# 方向微分

数学において、多変数微分可能関数のある与えられた点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 におけるある与えられたベクトル WIKINIUM\_MATH\_PH\_1 に沿った**方向微分**（ほうこうびぶん、英: directional derivative）とは、直感的には、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2 によって特徴づけられた速度で WIKINIUM\_MATH\_PH\_3 を通過する時の、その関数の即時的な変化率を意味する。したがって、他のすべての座標は定数として、ある一つの座標曲線に沿った変化率を取るような、偏微分の概念を一般化するものである。

方向微分は、ガトー微分の特別な場合である。

## 定義

あるベクトル

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_4
に沿った、スカラー関数

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
の方向微分は、極限

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8
として定義される関数である。

関数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_10 が WIKINIUM\_MATH\_PH\_11 において微分可能であるなら、任意のベクトル WIKINIUM\_MATH\_PH\_12 に沿った方向微分が存在し、

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_13
が成立する。ここで、右辺の WIKINIUM\_MATH\_PH\_15 は勾配を表し、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16 はドット積を表す。任意の点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_17 において、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18 の方向微分は、直感的には、ある速度と、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_19 によって与えられるある方向によって動く時の、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20 の時間に関する変化率を表す。

何人かの研究者は、方向微分を正規化を施した後のベクトル WIKINIUM\_MATH\_PH\_21 に対して定義しており、その場合その絶対値は考慮から外される。すると、

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22
であるか、あるいは WIKINIUM\_MATH\_PH\_24 が WIKINIUM\_MATH\_PH\_25 において微分可能である場合には、

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26
が成立する。この定義には、いくつかの不利な点がある。すなわち、その定義はベクトルのノルムが定義され、ゼロでない場合においてのみ適用されるということである。この定義は、物理学や工学など、数学と異なるいくつかの分野において用いられる概念とは相入れないものとなるが、単位距離ごとの WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 の増加率を知りたい場合には、用いられるべきものである。

### 表記法

方向微分には、次のようないくつかの表記法がある：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_29
### 性質

通常の微分に対して成立する有名な性質の多くは、方向微分に対しても成立する。以下に述べる性質は、ある点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_31 において微分可能であり、その点の近傍において定義されるような任意の関数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 および WIKINIUM\_MATH\_PH\_33 に対して、成立する：

1. **和の法則**：
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_34
2. **定数倍の法則**：任意の定数 *c* に対し、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_36
が成立する。
3. **積の法則**（あるいは**ライプニッツの法則**）：
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_38
4. **連鎖律**： WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 が点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_41 において微分可能であり、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 が WIKINIUM\_MATH\_PH\_43 において微分可能であるなら、
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44
が成立する。

## 微分幾何学における方向微分

→「接ベクトル空間」も参照
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 を微分可能多様体とし、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_47 を WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 内のある点とする。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_49 を、点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 のある近傍において定義され、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_51 において微分可能なある関数とする。
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52 を点 WIKINIUM\_MATH\_PH\_53 における WIKINIUM\_MATH\_PH\_54 への接ベクトルとするとき、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_55 の WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 に沿った**方向微分**は、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_57 （共変微分を参照）や WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 （リー微分を参照）、あるいは WIKINIUM\_MATH\_PH\_59 （接ベクトル空間を参照）など様々な方法で表記され、その定義は次のようになる。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 を、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_61 および WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 を満たすような微分可能な曲線とする。このとき、方向微分は

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_63
と定義される。この定義は、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_65 を満たすようなものとして WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 が選ばれている限り、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_67 の選び方によらない。

## 法線微分

**法線微分**（normal derivative）とは、空間内のある曲面に対する法線方向（すなわち、直交する方向）に関する、方向微分である。あるいはより一般的に、法線微分とは、ある超曲面に直交する法線ベクトル場に沿った方向微分である。例えばノイマン境界条件を参照されたい。法線方向を WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 と表すとき、関数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_69 の方向微分はしばしば WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 と表される、その他、

