮の基準点が今でも埋め込まれている。

傾斜計としての目盛り付き下げ振り
石工作業における紐付き下げ振り
下げ振りと鉛直線だけでは、垂直基準しか決められない。ただし、定規に取り付けると、傾斜計としても使用でき、垂直に対する角度を測定することができる。

古代エジプト人は、E の文字に似た道具の上部外側に鉛直線を付けて使った。壁に立てかけると、鉛直線は垂直線を示す。A の文字に似たアーキペンデュラムも頂点から鉛直線を垂れ下げ、水平を見つけるために使った。これらは19世紀半ばまでヨーロッパで使われていた。この道具の変種では、逆 T 字型の上部から鉛直線が下がっている。

初期の高層ビルでは、エレベーターシャフトにワイヤーで吊るされた重い下げ振りが使用されていた。

下げ振りは、揺れを弱めるために、水（氷点以上の温度の場合）、糖蜜、非常に粘性の高い油、またはその他の液体の入った容器に入れられることがあり、ショックアブソーバーとして機能する。

### 不規則な形状の重心の決定

人物画（英語: Figure drawing）の生徒は、鉛直線を使って、対象の重心を通る垂直軸を見つけ、それを基準点として紙の上に描く。専用の器具も、紐と座金などの重りで作った間に合わせの器具もある。この鉛直線は、解剖学的な形状を整え、対象の重心を視覚化するために重要である。

* 垂直

* 60 oz. Plumb Bob.
* String Line and Plumb Bob.
# 座標

幾何学において、**座標**（ざひょう）とは、点の位置を指定するために与えられる数の組（coordinates）、あるいはその各数（coordinate）のことであり、その組から点の位置を定める方法を与えるものが**座標系**（ざひょうけい、英: coordinate system）である。例えば、世界地図にある緯度と経度のようなもの。座標系と座標が与えられれば、点はただ一つに定まる。

座標は点により定まる関数の組であって、一つの空間に複数の座標系が重複して定義されていることがある。例えば、多様体は各点の近くでユークリッド空間と同様の座標系が貼り付けられているが、ほとんどの場合、一つの座標系の座標だけを考えていたのでは全ての点を特定することができない。このような場合は、たくさんの座標系を貼り付けて、重なる部分での読み替えの方法を記した**地図帳**（アトラス、atlas）を用意することもある。

地球上の位置を表す**地理座標**や、地球の衛星である月での位置を表す**月面座標**、天体に対して天球上の位置を表す**天球座標**がある。

## 座標系

3次元の直交座標系
座標の表現方法は一意ではなく、原点・座標軸の取り方により何通りでも表現が可能である。

原点や座標軸などを定めれば、任意の座標は、ただ一つの点を指し示す。しかし逆に座標系によっては、任意の点にただ一つの座標を与えることはできない。たとえば極座標系では原点がいくつもの座標表現ができる。このように定めれば座標が作れるシステムのことを**座標系** (system of coordinates) と呼ぶ。

座標系の種類としては、以下の例などがある。

* 直交座標系
* 斜交座標系
* 極座標系
* 一般化座標系
	+ 球座標系、円筒座標系

3DCGでは、扱っている空間全体の座標系をワールド座標系 (world coordinate system) あるいはグローバル座標系 (global coordinate system) と呼び、その中にある個別の物体（オブジェクト）それぞれにローカル座標系 (local coordinate system) あるいはボディ座標系 (body coordinate system) を設定することによって、全体空間の中でのそれぞれのオブジェクトの変化を扱いやすくするのが一般的である。例えば人間が走るシーンでは、腕や足の動きは身体の重心を原点とするローカル座標系の中での座標値の変化として、身体の移動はワールド座標系の中での身体の重心の位置の変化として、表せる。

## 座標変換

異なる座標系の間には座標を変換するための関数が定義できる。このことを**座標変換**と呼ぶ。逆に座標変換を与えることによって異なる座標系を定義することもできる。座標変換には平行移動、回転などがある。

