# Fungsi trigonometri

Dasar trigonometri mengatakan bahwa jika dua segitiga siku-siku mempunyai sudut lancip yang sama, maka segitiga dikatakan sebangun sehingga panjang sisinya sebanding.
Dalam matematika, **fungsi trigonometri** merupakan fungsi real yang mengaitkan sudut dari segitiga bersiku dengan perbandingan antara dua sisi segitiga. Fungsi ini memiliki penerapan yang sangat luas dalam bidang sains terkait dengan geometri (misalnya navigasi, geodesi, mekanika benda langit, mekanika zat padat, dan cabang lainnya). Fungsi ini merupakan contoh fungsi periodik paling sederhana, dan juga memiliki penerapan yang sangat luas dalam mempelajari fenomena periodik melalui analisis Fourier.

Fungsi trigonometri seperti **sinus**, **kosinus**, dan **tangen** merupakan fungsi yang paling sering dipakai dalam matematika modern; sedangkan fungsi inversnya seperti **kosekan**, **sekan**, dan **kotangen** jarang dipakai. Masing-masing keenam fungsi tersebut mempunyai fungsi invers yang sama dan sejalan di antara fungsi hiperbolik.

Definisi fungsi trigonometri terlama, yang berkaitan dengan segitiga bersudutkan siku-siku, hanya mendefinisikannya untuk sudut lancip. Secara geometris, fungsi sinus dan kosinus sering kali dapat diperluas menjadi fungsi yang mempunyai domain yang mengandung seluruh garis bilangan real, maka domain fungsi lainnya adalah garis bilangan real dengan setiap titik terpencilnya hilang. Definisi modern yang mengekspresikan fungsi trigonometri sebagai deret takhingga atau sebagai penyelesai dari persamaan diferensial, memungkinkan perluasan domain dari fungsi sinus dan kosinus menjadi domain yang mengandung seluruh bidang kompleks, dan domain dari fungsi trigonometri lain menjadi domain mengandung bidang kompleks dengan setiap titik terpencilnya hilang.

## Notasi

Fungsi trigonometri biasanya menyingkatkan namanya menggunakan tiga huruf, contohnya: sinus disingkat "sin", kosinus "cos", tangen disingkat "tan", sekan disingkat "sec", kosekan disingkat "csc", dan kotangen disingkat "cot". Terlebih lagi, fungsi trigonometri juga menggunakan notasi fungsional, misalnya WIKINIUM\_MATH\_PH\_0 . Tanda kurung wajib digunakan karena dapat menimbulkan kebingungan. Sebagai contohnya seperti fungsi WIKINIUM\_MATH\_PH\_1 dapat dipandang sebagai WIKINIUM\_MATH\_PH\_3 atau juga dapat dipandang sebagai WIKINIUM\_MATH\_PH\_5 .

Tidak seperti notasi fungsi lainnya, bilangan bulat positif yang muncul sebagai superskrip setelah simbol fungsi, bukan dinyatakan sebagai perpangkatan terhadap komposisi fungsi, melainkan dinyatakan sebagai perkalian teriterasi. Sebagai contoh, WIKINIUM\_MATH\_PH\_7 dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_9 berarti WIKINIUM\_MATH\_PH\_11 , bukan WIKINIUM\_MATH\_PH\_13 .

Eksponen WIKINIUM\_MATH\_PH\_15 biasanya dipakai untuk menyatakan fungsi invers, bukan invers perkalian. Sebagai contoh, WIKINIUM\_MATH\_PH\_17 dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_19 menyatakan fungsi invers trigonometri, dan notasi tersebut dapat ditulis pula sebagai WIKINIUM\_MATH\_PH\_21 . Persamaan WIKINIUM\_MATH\_PH\_23 menyiratkan WIKINIUM\_MATH\_PH\_25 , bukan WIKINIUM\_MATH\_PH\_27 . Pada kasus tersebut, superskrip *dapat* dipandang untuk menyatakan fungsi yang berulang, tetapi superskrip yang bernilai negatif selain WIKINIUM\_MATH\_PH\_29 jarang dipakai.

