# 順序数

数学の特に集合論において、**順序数**（じゅんじょすう、英: ordinal number）とは、整列集合同士の“長さ”を比較するために、自然数を拡張させた概念である。

## 定義

整列集合  WIKINIUM\_MATH\_PH\_0  に対して、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_2  を定義域とする写像  WIKINIUM\_MATH\_PH\_4  を超限帰納法によって

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_6
と定義したとき、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_8  の値域  WIKINIUM\_MATH\_PH\_10  を  WIKINIUM\_MATH\_PH\_12  の**順序数**といい、これを  WIKINIUM\_MATH\_PH\_14  と表記する。ある整列集合の順序数であるような集合を**順序数**と呼ぶ。

### 例

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_16  は自然数の通常の大小関係（を各集合に制限したもの）を表すものとすると、下記のようになる。

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_18

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_20

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_22

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_24

この例から推測されるように、一般に有限の整列集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_26 に対して WIKINIUM\_MATH\_PH\_27 は WIKINIUM\_MATH\_PH\_28 の要素の個数に等しい。特に、任意の自然数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_29 に対して WIKINIUM\_MATH\_PH\_30 が成り立つので、自然数はすべて順序数である。

順序数に関して次が成り立つ：

1. 整列集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_31 と整列集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 が同型のとき、またそのときに限り WIKINIUM\_MATH\_PH\_33 。
2. WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 が有限整列集合のとき、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_35 は WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 の要素の個数に等しい。
3. 整列集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_37 の順序数を WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 とし、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_39 を WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 上の所属関係とすると、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_41 は WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 と同型な整列集合である。
4. WIKINIUM\_MATH\_PH\_43 が順序数であることと、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 が WIKINIUM\_MATH\_PH\_45 によって整列された推移的集合であることは同値である。
5. WIKINIUM\_MATH\_PH\_46 が順序数のとき、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_47 の要素もすべて順序数である。

自然数全体の集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48 は WIKINIUM\_MATH\_PH\_49 によって整列された推移的な集合であるから、上の事実 4. より WIKINIUM\_MATH\_PH\_50 は順序数である。

## 順序数の大小関係

任意の順序数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_51 に対して次が成り立つことが示される：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_53 かつ WIKINIUM\_MATH\_PH\_54
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_55 または WIKINIUM\_MATH\_PH\_56 または WIKINIUM\_MATH\_PH\_57
そこで、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 のとき WIKINIUM\_MATH\_PH\_59 は WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 より大きいといい、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_61 と書く。この定義と順序数の要素はまた順序数であるという性質から、すべての順序数は自分自身より小さな順序数全体の集合と等しいと言うことができる。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 より小さな順序数（すなわち自然数）を**有限順序数**と呼び、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_63 以上の（すなわち WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 と等しいか WIKINIUM\_MATH\_PH\_65 より大きい）順序数を**無限順序数**と呼ぶ。順序数の大小関係に関して次が成り立つ：

1. 整列集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 が整列集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_67 のある始切片と同型のとき、またそのときに限り WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 。
2. 有限順序数の範囲では、上で定義された大小関係は通常の大小関係と一致する。
3. WIKINIUM\_MATH\_PH\_69 が順序数のとき、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 は WIKINIUM\_MATH\_PH\_71 より大きな順序数のうちで最小のものである。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_72 を WIKINIUM\_MATH\_PH\_73 の**後続者** (successor of WIKINIUM\_MATH\_PH\_74 )と呼ぶ。
4. WIKINIUM\_MATH\_PH\_75 が順序数からなる集合のとき、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_76 もまた順序数であり、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_78 の最小上界となっている。そこで、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_79 を WIKINIUM\_MATH\_PH\_81 とも書く。
5. 順序数からなる空でない集合には必ず最小元が存在する。