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_71
とも表される。

## 固体の連続体力学において

連続体力学におけるいくつかの重要な結果においては、ベクトルに関するベクトルの微分や、ベクトルやテンソルに関するテンソルの微分の概念が必要となる。**方向微分**は、そのような微分を見つける上での体系的な方法を提供するものである。

さまざまな状況に対する方向微分の定義を、以下に述べる。そこでの各関数は、微分が取れるように十分滑らかであるもののと仮定される。

### スカラー値ベクトル関数の微分

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_73 を、ベクトル WIKINIUM\_MATH\_PH\_75 に関する実数値関数とする。このとき、すべてのベクトル WIKINIUM\_MATH\_PH\_77 に対して、方向 WIKINIUM\_MATH\_PH\_79 への WIKINIUM\_MATH\_PH\_81 の WIKINIUM\_MATH\_PH\_83 に関する（あるいは、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_85 での）微分は、次のように定義される：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_87
**性質**：

1. WIKINIUM\_MATH\_PH\_89 なら、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_91 。
2. WIKINIUM\_MATH\_PH\_93 なら、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_95 。
3. WIKINIUM\_MATH\_PH\_97 なら、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_99 。

### ベクトル値ベクトル関数の微分

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_101 を、ベクトル WIKINIUM\_MATH\_PH\_103 に関するベクトル値関数とする。このとき、すべてのベクトル WIKINIUM\_MATH\_PH\_105 に対して、方向 WIKINIUM\_MATH\_PH\_107 への WIKINIUM\_MATH\_PH\_109 の WIKINIUM\_MATH\_PH\_111 に関する（あるいは、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_113 における）微分は、次の**ベクトル**で定義される：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_115
**性質**：

1. WIKINIUM\_MATH\_PH\_117 なら、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_119 。
2. WIKINIUM\_MATH\_PH\_121 なら、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_123 。
3. WIKINIUM\_MATH\_PH\_125 なら、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_127 。

### スカラー値の二階テンソル関数の微分

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_129 を、二階テンソル WIKINIUM\_MATH\_PH\_131 に関する実数値関数とする。このとき、すべての二階テンソル WIKINIUM\_MATH\_PH\_133 に対して、方向 WIKINIUM\_MATH\_PH\_135 への WIKINIUM\_MATH\_PH\_137 の WIKINIUM\_MATH\_PH\_139 に関する（あるいは、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_141 における）微分は、次の**二階テンソル**で定義される：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_143
**性質**：

1. WIKINIUM\_MATH\_PH\_145 なら、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_147 。
2. WIKINIUM\_MATH\_PH\_149 なら、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_151 。
3. WIKINIUM\_MATH\_PH\_153 なら、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_155 。

### テンソル値の二階テンソル関数の微分

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_157 を、二階テンソル WIKINIUM\_MATH\_PH\_159 に関する、二階テンソル値関数とする。このとき、すべての二階テンソル WIKINIUM\_MATH\_PH\_161 に対して、方向 WIKINIUM\_MATH\_PH\_163 への WIKINIUM\_MATH\_PH\_165 の WIKINIUM\_MATH\_PH\_167 に関する（あるいは、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_169 での）微分は、次の**四階テンソル**で定義される：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_171
**性質**：

1. WIKINIUM\_MATH\_PH\_173 なら、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_175 。
2. WIKINIUM\_MATH\_PH\_177 なら、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_179 。
3. WIKINIUM\_MATH\_PH\_181 なら、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_183 。
4. WIKINIUM\_MATH\_PH\_185 なら、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_187 。

* Hildebrand, F. B. (1976). *Advanced Calculus for Applications*. Prentice Hall. ISBN 0-13-011189-9
* K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence (2010). *Mathematical methods for physics and engineering*. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3

* 微分の一般化
	+ 共変微分
	+ フレシェ微分
	+ ガトー微分
	+ リー微分
	+ テンソル微分 (連続体力学)
* 微分形式
* 共変形式
* 構造テンソル
* 円柱および球座標系におけるナブラ

* Directional derivatives at MathWorld.
* Directional derivative at PlanetMath.