## Definisi segitiga bersiku

Dalam segitiga siku-siku WIKINIUM\_MATH\_PH\_31 , ketiga fungsi trigonometri dari sudut WIKINIUM\_MATH\_PH\_32 dinyatakan sebagai: WIKINIUM\_MATH\_PH\_33 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_34 , dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_35 .
Plot dari enam fungsi trigonometri, lingkaran satuan, dan sebuah garis yang membentuk sudut dengan sumbu- WIKINIUM\_MATH\_PH\_36 sebesar WIKINIUM\_MATH\_PH\_37 .Pada plot tersebut, terdapat titik-titik yang dilabeli 1, Sec(*θ*), Csc(*θ*) mewakili panjang ruas garis yang ditarik dari titik asal ke titik tersebut. Titik-titik seperti Sin(*θ*), Tan(*θ*), dan 1 merupakan panjang garis yang ditarik dari sumbu- WIKINIUM\_MATH\_PH\_38 , sedangkan titik seperti Cos(*θ*), 1, dan Cot(*θ*) merupakan panjang di sekitar sumbu- WIKINIUM\_MATH\_PH\_39 yang ditarik dari titik asal.
Jika sudut lancip dinyatakan sebagai WIKINIUM\_MATH\_PH\_40 , maka setiap sudut siku-siku yang mempunyai sudut WIKINIUM\_MATH\_PH\_41 dikatakan sebangun terhadap satu sama lain; dalam artian, perbandingan dari setiap dua panjang sisinya hanya bergantung pada WIKINIUM\_MATH\_PH\_42 . Jadi, keenam perbandingan tersebut mendefinisikan enam fungsi trigonometri dari WIKINIUM\_MATH\_PH\_43 . Definisi berikut mengatakan bahwa hipotenusa (sisi miring) merupakan panjang dari sisi yang berhadapan dengan sudut siku-siku, sisi depan merupakan panjang sisi yang berhadap dari sudut WIKINIUM\_MATH\_PH\_44 , dan sisi samping merupakan panjang sisi yang berhadapan dengan sudut WIKINIUM\_MATH\_PH\_45 dan sudut siku-siku.

|  |  |
| --- | --- |
| sinus
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_46  | kosekan
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_48  |
| kosinus
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_50  | sekan
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_52  |
| tangen
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_54  | kotangen
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_56  |

Dalam segitiga siku-siku, jumlah dari dua sudut lancip sama dengan sudut siku-siku, yaitu WIKINIUM\_MATH\_PH\_58 atau WIKINIUM\_MATH\_PH\_59 radian. Karena itu, WIKINIUM\_MATH\_PH\_60 dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_62 mewakili perbandingan yang sama sehingga menjadi sama. Identitas dan kaitan antara fungsi trigonometri lainnya yang sejalan diringkas dalam tabel berikut.

**Gambar atas:** Fungsi trigonometri WIKINIUM\_MATH\_PH\_64 untuk sudut WIKINIUM\_MATH\_PH\_65 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_66 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_68 , dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_70 dalam empat kuadran.

**Gambar bawah:** Perbandingan grafik fungsi dengan sudut sinus. Sudut-sudut dari panel di atas diidentifikasi

Ringkasan mengenai kaitan antara fungsi trigonometri| Fungsi | Penjelasan | Kaitan |
| --- | --- | --- |
| dalam bentuk radian | dalam bentuk derajat |
| sinus |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_72  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_73  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_75  |
| kosinus |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_77  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_78  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_80  |
| tangen |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_82  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_83  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_85  |
| kotangen |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_87  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_88  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_90  |
| sekan |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_92  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_93  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_95  |
| kosekan |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_97  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_98  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_100  |

## Perbandingan radian dengan derajat

Dalam penerapan geometri, argumen fungsi trigonometri umumnya merupakan ukuran sudut. Setiap sudut biasanya diukur dan satuan konvensional berupa derajat. Sebagai contoh, sudut siku-siku ditulis 90° dan putaran penuh ditulis 360°.

Namun dalam kalkulus dan analisis matematika, fungsi trigonometri umumnya dipandang lebih abstrak sebagai fungsi real ataupun kompleks, bukan sudut. Bahkan fungsi sepeti **sin** dan **cos** dapat didefinisikan untuk semua bilangan kompleks dalam bentuk fungsi eksponensial melalui deret pangkat, atau dapat didefinisikan sebagai penyelesaian nilai awal khusus terhadap persamaan diferensial (lihat dibawah). Definisi tersebut tidak mengacu pada gagasan dalam geometri. Adapun empat fungsi lainnya seperti **tan**, **cot**, **sec**, dan **csc** dapat didefinisikan sebagia hasil-bagi dan timbal balik dari **sin** dan **cos**, kecuali ketika nol muncul di penyebut. Untuk argumen real, hal ini dapat dibuktikan bahwa definisi tersebut sesuai dengan definisi geometri elementer *jika argumennya dipandang sebagai sudut yang dinyatakan dalam bentuk radian*. Lebih lanjut, definisi tersebut memberikan hasil dalam bentuk yang sederhana untuk turunan dan integral taktentu dari fungsi trigonometri. Jadi dalam cabang selain geometri elementer, radian dipandang sebagai satuan alami dalam matematika untuk menjelaskan ukuran setiap sudut.

Ketika satuan yang dipakai adalah radian, maka sudut dinyatakan sebagai panjang busur dari lingkaran satuan yang berhadapan dengannya. Sebagai contoh, sudut yang berhadapan dengan busur dengan panjang 1 di lingkaran satuan adalah 1 rad (≈ 57,3°), dan putaran penuh (360°) sama dengan 2 WIKINIUM\_MATH\_PH\_102 (≈ 6,28) rad. Untuk bilangan real WIKINIUM\_MATH\_PH\_103 , notasi WIKINIUM\_MATH\_PH\_104 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_105 , dst. mengacu pada nilai dari fungsi trigonometri yang dihitung pada sudut x rad. Jika satuan yang dimaksud adalah derajat, maka tanda derajat harus diperlihatkan secara eksplisit (sebagai contoh, WIKINIUM\_MATH\_PH\_106 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_107 , dsb.). Dengan menggunakan notasi yang standar, argumen dari WIKINIUM\_MATH\_PH\_108 untuk fungsi trigonometri memenuhi kaitan dari rumus

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_109
sehingga, sebagai contoh, WIKINIUM\_MATH\_PH\_111 ketika WIKINIUM\_MATH\_PH\_113 . Dalam cara ini, simbol derajat dapat dipandang sebagai sebuah konstanta matematika, sehingga WIKINIUM\_MATH\_PH\_115 .