順序数の並び方を次のように図示することができる：

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_82
まず、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_83 が最小の順序数である。その後に WIKINIUM\_MATH\_PH\_84 と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の極限順序数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_85 である。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_86 の後にはまたその後続者たちが WIKINIUM\_MATH\_PH\_87 と無限に続いていく。その後、それらの最小上界（後に WIKINIUM\_MATH\_PH\_88 と呼ばれる）が並び、その後続者たちが無限に続く。だがそれで終わりではない。無限に続いた後には、必ずそれまでに並んだすべての順序数たちの最小上界が存在し、その後続者、そのまた後続者、... のように順序数の列は“永遠に”続いていくのである。

## 順序数の特徴付け

集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_89 について以下はZFで同値である。

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_90 は順序数である。
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_91 は推移的集合であり帰属関係 WIKINIUM\_MATH\_PH\_92 に関する整列集合である。 （ジョン・フォン・ノイマンの定義）
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_93 は推移的集合であり WIKINIUM\_MATH\_PH\_94 ならば WIKINIUM\_MATH\_PH\_95 のいずれか1つだけが成り立つ。
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_96 は推移的集合であり包含関係 WIKINIUM\_MATH\_PH\_97 に関する全順序集合である。
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_98 は推移的集合であり WIKINIUM\_MATH\_PH\_99 の要素もまた推移的集合である。

ただし正則性公理を仮定しない場合は必ずしも同値にならないので注意が必要である。

## ブラリ＝フォルティの定理

**ブラリ＝フォルティの定理**とは、「全ての順序数からなる集合は存在しない」という定理である。下記のように背理法で証明できる。

全ての順序数からなる集合が存在すると仮定し、これを  WIKINIUM\_MATH\_PH\_100  とおく。任意の順序数の任意の元も順序数であるため、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102  は推移的な集合である。さらに、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_104  の任意の非空部分集合には、二項関係  WIKINIUM\_MATH\_PH\_106  に関する最小元が存在するため、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_108  は  WIKINIUM\_MATH\_PH\_110  によって整列されている。したがって  WIKINIUM\_MATH\_PH\_112  は順序数であるので  WIKINIUM\_MATH\_PH\_114  となるが、これは任意の順序数  WIKINIUM\_MATH\_PH\_116  について  WIKINIUM\_MATH\_PH\_118  となるという事実と矛盾する。
かつて、集合論が公理化される以前には、「集合全体の集合」や「順序数全体の集合」といったものも無制限に考えられていたため、上のように順序数全体の集合を考えたときに起こる矛盾はブラリ＝フォルティのパラドックスと呼ばれていた。

## 後続順序数と極限順序数

→「後続順序数」および「極限順序数」も参照
ある順序数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 が存在して WIKINIUM\_MATH\_PH\_121 となる順序数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 を**後続順序数** (successor ordinal) と呼ぶ。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_123 でも後続順序数でもない順序数を**極限順序数** (limit ordinal) と呼ぶ。定義より、すべての順序数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 に対して、

* WIKINIUM\_MATH\_PH\_125
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 は後続順序数である
* WIKINIUM\_MATH\_PH\_127 は極限順序数である

のいずれか一つだけが成り立つ。 WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 は最小の極限順序数である。また、任意の順序数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_129 に対して、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 より大きな極限順序数が存在することが示される。

## 順序数の演算

順序数の間には、和、積、冪といった演算を定義できる。特に有限順序数の間の演算は通常のそれと一致する。

### 和

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_131  と  WIKINIUM\_MATH\_PH\_133  を順序数とする。整列集合  WIKINIUM\_MATH\_PH\_135  と WIKINIUM\_MATH\_PH\_137 を WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_139 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_140 をみたすように取り、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_141 上の関係 WIKINIUM\_MATH\_PH\_142 を、

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_143 　⇔　 WIKINIUM\_MATH\_PH\_144 または WIKINIUM\_MATH\_PH\_145 または WIKINIUM\_MATH\_PH\_146
によって定義すれば、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_147 は整列集合であり、その順序数は WIKINIUM\_MATH\_PH\_148 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_149 の特定の取り方によらず一定である。そこで WIKINIUM\_MATH\_PH\_150 を WIKINIUM\_MATH\_PH\_151 と WIKINIUM\_MATH\_PH\_152 の**和**といい、これを WIKINIUM\_MATH\_PH\_153 で表す。直観的には、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_154 というのは WIKINIUM\_MATH\_PH\_155 の後ろに WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 を並べてできる整列集合の順序数である。