## 起源

座標という概念を初めに考え出したのは哲学者であり数学者でもあるフランスのルネ・デカルトといわれている。ただし、彼の著書『幾何学』では問題に応じて基準となる直線を適宜設定しており、現在のような固定した座標軸を設定する表現は用いられていない。

ベッドの中で蠅を見ていて、その動きを表す為に座標軸を思いついたと伝わっているが、本当かどうかは定かではない。

「座標」の由来である"co-ordinate"の用語を初めに用いたのはドイツの哲学者、数学者のゴットフリート・ライプニッツであり、現在の直交座標系の表記もライプニッツのものに由来する。日本語で「座標」の語を初めに用いたのは藤沢利喜太郎であるが、当時の表記は「坐標」であり、のちに林鶴一らによって現在の「座標」に改められた。

## 地理座標

→詳細は「地理座標系」を参照
**地理座標**（または**地図座標**）は地球上の位置を表す座標をいう。2次元では緯度と経度で表し、3次元ではこれに標高を加えるのが一般的である。詳しくは測地系を参照。なお、都市や府県程度内の位置は、地球表面を近似的に平面であるとみなすことができるので、あらかじめ設定した座標原点から南北に何メートル、東西に何メートルの点として表すのが実用的である。国土地理院が定めた平面直角座標系は、この考えに基づき、地球楕円体表面をガウス・クリューゲル図法により平面上に等角写像して、日本内に19箇所の座標原点を置き、各々の座標原点からのx座標（北向きに正、南向きに負）、y座標（東向きに正、西向きに負）の値を与えるものである。

## 天球座標

天体上の星などの位置を、地球から見上げる天球に配置されているものとして表す座標をいう。各種の座標系があるが、詳しくは天球座標系を参照。なお、あくまで天球上での位置を表すものであり、地球から星への距離を表すものではない。

## 色の座標による指定

色は複数（通常3つないし4つ）の数値要素の組み合わせで指定することができる。例えばマンセル表色系では、色相・明度・彩度による。RGBにおいては赤成分 (R)・緑成分 (G)・青成分 (B) による。詳しくは色空間を参照。

* アフィン空間
* 多様体
* 測地系
* 天球座標系
* 色空間
* ベクトル空間
* 国家座標
* 座標軸

* 『座標』 - コトバンク
* 緯度経度表記の変換 - www.motohasi.net
# NED座標

**NED座標**（NEDざひょう）とは、N**orth-**E**ast-**D**own（北-東-下)*の三方向を正とする三次元の座標系のこと。*局地水平座標系*とも呼ばれる。

## 概要

例えば飛行機に乗っている時、目標物は観測者より下方向にある事が多い。そこで、観測の便宜上、原点より下方向（一般でいうz軸の負の方向）を正と定義することがある。Northの座標は WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 、Eastの座標は WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 、そしてDownの座標は WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 と決められている。

* 座標
* 測地系
* ENU座標(East-North-Up)
* ECF座標
# 直交座標系

**直交座標系**（ちょっこうざひょうけい、英: *rectangular coordinate system*, 英: *orthogonal coordinate system*）とは、互いに直交している座標軸を指定することによって定まる座標系のことである。平面上の直交座標系ではそれぞれの点に対して一意に定まる2つの実数の組によって点の位置を指定する。同様にして空間上の直交座標系では座標は3つの実数の組で与えられる。

『方法序説』（1637年）を発表し、平面上の座標の概念を確立したルネ・デカルトの名を採って、**デカルト座標系** (英: *Cartesian coordinate system*) とも呼ぶ。