## Definisi fungsi trigonometri melalui lingkaran satuan

Pada gambar, ada enam fungsi trigonometri bersudutkan sembarang WIKINIUM\_MATH\_PH\_117 yang diwakili sebagai koordinat Cartesius dari titik yang dikaitkan dengan lingkaran satuan. Masing-masing ordinat WIKINIUM\_MATH\_PH\_118 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_119 dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_120 merupakan nilai dari WIKINIUM\_MATH\_PH\_121 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_122 dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_123 , sedangkan masing-masing absis dari WIKINIUM\_MATH\_PH\_124 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_125 dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_126 merupakan nilai WIKINIUM\_MATH\_PH\_127 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_128 dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_129 .
Enam fungsi trigonometri dapat didefinisikan sebagai nilai dari titik koordinat di bidang Euklides yang berkaitan dengan sebuah lingkaran berjari-jari satu yang berpusat di titik asal WIKINIUM\_MATH\_PH\_130 dari koordinat sistem, yaitu lingkaran satuan. Sedangkan definisi segitiga bersiku yang memungkinkan definisi fungsi trigonometri untuk sudut di antara WIKINIUM\_MATH\_PH\_131 dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_132 radian WIKINIUM\_MATH\_PH\_134 maka definisi lingkaran satuan memungkinkan bahwa domain dari fungsi trigonometri diperluas untuk semua bilangan real positif dan negatif.

Misalkan WIKINIUM\_MATH\_PH\_135 adalah sinar yang didapatkan dengan memutarnya setengah sudut positif WIKINIUM\_MATH\_PH\_137 dari sumbu- WIKINIUM\_MATH\_PH\_138 (putarannya berlawanan arah jarum jam untuk WIKINIUM\_MATH\_PH\_139 dan searah jarum jam untuk WIKINIUM\_MATH\_PH\_141 ). Sinar ini memotong lingkaran satuan di titik WIKINIUM\_MATH\_PH\_143 Sinar WIKINIUM\_MATH\_PH\_145 jika perlu diperpanjang garisnya, memotong garis persamaan WIKINIUM\_MATH\_PH\_147 di titik WIKINIUM\_MATH\_PH\_149 dan garis persamaan WIKINIUM\_MATH\_PH\_151 di titik WIKINIUM\_MATH\_PH\_153 Garis yang menyinggung lingkaran satuan di titik WIKINIUM\_MATH\_PH\_155 dikatakan tegaklurus terhadap WIKINIUM\_MATH\_PH\_156 serta memotong sumbu- WIKINIUM\_MATH\_PH\_158 di titik WIKINIUM\_MATH\_PH\_159 dan sumbu- WIKINIUM\_MATH\_PH\_161 di titik WIKINIUM\_MATH\_PH\_162 Koordinat dari titik tersebut yang memberikan nilai dari semua fungsi trigonometri untuk setiap nilai real sebarang WIKINIUM\_MATH\_PH\_164 , dapat dicari sebagai berikut.

Fungsi trigonometri WIKINIUM\_MATH\_PH\_165 didefinisikan sebagai nilai koordinat- WIKINIUM\_MATH\_PH\_166 dari titik WIKINIUM\_MATH\_PH\_167 , sedangkan fungsi trigonometri WIKINIUM\_MATH\_PH\_168 didefinisikan sebagai nilai koordinat- WIKINIUM\_MATH\_PH\_169 dari titik WIKINIUM\_MATH\_PH\_170 .

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_171 and WIKINIUM\_MATH\_PH\_173
Dengan kisaran (bahasa Inggris: *range*code: en is deprecated ) WIKINIUM\_MATH\_PH\_175 , maka definisi ini bertepatan dengan definisi segitiga sudut siku-siku dengan mengambil segitiga siku-siku agar mempunyai jari-jari lingkaran satuan WIKINIUM\_MATH\_PH\_177 sebagai hipotenusa. Karena persamaan WIKINIUM\_MATH\_PH\_178 berlaku untuk semua titik WIKINIUM\_MATH\_PH\_180 pada lingkran satuan, maka definisi kosinus dan sinus ini juga memenuhi identitas Pythagoras.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_182
Selain kedua fungsi trigonometri di atas, fungsi lainnya dapat ditemukan di sepanjang lingkaran satuan

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_184 dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_186
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_188 dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_190
Dengan menerapkan identitas Pythagoras dan metode bukti geometri, maka dapat diperlihatkan bahwa definisi ini bertepatan dengan definisi fungsi tangen, kotangen, sekan dan kosekan dalam bentuk fungsi sinus dan kosinus. Dengan kata lain,