順序数の和について次が成り立つ：

1. WIKINIUM\_MATH\_PH\_157 が有限順序数ならば、和 WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 は自然数の間の通常の和と一致する。
2. WIKINIUM\_MATH\_PH\_159 。
3. WIKINIUM\_MATH\_PH\_160 。
4. WIKINIUM\_MATH\_PH\_161 。
5. WIKINIUM\_MATH\_PH\_162 が極限順序数のとき、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_163 。
6. WIKINIUM\_MATH\_PH\_164 。
7. WIKINIUM\_MATH\_PH\_165 。
8. 順序数の和は一般には**可換でない**。例えば、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_166 である。
9. WIKINIUM\_MATH\_PH\_167 ならば WIKINIUM\_MATH\_PH\_168 をみたす WIKINIUM\_MATH\_PH\_169 がただ一つ存在する。

### 積

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_170 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_171 を順序数とする。
整列集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_172 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_173 を WIKINIUM\_MATH\_PH\_174 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_175 をみたすように取り、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_176 上の関係 WIKINIUM\_MATH\_PH\_177 を、

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_178 　⇔　 WIKINIUM\_MATH\_PH\_179 または （ WIKINIUM\_MATH\_PH\_180 かつ WIKINIUM\_MATH\_PH\_181 ）
によって定義すれば、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_182 は整列集合であり、その順序数は WIKINIUM\_MATH\_PH\_183 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_184 の特定の取り方によらず一定である。そこで WIKINIUM\_MATH\_PH\_185 を WIKINIUM\_MATH\_PH\_186 と WIKINIUM\_MATH\_PH\_187 の**積**といい、これを WIKINIUM\_MATH\_PH\_188 で表す。直観的には、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_189 というのは WIKINIUM\_MATH\_PH\_190 を WIKINIUM\_MATH\_PH\_191 個並べてできる整列集合の順序数である。

順序数の積について次が成り立つ：

1. WIKINIUM\_MATH\_PH\_192 が有限順序数ならば、積 WIKINIUM\_MATH\_PH\_193 は自然数の通常の積に一致する。
2. WIKINIUM\_MATH\_PH\_194 。
3. WIKINIUM\_MATH\_PH\_195 。
4. WIKINIUM\_MATH\_PH\_196 。
5. WIKINIUM\_MATH\_PH\_197 が極限順序数のとき、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_198 。
6. WIKINIUM\_MATH\_PH\_199 。
7. WIKINIUM\_MATH\_PH\_200 のとき、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_201 。
8. WIKINIUM\_MATH\_PH\_202 。
9. 順序数の積は一般には**可換でない**。例えば、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_203 である。
10. WIKINIUM\_MATH\_PH\_204 。
11. WIKINIUM\_MATH\_PH\_205 は一般には成り立たない。
12. 任意の順序数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_206 と WIKINIUM\_MATH\_PH\_207 でない順序数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_208 に対して、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_209 かつ WIKINIUM\_MATH\_PH\_210 をみたす順序数の組 WIKINIUM\_MATH\_PH\_211 がただ一組存在する。

### 冪

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_212 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_213 を順序数とする。
整列集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_214 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_215 を WIKINIUM\_MATH\_PH\_216 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_217 をみたすように取り、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_218 は有限集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_219 上の関係 WIKINIUM\_MATH\_PH\_220 を、

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_221 　⇔　 WIKINIUM\_MATH\_PH\_222 かつ、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_223 をみたす最大の WIKINIUM\_MATH\_PH\_224 に対して WIKINIUM\_MATH\_PH\_225
によって定義すれば、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_226 は整列集合であり、その順序数は WIKINIUM\_MATH\_PH\_227 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_228 の特定の取り方によらず一定である。そこで WIKINIUM\_MATH\_PH\_229 を  **WIKINIUM\_MATH\_PH\_230 の WIKINIUM\_MATH\_PH\_231 乗**といい、これを WIKINIUM\_MATH\_PH\_232 で表す。