## 平面上の直交座標系

直交座標系による平面上の点の座標と4つの象限
まず平面上に数直線を1本引く。この直線を *x* **軸**と呼ぶことにする。*x* 軸に対して直角に直線を引いた直線上の全ての点は、同じ *x* 座標の値をとると定める。次にこの *x* 軸に対して、原点から直角にもう1本数直線を引く。これを *y* **軸**と呼ぶことにする。*y* 軸も *x* 軸と同様に *y* 軸に対して直角に直線を引いた直線上の全ての点は、同じ *y* 座標の値をとると定める。

座標軸の向きには任意性があるが、通常は *y* 軸の正の向きは *x* 軸の正の向きから一直角分、反時計回りに回転した向き（右手系）とする。また一般に *x* 軸は水平方向に右の方向を正の向きにして引き、そのとき *y* 軸は垂直方向に上方向が正の向きとなる。

平面上の点ごとに実数の対 (*a*, *b*) が一意に定まり、その点を通って*x* 軸上の点 *a* において*x*軸と直角に交わる直線と、 その点を通って*y* 軸に *b* で直角に交わる直線を引くと、それぞれ1本に限定される。このとき、この交点の座標は (*a*, *b*) である。*x* 軸と*y* 軸が交わる点を**原点**とよび、原点の座標は (0, 0) になる。

### 象限

*x* 座標も*y* 座標も正の値をとる点からなる領域を、**第一象限**とよぶ。また *x* 座標が負で*y* 座標が正の値をとる点が占める領域は**第二象限**、*x* 座標も*y* 座標も負の値をとる点が構成する領域を**第三象限**、*x* 座標が正で*y* 座標が負の値をとる領域は**第四象限**とよぶ。

## 高次元の直交座標系

3次元の直交座標系
3次元空間の直交座標系は空間内で互いに直交する3本の数直線 *x*軸、 *y*軸、*z*軸を決めて定める。平面の場合と同様に、空間のそれぞれの点に対しその点から各座標軸への垂線の交点を表す実数たちの組 (a, b, c) によって座標が与えられる。3つの軸の向きは右手系の向きにとられるのが普通である。また各座標軸の配置は、 *x* 軸と *y* 軸を含む平面（*xy*-平面）が水平で、*z* 軸の向きは*xy*-平面に対し鉛直上向きとなるよう置くことが多い。

右図では3本の線が座標軸を表し、赤い平面上の点は *x* 座標が1、黄色い平面上の点は *y* 座標が -1、青い平面上の点は *z* 座標が1である。黒い点の座標は (1, -1, 1) になる。

より一般に、*d* 次元の実内積空間 *E* に対し、その正規直交基底 (*e*1, …, *e**d*) に関する座標は「直交座標系」とよばれる。

## 応用

地形情報を書き表して災害対策に用いることが可能。

主な執筆者、編者の順。

* 細山田 得三「直交座標系での地形情報の表現とその洪水氾濫への適用について」『長岡技術科学大学研究報告』24巻、45-53頁、長岡技術科学大学、2002-01-15。 CRID 1050845762966808192、ISSN 0388-5631。
* 小渡 悟、0D0, Satoru「対数極座標空間の高次局所自己相関特徴を用いたポインティングデバイスの提案」『沖縄大学マルチメディア教育研究センター紀要』4号、57-70頁、沖縄大学マルチメディア教育研究センター、2004-03-31。 CRID 1050853796606494336。ISSN 1346-4264。掲載誌別題『The Bulletin of Multimedia Education and Research Center, University of Okinawa』。
* 白田 由香利「固有値の概念の教授法 : 経営学科に適した線型代数の教授法」『學習院大學經濟論集』第50巻第1号、学習院大学経済学会、2013年4月、31-42頁。 CRID 1050001202932009344、ISSN 0016-3953。

* 座標系
	+ 球面座標系
	+ 極座標系
	+ 斜交座標系
	+ 平面直角座標系
* 飛行力学
	+ ローリング
	+ ピッチング
	+ ヨーイング

* ブリタニカ国際大百科事典 小項目事典『直交座標系』 - コトバンク