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_192
Pada gambar, terdapat fungsi:
Sine,
Cosine,
Tangent,
Cosecant (bergaris titik),
Secant (bergaris titik),
Cotangent (bergaris titik)
– Untuk animasinya, dapat dilihat di sini
Karena putaran sudut dari WIKINIUM\_MATH\_PH\_194 tidak mengubah posisi atau ukuran bentuk, titik-titik WIKINIUM\_MATH\_PH\_196 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_197 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_198 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_199 , dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_200 adalah sama untuk dua sudut yang mempunyai selisihnya yang berupakan kelipatan bilangan bulat dari WIKINIUM\_MATH\_PH\_201 . Jadi, fungsi trigonometri merupakan fungsi berkala dengan periode WIKINIUM\_MATH\_PH\_203 . Artinya, persamaan

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_205 dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_207
berlaku untuk setiap sudut WIKINIUM\_MATH\_PH\_209 dan setiap bilangan bulat WIKINIUM\_MATH\_PH\_210 . Hal ini berlaku benar untuk keempat fungsi trigonometri lainnya. Dengan mengamati tanda dan kemonotonan dari fungsi sinus, kosekan, kotangen, dan sekan dalam yang ada di dalam keempat kuadran, maka untuk fungsi-fungsi yang dikatakan periodik dapat diperlihatkan bahwa WIKINIUM\_MATH\_PH\_211 merupakan nilai yang paling terkecil (dengan kata lain, WIKINIUM\_MATH\_PH\_213 merupakan periode dasar dari fungsi tersebut). Namun, saat putaran sudut WIKINIUM\_MATH\_PH\_215 , titik WIKINIUM\_MATH\_PH\_217 dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_218 telah kembali ke posisi awal sehingga fungsi tangen dan fungsi kotangen mempunyai periode dasar dari WIKINIUM\_MATH\_PH\_219 . Dengan kata lain, persamaan

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_221 dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_223
berlaku untuk setiap sudut WIKINIUM\_MATH\_PH\_225 dan setiap bilangan bulat WIKINIUM\_MATH\_PH\_226 .

## Nilai aljabar

Gambar menunjukkan titik-titik dilabeli dengan nilai dari fungsi sinus dan kosinus (sesuai urutannya) di sepanjang lingkaran satuan, dan sudut yang sama dalam radian dan derajat.
Bentuk aljabar yang berupakan sudut yang sangat penting dinyatakan sebagai berikut:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_227 (sudut nol)
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_229
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_231
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_233
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_235 (sudut siku-siku)
Dengan menulis pembilang sebagai akar kuadrat dari bilangan bulat taknegatif berurutan serta penyebutnya adalah 2, maka cara ini dengan mudah mengingat nilai-nilai fungsi trigonometri.

Namun, bentuk aljabar yang sederhana biasanya tidak ada untuk sudut lainnya yang merupakan kelipatan rasional sudut siku-siku.

* Untuk sudut yang diukur dalam satuan derajat merupakan kelipatan dari tiga, nilai trigonometri eksak dari fungsi sinus dan kosinus dapat dinyatakan dalam bentuk akar kuadrat. Jadi, nilai tersebut dapat dikonstruksi dengan menggunakan penggaris dan jangka.
* Untuk sudut berupa bilangan bulat dalam satuan derajat, nilai dari fungsi sinus dan kosinus dapat dinyatakan dalam bentuk akar kuadrat dan akar kubik dari bilangan kompleks takreal. Teori Galois membuktikan bahwa jika sudut bukan kelipatan dari 3°, maka akar kubik dari bilangan takreal tidak dapat dihindari.
* Untuk sudut yang dinyatakan dalam satuan derajat adalah bilangan rasional, nilai fungsi sinus dan kosinus merupakan bilangan aljabar yang dapat dinyatakan dalam bentuk akar ke- WIKINIUM\_MATH\_PH\_237 . Hasil ini berasal dari suatu pernyataan yang mengatakan bahwa grup Galois dari polinomial siklotomik dikatakan siklik.
* Untuk sudut yang dinyatakan dalam satuan derajat bukanlah bilangan rasional, maka nilai sudut dari fungsi sinus maupun kosinus merupakan bilangan transendental. Pernyataan ini merupakan korolari dari teorema Baker yang dibuktikan pada tahun 1966.

### Nilai aljabar sederhana

Berikut ada sebuah tabel yang memuat kumpulan-kumpulan nilai fungsi sinus, kosinus, dan tangen yang merupakan kelipatan dari 15 derajat, dimulai dari 0 derajat sampai dengan 90 derajat.

| *θ* dalam satuan radian | *θ* dalam satuan derajat |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_238  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_240  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_242  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_244  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_246  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_248  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_250  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_252  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_254  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_256  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_258  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_260  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_262  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_264  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_266  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_268  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_270  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_272  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_274  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_276  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_278  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_280  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_282  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_284  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_286  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_288  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_290  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_292  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_294  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_296  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_298  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_300  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_302  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_304  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_306  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_308  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_310  | takterdefinisikan |

## Dalam kalkulus

Grafik fungsi sinus, kosinus, dan tangen.
Grafik fungsi sinus (yang berwarna biru) sangat dihampiri oleh grafik polinomial Taylor berderajat 7 (yang berwarna merah muda) untuk putaran siklus penuh pada titik asal.
Animasi terkait hampiran kosinus melalui polinomial Taylor.
Grafik dari WIKINIUM\_MATH\_PH\_312 dengan polinomial Taylor WIKINIUM\_MATH\_PH\_314
Fungsi trigonometri dikatakan terdiferensialkan dan analitik di setiap titik yang didefinisikannya. Artinya, titik-titik tersebut ada dimana-mana untuk fungsi trigonometri seperti sinus, kosinus. Titik-titik tersebut ada dimana-mana di fungsi tangen, kecuali di WIKINIUM\_MATH\_PH\_316 untuk setiap bilangan bulat WIKINIUM\_MATH\_PH\_319 .

