# 境界付き多様体

左側は境界をもたない位相多様体であり，右側は赤で示した境界を持つ位相多様体である．
**境界付き多様体**（きょうかいつきたようたい，英: manifold with boundary）は微分幾何学における多様体の一般化である．多様体に対して定義される構造の多くは，その定義を境界付き多様体に拡張できる．

## 定義

有限長の円柱は境界付き多様体である．
### 境界付き多様体

上半空間を

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0
と書く．これには WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 の部分空間位相を与え，特に WIKINIUM\_MATH\_PH\_3 全体は開かつ閉集合である．

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4 次元境界付き位相多様体とは，第二可算公理を満たすハウスドルフ空間であって，任意の点が上半空間の開部分集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_5 に同相な開近傍を持つものをいう．

### （一般化）チャート

開集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6 と WIKINIUM\_MATH\_PH\_7 から WIKINIUM\_MATH\_PH\_8 の開集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_9 への同相写像 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 の組 WIKINIUM\_MATH\_PH\_11 は一般化チャート（座標近傍）と呼ばれる．

### 境界

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 の WIKINIUM\_MATH\_PH\_13 における境界 WIKINIUM\_MATH\_PH\_14 は WIKINIUM\_MATH\_PH\_15 を満たす点の全体である．境界付き多様体 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 の点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_17 は， WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 かつ WIKINIUM\_MATH\_PH\_19 であるようなチャート WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 が存在するとき WIKINIUM\_MATH\_PH\_21 の境界点と呼ばれる．すべての境界点からなる集合は WIKINIUM\_MATH\_PH\_22 と書かれる．

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_23 の連結成分は"境界成分"と呼ばれる．

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 が空のとき， WIKINIUM\_MATH\_PH\_25 は通常の（境界のない）多様体である．

## 構造

### 可微分構造

境界のない多様体と同様，境界のある多様体にも可微分構造を定義することができる．境界付き可微分多様体は，任意の2つのチャート WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_27 について，写像

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_28
が微分同相であるような境界付き多様体として定義される． WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 の定義域 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 が WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 の境界点を含んでいるならば， WIKINIUM\_MATH\_PH\_35 の微分可能性を調べるためには, WIKINIUM\_MATH\_PH\_37 を含むが WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 の部分集合ではないような WIKINIUM\_MATH\_PH\_39 の開集合をとらなければならない. もちろん，すべての境界付き多様体に微分構造を定義できるわけではない．境界付き多様体は通常の多様体同様いくつかの異なる微分構造をもちうる．

### 向き付け

境界付き（可微分）多様体 WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 において，境界 WIKINIUM\_MATH\_PH\_41 は WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 の部分多様体である． WIKINIUM\_MATH\_PH\_43 が向き付け可能であると仮定すると，境界 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 も向き付け可能である．

## ストークスの定理

→詳細は「一般化されたストークスの定理」を参照
境界付き多様体の助けを借りて，ストークスの積分定理を簡潔かつエレガントに定式化できる． WIKINIUM\_MATH\_PH\_45 を向き付けられた WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 次元境界付き可微分多様体とし， WIKINIUM\_MATH\_PH\_47 をコンパクト台を持つ WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 次の微分形式とすると，

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_49
となる． WIKINIUM\_MATH\_PH\_51 が境界を持たなければ，右辺の積分は WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 であり， WIKINIUM\_MATH\_PH\_53 が 1 次元多様体ならば，右辺の積分は有限和である．

## 頂点付き多様体

### 定義

立方体は頂点付き多様体である．
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 を WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 の点であってすべての座標が非負のもの全体とする：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_57
この部分集合は WIKINIUM\_MATH\_PH\_59 と同相であるが微分同相ではない． WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 を境界を持つ（位相）多様体とする．頂点を持つ多様体とは，局所的に WIKINIUM\_MATH\_PH\_61 の開部分集合と微分同相な多様体である．このとき WIKINIUM\_MATH\_PH\_63 のチャートは "頂点付きチャート" と呼ばれる．頂点付きチャートは対 WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 であって WIKINIUM\_MATH\_PH\_65 が WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 の開部分集合で WIKINIUM\_MATH\_PH\_67 が同相なものである．2つの頂点付きチャート WIKINIUM\_MATH\_PH\_69 と WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 が整合的とは， WIKINIUM\_MATH\_PH\_71 が滑らかであることをいう．

境界付き位相多様体の頂点付き滑らかな構造とは WIKINIUM\_MATH\_PH\_73 を被覆する頂点付き整合的チャートからなる極大集合である．頂点付き滑らかな構造をもった境界付き位相多様体は頂点付き多様体と呼ばれる．

### 注意

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 は WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 と同相だから，境界付き多様体と頂点付き多様体は位相的には識別できない．このため，可微分構造を持たない頂点付き（位相）多様体を定義するのは無意味である．頂点付き多様体の例は長方形である．

* Lee, John M. (2003). *Introduction to Smooth Manifolds*. Graduate Texts in Mathematics. **218**. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-95448-1

* manifold with boundary in *nLab*
* “Boundary (of a manifold)”, *Encyclopedia of Mathematics*, EMS Press, 2001 [1994]