順序数の冪について次が成り立つ：

1. WIKINIUM\_MATH\_PH\_233 が有限順序数ならば、冪 WIKINIUM\_MATH\_PH\_234 は自然数の通常の冪に一致する。
2. WIKINIUM\_MATH\_PH\_235 。
3. WIKINIUM\_MATH\_PH\_236 のとき、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_237 。
4. WIKINIUM\_MATH\_PH\_238 。
5. WIKINIUM\_MATH\_PH\_239 。
6. WIKINIUM\_MATH\_PH\_240 で、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_241 が極限順序数のとき、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_242 。
7. WIKINIUM\_MATH\_PH\_243 のとき、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_244 。
8. WIKINIUM\_MATH\_PH\_245 。
9. WIKINIUM\_MATH\_PH\_246 。
10. WIKINIUM\_MATH\_PH\_247 。
11. WIKINIUM\_MATH\_PH\_248 は一般には成り立たない。

## 集合の濃度と基数

→詳細は「濃度 (数学)」を参照
集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_249 から集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_250 への全単射が存在するとき、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_251 と WIKINIUM\_MATH\_PH\_252 は**同数** (equinumerous) であるといい、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_253 で表す。
選択公理を仮定すれば、整列定理により任意の集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_254 に対して WIKINIUM\_MATH\_PH\_255 と同数であるような順序数が存在することが言える。そこで、集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_256 と同数であるような順序数の中で最小のものを WIKINIUM\_MATH\_PH\_257 の**濃度** (cardinality of WIKINIUM\_MATH\_PH\_258 ) といい、これを WIKINIUM\_MATH\_PH\_259 あるいは WIKINIUM\_MATH\_PH\_260 で表す。ある集合 WIKINIUM\_MATH\_PH\_261 に対して WIKINIUM\_MATH\_PH\_262 である順序数 WIKINIUM\_MATH\_PH\_263 を**基数** (cardinal number) と呼ぶ。集合の濃度に関して次が成り立つ：

1. WIKINIUM\_MATH\_PH\_264
2. WIKINIUM\_MATH\_PH\_265 が有限集合のとき、 WIKINIUM\_MATH\_PH\_266 は WIKINIUM\_MATH\_PH\_267 の要素の個数に等しい。

基数に対しても、上で定義した順序数の演算とは別に和、積、冪を定義することができる。

## 主な順序数

* アッカーマン順序数（Ackermann ordinal）
* イプシロン数（Epsilon number）
* 許容順序数（Admissible ordinal）
* 最小の非可算順序数（First uncountable ordinal）
* 小ヴェブレン順序数（Small Veblen ordinal）
* 大ヴェブレン順序数（Large Veblen ordinal）
* 竹内・フェファーマン・ブーフホルツ順序数（Takeuti–Feferman–Buchholz ordinal）
* チャーチ・クリーネ順序数（Nonrecursive ordinal）
* バッハマン・ハワード順序数（Bachmann–Howard ordinal）
* フェファーマン・シュッテの順序数（Feferman–Schütte ordinal）

* Levy, Azriel (2002) [1979], *Basic Set Theory*, Dover Publications, ISBN 978-0-486-42079-0 .
* von Neumann, Johann (1923), “Zur Einführung der transfiniten Zahlen”, *Acta Litterarum AC Scientiarum Ragiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, Sectio Scientiarum Mathematicarum* **1**: 199–208,  オリジナルの2014-12-18時点におけるアーカイブ。,
	+ von Neumann, John (January 2002) [1923], “On the introduction of transfinite numbers”, in Jean van Heijenoort, *From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879–1931* (3rd ed.), Harvard University Press, pp. 346–354, ISBN 978-0-674-32449-7,   – 注釈：von Neumann 1923の英訳。

* 始順序数
* ヴェブレン階層
* 共終数
* 構成可能集合
* 公理的集合論
* 整礎的集合
* 濃度
* 急成長階層

* 『順序数』 - コトバンク