Fungsi trignometri merupakan fungsi berkala, dan periode primitifnya bernilai WIKINIUM\_MATH\_PH\_320 untuk fungsi sinus dan kosinus, dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_322 untuk fungsi tangen, yang naik di masing-masing selang terbuka WIKINIUM\_MATH\_PH\_323 . Pada masing-masing titik akhir selang tersebut, fungsi tangen mempunyai asimtot yang mengarah vertikal.

Dalam kalkulus, fungsi trigonometri dapat didefinisikan dengan menggunakan deret kuasa ataupun persamaan diferensial. Namun, menggunakan persamaan diferensial terasa lebih alami saat mendefinisikan fungsi trigonometri, karena, sebagai contoh, pemilihan koefisien dari deret kuasa dapat muncul sebagai bilangan yang cukup sebarang, dan persamaan diferensial juga cukup mudah menyimpulkan identitas Pythagoras.

### Definisi dengan menggunakan persamaan diferensial

Fungsi sinus dan kosinus dapat didefinisikan sebagai penyelesaian tunggal untuk masalah nilai awal:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_328
Dengan menurunkannya lagi, maka diperoleh WIKINIUM\_MATH\_PH\_330 dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_332 . Jadi, fungsi sinus dan kosinus merupakan penyelesaian untuk persamaan diferensial biasa

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_334
Fungsi tangen WIKINIUM\_MATH\_PH\_336 dapat diturunkan dengan menerapkan aturan hasil bagi dari, maka

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_338
### Perluasan deret pangkat

Dengan menerapkan persamaan diferensial untuk deret pangkat dengan koefisien yang belum ditentukan, maka fungsi sinus dan kosinus dapat disimpulkan sebagai relasi rekurensi mengenai koefisien deret Taylor dari kedua fungsi tersebut. Relasi rekurensinya dapat diselesaikan dengan mudah serta memberikan perluasan deret

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_340
Ruji kekonvergenan dari deret tersebut adalah takhingga. Jadi, fungsi sinus dan kosinus dapat diperluas menjadi fungsi menyeluruh, atau fungsi ini disebut "sinus" dan "kosinus"), karena (berdasarkan definisi) fungsi tersebut merupakan fungsi bernilai kompleks yang terdefinisi dan holomorfik di seluruh bidang kompleks.

Ketika kedua fungsi tersebut didefinisikan sebagai pecahan dari fungsi menyeluruh, fungsi trigonometri lainnya dapat diperluas menjadi fungsi meromorfik. Hal ini mengartikan bahwa fungsi adalah holomorfik di seluruh bidang kompleks, kecuali ada setiap titik terpencil yang disebut kutub. Disini, kutubnya merupakan bilangan-bilangan dari bentuk WIKINIUM\_MATH\_PH\_342 untuk fungsi tangen dan fungsi sekan, atau WIKINIUM\_MATH\_PH\_344 untuk fungsi kotangen dan fungsi kosekan, dengan WIKINIUM\_MATH\_PH\_346 adalah bilangan bulat sebarang.

Relasi rekurensi juga dapat dihitung untuk koefisien deret Taylor dari fungsi trigonometri lain. Deret-deret ini mempunyai ruji kekonvergenan terhingga. Koefisiennya mempunyai pandangan kombinatorial, yang mengatakan bahwa koefisiennya menghitung permutasi selang-seling dari himpunan hingga. Lebih tepatnya, dengan mendefinisikan WIKINIUM\_MATH\_PH\_347 adalah bilangan atas/bawah ke- WIKINIUM\_MATH\_PH\_348 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_349 adalah bilangan Bernoulli ke- WIKINIUM\_MATH\_PH\_350 , dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_351 adalah bilangan Euler ke- WIKINIUM\_MATH\_PH\_352 , maka ada empat perluasan deret berikut didapatkan.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_353
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_355
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_357
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_359
### Perluasan pecahan berlanjut

Perluasan pecahan berlanjut berikut valid di seluruh bidang kompleks:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_361
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_363
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_365
Pecahan yang terakhir dipakai pertama kali menurut sejarah dalam bukti bahwa π irasional.

### Perluasan darab takhingga

Darab takhingga untuk fungsi sinus sangat penting dalam analisis kompleks, yang dinyatakan sebagai:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_367
Bukti perluasan darab ini dapat dilihat disini. Melalui rumus ini, dapat disimpulkan bahwa

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_369
### Kaitan dengan rumus Euler

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_371 and WIKINIUM\_MATH\_PH\_373 are the real and imaginary part of WIKINIUM\_MATH\_PH\_375 respectively.
Rumus Euler mengaitkan fungsi sinus dan kosinus dengan fungsi eksponensial:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_377
Rumus ini biasanya dipandang untuk bilangan real WIKINIUM\_MATH\_PH\_379 , tetapi tetap benar untuk semua bilangan kompleks. Rumus ini dapat dibuktikan sebagai berikut: Misalkan WIKINIUM\_MATH\_PH\_380 dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_382 . Karena WIKINIUM\_MATH\_PH\_384 untuk WIKINIUM\_MATH\_PH\_386 , maka menurut kaidah hasil bagi, WIKINIUM\_MATH\_PH\_387 . Jadi, WIKINIUM\_MATH\_PH\_389 adalah fungsi konstan, yang sama dengan 1, ketika WIKINIUM\_MATH\_PH\_391 Hal ini membuktikan rumus tersebut.

Selanjutnya, didapatkan persamaan WIKINIUM\_MATH\_PH\_393 dan WIKINIUM\_MATH\_PH\_395 . Dengan menyelesaikan sistem linear pada fungsi sinus dan kosinus, maka dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi eksponensial:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_397
Ketika WIKINIUM\_MATH\_PH\_399 adalah bilangan real, kedua fungsi tersebut dapat ditulis ulang sebagai

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_400
Hampir identitas trigonometri dapat dibuktikan dengan memnyatakan fungsi trigonometri dalam bentuk fungsi eksponensial kompleks melalui rumus di atas, dan kemudian menggunakan identitas WIKINIUM\_MATH\_PH\_402 untuk menyederhanakan hasilnya.

### Definisi yang menggunakan persamaan fungsional

Fungsi trigonometri juga dapat didefinisikan dengan menggunakan berbagai persamaan fungsional. Sebagai contoh, fungsi sinus dan kosinus membentuk pasangan tunggal dari fungsi kontinu yang memenuhi rumus selisih.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_404
dan ditambah dengan syarat

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_406
### Dalam bidang kompleks

Fungsi sinus dan kosinus dari bilangan kompleks WIKINIUM\_MATH\_PH\_408 dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi sinus, kosinus, dan hiperbolik sebagai berikut:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_410
Grafik fungsi trigonometri sebagai fungsi bernilai kompleks dapat digambarkan dengan memanfaatkan pewarnaan domain. Berbagai tampilan fungsi yang unik hingga fungsi kompleks dapat dilhat dari grafik; contohnya dapat dilihat bahwa fungsi sinus dan kosinus menjadi tidak terbatas ketika bagian imajiner WIKINIUM\_MATH\_PH\_412 semakin besar (dengan warna putih menyatakan takhingga), dan fungsi yang memuat pole sederhana rupanya merupakan warna yang berputar di sekitar nol atau kutub sekali. Grafik-grafik di bawah yang dibandingkan dengan fungsi hiperbolik yang berpadanan memperlihatkan kaitan antara kedua fungsi tersebut.

**Fungsi trigonometri dalam bidang kompleks**|
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_414

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_416  |
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_418

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_420  |
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_422

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_424  |

## Identitas dasar

Ada banyak identitas yang saling berhubungan dengan fungsi trigonometri. Bagian ini memuat identitas yang paling dasar; identitas yang lebih banyak dapat lihat di Daftar identitas trigonometri. Identitas berikut dapat dibuktikan secara geometri mellaui definisi lingkaran satuan atau definisi bersudut siku-siku (walauapun definisi terakhir harus mengambil sudut yang bukan berada di dalam interval WIKINIUM\_MATH\_PH\_426 , lihat Bukti identitas trigonometri). Bukti tanpa geometri, yakni hanya dengan menggunakan alat kalkulus, dapat dipakai menggunakan persamaan diferensial langsung, melalui cara yang mirip dengan bukti sebelumnya. Selain itu, buktinya dapat menggunakan identitas Euler pula untuk menyatakan semua fungsi trigonometri dalam benetuk eksponensial kompleks beserta menggunakan sifat-sifat fungsi eksponensial.

### Paritas

Fungsi kosinus dan sekan merupakan fungsi genap, sedangkan fungsi trigonometri lain merupakan fungsi ganjil. Paritas dari fungsi-fungsi ini ditulis sebagai berikut:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_428
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_430
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_432
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_434
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_436
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_438

### Periode

Semua fungsi trigonometri merupakan fungsi periode. Fungsi-fungsi tersebut mempunyai periode yang paling terkecil WIKINIUM\_MATH\_PH\_440 , kecuali untuk fungsi tangen dan kotangen yang mempunyai WIKINIUM\_MATH\_PH\_442 sebagai periode yang paling terkecil. Hal ini mengartikan bahwa untuk setiap bilangan bulat WIKINIUM\_MATH\_PH\_443 , maka diperoleh:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_444
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_446
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_448
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_450
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_452
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_454

### Identitas Pythagoras

Identitas Pythagoras merupakan ekspresi teorema Pythagoras yang berupa fungsi trigonometri. Identitasnya adalah

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_456
### Rumus jumlah dan selisih

Rumus jumlah dan selisih dapat memperluas fungsi sinus, kosinus, dan tangen dari jumlah atau selisih dari dua sudut yang dipandang sebagai fungsi sinus dan kosinus dan tangen dari sudut tersendiri. Rumus-rumus ini dapat diturunkan melalui geometri, berdasarkan argumen Ptolemaus. Selain itu, rumus ini juga dapat diturunkan secara aljabar menggunakan rumus Euler.

Penjumlahan
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_458
Selisih
 WIKINIUM\_MATH\_PH\_460
Ketika dua sudut adalah sama, maka rumus penjumlahan mereduksi ke persamaan yang lebih sederhana, yang dikenal sebagai rumus rangkap dua.

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_462
Identitas tersebut dapat dipakai untuk menurunkan identitas darab-ke-jumlah.

Dengan memisalkan WIKINIUM\_MATH\_PH\_464 , maka semua fungsi trigonometri dari WIKINIUM\_MATH\_PH\_466 dapat dinyatakan sebagai pecahan rasional dari WIKINIUM\_MATH\_PH\_468 :

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_470
Fungsi yang terakhir merupakan substitusi setengah sudut tangen, yang dipakai untuk membantu perhitungan integral dari fungsi trigonometri lain menjadi fungsi rasional tersebut.

### Turunan dan integral dari fungsi trigonometri

|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_472  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_474  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_476  |
| --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_478  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_480  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_482  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_484  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_486  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_488  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_490  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_492  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_494  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_496  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_498  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_500  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_502  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_504  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_506  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_508  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_510  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_512  |

Turunan dari fungsi trigonometri dihasilkan dari fungsi sinus dan kosinus dengan menerapkan kaidah hasil-bagi. Pada tabel berikut, terdapat antiturunan dari fungsi trigonometri yang dapat dibenarkan dengan mendiferensialkannya. Catatan bahwa WIKINIUM\_MATH\_PH\_514 merupakan konstanta integrasi.

Di sisi lain, turunan dari 'ko-fungsi' dapat diperoleh dengan menggunakan identitas trigonometri serta aturan rantai:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_515
## Fungsi invers

| Fungsi | Definisi fungsi | Domain fungsi | Himpunan dari nilai prinsip |
| --- | --- | --- | --- |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_517  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_519  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_521  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_523  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_525  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_527  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_529  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_531  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_533  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_535  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_537  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_539  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_541  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_543  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_545  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_547  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_549  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_551  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_553  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_555  |
|  WIKINIUM\_MATH\_PH\_557  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_559  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_561  |  WIKINIUM\_MATH\_PH\_563  |

Fungsi trigonometri merupakan fungsi periodik, karena itu fungsi trigonometri bukanlah injektif. Lebih tepatnya, fungdi trigonometri tidak mempunyai kebalikannya. Akan tetapi, karena adanya kemonotonan pada masing-masing interval dari fungsi trigonometri, maka dapat didefinisikan sebagai fungsi invers, dan ini mendefinisikan fungsi invers trigonometri sebagai fungsi bernilai banyak. Fungsi ini dapat didefinisikan dengan membatasi domain ulang ke interval saat fungsi adalah monotonik, dan bijektif dari interval tersebut ke citra fungsi. Interval umum yang dipilih di tabel disebut himpunan dari nilai prinsip.

Notasi dari fungsi invers trigonometri seringkali dilambangkan sebagai perpangkatan dari −1, sebagai contoh: WIKINIUM\_MATH\_PH\_565 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_566 , dst. Namun perpangkatan tersebut dapat mengartikan invers perkalian. Jadi, untuk mencegah terjadinya keambiguan, notasi tersebut digantikan dengan prefiks "arc-", sebagai contoh: WIKINIUM\_MATH\_PH\_567 , WIKINIUM\_MATH\_PH\_568 , dst.

Mirip dengan fungsi sinus dan kosinus, fungsi invers trigonometri juga dapat dinyatakan dalam bentuk deret takhingga dan logaritma kompleks.

## Penerapan

### Sudut dan sisi segitiga

Penerapan trigonometri ini dapat dipakai dalam hukum-hukum berikut.

* Hukum sinus, hukum yang menjelaskan perbandingan sisi dan sudut-sudut yang berhadapan dengan sisi pada segitiga sembarang. Hukum sinus dapat dibuktikan dengan membagi segitiga menjadi dua segitiga siku-siku dan menggunakan definisi dari fungsi sinus. Hukum sinus berguna dalam menghitung panjang dari sisi segitiga yang tidak diketahui jika ada dua sudut dan sisi yang diketahui. Hal ini muncul dalam sebuah teknik bernama *triangulasi*, teknik yang menentukan jarak yang tidak diketahui dengan mengukur dua sudut dan jarak yang diperoleh.
* Hukum kosinus, hukum yang mengaitkan panjang sisi-sisi segitiga dengan kosinus sudut pada segitiga sembarang. Hukum ini dapat dibuktikan dengan membagi segitiga menjadi dua segitiga siku-siku dan menggunakan teorema Pythagoras. Hukum ini dipakai untuk mencari panjang sisi ketiga dari segitiga jika hanya diketahui panjang dua sisi dan besar sudut yang diapit dua sisi tersebut, dan juga untuk menentukan besar sudut pada segitiga jika semua panjang sisinya diketahui.
* Hukum tangen, hukum yang mengaitkan fungsi tangen dari dua sudut segitiga dan panjang dari sudut yang berhadapan. Mirip dengan hukum sinus, hukum ini dapat dipakai pada setiap kasus untuk dua sisi dan sudut yag diketahui, atau dua sudut dan satu sisi yang diketahui.
* Hukum kotangen, hukum yang mempunyai kaitan antara panjang sisi segitiga dengan kotangen dari setengah sudut. Hukum ini dipakai untuk membuktikan rumus-rumus lain, seperti rumus Heron, rumus pertama Mollweide, dan rumus kedua Mollweide.

### Fungsi periodik

Sebuah animasi yang memperlihatkan besarnya jumlah harmonik pada sintetis aditif dari gelombang persegi.
Fungsi-fungsi trigonometri juga penting dalam ilmu fisika. Sebagai contoh, fungsi sinus dan kosinus digunakan untuk menjelaskan gerak harmonis sederhana seperti gerakan suatu benda bermassa yang terikat pada sebuah pegas, dan gerak pendulum sederhana pada sudut yang kecil dan dengan benda bermassa yang terikat pada sebuah tali, yang keduanya merupakan pemodelan dari banyak fenomena alam. Fungsi sinus dan kosinus adalah proyeksi satu dimensi dari gerak melingkar yang seragam. Fungsi-fungsi trigonometri juga terbukti berguna dalam kajian fungsi periodik umum. Pola-pola bergelombang karakteristik dari fungsi periodik berguna dalam menggambarkan fenomena yang berulang seperti gelombang suara atau cahaya.

Fungsi basis sinusoidal pada animasi di bawah dapat membentuk gelombang geriji seperti animasi di atas saat menambahkan beberapa suku.
Fungsi periodik WIKINIUM\_MATH\_PH\_569 umumnya dapat dinyatakan sebagai jumlah gelombang sinus atau gelombang kosinus dalam deret Fourier. Dengan Melambangkan fungsi basis sinus atau kosinus sebagai WIKINIUM\_MATH\_PH\_570 , maka ekspansi dari fungsi periodik WIKINIUM\_MATH\_PH\_571 membentuk:

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_572
Sebagai contoh, fungsi dari gelombang persegi dapat ditulis sebagai deret Fourier

 WIKINIUM\_MATH\_PH\_574
Dalam animasi gelombang persegi, dapat diperlihatkan bahwa hanya beberapa suku sudah menghasilkan aproksimasi yang hampir baik. Pada gambar bawah memperlihatkan superposisi dari beberapa suku dalam ekspansi gelombang geriji.

## Catatan dan referensi

### Catatan kaki

### Catatan

### Referensi

* Templat:AS ref
* Lars Ahlfors, *Complex Analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable*, second edition, McGraw-Hill Book Company, New York, 1966.
* Boyer, Carl B., *A History of Mathematics*, John Wiley & Sons, Inc., 2nd edition. (1991). ISBN 0-471-54397-7.
* Gal, Shmuel and Bachelis, Boris. An accurate elementary mathematical library for the IEEE floating point standard, ACM Transactions on Mathematical Software (1991).
* Joseph, George G., *The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics*, 2nd ed. Penguin Books, London. (2000). ISBN 0-691-00659-8.
* Kantabutra, Vitit, "On hardware for computing exponential and trigonometric functions," *IEEE Trans. Computers* **45** (3), 328–339 (1996).
* Maor, Eli, *Trigonometric Delights*, Princeton Univ. Press. (1998). Reprint edition (2002): ISBN 0-691-09541-8.
* Needham, Tristan, "Preface"" to *Visual Complex Analysis*. Oxford University Press, (1999). ISBN 0-19-853446-9.
* Nielsen, Kaj L. (1966), *Logarithmic and Trigonometric Tables to Five Places* (Edisi 2nd), New York: Barnes & Noble, LCCN 61-9103
* O'Connor, J. J., and E. F. Robertson, "Trigonometric functions", *MacTutor History of Mathematics archive*. (1996).
* O'Connor, J. J., and E. F. Robertson, "Madhava of Sangamagramma" Diarsipkan 2006-02-26 di Wayback Machine., *MacTutor History of Mathematics archive*. (2000).
* Pearce, Ian G., "Madhava of Sangamagramma" Diarsipkan 2006-05-05 di Wayback Machine., *MacTutor History of Mathematics archive*. (2002).
* Protter, Murray H.; Morrey, Charles B., Jr. (1970), *College Calculus with Analytic Geometry* (Edisi 2nd), Reading: Addison-Wesley, LCCN 76087042 Pemeliharaan CS1: Banyak nama: authors list (link)
* Weisstein, Eric W., "Tangent" Diarsipkan 2006-07-19 di Wayback Machine. from *MathWorld*, diakses pada tanggal 21 Januari 2006.